một số phương pháp giải hệ pt không mẫu mực

Đưa về hệ đối xứng loại 1 hoặc hệ thông thường... Pt đã cho chuyển thành hệ đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng.. Chú ý: * Khi nhân với một biểu thức khác 0 thì ta nhân tự nhiên mà không x

Trang 1

* PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Dạng I: Luỹ thừa hai vế và dùng các công thức cơ bản

A B

≥



= ⇔  =



A B



= ⇔  =



3)











= +

+

≥

⇔

= +

2 2

0 0

t AB B

A B

A t

B A

Chú ý: Trong một số trường hợp ta dùng pt hệ quả thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Bài tập: Giải các pt sau:

1) a) 2−x2 +3x = 5x2 −1; b) x2 +x+1+x=3; c) x+1+ 2x+3 = 6−x

2) a) x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2; b)

3

2 1

3

x

3) a) 3 x+34− 3 x− =3 1; b) 3 x− +1 33x− =1 3 x+1,

CHUÙ YÙ A+B=C⇔ A 3+B 3 +3 AB ( A+B )=C 3 ⇒ A3 +B3 +3ABC C= 3

4) a) 2x+ 6x2 + = +1 x 1 b) x2 + x+ =1 1; c) x2 +3x+ = +1 (x 3) x2 +1

Bài tập về nhà: Giải các pt sau:

1) a) x2 +x+1+x=3; b) 2−x2 + x2 + =8 4; c) 4x+ −9 11x+ −1 7x+ =4 0

30

x

+

15 57105 24

b) 3x+ −1 2x+ −2 4x+ x+ =3 0, (x=1)

3) a) 3 x+ +1 33x+ =1 3 x−1,(x=-1); b)3 2x− +1 3 2x+ =1 310x,( 5

0,

4

x = x= ± ) 4) a) 77−x2 +x x+ =5 3 2− x x− 2 , (đs:x=-1); b) 4 3 10 3x− − = −x 2,(đs x=3)

Dạng II: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ.

Chúng ta chú ý một số dạng sau;

1) a.f(x)+b f(x)+c=0; a≠0.Đặt t = f(x),t≥0 phương trình trở thành: a.t2 +bt+c=0 2) a(m f(x)±n g(x)+b f(x) g(x)+c=0 với m2f(x)+n2g(x)=k

Đặt t =m f(x)±n g(x), suy ra f(x) g(x) theo t bằng cách lấy t2

3) a.(A± B)+b.A B +c=0 Đặt t = A± B, suy ra A B theo t bằng cách lấy t 2

Chú ý: Đối với phương trìng này cần thử lại nghiệm.

4) a( A± B)+b(A+B±2 AB)+c=0 Đặt t = A± B

1) a) 3x2 +15x+2 x2 +5x+1=2 b) x2 −3x+5+x2 =3x+7

2) a) x+1+ 4−x+ (x+1)(4−x) =5, b) x+8− 5−x+5= 40−3x−x2

Trang 2

3) a) x+ 4−x2 =2+3x 4−x2 , b) 2

2

1 1

2 =

−

+

x x

4) a) 2x+3+ x+1=3x+2 2x2 +5x+3−16, b) x− −2 x+ =2 2 x2 − −4 2x+2;

3 x

1 x ) 3 x ( 3 ) 1 x

)(

3

x

−

+

−

− +

A

B A

6) a) x− x2− +1 x+ x2− =1 2, b) ( ) ( )2

x

+ − = + , d) (x+3 x +2)(x+9 x +18) =168x

1) a)

2

) 4 ( 3 2 3 2

2 + − − + = x+

x x

2) a) 5+x2 + 20−x2 − (5+x2)(20−x2)+5=0, b) x+3+2 30+7x−x2 =11+ 10−x 3) a) x+ 17−x2 +x 17−x2 =9, b) x+ 2−x2 +x 2−x2 =3

4) a) 3x+ +1 2− +x 2 2 5+ x−3x2 = −9 2x, 4

7

2 5 2 5 2 5 2 48, (x=( ) )

12

5) a) x=(2004+ x)(1− 1− x)2, b) x2+ 3 x4−x2 =2x+1,(đs: 1 5

2

±

=

c) (x+3 x +2)(x+9 x +18) =120 , (x=4 x=9)x ∨ d) 3

4 x

2 x ) 4 x ( 2 ) 4 x )(

2 x

+

+ +

Dạng III: Phương pháp đưa về hệ phương trình

 Đặt u=α ( )x v, =β ( )x và tìm mối quan hệ giữa α ( )x và β ( )x từ đó tìm được hệ theo u,v Khi tìm được u, v để tìm x ta chi cần giải một trong hai pt u=α ( )x hoặc v=β ( )x

Loại1 Đưa về hệ đối xứng loại 1 hoặc hệ thông thường.

