Mối quan hệ giữa đạo hàm, vi phân và nguyên hàm

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203 @ gmail.com Nhom III.. Phương pháp chủ yếu là phương pháp phân tích hay còn gọi là phương pháp kinh nghiệm “mò thôi ©” Phương pháp phân

Trang 1

Gido vién: Nguyén Thanh Long Email: Changngoc203 @ gmail.com

MOI QUAN HE GIU'A DAO HAM - VI PHAN - NGUYEN HAM

NGUYEN THANH LONG CAO HOC TOAN - DH TAY BAC

Son la: 6 — 12 — 2012

“Phương pháp là thầy của các thầy”

——

= pm HAM ]

VI PHAN ]

———==—=œ

MỘT SÓ CHÚ Ý KHI TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Nhom I Ham liy thira Nhom I Ham liy thira

n+l

4.|—|=-— Đ= 4 fH #2 =|xz?#=—— = frru-—tie

Nhóm HH Hàm lượng giác

5 (sin x) = COs x

6 (cosx) = sin x

7 (tan x) =

cos~ x

8 (cot x) =— 5

as [cos xdx =sinx+C

6 [sin x.dx =—cosx+C

a | : 2 dx = | (1+tan’ x).dx =tanx+C COS XxX

8 j= —dx = | (1+ cot? x)dx =—cotx+C

Trang 2

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203 @ gmail.com

Nhom III Ham mi va logarit

9 (e*)' =e

Nhom III Ham mi va logarit

0 fedr=e' +C

10 (a')'=a'.Ina 10, fa “de = 24 C

na

I frtde= J =In]+c

15, [s4 =-e*+C

©+@=02+6 Lam cách nào để nhớ đây, rất đơn giản

Cách 1: Theo chiều thuận (từ đạo hàm suy ra nguyên hàm) tức là để tìm nguyên hàm bên phải suy ra đạo

hàm bên trái theo quy tắc

Từ bảng đạo hàm chuyển sang bảng nguyên hàm ta chỉ việc “chia cho hệ số của chúng ở bên về phải của đạo hàm và cộng thêm hắng sô C” ta sẽ được bảng nguyên hàm

| Hé so la (n+1) nam trén tir

Đạo hàm (x"*")'=(n+1)x"

Khi chuyển sang nguyên hàm

|x'4=

n+l

X

+C n+l

z ` ~ \

Hê A ` x ze A

ệ sô là (n + 1) năm dưới mâu |

a

Điều này cũng dễ hiểu bởi vì theo tính chất của nguyên hàm ta có i; f'(x)dx = ƒ(x)+C và

[#(x)+x=k[ 7x)“

Ta sẽ chứng minh f x"dv =—

n+†

n+l

+C That vay từ công thức (x —= )'= =(n+1)x" lay vi phân và nguyên hàm hai

n+l

về ta được ti - D [( x") ae [ga oS +C= [ga (dpem)

(n+])

| Hệ sô là Ina nam trén tử

Đạo hàm (z' )' =a’.lna

Khi chuyén sang nguyén ham

x

+C

[a‘dx = a

Ina

Hệ sô là Ina năm dưới mâu

Trang 3

Ching minh tuong tự

Cách 2: Theo chiều ngược (từ nguyên hàm suy ra đạo hàm) tức là để tìm đạo hàm bên trái suy ra nguyên hàm bên phải theo quy tắc

Từ bảng nguyên hàm chuyển sang đạo hàm ta chỉ việc “đạo hàm bên trái của nguyên hàm” sẽ ra được đạo hàm

Thật vậy: Theo định nghĩa nguyên hàm | ƒ (x)dx = F(x)+€ ta có [Ƒ(x)+€ |'= ƒ(x)

n+l | im |

Vi du: ~ 40} =x" ; - —+C| =z'"

n+] Ina

Chú ý:

Khi tìm nguyên hàm hoặc tính tích phân mà gặp một số dạng “đặc biệt” của hàm lũy thừa

