PP Tinh tich phan va nguyen ham

Trong đó fx là một trong các hàm số sinlnx , coslnx... Tính VD,Ox ; VD,Oy C – leipnitz Niutơn – laipnit chứng minh đẳng thức C n k bằng tích phân: Newton của một tổng nào đó.Tiếp the

Phần I nguyên hàm

A ) Các kiến thức cơ bản :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có , 

1) Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)

2) Công thức tính : hoặc (

Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số)

3) Vi phân của các hàm số thờng gặp :

d(ax+b) = a.dx d(ax3+bx2+cx+d) = (3ax2+2bx+c)dx

d(ax2+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx

d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx

d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(ex)=ex.dx

(eax+b) = a.eax+b.dx d(tanx) = 12

cos x dx

d(cotx) = 12

sin x dx d( x ) =

1

2 x dx

d( ax b ) =

2

a dx

ax b d(ln x ) = 1dx

x

d(

2

1

xdx

x a d(xm+1) = (m+1)xm ( xdx = 1 2

2dx )

4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc f x dx( ) Đó là một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x).Vậy thì (f x dx( ) )’ = f(x) Ta gọi F(x) + C là một họ nguên hàm của hàm

số y=f(x)(Lấy nguyên hàm cộng với hằng số C)

5) Các công thức tính nguyên hàm:

  f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

kf x dx k f x dx( )   ( ) (với k là hằng số)

b) Các dạng bài tập :

Dạng1: Tính nguyên hàm của các hàm số đa thức (áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm)

Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m là hằng số)

1.yx3 2x23x 1 2.yx4 2x2  3.1

4 3 3 2

y

x

 4

3

y

x

x

  6 1 23

x x

Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lợng giác, hàm mũ, hàm logarit

Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số)

7 y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x

10.y= cospx.cosqx 11 y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx

13.y=cos22x 14.y= sin2(3x/2) 15 y= sin3x.cos3x+cos3x.sin3x 16.y=logax + lnx 17

2

x x

y   18

2 lg 2

x

Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đa một biểu thức vào dấu vi phân

19.y=(mx+n)2007 20.y=3x5 2x  21 2 y 1

mx n





22

2 2007

x y



 23 4 3 2

1 2 2

x y





  24 2 3

2

ax b y





25.y=sinx.cospx 26 y=cosx.sinpx 27 lnn x

y x



28 (lnx 1)m

y

x



 29.y=cos5x 30.y=sin7x

31.y=tan2x+ cot2x 32.y=tanx 33.y=cotx

34.y=sin ( 4)



x

35.y=cosx.

2

sin x

e 36.y=x.e x2 1

37. cos sin 2008

(sin cos )

y





 38.y=tan

4x 39 y=tan5x

40 y=(3x+5)10 41 2

x y x



 42 y=x

2 x  3

43 y=sin2x.cos2007x 44 12

os

y

 45

3 4

x y x





46 y=x2.e3x3 47.y=cot3x 48 2007

( 1)

x y

x



 49

y

x



 50

x x

e y e



 51

1 ln ln(ln )

y



****************************************

Phần ii tích phân

A) Các kiến thức cơ bản :

1-Công thức newton – leipnitz ( Niutơn – laipnit ) leipnitz ( Niutơn – leipnitz ( Niutơn – laipnit ) laipnit )

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có công thức ( ) ( )

b

b a a

Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận

2-Tính chất:

2.1-Phép cộng:  ( ) ( ) ( ) ( )

2.2-Phép nhân với một hằng số khác 0: ( ) ( )

2.3-Phép đảo cận tích phân: ( ) ( )

a a

f x dx 



2.4-Công thức tách cận tích phân: ( ) ( ) ( )

cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối)

b) Các dạng bài tập :

Dạng1: áp dụng trực tiếp công thức Newton-Laipnit và các tính chất của tích phân

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1)

2 2

3 1

2

x



 2)

4

4 0

x

3

3 1



 

4)

1

x

 5)

2 2

x

x







 6)

2 2 1

1 ln

x









7)

5

dx I



1

1 0

(3x 5 )x

  9)

1 3 0

10)

1

x x

e dx I

e





 11)