1) a) x+1+ 4−x+ (x+1)(4−x) =5, b) x+3+2 30+7x−x2 =11+ 10−x

2) a) 3 24+ +x 12− =x 6 b) x325−x x3( +325−x3) =30, c) 4 x+ 417− =x 3

Chú ý: Khi gặp pt dạng: F f x( ( ),n a f x+ ( ),m b f x− ( )) =cthì ta đặt

u= a f x v+ = b f x− và đưa pt trình đã cho về hệ và giải hệ tìm u,v

1) a) x+ 17−x2 +x 17−x2 =9 b) 3 (2−x)2 +3 (7+x)2 −3 (2−x)(7+x) =3

c) 41−x +4 x+15 =2 d) 313+x+3 22−x =5 e) 4 57−x+4 x+40 =5

2) a x)3 − +2 x+ =1 3,b) 23 − +x x− =1 1,c) x2 + x+5=5,d)x4 + x2 +2010 =2010

Loại 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng

Trang 3

°Phương trình chứa căn bậc 2;3 và luỹ thừa bậc 2;3.

{ }

n =c dx e+ +αx+β n∈ ; d ac= +α,e bc= +β

Cách giải:

Đk: ax+b 0≥ nếu n=2

Đặt n ax+b =dy e+ ; đk dy+e≥0 nếu n=2

Pt đã cho chuyển thành hệ đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng

1) x2−2x=2 2x−1, 2) x2 = +2 2−x

3) 4x2+ −5 13x+ 3x+ =1 0 4) x3 + =1 2 23 x−1

1) x2 +4x= x+6

2) x2 −4x= 2x+5

3) x2 −4x− =3 x+5

4) 8x2 +8x+ =1 x+1

5) x3 + =2 3 33 x−2

6) 8x3 +53x=36x2 + 3 3x− +5 25

Dạng 4: Nhân liên hợp

Chú ý: *) Khi nhân với một biểu thức khác 0 thì ta nhân tự nhiên mà không xét thêm điều kiện gì.

*) Nếu biểu thức đó không biết dấu thì ta phải xét trường hợp biểu thức đó bằng 0 có nghiệm thoả mãn phương trình hay không? Khi biểu thức đó khác không thì ta nhân vào hai vế hay vào tử số và mẫu số

*) Các công thức liên hiệp:

TT Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích

2 3 A+3 B 3 A2 −3 AB +3 B2 A+B

3 3 A−3 B 3 A2 +3 AB+3 B2 A−B

1)

5

3 2

3 1

x

x , 2) 3x2−5x+ −1 x2− =2 3(x2− − −x 1) x2−3x+4

2 2

4

x x

x

− =

+ +

1) 9( 4x+ −1 3x−2)= +x 3 2) 2x−3− x =2x−6 , (x =3)

3)

4

4 6 2

2 4

2

2 +

−

=

−

+

x

x x

3

x = ∨ =x ); 4) 2 1+x( 1+ − =x 1) x, (x=0)

3

x

x+ − − =x −

, ( 1; 1; 7)

x = x = x = 6) 2 1+x( 1+ − =x 1) x, (x=0) 7) x+ +3 2x− = −1 4 x,(x=1) 8) 2 1

1 1

3

x= ∨ =x )

Dạng IV Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến:

Trang 4

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2+αuv+βv2 =0 (1) bằng cách

Xét v≠0 phương trình trở thành:

2

0

v= thử trực tiếp

*) Phương trình dạng : a A x ( ) +bB x( ) =c A x B x( ) ( )

*Cách giải: Đặt

( ), ( ) , U 0, V 0

aU

bV cUV

*Chú ý các đẳng thức :

x + = x+ x − +x

x + = x − x+ x + x+

4x + =1 2x −2x+1 2x +2x+1

1) 2(x2+2) =5 x3+1, 2) 2x2+5x− =1 7 x3−1, 3) x2 +2x+ =4 3 x2 +4x

3

1) 2 x −3x+2 =3 x +8 2) 5 1+x =2(x +2) 3) 10 x + =8 3 x − +x 6

Dạng V: các bài toán đặt ẩn phụ vẫn còn x.