—n+l

L[#=[xk= ST” sce

x —n+1 (n—1)x"

m m+n

x" +C

m+n

—+l

“nh

3 [Unde = [xtde=* 40-46

nN

dx —— x -_

4 [oe= Js OTT ae Xx a

n

5 eel” mama +C

n

Nhờ công thức hàm số mũ mà ta đều đưa được về dạng + 1 và sử dụng bảng nguyên hàm

AP DUNG BANG NGUYEN HAM DON GIAN LAM MOT SO BAI TAP SAU

1 Phương pháp chủ yếu là phương pháp phân tích hay còn gọi là phương pháp kinh nghiệm “mò thôi ©”

Phương pháp phân tích thực chât là việc sử dụng các đông nhât thức đê biên đôi biêu thức dưới dâu tích phân

thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ

bằng các phép biến đổi đơn gián đã biết

Phương pháp chung:

Bước I: Biến đổi ƒ (x) về dạng:

ƒ(x)=}È,ø,/.(+) với ƒ (x) có nguyên hàm trong bảng công thức và ơ; là các hằng số

¡=l

Bước 2: Khi đó: [ Fodde =f Ya, f,ddv = Ya, fod

Trang 4

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203 @ gmail.com Mot so ki thuat phan tich:

1 Nhân phân phối: (a + b)(c — d) = ac — ad + be — bả

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm f (x) = x(x+ 1) (x +2)

Giai:

Sử dụng kĩ thuật nhân phân phối ta có ƒ(xz)=x(x+l)(x+2)=+Ì +3x”+2z

Khi đó [fax = He +3x7 + 2x)dx = [‡š&+3[x?ax+ 2 xdx => # +x tC

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm ƒ (x) = (Vx + 1) (x-vx +1)

Sử dụng kĩ thuật nhân phân phối ta có f (x) = (Vx+ 1)(x-Vx +1) =aNx+l

Khi đó [76)x=[WE+l)=[sVNk+ [de [2+ [=2 +x+c

2 Khai triển các hằng đẳng thức (A + B) =A +2AB+B’,

(A+B) =A? +3A°B+3AB +B’

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm ƒ (x) = ls _]

x

, = ¥ , , ⁄ 2 2 F 12, 4

Sử dụng hăng đăng thức thứ 2 ta có /(x)=[sx _] =0x——+—

x X X

Khi đó [/(s)&= |» 2S av 9f stas—12f Saf tas = 2 -12n|~= ;+€

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm f (x)= tan’ x

cos’ x

Khiđó [/(x)2x= [[ : 2 -1 r= f = ~ | dx= tanx—x+C

COS’ xX COS Xx

1

„7 2 SIn x+coS" x

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm ƒ (x) =

Sử dụng kĩ thuật thêm bớt 1 = sin” x+cos” x ta có

cac 1 3 sin? x+ cos’ x „2 2 i 2 Lực l 2

Trang 5

Khi đó [ /(x)4x= [[ bgt ¬ of

cos? x sin’x cos” x

a) sin* x

4 Nhân liên hợp: 4A ++/B “~›-VJA +XB, A + 1B “1504 FVAB+YB

l

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm ƒ (x)

Giải:

Sử dụng kĩ thuật nhân lượng liên hợp

Kết hợp với bảng nguyên hàm mở rộng (xem phần sau để biết thêm chỉ tiết)

Khi đó

ff (x)de=4 f (Vee + Ve—2) de =f Jie Bde + +f Veda = 4.2 (242)? +4 2(x—-2)7 +

5 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của ham lượng giác

Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)

Chú ý:

Kĩ thuật phân tích thành tổng đối với hàm phân thức dựa vào tính chất

q +a icc Fa a a a Ẩ re A RK , AK ° ` ~ `

lS ,a" = qlạm (ab)" = Ăn p" | —| =—, (a) = qi

a” b b"

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm ƒ (x) = hàm Xx

Giai:

1

Ta có Age eg ax Ị

a, er x

2 2 of go 62 git

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm ƒ (x)= Z l

Giải:

