PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn.
Trang 1Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
xdx= d x = d x ±a = − d a−x 6 2 (cot ) (cot ) ( cot )
sin
dx
3 sinx dx= −d(cos )x = −d(cosx± =a) d a( −cos )x 8 x ( ) (x x ) ( x)
e dx=d e =d e ±a = −d a−e
4 cosx dx=d(sin )x =d(sinx± = −a) d a( −sin )x 9 dx d( ) (lnx d lnx a) d a( lnx)
cos
dx
dx d ax b d b ax
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
x
x
=
+
∫ b) I2=∫x(1+x2 10) dx c)
2
1
x dx I
x
=
+
∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( )
2
ln
x
du
d u u
=
(ln ) ln
2
1
du
d u u C u
x
= = +
+
∫ ∫
b) Sử dụng các công thức vi phân
2
1
1
n n
x
u
u du d
n
+
11 2
2
1 1
x
c)Sử dụng các công thức vi phân
( )
3
2
x
du
d u u
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I4=∫x 1−x dx2 b) 5
dx I
x
=
−
∫ c) I6=∫ 5 2− x dx
02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
2
1
1
n n
x
u
u du d
n
+
3 2
4
1
x
b)Sử dụng các công thức vi phân
( )
2
du
d u u
1
2
du
d u u
dx
=
c) Sử dụng các công thức vi phân
1
1
n n
u
u du d
n
+
2 6
5 2
2 5 2
x x
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
2
5
x
x
=
−
(3 2 )
dx I
x
=
−
3
9
ln x
x
=∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
4
1
1
n n
x
d n u
− +
4
4
1 3
4
x d
x x
x
−
3 2 1
x dx
x
−
−
c) Sử dụng công thức vi phân dx d( )lnx
9
4
x
Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
dx
I
x
=
−
x
Lời giải:
a) Ta có
2009 2010
x dx
−
−
b)Sử dụng các công thức vi phân
( )
( )
2
u du d u dx
d x x
=
2
Trang 3Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
c) Sử dụng các công thức vi phân ( )
u du d u
= −
3
3
2 12
Ví dụ 5: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cos
x
x
=∫ c) I15=∫sin4xcosx dx
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân ( )
( )
u du d u
x dx d x
=
u du d u
x
=
cos
x
−
−
c)Sử dụng các công thức vi phân
( )
1
1
n n
x dx d x u
u du d
n
+
+
5
5
sin
5
u
=
Ví dụ 6: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 3cos
x dx I
x
= +
∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
ln
du
u C u
= −
∫
16
cos sin
xdx
3 2
2 sin 4
18
x dx
+
Ví dụ 7: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2 cos
2 5sin
x dx I
x
=
−
∫ b) 20 cos
x dx
I =
−
Lời giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
1
xdx d du
d u u
=
= −
x dx
x
−
−
2
xdx d du
d u u
=
=
Trang 4Ta được ( ) ( ) ( )
20
x dx
c)Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
cos sin
2
xdx
u
∫
cos sin
x
21
Ví dụ 8: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 22 tan2
cos
x
x
3
tan cos
x
x
cos 2
x
x
+
=∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
2
2
tan cos
2
dx
x u
=
∫
b) Sử dụng các công thức
2
2 2
tan cos
1
1 tan cos
dx
x
x x
23
c)Sử dụng các công thức
2
2
u
∫
+
24
Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 25 cot2
sin
x
x
cos
x
x
π cos
2
x
x
=
+
∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
2
2
cot sin
2
dx
x u
∫
Trang 5Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
b) Sử dụng các công thức
1
1
n
n
du u
C
− +
− +
−
−
c) Sử dụng các công thức
( )
2
π
2 1
x dx d x
du
C
+ = −
= − +
∫
Ta có
cos
2
x
−
+
Ví dụ 10: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 28 3
x
e
x
tan 2
cos
x
e dx I
x
+
=∫ c) I30=∫x e 1−x2dx
d) I31=∫ecosxsinx dx e)
2 ln 3
32
x e
x
+
=∫
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức 2 ( )
dx
d x x
e du e C
=
∫
3
2
x
cos
dx
x
e du e C
∫
x
+
c) Sử dụng các công thức 1 ( )2 1 ( 2)
1
e du e C
∫
I =∫x e− dx=∫e− x dx= − ∫e− d −x = − e− + C →I = − e− +C
d) Sử dụng các công thức sin (cos )
x dx d x
e du e C
= +
I =∫e x dx= −∫e d x = −e + C →I = −e +C
e) Sử dụng các công thức ( ) (ln ln )
dx
x
e du e C
∫
32
x
+
Vậy
2 ln 3
2 ln 3 32
1
2
x
x e
x
+
+
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Trang 61 Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
I =∫x − x dx=
I =∫ x + x dx=
2 4
3 2
xdx
I
x
−
∫
1 5
x
x
−
∫
4
3
2 3
x
x
+
∫
•
2 3
xdx
I
x
−
∫
I =∫x − x dx=
I =∫x + x dx=
9
x
I =∫xe− + dx=
•
4
x
e dx
I
x
=∫ =
2
x
I
x
=∫ =
• 12
3
dx
I
+
∫
2 Vi phân nhóm hàm lượng giác
I =∫ x xdx=
I =∫ x xdx=
• I3 =∫sin 3cosx x+2dx=
I =∫ x − xdx=
2 5 cos
xdx
I
x
+
∫
1 3cos
xdx
I
x
−
∫
•
cos
1 2 sin
xdx I
x
−
∫
Trang 7Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
7 2 cos 2
xdx I
x
−
∫
sin 3
1 2 cos 3
xdx I
x
+
∫
3cos
xdx
I
x
=∫ =
cos
xdx
I
x
=∫ =
I =∫ x e − dx=
I =∫ x e − dx=
sin
x
e
x
−
=∫ =
dx I
−
∫
3 Vi phân nhóm hàm mũ, loga
x
x
e
e
−
∫
3
1 5
x
x
e
e
−
∫
•
2
1 3
x
x
e
e
−
−
−
∫
• I4 ln x3 dx
x
=∫ =
1 5 ln
dx
I
−
∫
•
2 3ln
dx
I
+
∫
2
ln
1 4 ln
xdx I
−
∫
Trang 8BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1
x
x
=
+
x
=∫
cos
x
x
I =∫ x xdx
7) 7 2
5
x
x
=
+
dx I
x
=
−
∫ 3) I9=∫ 5 2− xdx 10)
3
10
ln x
x
11 x
12 sin cos
I =∫ x xdx 13) 13 sin5
cos
x
x
=∫ 14) I14=∫cotx dx 15) 15 tan2
cos
x
x
=∫
16)
tan
cos
x e
x
x e
x
=∫ 18) I18=∫x x2+1dx
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫ 20) I20=∫x2 x3+5dx 21)
2
1
x dx I
x
=
+
∫
I =∫x −x dx 23) I23 =∫cosx 1 4sin+ x dx 24) 2
I =∫x x + dx
I =∫e x dx 26) 2 2
26 x
I =∫x e + dx 27) 27 sin
1 3cos
x dx I
x
= +
28) I28 =∫x e 1−x2dx 29) ( sinx )
2 ln 1
30
x e
x
+
=∫