1 2

2 1

4 1

xdx I

x





 12)

1

2 3 0 ( 1)n

Bài 2: Tính các tích phân sau:

13) J sin x.cos3x.dx

4

0

2





0 sin



 15) 4 2

0 tan





16) 2

0

cos2 cos3



 17)

4 4 6 sin

dx J

x





 18) 2

01 sin

dx J

x









19) 4

3

0

sin

cos

xdx J

x



 20)

2 3 3

(sin cos ) sin cos

J











0 sin sin 2





0

cos 2 x



 23) 4 tan

2

0 cos

x

J

x



 24)

2

cos(ln )

e

e

x dx J

x







Bài 3: Tính các tích phân sau bằng cách tách cận tích phân

25)

3

3

2



  26)

4 2 1



   27)

5

0

28)

3

8

8

cot tan





12

4







2 0

* Công thức tính : ( )

b a

* Nhận dạng : Hàm số dới dấu tích phân thờng là tích của 2 loại hàm số khác nhau

* ý nghĩa : Phơng pháp này nhằm đa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt

hàm số dới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dới dấu tích phân)

* Chú ý : Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính đợc v , tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udv .

Ta đa ra cách chọn nh sau:

A, Gặp dạng: P x f x dx( ) ( ) ( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b)

ea x+b , ax) Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx

* Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc)

B, Gặp dạng: x f x dx k ( ) ( Trong đó f(x) là một trong các hàm số sin(lnx) , cos(lnx) ) Thì ta đặt

u = cos(lnx) và dv = xkdx

C, Gặp dạng: P x f x dx( ) ( ) (Trong đó P(x) là ea x+b, ax còn f(x) là sin(ax+b) , cos(ax+b) ) Thì ta đặt u=P(x) và dv = f(x).dx

Chú ý: Trong dạng B và dạng C ta sẽ gặp tích phân luân hồi (sau khi tính hai lần lại trở về tích

phân ban đầu)

D, Gặp dạng: P x( ).lnn xdx.Thì ta đặt u= lnnx và dv = P(x).dx ( Tính n lần)

E, Gặp dạng:  x2 a dx2 Thì ta đặt u = x2a2 và dv = dx

Tính các tích phân sau:

31) 2

0



  ( I  2  4) 32) 2

0 sin



2 1

33) 2 3

0 x



I  e  e  ) 34)

1 0 3x

ln 3 ln 3

35)

2

3 1

.ln

4ln 2

16

I   ) 36)

1 0 sin

x

1

e







37)

2

2.sin(ln )

e

e





3 2 2 5



 ) 38)

1 s(ln )

e



 (I 21(e 1))

39)

3

3 0 sin( )



 (I  212) 40) 2

0

1 sin

1 cos

x











41)

1

2 0

3

1 ln 3 4

1 2 0

1

2

43) ln(sin )2

sin

x dx J

x

cos

x dx J

x

sin

xdx J

x

cos

xdx J

x



47) 3

sin

dx J

x

 1.48))

2 3

cos sin

x

x

 49)I x2 x2a dx 1.50) 1

ln 1

x

x







Dạng3: Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số

A -

Đổi biến số cách 1 : Để tính ( )

b a

f x dx

 ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt.Ta thu đợc tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận )

Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số

Dạng tích phân Có thể chọn Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm chứa g x( ) t = g x( )

Hàm có dạng 1

(x a x b )(  )

t = x a  x b

b - Đổi biến số cách 2: Để tính ( )

b a

f x dx

 ta đặt x= g(t) rồi cũng làm nh cách 1(cách này kết hợp với phơng pháp lợng giác hoá tích phân hàm vô tỉ)

Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số

2 2

 



  

Chứa x2 a2 x=a/cost 3

[0; ) [ ; )

2

Chứa a x

a x





x = acos2t

(0; ) 2

Chứa (x  a b x)(  )

x = a+(b - a)sin2t

0;

2

t  

Bài 4: Dùng phơng pháp đổi biến cách 1 hãy tính các tích phân sau:

51)

1

0

I x x  dx 52)

1

53 2 2 0

(1 2 )

I x  x dx 53) 3

0 sin cos )





54)

1

3 2 10 0

(1 5 )

I x  x dx 55)

1

53 2 2 0

(2 5 )

I x  x dx 56) 5

0 cos sin )





6 0

sin

cos

x

x



 58)

3 4

2 0

sin cos

1 cos

x







 59)I e x e2x 2e x2dx

60)

0 2

x

x





 61)

1 5 2

2

0 1

x

x





 62)

2

x

x







63)

0

1 x

x



 64)

1

x x

dx J





 65)

1

0 x 4 x

dx J







66)

2 3

8

x dx J

x





 67)

1

2 0

2 1

x



 68)

1

0 1 x

dx J

e







69)

2

dx J





 70)

1

2

dx J



7 2 2 2

2 1

x x







Bài 5: Dùng phơng pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau:

72)

1

2 0

I   x dx 73)

2 3

0

4 9

I x  x dx 74)

3 2

dx J

x









75)

1

0



  76)

3 4 2

2

0 1

x

x





 77)

2

2 3

0 (4 )

dx J

x







78)

2

2 3

0 (4 )

dx J

x





 79)

1 3 2

2

0 1

x

x





 80)

2

3 4

a b

a b

dx

x a b x







81)

2

1



  82)

1 3 0

2 2

x

x







 83)

5 2 0

5 5

x

x









C - Đổi biến số ở hàm l ợng giác : Giả sử cần tính tích phân I R(sin ,cos )x x dx, với R là hàm vôtỉ ta có thể chọn các hớng sau:

H

ớng1 : Nếu R lẻ đối với sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx

H

ớng2 : Nếu R lẻ đối với cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx

H

ớng3 : Nếu R chẵn đối với sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx)

H

ớng4 : Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để đa về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

Bài 6: Tính các tích phân sau:

85) cos (1 sin )

2 sin

x







sin cos

dx I

4sin cos

dx I

88)

2 3

cos

sin

xdx I

x

 (t=cosx) 89)

sin 2 2sin

dx I





1 sin 2

I

x









2cos sin

I







 92) sin 2 2

1 sin

xdx I

x





sin cos

dx I

Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ

Ta dựa vào đặc thù của hàm,dùng phơng pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đa nguyên hàm

đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:

1)

1



2)

2 2





2



 thì ta chia tử cho mẫu 3) 4 2 dx

I



 thì ta xét 3 trờng hợp

TH1 : Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì đa về dạng

1



TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đa về dạng 4 2

2

1



I

( )

p x

q x

 nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm nh trên.Nếu ngợc lại thì ta sử dụng đồng nhất thức

Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phơng pháp đổi biến hay tính nguyên hàm từng phần

Bài 7: Tính các tích phân sau:

94)

dx I



dx I



 

I





 

xdx I





98)

3

x dx I



2 2

2



 

dx I



dx I





102)

2

1

x





1

dx I

x





dx I





105)

2 2007 (1 )

x dx I

x





 106)

2 3

1

I

x





dx I





108) (73 4)

I





 109)

3 4





3 2000 ( 1)

x dx I

x







Dạng5: Tính tích phân nhờ tích phân phụ

Bài 8: Tính các tích phân sau:

111) sin

cos sin

xdx I





 112)

4

sin

xdx I





 113)

x

x x

e





114)I sin cos22x xdx 115)I cos sin 22x xdx 116)

x

x x

e







Dạng6:Một số loại tích phân đặc biệt

Khi gặp các loại sau cần chú ý tới cận và hàm số dới dấu tích phân

Loại 1: Nếu hàm số f(x) liên tục và lẻ trên [-a; a] Thì ( ) 0

a a

f x dx





Loại 2: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên [-a; a] Thì

0

a





Loại 3: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên R Thì

0

( )

( ) 1

x k

f x

a







 và a>0)

Loại 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên 0,

2



  Thì



Bài 9: Tính các tích phân sau:

117) 2 2007

2007 2007 0

sin

xdx I







1 4

12x 1

x dx

  119) 2

0

.sin

4 cos

x









120)

2

3 0

.cos



 121) 2

0

1 sin ln

1 cos

x

x









4 0 ln(1 tan )



123)2 3

0

sin

1 cos

x dx x





 124)

1

2

1( x 1)( 1)

dx

   125)2

4 0

sin 2

1 sin

x dx x







********************************

Phần iII ứng dụng của tích phân

A-tính diện tích hình phẳng :

x=a ; x=b(Biết 2 cận tích phân).Ta áp dụng công thức: ( ) ( )

b a

trục tung có phơng trình lần lợt là : y = 0 ; x = 0

126) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thịy2x2  4x 6,trục Ox và x=-2 ; x=4(vẽ hình)

127)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx2 3x y=x-1và trục tung x=0(vẽ hình)2

cos

y

x

sin

y

x

6

3

129)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ysin cos2x 3x trục Ox,Oy và

2

y



 trục Ox; x=1; x=2

131)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx x( 1)(x 2); trục Ox; x=-2 ; x=2 132)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx x( 1)5; trục Ox;trục Oy và x=1

133)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : xy=4 trục Ox; x=a; x = 3a(a>0)

2

x y

x

 trục Ox;

135)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y sin4xcos4x ; trục Ox

2

Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x) và đờng thẳng x = a (Biết 1 cận tích phân).Ta tìm cận còn lại rồi áp dụng công thức (I)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau :

136) y = ex ; y= e-x ; x=1 137) yx 1x2 ; y=0 ; x=1 138) yx2ln(1x3) ; y= 0 ; x=1

139) y x ;y = - x; x = 5 140) y = ex; y= (x+1)5; x = 1

Loại 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x);y =h(x)(Cha biết cận).Ta giải các phơng trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân(Ta nên vẽ

cụ thể đồ thị 3 hàm số).Căn cứ đồ thị để tính diện tích từng phần rồi cộng lại.

141) x y ; x+y-2=0, y = 0 142) yx2;y4x2;y = 4 143) y x ;y = 2- x; y= 0

144) yx2 2x ;2 yx24x ;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y5 2=2x 146)y=x+3;yx2 4x3 147) 2x y2 ; 8(x 1)3 27y2 148) 2xy2;(4 x)3 y2

149) yx2

2 27

x

x

 150) yx2;

2 4

x

y x

y x

 151)2x y2;(4 x)3y2

Loại 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x)(2 đờng cong tự cắt,cha biết cận).Ta giải phơng trình f(x)=g(x) tìm cận rồi áp dụng công thức(I)

1

x y

x



2

x

y  153) ) yx2 4x ;6 y x2 2x 154) 6 yx2;

3 3

x

155)xy2;y2x2 156) y(x 2)2;y=4 157)

2 4 4

x

2

4 2

x

y 

158) 2x 1 y2;y=x-1 159) 4 yx2; 28

4

y x



 160) y=x;

2 sin

B-tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục ox hay oy :

*Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công thức:

*Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=g(x)(0f x( )g x( )) ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox

ta áp dụng công thức :

*Nếu hình D giới hạn bởi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công thức:

2 ( )

b Ox a

V  f x dx

2 ( ) 2 ( )

b Ox a

V   f x  g x dx

2 ( )

b Oy a

V  g y dy

*Nếu hình D giới hạn bởi : x=f(y) ; x=g(y)(0f y( )g y( )) ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy

ta áp dụng công thức :

161) Cho miền D giới hạn bởi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; x Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 162) Cho miền D giới hạn bởi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox

163) Cho miền D giới hạn bởi: y x e x ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 164) Cho miền D giới hạn bởi:

2 2

x

y  ;y=2;y=4.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 165) Cho miền D giới hạn bởi:

3 3

x

y  ;yx2 Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 166) Cho miền D giới hạn bởi: y2 x3;y=0;x=1 Tính SD VD,Ox ; VD,Oy 167) Cho miền D giới hạn bởi: 1 2

1

y

x



 ;x=1;Ox;Oy.Tính VD,Ox 168) Cho miền D giới hạn bởi: ytan3x;y=0; ;

x x  Tính SD VD,Ox 169) Cho miền D giới hạn bởi: y x ;y=- x;x=5.Tính SD và VD,Oy 170) Cho miền D giới hạn bởi: cos sin

2

x

2

x Tính SD VD,Ox 171) Cho miền D giới hạn bởi: yx ln(1x3);Ox;x=1.Tính SD và VD,Oy

172) Cho miền D giới hạn bởi y=lnx ; y=0;x=2 Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 173) Cho miền D giới hạn bởi:;y x22x ; y = 0.Tính VD,Ox ; VD,Oy 174) Cho miền D giới hạn bởi:y(x 2)2 ; y = 4 Tính VD,Ox ; VD,Oy

C – leipnitz ( Niutơn – laipnit ) chứng minh đẳng thức C n k bằng tích phân:

Newton của một tổng nào đó.Tiếp theo ta lấy tích phân 2 vế của đẳng thức đã khai triển ,rồi “khéo léo” làm xuất hiện đẳng thức cần chứng minh

* Hãy chứng minh các đẳng thức sau bằng tích phân:

175) 1+1 1

2C + n

2 1

3C + n

3 1

4C + n

4 1

1 1

n n

C

1

1

n

n





 (Khai triển (1+x)

n )

176) 1 1

2C - n 1 2

3C + n 1 3

4C - n 1 4

1

n n n

C n





n

n  (Khai triển (1- x)

n )

177) 1 0

3C + n 1 1

6C + n 1 2

9C + n 1 3

n n

C

1

3( 1)

n

n





 (Khai triển x

2(1+x3)n)

178) 1- 1 1

2C + n 1 2

3C - n 1 3

4C + n 1 4

1

n n n

C n



1 1

n  (Khai triển (1+x)

n )

179) 1 0

2C - n

1 1

3C + n

2 1

4C - n

3 1

5C + + ( 1) n 2

n n n

C n



1 2(n 1) 180) 2C - n0 1 2 1

.2

2 C + n 1 3 2

2

2 1

n

n n n

C n





1 ( 1) 1

n

n

 

 181) 2C + n0 1 2 1

.2

2 C + n

3 2 1 2

1 1 2 1

n n n

C n



1

1

n

n





 182) 1 1

1

n

2

n

3

n

4

n

C + + (-1)n-1 1

n n

C

n = 1+

1

2+

1

3+ +

1

n

2 ( ) 2 ( )

b Oy a

V   f y  g y dy

TÝch ph©n:

1 TÝnh c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n:

2

1

3 2 1)

2

1

1 3

x

3/ I =  

2

1 2

1dx

x x

4

1

4







 1

2 2

2

4 4

dx x

x

6/ I=













 6

0

22 cos

1 2

cos 3

sin



dx x x

x



 0

) 6 2

sin( x dx 8/6

0

1

1 sin 2x dx







2 §æi biÕn sè d¹ng 1.

2

1

2

2 4 x dx





2 1

0 1 x2

3

0

x

dx

4/ I =

1

0

2

2 1 )( 2 )

dx



0

1 x2 2x 2

dx



1

2

dx x

7/ I=  

2

1 3

2 1

dx x

x

x

x



 0

2 2 2

1

0

2

x

xdx

10/I =





1

0 1 x2 5

dx

11/ I =

1

2 2

1( 1)

dx x

 

3 §æi biÕn sè d¹ng II.

1

0

19

) 1

1

0 2 5

1dx

x

x

1

0

2

x

1

0

2

3 1 x dx x

5/  

1

0

2

3 1 x dx x

1

xdx

3 2

5 x x2 4

dx

8/ I =

2

0

2

3

sin

1

sin

cos



dx x

x

x

9/ I =

6

0

2

2 cos

sin

2

2 sin



dx x x

x 10/ I = 



2 ln

0 e x 2

dx

11/







3 ln

x

e

dx e

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

13/ I =  

e

x

dx x

ln 2

14/ I =





2

0 cos2 4sin2

2 sin



dx x x

15/ I = 



5

ln

2

ln

2

1dx

e

e

x

x

16/ I =

3

0





3

3 5

1

x

x x

18/ I =  

2

ln

x

e

e

19/ I =  

1

0

3 2 3

) 1

x

20/ I=

1 3 2

x dx

x 



21/ I=

0

3

1

1





0

1 cos x.sin cosx xdx





2 3

2

dx

x x 