Trang 6

x x xX

e e e e

Khi đó [ ƒ(x)dx = | (2) -e +=[Í#] &- e"*ẩx =

2 e

BÌ

inf >| e* (In2-1) e* (In2-1)

e

(x* +4)

Vi du 3: Tìm nguyên hàm ƒ (x) =

2

X

Ta có fal 2 ) 2 “ wR =a 48x? 29

X

7

Khi đó J6) = Í[* + 8x" +i )a = [xldx+8[x?dx+ 16[ x dx = Sox +4 C

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm ƒ (x) = sin 5x.cos 3x

Ta có ƒ(x) = sin 5x.cos 3x = [sin (5x —3x)+ sin (5x+ 3x) | = 5 (sin 2x + sin 8x)

Kết hợp với bảng nguyên hàm mở rộng (xem phần sau để biết thêm chỉ tiết)

Khi đó J6)“ = [2(sin2x+sin8x)d: =2 [sin2adv+2 [sin8xdx =

22 28 4 4

TIM HIEU VE PHUONG PHAP DOI BIEN SO (BIEN DOI SO)

I Nội dung của phương pháp đổi biến số

Khi tìm nguyên hàm của | f (x)dx ma ta phân tích được thành Ƒs (v(x))v '(x) dx, thi ta tién hành các

bước sau

Bước 1: Đặt í = v(x)

Bước 2: Biểu thị ƒ (x)dx theo t và dt: ƒ(x)dx = g(£) đi

Bước 3: Tính nguyên hàm J g (t)dt

Il Ý nghĩa

Trang 7

Giáo viên: Nguyễn Thành Long ; _ Email: Changngoc203 @ gmail.com Cũng giông như phương pháp đặt ân phụ thì phương pháp đôi biên sô chuyên từ nguyên hàm của một hàm phức tạp sang một hàm đơn giản theo ấn phụ sau đó sử dụng phương pháp phân tích và bảng nguyên hàm Chu y 1:

Biéu thite v '(x) có thể xuất hiện ngay trong biểu thức dưới dấu nguyên hàm hoặc đôi khi ta phải sử dung

phương pháp nhân trên tử hoặc tách thành tích thì mới thấy được

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm [ cos’ xsin xdx

Thì biểu thức xuất hiện ngay trong biểu thức dưới dẫu nguyên hàm khi đó v'(x) = sinx còn biểu thức

8 (s(x)) = cos’ x

3

Vi du 2: Tim nguyén ham ay

rx

Thi biéu thire v'(x) chưa xuất hiện ngay trong biểu thức dưới dâu nguyên hàm mà ta phải tách x` = x”.x khi

2

X

dé v'(x)=x con g (v(x)) =———

(1 +x? )

Chú ý 2:

Khi biểu thị ƒ (x)dx theo t và dt ở trong bước 2 học sinh cứ tưởng nhằm là tính ƒ(x) theo t và dx theo

dt, nhưng thực chất không phải như thế, ta quan sát hai học sinh làm như sau

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm [cos’ xsin xdx

Dat t = dt = —sin xd —dt = sin xd:

Dat*t = cos *=> dt = —sin xdx >= of = de » Du SLRS is ABI ĐANg

sin x Khi đó

đi [co xsin xảy =—| đt =—=—+C=-~ +C

sin x

3

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm [xa +x°)? dx

Trang 8

HỌC SINH 1 HỌC SINH 2

Df SUE at =e ee De B= she) Sak “28a ae

x

= lr: đ 1g- = les 12:

Khi đó [zd+x”) de => [Px | dt Khi do [xd+x) dx It dt “a +C

5

+C=2(14x") +C

5

1 0x5

==(l+x)?+C 5 )

t

Qua hai ví dụ trên ta thấy về mặt hình thức thì cách làm của hai học sinh trên đều ra cùng một đáp số nhưng với

