Bất phương trình 5 x 1 2x 1 4 4x 2 x BẤT PHƯƠNG TRÌNH: ĐẶT ẨN PHỤ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Bấ
Trang 1Bài 1 Giải các bất phương trình sau
1 x2 2x 22 x2 2x 24 0 2 x 9 x x2 9x 6
Lời giải
1 Đặt t x2 2x 24, ( t 0) x 2 2x 24 t 2 x 2 2x 22 2 t 2
Bất phương trình trở thành: 2 t 2 t 0 t2 t 2 0 0 t 1
2 2
2
x 2x 24 0
x 2x 24 1
x 2x 23 0
4 x 1 2 6
1 2 6 x 6
là nghiệm của bất phương trình đã cho
2 Điều kiện : 0 x 9
Bất phương trình
2 2
9 2 9x x x 9x 6
9x x 2 2 9x x 2 3 0
Đặt t 9x x , t 0 2 , ta có bất phương trình :
2
t 2t 3 0 t 3 2 2
9x x 3 x 9x 9 0
9 3 5 x 9 3 5
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:
9 3 5 9 3 5
x
Bài 2 Giải các bất phương trình sau
2x
2 x
2
x x
1
1 2(x x 1)
Lời giải
1 Điều kiện : x 0
Bất phương trình 5( x 1 ) 2(x 1) 4
4x
2 x
BẤT PHƯƠNG TRÌNH: ĐẶT ẨN PHỤ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Bất phương trình vô tỷ (p3) thuộc khóa học Luyện thi
THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần này,
bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Trang 2Đặt 1 1 2
t x , (t 2) x t 1
4x
2 x
Bất phương trình trở thành:
5t 2(t 1) 4 2t 5t 2 0 t 2 (do t 2)
2
3 2 2
0 x
t 2 x 3 4x 12x 1 0
x 2
Vậy T 0;3 2 2 3 2 2;
2x 2x 2 1
Ta có: 1 2(x2 x 1) 1 2 (x 1)2 3 1 3 0
Nên bất phương trình tương đương với
x x 1 2(x x 1) x x 1 2(x x 1) 0
Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được:
x x
x x
t 1 2(t 1) 0 2(t 1) 1 t
t 1 2(t 1) 1 2t t t 2t 1 0
x
Vậy T 3 5
2
Bài 3 Giải các bất phương trình sau
1 7x 7 7x 6 2 49x 2 7x 42 181 14x
2
1
1 x 1 x
Lời giải
1 Điều kiện : x 6
7
Trang 3Đặt t 7x 7 7x 6, (t 0) 14x 2 49x 2 7x 42 t 2 1
Bất phương trình đã cho trở thành:
2
t t 1 181 t 2 t 182 0 0 t 13 7x 7 7x 6 13 (*)
Vì hàm số f(x) 7x 7 7x 6 là hàm đồng biến và f(6) 13
Do đó (*) x 6
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bpt là : T 6; 6
7
2 Điều kiện: x 1
Đặt t x x 1,x 1 t 1
t x x 1 2 x x 1 x x x
2
Phương trình cho viết lại:
2
2
t 1 t 2t 3 0 3 t 1
t 1
t 1
t 1
Với t 1 tức x x 1 1 x x 1 2 x2 x 1
2
x x 1 x
1 x 0
x x 1 2x x
x 1
x 1
x 1
thoả mãn x 1 Vậy x 1 là nghiệm phương trình đã cho
3 Điều kiện: x 1
Bất phương trình đã cho viết lại:
1 2
2
1 x 1 x
Đặt
2
x t
1 x
khi đó bất phương trình trở thành t2 3t 2 0 , giải bất phương trình này ta được
t 1 hoặc t 2
2
x
1 1 x x
1 x
Trang 42 2
1 x 0
0 x 1
1 x x
hay
1 x 0
1
1 x 1
2
2
0 x 1 x
2 x 2 1 x
x 4 1 x
1 x
2
x 1
5
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: T 1; 1 2 ;1
Bài 4 Giải các bất phương trình sau
1 5x2 10x 1 7 2x x 2 2 x2 2x 4 4 (4 x)(x 2) 0
5
1 3x
1
1 x 1 x
x(x 4) x 4x (x 2) 2
2x
2 x
3
9
2 x
2 2x 12x 6 2x 1 x 2
x 1 x 3 x 3 2x 2 12 5 x3 x 2 x2 3
Hướng dẫn giải
1 Bất phương trình 5 5x2 10x 1 5x 2 10x 35 0
Đặt t 5x 2 10x 1, t 0 , ta có bất phương trình :
2
t 5t 36 0 t 4
5x 10x 1 4 x 2x 3 0
x 1
2 Đặt t (4 x)(x 2) x2 2x 8, t 0
Ta có: t2 4t 12 0 t2 4t 12 0 0 t 2
2 2
2
x 2x 8 0 1 5 x 4
x 2x 8 2
2 x 1 5
x 2x 4 0
3 Đặt t 12 x, t 0 x 12 t 2.Ta có:
36 t t 6 36 t 6 t 36 t 216 108t 18t t
Trang 53 2 t 3
t 19t 108t 180 0 (t 10)(t 6)(t 3) 0
6 t 10
3 x 12
88 x 24
là nghiệm của bất phương trình đã cho
4 Bất phương trình 2x 1 4x2 4x (2x 1) 2 1
Đặt t 2x 1 , t 0 Ta có: 4t t 4 1 t4 4t 1 0
t 2t 1 2(t 2t 1) 0 t 1 2t 2 0
0 t 1 2x 1 1 1 x 0
5 Bất phương trình
2
2
1 x 1 x
Đặt
2
x t
1 x
