phương phap giải hệ PT BPT vô tỉ ôn thi THPT QUOC GIA(co loi giai chi tiet)

Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Phương pháp thế.

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào

phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất

đối với một ẩn nào đó

Bài 1 Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 (1)

- Từ (1) x2+ =1 4y y− 2 −xythay vào (2) Nghiệm (1;2); ( 2;5)−

Bài 7 Giải hệ phương trình

Do x ≠ 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 17

II Phương pháp cộng đại số.

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia

ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế

trái đẳng cấp bậc k

Bài 1 Giải hệ phương trình

2 2

+

=+

⇒ + + > Do đó TH 2 không xảy ra

- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

x y

TH này vô nghiệm do ĐK

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

Bài 5 Giải hệ phương trình:

y = x y = − x thế vào một trong hai phương trình của

hệ ta thu được kết quả (3;1); ( 3; 1)− −

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt

, 0

y tx x = ≠ hoặc đặt x ty y = , ≠ 0

2 2

11 11

3

y y

2 2

11

3 2 ( 16) 2( 6) 3 40 0 (*)

- Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I)

- Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm Vậy m > 1

Bài 6 Giải hệ phương trình

- Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất

cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y

thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức

- Tổng quát ta có hệ sau:

m

px qy bx

m

px qy dy

Bài 7 Giải hệ phương trình

- Tương tự với y = 0 và z = 0 ta thu được các nghiệm là (0;0; ), (0; ;0), ( ;0;0), t t t t ∈ ¡

- TH 2 xyz ≠ 0 Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho x y z2 2 2ta được

2

3 2 (1)2

4 2 (2)2

- Nhận xét Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở

trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp Vậy đối với một hệ phức tạp ta

sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản

III Phương pháp biến đổi thành tích.

* Cơ sở phương pháp Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử Đôi

khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích

Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ 3 22 02 2 (1)

- Biến đổi phương trình (2) thành tích.

- Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y.

- Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết

quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

+ =

⇔    = ⇔  =  Do y ≥ ⇒ = 0 y 2 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (5;2) x y =

- Chú ý Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể

giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x)

Bài 3 (A – 2003) Giải hệ phương trình

PT này vô nghiệm

TH 1 x y = thế vào pt thứ hai ta được 2 6

Trường hợp này không xảy ra do xy < ⇒ 0 2( x + 1)2 + 4( y − 2)2 − 9 xy > 0

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = { (2;2); ( 6; 6) − − }

Bài 4 Giải hệ phương trình

- Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết

quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Lời giải.

ĐK: x y + > 0 (1) ⇔ ( x2 + y2)( x y + ) 8 + xy = 16( x y + )

2( x y ) 2 xy x y ( ) 8 xy 16( x y )

2( x y ) ( x y ) 16 2 ( xy x y 4) 0

TH 2 ( x y x y + )( + + − 4) 2 xy = ⇔ 0 x2 + y2 + 4( x y + ) 0 = vô nghiệm do ĐK

Vậy tập nghiệm của hệ là S = { ( 3;7); (2;2) − }

Bài 5 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình ( )( 2)2

- KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là : (1; 1); 1 17 1; 17

- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; ) x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( ; ) y x Do vậy, để

hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y = .

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: 2 2 1

Phân tích Đây là hệ đối xứng loại I

- Hướng 1 Biểu diễn từng pt theo tổng x y + và tích xy

- Hướng 2 Biểu diễn từng pt theo x2 + x và y2 + y Rõ ràng hướng này tốt hơn

4 1 ,

 Nhận xét Bài toán trên được hình thành theo cách sau

- Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản 18

72

a b ab

a Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới

b Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) 2 27

 và làm tương tự như trên

ta lại thu được các hệ mới khác Chẳng hạn :

6) Thay a x = 2 + y b xy2, = vào hệ (II) ta được hệ

(6)

2 2

7 21

Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình : 2

+ = + + Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ.

Bài 17 Giải hệ phương trình:

Phân tích Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên ta muốn giải

hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hàm số f t ( ) = − t3 3 t không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn [ − 1;1 ]

Lời giải.

Từ (2) ta có x2 ≤ 1, y2 ≤ ⇔ 1 x y , ∈ − [ 1;1 ]

Hàm số f t ( ) = − t3 3 t có f t '( ) 3 = t2 − < ∀ ∈ − 3 0, t ( 1;1) ⇒ f t ( ) nghịch biến trên đoạn

[ − 1;1 ] x y , ∈ − [ 1;1 ] nên (1) ⇔ f x ( ) = f y ( ) ⇔ = x y thế vào pt (2) ta được

2 2

Bài 7 (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012)

5 42

2( ) 4 2 3 4 7, 0;

[ ] , 1 1;1

TH2 : Xét y≠0, chia 2 vế của (1) cho y ta được 5 ( )x 5 x y5 y (3)

- Thay vào (2) ta có PT 4x+ +5 x+ = ⇒ =8 6 x 1 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (1;1)x y =

Bài 15 Giải hệ phương trình 22 22 ( )( 2)

Xét hàm số f t ( ) 2 = +t t t3, ∈ ¡ có f t '( ) 2 ln 2 3 = t + t2 > ∀ ∈ 0, t ¡ suy ra f t ( ) đồng biến trên

¡ (1) ⇔ f x ( ) = f y ( ) ⇔ = x y thế vào pt thứ hai ta được

1

x y = = ± Vậy tập nghiệm của hệ là S = { (1;1); ( 1; 1) − − }

Bài 16 Giải hệ phương trình

Suy ra g x ( ) đồng biến trên ¡ Bởi vậy g x ( ) = g (0) ⇔ = x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0

Bài 17 Chứng minh hệ

2007

2 12007

2 1

y x

e

y x y

x y

x y

Từ BBT của g x ( ) ta suy ra pt g x ( ) 0 = có đúng 2 nghiệm x ∈ +∞ (1; )

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương

Bài 18 Giải hệ phương trình ln(12 ) ln(1 2) (1)

Thế vào pt (2) ta được x y = = 0 (không thỏa mãn)

TH 2 x ∈ − ( 1;0), y ∈ +∞ (0; ) hoặc ngược lại thì xy < ⇒ − 0 x2 12 xy + 20 y2 > 0

TH 3 xy = 0 thì hệ có nghiệm x y = = 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y = = 0

VI Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.

1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT VP≥ hoặc ngược lại, dấu bằng xảy

ra khi x= y

2 3

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I Phương pháp lũy thừa.

1/

( ) 0( ) ( ) ( ) 0

Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1+ = − (1)

00

32

03

≥

x x

x

x x

x

x x

x x

Bài 3: Giải phương trình: x+ −4 1− =x 1 2− x

2 1 0(2 1) 2 3 1

x x

x x

x x

Bài 5 Giải phương trình : 3− =x x 3+x

Bài 6 Giải phương trình sau :2 x+ =3 9x2− −x 4

c) 3 2 x − + 1 3 x − = 1 3 3 x + 1 x = 7 6(Phải thử , loại nghiệm)

Bài 4 Giải phương trình

Đặt t = x− x2−1 thì phương trình cĩ dạng: t+ = ⇔ =1t 2 t 1 Thay vào tìm được x=1

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x= −1 2 và x= +2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x2−6x− ≥1 0

Ta được: x x2( −3)2− −(x 1)2 =0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y− =3 4x+5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17

Bài 6 Giải phương trình : x2+3 x4−x2 =2x+1

HD: x=0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

y y

Với y = 1 ⇔ x2 +7x+ =7 1 ⇔  = −x x= −16 Là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 1 Giải phương trình.

x x

22

x x

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các

g) (1 4 ) 4− x x2 + =1 8x2 +2x+1

h) (4x−1) x3 + =1 2x3 +2x+1

i) x3 +3x+ =2 (x+2) x3 +2x+1

4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.

Bài 8 Giải phương trình.

a) ( x − 2) x2 − + = x 4 2 x bình phương, chia x2 Đặt t x 4

x

= + ⇒ =t 0;5 thử lại ⇒ =x 4b) x2+3x− +2 2 x2− − =x 2 2 xchia cho

- Chuyển vế, bình phương ta được : 3(x2−5x−14) 4(+ x+ =5) 7 (x2−5x−14)(x+5)

- Chia 2 vế cho (x+ ⇒5) Nghiệm 3 2 7; 61 11137

18

++

5) Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.

• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.

- Chuyển vế, bình phương ta được : 3(x2−5x−14) 4(+ x+ =5) 7 (x2−5x−14)(x+5)

Bài 11 Giải phương trình : x2+2x+ 2x− =1 3x2+4x+1

Bài 12 Giải phương trình : 4x2+5x+ −1 2 x2− + =x 1 9x−3

6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình

Bài 14 Giải phương trình 3 2x+ −1 6 x+ +4 (2x+1)(x+ + =4) 7 0

- Thay vào phương trình có : 3u−6v uv+ + =7 0 (2)

- Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v u u v− )( + − = ⇔ =3) 0 x 0

Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

f) x3 + = 1 2 23 x − 1 Nghiệm 1 5

1;

2

x = − ±g) x3 + = 2 3 33 x − 2

d) 2 x + = 1 4 x2 − 12 x + 5 Đặt 2 x + = 1 2 y − 3

III Phương pháp biến đổi thành tích.

Bài 1 Giải phương trình

x x

+

IV Phương pháp nhân liên hợp.

1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x0hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x x P x− 0) ( ) 0= và P x( ) 0= có thể vô nghiệm hoặc giải

- Nghiệm x=2, ( ) 0P x = vô nghiệm.

Bài 3 Giải phương trình :

2 5

x x x

+ +

<

− +

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 7 Giải phương trình

a) x2 +3x+ =1 (x+3) x2 +1

b) 4 3 10 3− − x = −x 2

− + − = − + ( 2 2 ) ( 2 1 1) 4

2

x x

VI Phương pháp hàm số.

1) Cơ sở phương pháp :

- Để giải phương trình : ( )f x =m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến

- Xét hàm số ( )f x luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà có ( ) f a = f b( )⇒ =a b

2x− +1 x + = −3 4 x Chuyển vế, nghiệm duy nhất x=1

Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình 4x3 + − +x (x 1) 2x+ =1 0

- Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình ⇔(2 )x 3+2x=(2x+1) 2x+ +1 2x+1

Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm : x+ +1 x− −1 5− −x 18 3− x =2m+1

Bài 6 (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : 3 x− +1 m x+ =1 24 x2 −1

- Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba

Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I) Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản :

- Dạng 2 :

2

( ) 0( ) 0( ) ( )

( ) 0( ) [ ( )]

x x

- Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3 x x( −2)(x+ ≤1) 2 (x x− −2) 2(x+1)

- Chia 2 vế cho (x+1) và đặt ( 2)

1

x x t

1 0

x x

x x

Phương pháp nhân liên hợp.

Bài 1 Giải bất phương trình :

a) 1+ −x 1− ≥x x

b) 1 1 8 2 1

2

x x

III) Phương pháp đánh giá.

Bài 1 Giải các PT sau :