“HOC SINH T1” có nhằm một chút đó là khi chuyển sang | g(t)dt thi trong biéu thitc cha g(t) phai khong chira x, con voi “HOC SINH 2” làm như thế đúng về bản chất cũng như ý nghĩa của phương pháp đổi biến số Vậy từ hai ví dụ trên ta đưa ra một kết luận là khi sử dụng phương pháp đổi biến số thì cần căn cứ vào

biểu thức dưới dấu nguyên để từ đó tính dt theo dx hoặc dt theo dx Chính xác nhất là ta tính dt = v'(x)dx

Chú ý 3:

Khi đặt theo t học sinh phải hiểu rõ mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

Cho hàm số y = ƒ(x) khi đó vi phân hai về ta được dy = đ[ ƒ (x) |= f'(x)dx

Ví dụ: Khi ta đặt ? = (1+ +”) > dt =d(1+.x°) = 2xdx Vay ta chi cần năm được bảng nguyên hàm và các tính

chất của nguyên hàm là lấy vi phân một cách ngon ơ

Chú ý 4:

Khi đối biến số ra được nguyên hàm của biến số t ta phải thay đó bằng biến số x, vì ta đang tính nguyên

hàm của hàm x

Chú ý 5:

Khi đồi sang biến số t ta sẽ áp dụng bảng nguyên hàm của hàm số x vì ta có tính chất

Ỉ f (x)dx= J f (t)dt (nguyén ham khéng phụ thuộc vào biến) Từ đó ta cũng được bảng nguyên hàm của hàm

số t đơn giản

Nhóm I Hàm lũy thừa Nhóm L Hàm lũy thừa

Trang 9

Nhom II Ham lượng giác

3 [cosxdx =sinx+C

6 [sin x.dx =—cosx+C

2 } ce [d+ tan? x).dx = tanx+C

cos’ x

8 j= — d= | (1+ cot! x)dx =—cotx+C

Nhom II Hàm lượng giác

J, [cos t.dt =sint+C

6 [sinear =—cost+C

® | 7 dt = | (1+tan’ 1).dt = tant +C cos’ t

8 Jana = [(1+cot” t)dt =—cotf+C

Nhom ITI Ham mi va logarit

9 (e*)' =e

10 (a°)' =a’.lna

11 (nz)'==

x

12, ie) =-£”

Nhom III Ham mũ và logarit

0, [eat =e' +C

£

10 [zZœ=-—+€C

Ina

H1 [r'dr= ƒ“=mll+c

12, Je‘ar =-#' +C

HI Dấu hiệu nhận biết:

Khi nào thì dùng phương pháp đổi biến số Ta xét một số trường hợp đơn giản sau

DẦU HIỆU NHẬN BIẾT

A Đôi với hàm hữu tỷ và vô tỷ

1 ff" )x"dx

1

2 | f(ve)} ode

3 | ƒ(ax+b}h

4 j[*+sÌ*}2

CHON DAT AN PHU

A Đôi với hàm hữu tỷ và vô tỷ

1, Đặt t=x"" => Ag sax

(n + 1)

2 Dat t=Vx => 24t =—ảr Js

dt dx

3 Dat t=ax+b>—=

a

4, Da t=x+t-—>dt= ` [1 Jac

B Đối với hàm lượng giác:

Ds | f[cos(ax +b) | sin(ax+b)dx

6 [Z[sin(ax+b) |eos(ax+b)dx

B Đối với hàm lượng giác:

5 Dat t =cos(ax+b)> _ = sin(ax +b) dx

a

6 Dat t =sin(ax+b) => & =cos(ax+b)de

a

cos x

sin’ x |,

7 | , |sin 2xdx cos” x —dt = sin 2xdx

sin’ x dt = sin 2xdx

7 Đặt t = —

Trang 10

9 | f [cot (ax+b) ] = fast) y 9, Đặt = cot(ax+b) = dụ = "miaane

10 [ƒ(sinx+eosx)(sinx—cosx)dv | 10 Đặt r=(sinx+ cosx) => ~di = (sin x— cosx)dx

C Đôi với hàm số mũ là logarit: C Đôi với hàm số mũ là logarit:

