Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Xét nguyên hàm của hàm phân
Trang 1Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )
( )
P x
Q x
=∫
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số
II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng ( )
( )
2
2
( ) ( )= + → =
+
ax b
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
( ) 2
1
1
= − +
∫
dx d ax b a
du
C u u
Nếu
( )
( )
( )
+ + −
ax b n
( )
1
−
bm n
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải
Chú ý:
Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt
t b x
dt adx
−
=
= + →
=
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2 2
dx
I
=
− +
dx I
= + +
dx I
=
Hướng dẫn giải:
−
+
−
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 4 22 1
x
−
=
+ +
2
x
−
=
x
−
=
∫
Hướng dẫn giải:
04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 2a)
Cách 1:
Đặt
= −
4
x
+
Cách 2:
2
1
2
−
2
2
b)
( ) ( ( ) )
2
d x
+
=∫ + + =∫ − + + =∫ − ∫ + = − ∫ + = + + +
c)
Cách 1:
Đặt
5( 4)
3
t t
x
dt dx
+ +
−
=
6
Cách 2:
−
6
TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm
( )
−
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau
( )
1
1 arctan
∫
dx d ax b a
C
u a
Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau:
β
b
Trang 3Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
α β
−
b
a
2
α
β
ax b
a
x
−
∫
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2
dx
I
=
+ +
dx I
= + +
dx I
=
∫
Hướng dẫn giải:
a)
d x
b)
arctan 2 1
d x
+
c)
d x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 4 23 5
x
x x
+
=
+ +
x
−
= + +
4
2
x x
−
= + +
∫
Hướng dẫn giải:
+
2
2
x x x
x
+ +
2 2
1
d x
x
x
+
∫
4
x
1
4
−
( ) ( )
2
2
5
Trang 4c)
3
25
32 2
−
2
2
6
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán
là xử lý mẫu số
Nếu
( )( )
2
2
2 2
2
arctan
α 1
∫
∫
ax bx c a x x x x
a x x x x
ax bx c
du
u u
III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy)
( ) ( ) ax
( )
Q x x x x x x x
Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên
Chú ý:
Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của
mẫu số
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
dx I
=
2
1
x x
x x
+ −
=
−
2
x x x
=
+ −
∫
Hướng dẫn giải:
a)
I
Ta có
1 5 0
1
30
1 6
A
A B C
C
= −
= + +
⇔ = − + ⇔ =
=
Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán, suy nghĩ:
Trang 5Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
1
+ − −
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b)
1
x x x
x x
−
Cách 1: Ta có ( )( )
2
2
6
2
5 2
A
A B C
A
C
= + +
=
∫
Cách 2:
2
2 1
x x
+ −
−
3 3
x x
−
−
Từ đó ta được 2 2 ln 3 ln ln 1 1ln 1
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!
c)
2
Với
2
2
x x x
x x x
+ −
Ta có
2
2
7
2
A
A B C
A
C
= + +
∫
Vậy
2
3
x
I = − x− x + x− + x+ +C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
x
−
=
+ +
x
+
= + +
2
x
+
= + +
∫
Bài 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
Trang 6a)
2
− +
=
− +
2
+ +
=
− +
x
−
=
− +
∫
Bài 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
x
−
=
− +
2
x
x x
+
= + +
dx I
x x
=
− +
∫
Bài 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
4
x
x x
−
=
− +
x
x x
+
= + +
1
x
x x
+
=
− +
∫
Bài 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
( 1)
dx
I
x x
=
−
( 1)( 9)
x
+
=
2
1
x x
+ +
=
∫
Bài 6: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
(1 )(4 )
x
+
=
( 4)
x
x x
+
=
−
2
( 1)( 2)
x
=
∫