Đặt Vậy ∫xsinxdx=∫udv=uv−∫vdu b∫xcosxdx Đặt ⇒ Tìm nguyên hàm b ằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Trang 1Phương pháp:
Nếu hai hàm số u x và ( ) v x ( ) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, thì trên khoảng hay
đoạn đó: ∫u x v x dx( ) ( )′ =u x v x( ) ( )−∫u x v x dx′( ) ( )
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý: Đặt ( )
( )
( )
du f x dx
u f x
dv g x dx v g x dx G x C
′
=
=
Ta thường chọn C= ⇒ =0 v G x( )
Các d ạng cơ bản: Cho P x là m( ) ột đa thức
☻ Dạng 1: ∫P x( ) (sin ax b dx+ ) Đặt ( )
sin
u P x
dv ax b dx
=
☻ Dạng 2: ∫P x( ) (cos ax b dx+ ) Đặt ( )
cos
u P x
dv ax b dx
=
☻ Dạng 3: ( ) ax b
P x e + dx
ax b
u P x
dv e + dx
=
=
☻ Dạng 4:∫P x( ) (ln ax b dx+ ) Đặt ( )
( )
ln
dv P x dx
=
☻ Dạng 5:∫e ax b+ sin(a x b dx′ + ′) hoặc ∫e ax b+ cos(a x b dx′ + ′)
Dùng tích phân từng phần hai lần với ax b
u=e +
Bài 1 : Tìm các nguyên hàm
a)∫xsinxdx b)∫xcosxdx c)∫xe dx x d) ∫xlnxdx
Hướng dẫn giải
a)∫xsinxdx Đặt
Vậy ∫xsinxdx=∫udv=uv−∫vdu
b)∫xcosxdx Đặt
⇒
Tìm nguyên hàm b ằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Trang 2c) x
xe dx
dv e dx v e
⇒
Vậy x
xe dx= udv=uv− vdu
xe e dx xe e C
d)∫xlnxdx Đặt
2
ln
1 2
dx du
dv xdx
v x dx
=
=
⇒
Vậy ∫xlnxdx=∫udv=uv−∫vdu 2 ln 2 ln 4
Bài 2 : Tìm các nguyên hàm:
a) 2
sin
x xdx
ln x dx
∫
Hướng dẫn giải:
a) 2
sin
x xdx
cos sin
du xdx
u x
dv xdx
=
⇒
x xdx= −x x+ x xdx
♥ Tính ∫2 cosx xdx
⇒
Vậy: ∫2 cosx xdx=2 sinx x−2 sin∫ xdx=2 sinx x+2 cosx C+
x xdx= −x x+ x x+ x C+
∫
b) ∫ln xdx Đặt ln
dx
x
dv dx
v x
⇒
Vậy: ∫lnxdx=xlnx−∫dx=xlnx− +x C
c) ∫2 lnx (x−1)dx Đặt ( )
2
1
1 2
x
dv xdx
v x
=
1
x
x
−
1
x
−
∫
2
2
x
d) ( )2
ln x dx
x
=
Trang 3Vậy ( )2 ( )2
lnx dx=x lnx −2 lnxdx
♥ Tính ∫ln xdx Đặt
1 ln
x
dv dx
v x
⇒
Vậy ∫lnxdx= xlnx−∫dx=xlnx− +x C
Tóm lại: ( )2 ( )2
lnx dx=x lnx −2 lnx x+2x C+
∫
Bài 3 : Tính ∫e xsinxdx
Hướng dẫn giải
sin
x
A=∫e xdx Đặt
⇒
A=uv−∫vdu= −e x+∫e xdx (1)
♥ Ta tính: xcos
B=∫e xdx Đặt
⇒
B=uv−∫vdu=e x−∫e xdx=e x−A
Thay vào (1), ta có:
A= −e x+e x−A Vậy: (sin cos )
2
x
e
A= x− x + C