Ta có:
t 3t 2 t 3t 2 0
t 1
*
2
x
1 x
vô nghiệm
*
2 2
2
1 x 0
1 x 0
0 x 1
x
1 x
Vậy nghiệm bpt: 1 x 1
2
6 Bất phương trình (x2 4x) x2 4x x2 4x 2 0
t x 4x, t 0
Ta có: t3 t2 2 0 (t 1)(t2 2t 2) 0 0 t 1
2 2
x 4x 0 2 3 x 4
0 x 2 3
x 4x 1 0
7 Điều kiện : x 0
Bất phương trình 5( x 1 ) 2(x 1 ) 4
4x
2 x
Đặt t x 1 , (t 2) x 1 t2 1
4x
2 x
Trang 6Bất phương trình trở thành:
5t 2(t 1) 4 2t 5t 2 0 t 2 (do t 2)
2
3 2 2
0 x
t 2 x 3 4x 12x 1 0
x 2
là nghiệm của bất phương trình đã cho
8 Điều kiện:0 x 1
Đặt t x 1 x, t 0 t 2 2 x(1 x) 1
Ta có bpt: 1 1(t2 1) t t2 3t 2 0 1 t 2
3
2
1 x 1 x 2 1 2 x x 1 4
Vì 0 2 x x 2 1 (2x 1) 2 1 (*) luôn đúng
Vậy nghiệm của bpt: 0 x 1
9 Điều kiện : 1 x 1
2
1 x x
2
Ta có: t2 1 5t 2 0 2t2 5t 2 0 t 2
2
2
2
2 x
10 Điều kiện: x 1
2
2 x 2 2 2x 1 x 2 2x 1
Đặt u 2x 1 0
v x 2
khi đó bất phương trình trở thành
2 2
2
2 2
u v 0
2u 2v u v
Giả sử u v tức 2x 1 x 2 x 2 02 x 1
x 6x 5 0
Vậy để u v x 1;
2
và x 1,x 5
Trang 711 Đặt: u x 1,u 0
v x 3
Khi đó bất phương trình cho tương đương với: u v v2 2u2
u 0
u v2 v2 2u2 2uv u2 u 0
u 2v
u 0
u 0
Với u = 0 tức x 1 0 vì thế x 1
Với u 2v tức x 1 2 x 3 , bất phương trình này tương đương:
x 1
x 3 4x 25x 37 0
x 1 4 x 3
Vậy tập nghiệm bất phương trình: T 3;
12 Điều kiện: x3 x 2 0 (x 1)(x 2 x 2) 0 x 1
Bất phương trình 5 (x 1)(x 2 x 2) 2(x 1) 2(x 2 x 2)
x x 2 x x 2
x x 2
Ta có: 5t 2t2 2 t 2 v t 1
2
t 2 2x 1 4 4x2 5x 7 0
x x 2
2
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là:
5 33
1 x
2
2
x x
1
1 2(x x 1)
Lời giải
Đây được xem là bài bất phương trình khó nhất trong mấy năm gần đây
Trước hết ta có điều kiện của bất phương trình:
x 0 2x 2x 1 0
Trang 8Điều đầu tiên ta nghĩ tới là khử mẫu Muốn thực hiện được phép quy đồng, ta cần biết dấu của mẫu thức Qua việc xét điều kiện ở trên ta thấy mẫu số không đổi dấu, dễ dàng thấy được
1 2(x x 1) 0, x
Nên bất phương trình đã cho tương đương với:
x x 1 2(x x 1) (*)
Tiếp tục xử lí bất phương trình này ta nghĩ đến bình phương Muốn vậy, ta chuyển hai căn thức về một
vế (để sau khi bình phương thì trong bất phương trình chỉ còn một căn thức)
Cách 1 Ta có (*) 1 x 2(x 2 x 1) x (**)
Muốn bình phương, ta cần xác định dấu của hai vế của (**)
2 2
2
2x 3x 2
2(x x 1) x
, x
Nên (**)
0 x 1
x 2x 1 2x x 2 2 2x(x x 1)
8x(x x 1) (x x 1) x 6x 11x 6x 1 0
2 2x(x x 1) x x 1
x 2 (x 3x 1) 0 x 3x 1 0
Vậy bất phương trình có nghiệm 3 5
x
2
Từ (*) ta quan sát thấy các hệ số đối xứng nên ta nghĩ đến việc chia hai vế của bất phương trình cho
x Ta có cách giải thứ 2
Cách 2 Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của (*) cho x ta có được:
2(x 1 ) 1 x
Đặt t 1 x
x ta có bất phương trình :
2
2
2
Giáo viên : Lê Anh Tuấn
Trang 95 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN
Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực
Học mọi lúc, mọi nơi
Tiết kiệm thời gian đi lại
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm
4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI
Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN
Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12) Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia
Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài
bản
Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng
thể
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng