PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT: ĐẶT ẨN PHỤ

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN  Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng..  Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực..  Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực t

Đặt 1 ẩn phụ giải hệ phương trình

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2 3





Giải

y y

 



    

Đặt a 12y a,   0 y 12a2

PT (1) xa (12a2)(12x2)12

12 12x 12a x a 12xa

xa









xa









 122

xa

x a







 



Ta có (x – a)2 = 0  x = 12y (*)

Thế (*) vào (2) được : (12y) 12 y 8 12  y 1 2 y2

 (4y) 12 y 2 y 2 1

(3y) 12 y 12   y 3 2 2 y 2 0



3

y

y









3

x

y





 



y x x x y



HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ĐẶT ẨN PHỤ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Hệ phương trình: Đặt ẩn phụ thuộc khóa học Luyện thi THPT

quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn cần

kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Giải

ĐK: x y, R

Đặt a x 1

b y

 



 

 , ta có hệ trở thành:

Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:

a b

a b a b ab

a b ab





          

3

a

a





          



1

2

x

x





   hệ có 2 nghiệm (x; y) là:

 Trường hợp 2: a b 2ab 7 0

Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có:

a b ab

   





      

   



Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm: 2; 3; 2; 3

       

Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1; 2), (2;3), (1;3), (2; 2)

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1; 2), (2;3), (1;3), (2; 2)

Bài 3 Giải hệ phương trình sau:  

x y

y y x x

     



    



Giải

Điều kiện: x1

Đặt t x1,t0 Khi đó x t2 1 và hệ trở thành

0

t y t y

 Với yt, ta có 2t2   2 0 t 1 Suy ra x2, y1

2

 

 

           

 

Suy ra 19 3 13, 3 13

x  y 

Bài 4 Giải hệ phương trình:

x y y x

x y y x



  



Giải

2x y 0

t  x y t

2 2

1

3

t

t

x y





           

Khi đó hệ phương trình tương đương

2 2

x y

x y y x









Trường hợp 1: y0

Hệ phương trình tương đương

2 3

x x







 ( vô lí ) Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ

TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y ta có hệ phương trình tương đương 3

2 2

x y





2 2

1

x y x y

  



  





1

x y

x y

 



    



Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S   1;1 ,  1; 1 

Đặt 2 ẩn phụ

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

1 1

4 22

y

x

x y

y

  







Giải

Điều kiện: x0, y 0 và x2 + y2 - 1 0

1

ux y  và v = x

y Hệ phương trình (I) trở thành

2

21 4

21 4

v v

u v



  



3

u v





 

 hoặc

7 7 2

u v









+ Với 9

3

u

v





 

3 1

x y





 

 hoặc

3 1

x y

 



  



+Với

7 7 2

u

v







2 14 53 2 4 53

x

y











 



hoặc

2 14 53 2 4 53

x

y



 







  



Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14 2 ; 4 2

Bài 2 Giải hệ phương trình:  2 2    

x xy y x y





    



Giải

Hệ phương trình tương đương

2 2

2

2 2







Nhận xét y 1 0 không là nghiệm hệ phương trình

Chia hai vế phương trình một và hai cho y1 ta có

2 2

2 2

1 25 1

1 10 1

x y x y y

x y

x y y





 



Đặt

2 2

1 1

x y a

y

b x y









   





  



Vậy hệ có nghiệm     3 11

2 2

x y   

Bài 3 Giải hệ phương trình:  2  2 2

3 3 2 2 3

x x y y y

x y x y y xy







Giải

Nhận xét y0 không là nghiệm hệ phương trình

Chia hai vế phương trình một cho y2 và hai y 3

2 2

3

1

4 0

x x

y y

x x

x

y y y

     





     



Đặt

1

a x

y x b

y

  





 



Hệ phương trình biến đổi tương đương ta có :

2 2

3

a a

a ab



 

Hệ có nghiệm    x y;  1;1

Bài 4 Giải hệ phương trình:

5

4

5

x y x y

x y

x y

xy





Giải

Hệ phương trinh tương đương:

5

4

5

x y x y

x y

Đặt

2

2

5

x a

x y y b

x y

 





 



khi đó ta có

4

1

a b

a b

 







Hệ có nghiệm   3 3

2 2

x y  

  

Bài 5 Giải hệ phương trình:







Giải

Dễ thấy với y0 hệ pt vô nghiệm

Xét y0.Chia (1) cho y2, chia (2) cho y ta được hệ

2





Đặt

2

2

1

x

y

b x

   





