VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
Nếu hàm f(x) có chứa 2 2
a −x thì đặt
(a sin ) cos
a sin
dx d t a t dt
= →
Nếu hàm f(x) có chứa 2 2
a +x thì đặt
2
( tan )
cos tan
tan
cos
= →
adt
dx d a t
t
x a t
a
t
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2 ;( 2)
4
−
x
c) 3 2 ( )
1
−
x
I x x dx a
Lời giải:
2sin
2 cos
t
b) Đặt
(sin ) cos sin
dx d t t dt
= →
I = −x dx= t t dt= + dt= dt+ t dt= + t+C
Từ
2
arcsin
=
2 2
arcsin 1
1
x
c) Đặt
(sin ) cos sin
dx d t t dt
= →
Khi đó,
2
1
t x
−
−
Từ
2
arcsin
=
2 3
arcsin 1
1
x
d) Đặt
(3sin ) 3cos 3sin
dx d t t dt
= →
Khi đó, 4 2 9 2 9sin 3cos 3cos2 81 sin cos2 2 81 sin 22 81 1 os4
c t
I = x −x dx = t t t dt= t t dt= t dt= − dt
03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 281 1 1 81 1
t
Từ
2 2
2
2 9
arcsin
3
x
x t
Mặt khác,
Từ đó ta được
4
arcsin
x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2 ;( 1)
1
dx
x
+
4
x dx
x
+
∫
Lời giải:
a) Đặt
2
1 tan
dt
t
+
Từ giả thiết đặt x=tant⇔ =t arctanx→ =I1 arctanx+C
b) Ta có I2 =∫ x2+2x+5dx =∫ (x+1)2+4 (d x+ → =1) t x= +1 I ∫ t2+4dt
Đặt
2
2
2 (2 tan )
cos
2 tan
2
cos cos
du
dt d u
u
u
u u
2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
Từ phép đặt
Từ đó ta được
2
1
1
u
+
c) Đặt
2 2
2 (2 tan ) 2(1 tan )
os
2 tan
dt
c t
= →
2
+
Đặt
2 2
2
1 (1 ) (1 )
1
u
= → = ∫ − = ∫ − = ∫ + −
2
du
du du
Trang 3Từ giả thiết
2 3
2
1
x
x
− +
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1
2
1
dx
I
x
=
−
4
dx I
x x
=
−
2
dx I
x x
=
− −
∫
Lời giải:
a) Đặt
2
2
2 2
2
cos
sin
1 cot
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t
x
t
−
−
Từ phép đặt
2 2
1
1 1
1
x
x
− +
−
−
−
b) Đặt
2
2 2
8cot
sin sin
x
t t
x
t t
Khi đó, 2
2
4 sin
sin
t
t
−
−
Từ
2 2
c)
( )
1
2
( 1)
t x
= −
−
Đặt
2
2 2
2
2
3 cos
3
sin
3 3 cot
sin
u du
dt
u
t
u
=
− =
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin 3 cot
3
I
t
−
−
∫
Từ
2 2
3
1
−
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
Trang 42dx 2 1arc tan x C.
∫
2
C
x a a x a
+
∫
2
C
a x a x a
−
∫
dx
x x a C
x a
±
∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1)
2
4
x dx
I
x
=
+
2
1 x
x
−
=∫ 3)
2
4
x dx I
x
=
−
∫
4) 4
2
1
x x
=
−
2
dx I
x
=
−
∫