Giáo án phụ đạo toán 12 học kì 2

Đây là giáo án phụ đạo toán 12 học kì 2, biên soạn theo chủ đề , đầy đủ nội dung. Là tài liệu cho giáo viên dạy 12, có chia ra từng tiết dạy rõ ràng, có ngày dạy, lớp dạy,PPCT, ngày soạn...trong đó còn giới thiệu đề thi minh học kỳ thi tốt nghiệp quốc gia năm 2005 của bộ giáo dục.

+Ngày soạn: PPCT: Tuần:

1

2

7.  dx Cotgxc

x Sin2

1

8. e x.dxe xc

a

a dx

ln

1

3.      Sinaxbc

a dx b ax

4.       Cosaxbc

a dx b ax

b dx a tg ax b c ax

1

1

1

2

7.    e  c

a dx

e ax b. 1. ax b

a

a m dx

ln

1

9 f(x) = ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) =

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) = ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) = ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) =

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) =

18 f(x) = ex(2 + ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) =

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) =

3 f’(x) = 4 và f(4) = 0 ĐS f(x) = 4 f’(x) = x - và f(1) = 2 ĐS f(x) =

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 6 f’(x) = ax + ĐS f(x) = III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM

I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số.

 Đặt t = u(x)

 I =

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

Hay

( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

II BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

A Lý thuyết

Nguyên hàm các hàm số thường gặp:









a dx b

ax

1

1



b dx a ax b c

1

1

11.      Sinaxbc

a dx b ax

12.       Cosaxbc

a dx b ax

b dx a tg ax b c ax

1

1

2

b dx a Cotg ax b c ax

1

1

2

15.    e  c

a dx

e ax b. 1. ax b

a

a m dx

ln

1

B Bài tập

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1 2

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13 14 15 Ngày soạn: PPCT: Tuần:

A.Lý thuyết

Phương pháp đổi biến số :

b        

a

x d x x

f

P.Pháp:

Đặt : t =  x  dt  /   x.d x

 























a t a x

b t b x

Do đó:                     b a b a t F dt t f A . Các dạng đặc biệt cơ bản: 1. a  x a dx I 0 2 2 P.Pháp:  Đặt: xa.tgt 

       2 2 t dt a tg tdt t Cos a dx 1 2 2      Đổi cận: 2.Tính J a a x .dx 0 2 2    P.Pháp:  Đặt          2 2 int S t a x  dxa.Cost.dt  Đổi cận B BÀI TẬP 1 2

3 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22 23

24 25

26 27

28 29 30 31

32 33

34 35 36 37

38 39

40 41

42 43

44 45

46 46

47 48

49 50

51 52 53 54 55 56 57 58

59 60

61 62

63 64

65 66

67 68

69 70

71 72

73 74

75 76

77 78

79 80 III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

Tính I 1 bằng phương pháp đổi biến số

Tính I 2 = bằng phương pháp từng phần : đặt

II Bài tập

3 4

5 6

III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

 (a < b)

Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn  a; b thì:

b

a dx x f

) (

f ).( + 



b dx x

a x

 b

a

b a

dx x f dx x f



 HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0Lập luận giống phần số 1

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m

để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai

19 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p)

®i qua M(5/6,6)

21) 22)

23)

24) 25) 26)

27) 28) 29)

30) 31) 32)

33) 34) 35) 36) 37)

III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

CHỦ ĐỀ:HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi   i j k, , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz Chú ý: i2   j2 k2 1 và i j i k k j       0

2 Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa: u x y z; ;   u xi yj zk    

b) Tính chất: Cho a a a a b b b b k R  ( ; ; ),1 2 3   ( ; ; ),1 2 3 

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0

 Diện tích hình bình hành ABCD: S  ABCD   AB AD, 

 Diện tích tam giác ABC: SABC  12   AB AC, 

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: V ABCD A B C D ' ' ' '  [ ,   AB AD AA] '

 Thể tích tứ diện ABCD: V ABCD16[ ,   AB AC AD].

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường

thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính

thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

 

 

0

0 0

 Phương trình x2 y2  z2 2ax 2by cz d 2   0 với a b c d2  2    2 0 là phương

trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a b c d2  2   2 .

II BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

Viết tọa độ của các vectơ sau đây:

2

a i j  

; b   7i 8k; c 9k

; d   3i 4 j 5kViết dưới dạng xi yj zk    

mỗi vectơ sau đây:

ngược hướng và c  2a Cho ba vectơ a 1 1 1 ; ; , b 4 0 1 ; ;  , c3 2 1 ; ;  

b) a2 5 4 ; ; , b 6 0 3 ; ;  c) a ( ; ; ), 2 1 2  b   ( ; 0 2 2 ; )

d) a ( ; ; 3 2 2 3 ),b  ( ; 3 2 3 1 ; ) e) a  ( ; ; ), 4 2 4 b  ( 2 2 2 2 0 ;  ; )

f) a  ( ; ; ), 3 2 1 b  ( ; ; ) 2 1 1 Tìm vectơ u, biết rằng:

d) a4 2 5 ; ; , b 3 1 3 ; ; , c2 0 1 ; ; e) a ( ; ; ), 2 3 1 b   ( ; ; ), 1 2 0 c  ( ; ; ) 3 2 4

f) a ( ; ; ), 5 4 8  b   ( ; ; ), 2 3 0 c ( ; ; ) 1 7 7 g) a  ( ; ; ), 2 4 3 b  ( ; ; ), 1 2 2  c  ( ; ; ) 3 2 1