Ta lưu ý có những phương trình khi ta lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp Khi đó ta lựa chọn một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác

Hướng 2: Thử để pt ở dạng:”chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn còn x” Trong hướng này ta được một phương trình bậc 2 theo ản phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một biểu thức bình phương

Bài tập: Giải phương trình:

1) x2 +2(x−1) x2 +x+1−x+2=0 ; 2) 2(1−x) x2 +2x−1=x2 −2x−1

3) x2 +3x+ =1 (x+3) x2 +1 4) (4x−1) x2 +1=2x2 +2x+1

Bài tập về nhà: gải các pt sau:

1) 2x2 −(2x−3) x2 −x+1−4x+3=0 , 2) x2+ −(3 x2+2)x= +1 2 x2 +2

3) 5x3 +3x2 −10x+4+2(2x−3) 5x3 −4 =0; 4) 3 3 3 1

5) (x+1) x2−2x+ =3 x2+1

DạngVI: Phương pháp đánh giá 2 vế; dùng bất đẳng thức

+ BĐT Côsi: Cho 2 số thực dương a, b: a+b≥2 ab Dấu “ = “ xẩy ra ⇔a=b

+ BĐT Bunhiacôpxki: Cho các số thự a1,a2,b1,b2: ( ) ( )( 2)

2

2 1

2 2

2 1

2 2 2 1

1b a b a a b b

Trang 5

Dấu “ = “ xảy ra

2

2 1

1

b

a b

a =

+ Xét PT dạng: VT = VP

Nếu VT ≤m≤VP thì PT







=

⇔

m VP

m VT

Nếu VT ≥m≥VP thì PT







=

⇔

m VP

m VT

Bài tập:

Bài 1: Giải PT x−2+ 4−x = x2 −6x+11

Bài 2: Giải PT x2 +4x+5+ 2x2 +8x+17 = 15+2x−x2

Bài 3: Giải PT x2 −2x+5+ x−1=2

Bài 4: Giải pt 4x− +1 4x2 − =1 1

Bài tập về nhà: Giải các pt

1) 3x2 +6x+ +7 5x2 +10x+14 = −4 2x x− 2

2) 2x−3+ 5−2x−x2 +4x−6=0

3) x2 −4x+ =6 2x2 −5x+ + −3 3x2 +9x−5

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

CÁC DẠNG CƠ BẢN :

•







<

≥

⇔

<

B A

0 A B







>

≥

⇔

>

B A

0 B B











<

>

≥

⇔

<

2 B A

0 B

0 A B

A

•











≤

≥

⇔

≤

2 B A

0 B

0 A B













>

≥







<

≥

⇔

>

2 B A

0 B

0 A B













≥

>







≤

≥

⇔

≥

2 B A

0 B

0 A B

Bài tập: Giải các bpt sau:

1) a) 2x2+ − ≥x 3 x2−2x 3− b) 2x2 +x+3> x2 +x−2

2) a) x2+ −x 12 8 x< − b) 5x x− − ≤ +2 6 3 2x

3) a) x2−3x 10 x 2− > − b) x2+ − ≥ +x 6 x 2

4) a) (x 3)(8 x) 26− − + > − +x 11x2 b) x2−4x 6− − 2x2−8x 12 0+ ≥

5) 7x+7+ 7x−6+2 49x2 +7x−42 <181−14x ( KTQD-1999)

2 2

x x

+ < + + ; 7)

2

1 1

x

+ + ; 8) (x2 −3x) 2x2 −3x− ≥2 0

Trang 6

Bài tập về nhà: Giải các bpt:

1) a) x2 − x+2 ≤ 2x2 −7x+6 b) x2 + x−4 < 2x2 −2x

2) a) x2 +x−20−x<5 b) x2 −x−6−x≤2

3) a) (x+5)( x+4) >4(x−1) b) (x+1)(4−x)>x−2

4) a) x2 −2+4 x2 − x+3 > x b) x2 − x+5+3 x2 − x+5<4x

+ − ≤ + − b) 324+ +x 12− ≤x 6

6) a) 2 2 2

2 1 1

x

+ − b) (2x−2) 2x− ≤1 6(x−1) c)

3

2

MỘT SỐ BÀI TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH TỪ 2002-2009 1) Giải pt: 2 33 x− +2 3 6 5− x − =8 0 (Khối A-2009)

2) Tìm m để pt sau có nghiệm:

2 4

3 x− +1 m x+ =1 2 x −1 (ĐH Khối A_2007)

3) 2x− +1 x2 −3x+ =1 0 (x R)∈ (Khối D-2006)

4) 5x− −1 x− >1 2x−4 (Khối A-2005)

5) 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4 (Khôi D-2005)

6)

2

3

x

7) (x2 −3x) 2x2 −3x− ≥2 0 ( Khối A-2002)

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	555 KB