 



ta được hệ

2

7 11

a b

a b

 







+ Với 7

11

a b





 

 ta giải ra được

2

11 3

x y

 





2

11 4

x y

 







27

a b

 



 

 vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

2

11 3

x y

 





2

11 4

x y

 







Bài 6 Giải hệ phương trình:

2

1

1

y x x

y x

x





  







Giải

ĐK: x1

Hệ phương trình đã cho trở thành

2

1

1

y x x

y x x

x





   







1

a y x

b x

 



  

 Khi đó hệ đã cho trở thành

1

1

b

b

a b

b

  

1

a

x y b





  

 



Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x y 2

Bài 7 Giải hệ phương trình:  3 3





  



Giải

Nhận thấy y0 không là nghiệm của hệ

Xét y0hệ đã cho được biến đổi thành

3

3

1

2(9 5 )

1

(5 1)

xy

y y

x y

y y



 Đặt a x 1,b 9 5xy

y

4

6 0

a

a b

b

a b





     



Với 2

4

a

b





 

 ta có hệ

1

1

y

y xy

    

  



Vậy hệ đã cho có nghiệm x y 1

Bài 8 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

12 12

x y x y

y x y





Giải

Điều kiện: | |x |y|

Đặt

2 2

u x y u

v x y





 

 ; x y không thỏa hệ nên xét x y ta có

2

1 2

u

v

   

 

Hệ phương trình đã cho có dạng:

2

12

12 2

u v

u u v v

 







Đến đây sử dụng phương pháp rút thế ta dễ dàng tìm ra kết quả bài toán

Bài 9 Giải hệ phương trình:

2 2





   



Giải

2

2





   



2 2



 

    



Đặt

2

a y y

  





  

2

2

1

3 2

,

a b

ab b

 



 

Với a=b=1 suy ra hệ có hai nghiệm là :

2,

2

2,

2

x y

x y









5

mãn Vậy hệ chỉ có 2 nghiệm như trên

3 3





Giải

Điều kiện: (2x1)(y 1) 0,

Phương trình (1)2x 1 2 y 1 2x1y 1 0 Từ giả thiết x0 ta có

2x    1 0 y 1 0 Đặt a 2x1,b y1 ta có (1) trở thành: a22b2ab0

Với ab ta có: 2x    1 y 1 y 2x thay vào phương trình (2) ta có:

3

6x 2 8x 4x 2 6x 2 6x 2 2x 2x , (*)

Xét hàm số f t( ) t3 t ta có f t'( )3t2    1 0, t R hàm số f t( ) đồng biến trên R

PT  x  x x  x 

2

1 ( )

( ) 2







  



Với x  1 y 2

Bài 11 Giải hệ phương trình:

5

2

x y x y

x y xy

x y







5

x  y

1 2u 3u v uv 2v 0 u 2 2 u u 1 0 u 2 u 2v

   

                

    

 

5

VN v x

  







KL: tập nghiệm của hệ pt là: S    1;1

2

3









 

Đặt:

2 3 2

1

a y







, ta có:

2

a a a b b

a b b

a a a b



Khi đó ta có:

2 2 3

1

2



 

KL: 1;1 ; 1; 1 ; 1;1 ; 1; 1

S        

         

       

Bài 13 Giải hệ phương trình:

1

2

x

y







ĐK: x1;y1

a x a

b y b

   





1  b2 a b 2ab ab 0 2

0

b a





  



5

1 2

y y

    



     thỏa hệ phương trình

KL: S   1;5

2 2

2

8

4

x y xy

x y

y

x y







Giải

Điều kiện: x y 0

Hệ phương trình biến đổi tương đương

2

8

0 4

x y x y

x y

x y x y

x y





      



a x y

b x y

x y

 





   



Ta có hệ tương đương

8 5 0 4

a b

a b

    





   



2

8 5 4

a b

a b

   



  



2 2

2

5 4

a b

  

  

 

  



5 4 5 2

a b

 



  

 



Vậy hệ có nghiệm   7 3 13 3

x y     

     

Giáo viên : Lê Anh Tuấn

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng

 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực

 Học mọi lúc, mọi nơi

 Tiết kiệm thời gian đi lại

 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI

 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất

 Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam

 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên

 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo

chương trình sách giáo khoa

(lớp 10, 11, 12) Tập trung

vào một số kiến thức trọng

tâm của kì thi THPT quốc gia

Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài

bản

Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng

thể

Là nhóm các khóa học tổng

ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia

1, 2 tháng