1 J f(e"") eax 11 Dat r=" = = = de

Làm sao để nhớ tất cả các dạng

trong bảng đề áp dụng đối biến số

đây hic hic nhiều quá ® He He

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x)=xv1- x

Giai:

Nguyén ham cua ham số là [7 (x)dx = [vl — x’ dx

Ta thay (1-x°)'=-2x từ đó ta đặt như sau t =1—x° ==-2xdy = — =adh

3

Khi đó la "¬` _ +€=-2(I=+`} ft

Ị

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ(x)=——————

ce`+e”+2 Giải:

Trang 11

Ta có f(x) =— — = Ị == e - = e

et+e*+2 Foes e* + 2e* +1 (e +1)

Zz

Ä ĐA + LS k 4s e

Nguyên hàm của hàm sô là [7 (x)dx= [——=w

(z' + 1) Nhan thay (e" + 1)' = e` nên ta đặt f = e` +l — dt=e'dx

LIN l 1

t t e +]

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x) = cos” xsin x

Giải:

Nhận thấy (cos x) '=—sin x

Dat t = cos x => dt = —sin xdx => —dt = sin xdx

4

cos +C

4

Khi đó [ cos’ xsin xdx= -[#4 = +e =—

Chú ý:

Qua 3 ví dụ trên ta thấy không cần phải nhớ tất các dạng trong bảng sử dụng đối biến số ta chỉ cần nhớ một điều đó là ta chọn một biểu thức nào đó của biểu thức dưới dấu nguyên hàm lấy đạo hàm là ra hàm còn lại

nhân với một hằng số nào đó thì ta sẽ chọn biểu thức đó làm an phụ Tuy nhiên việc chọn được biểu thức đó như thê nào là còn tùy thuộc vào kinh nghiệm của mỗi bản thân

Đôi khi trong biêu thức dưới dầu nguyên hàm lại “mọc ra” biêu thức nào đó không phải là đạo hàm mà lại còn không biêu thị được qua t thì ta làm thê nào

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm là

(I +x AI

51

(14.2 ) (+x}

inn sgn = 2 dt l 7 7 che ks 2 ++Ä +; đi sa Z

Đên đây ta đặt t=l+x° > 5 = xdx Hoc sinh ban khoan khong biét con x° biéu dién thê nào qua t được Có Nhan thay +z y= 2x vay ta phai tach x° = x°.x khi dé Ỉ

biểu diễn được đó từ =l+ x? > x7 =—1 Vậy ta sẽ giải như sau

Giải:

Đặt /=l+xˆ >4 2

x =í/-]

=s|(¢ £`) di Tý re 5 Ie? 2(+3) +

it

Trang 12

Giáo viên: Nguyễn Thành Long

T+ 2x"

1+ x?

Giai:

Tương tự ta tách x`+2x` =xŸ (x + 2) TT (x + 2)x

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm [| —=

x +2x° ở pl +2)x

XI+z7 XI+xz7

Ot _ wis

x°=f-l;x +2=/+l

Khi đó a +2 te = [LM a -

“f1 + x?

Vi du 4: Tim nguyén ham | =——

Ta được |= dx

t

sin 2x +sin x

Vis 3eosx “ Giai:

Tương tự ta tách sin 2x + sin x = 2sin xcos x +sin x = sin x(2cos x+ 1)

Ta được — -Í"“ ¬—='ˆ (2cos.x+1)

V¥1+3cos x XI+3cos+x

aL tn xed Dat t=1+3cosx=> 1

t-

cos x = ——

3 Khi do

`

1

sin 2x + sinx | si =—— Ll p2¢+1 đí =—=—| |22*+t 1 Ta ?

1°

Ví dụ 5: Tì i du 5: Tìm nguyên hàm ên hà pene |——————dx

ve" —-1 Giai:

ở và

Dat t=e*-1l>

e =t+l

Khi đó jee it aan fare fe “OE 'h ca Lae ==(e" i} +4(e` ip

2x

e

Vi du 6: Tim nguyén ham | dx

ve" -1

HD:

Email: Changngoc203 @ gmail.com

+C

12

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	5,36 MB