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

– Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt

– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

 A, B, C thẳng hàng    AB AC,

cùng phương                AB kAC             

   AB AC,   0

 ABCD là hình bình hành                AB DC             

 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC Ta có: EB AB EC

AB AC AD,

   

Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:

 Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oza)M( ; ; )1 2 3 b) M( ; ; )3 1 2  c) M( ; ; ) 1 1 3  d) M( ; ; )1 2 1 e) M( ; ; )2 5 7  f) M( ;22 15 7  ; ) g) M( ; ; )11 9 10  h) M( ; ; )3 6 7

Cho điểm M Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M:

 Qua gốc toạ độ  Qua mp(Oxy)  Qua trục Oy

a) M( ; ; )1 2 3 b) M( ; ; )3 1 2  c) M( ; ; ) 1 1 3  d) M( ; ; )1 2 1 e) M( ; ; )2 5 7  f) M( ;22 15 7  ; ) g) M( ; ; )11 9 10  h) M( ; ; )3 6 7

Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 1 3 1 B0 1 2 C 0 0 1 b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 1 1 1 B 4 3 1 C  9 5 1

c) A( ; ; ), ( 10 9 12 B  20 3 4 ; ; ), (C  50 3 4 ; ; )   d) A( ; ;  1 5 10  ), ( ; ; ), ( ; ; )B5 7 8  C 2 2 7 

Cho ba điểm A, B, C

 Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác

 Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC

 Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài củagóc A của ABC trên BC Tính độ dài các đoạn phân giác đó

 Tính số đo các góc trong ABC

 Tính diện tích ABC Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ABC

Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M

 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?  Tìm tọa độ điểm M

a) A2 1 7 ; ; ,    B 4 5 2 ; ;   b) A( ; ; ), ( ; ; ) 4 3 2  B2 1 1  c) A( ; ; ), ( 10 9 12 B  20 3 4 ; ; )d) A( ; ; ), ( ; ; ) 3 1 2  B1 2 1  e) A( ; ; ), ( ; ; ) 3 4 7  B  5 3 2  f) A( ; ; ), ( ; ; ) 4 2 3 B  2 1 1 

Cho bốn điểm A, B, C, D

 Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

 Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

 Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

 Tính thể tích của khối tứ diện ABCD

 Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từA

a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 2 5 3  B1 0 0 C 3 0 2  D   3 1 2 b) A1 0 0 ; ; ,  B 0 1 0 ; ; ,  C 0 0 1 ; ; ,  D  2 1 1 ; ;  c) A1 1 0 ; ; ,  B 0 2 1 ; ; ,  C 1 0 2 ; ; ,   D 1 1 1 ; ; d) A2 0 0 ; ; ,  B 0 4 0 ; ; ,  C 0 0 6 ; ; ,  D 2 4 6 ; ; e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 2 3 1 B 4 1 2  C 6 3 7 D   5 4 8 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 5 7 2  B3 1 1  C 9 4 4  D1 5 0g) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 2 4 1 B  1 0 1 C  1 4 2 D1 2 1  h) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  3 2 4 B 2 5 2  C1 2 2  D4 2 3i) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 3 4 8 B  1 2 1 C5 2 6 D  7 4 3 k) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   3 2 6 B 2 4 4 C 9 9 1  D0 0 1Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại

 Tính thể tích khối hộp

a) A1 0 1 ; ; , B 2 1 2 ; ; , D 1 1 1 ; ; , ' ; ;   C 4 5 5   b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; ) 2 5 3  B1 0 0 C 3 0 2  A   3 1 2c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; ) 0 2 1 B1 1 1  D 0 0 0 A  1 1 0 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; ) 0 2 2 B0 1 2 C  1 1 1 C 1 2 1  Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0)

a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB)

b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều

c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp Suy ra độ dài đường cao SH.Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4)

a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB)

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh SMNP là tứdiện đều

c) Vẽ SH  (ABC) Gọi S là điểm đối xứng của H qua S Chứng minh SABC là

tứ diện đều

Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp

a) Phân tích các vectơ OI AG  ,

theo các vectơ OA OC OD   , ,

.b) Phân tích vectơ BI 

theo các vectơ FE FG FI   , ,

.Cho hình lập phương ABCD.EFGH

a) Phân tích vectơ  AE

theo các vectơ    AC AF AH, ,

.b) Phân tích vectơ  AG

theo các vectơ    AC AF AH, ,

.Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB.Chứng minh rằng MN  AC

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1 Trên các cạnh BB, CD,

AD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BM = CN = DP = x (0 < x < 1).

Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (MNP)

III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và có một VTPT n  ( ; ; )A B C

là:

A = C = 0Chú ý:  Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song() // (Oxz) hoặc () 

hoặc chứa trục tương ứng.

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z 1

a b c  ( ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  1  0

– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u.

– Một VTPT của ( ) là: nAM u  ,

Dạng 6: ( ) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):

VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ( ).

Dạng 7: ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

– Xác định các VTCP a b, 

của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của ( ) là: n a b , 

– Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2  M  ().

Dạng 8: ( ) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d 1 , d 2 chéo nhau):

– Xác định các VTCP a b, 

của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của ( ) là: n a b , 

– Lấy một điểm M thuộc d 1  M  ().

Dạng 9: ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:

– Xác định các VTCP a b, 

của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của ( ) là: n a b , 

Dạng 11: ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():

– Xác định các VTPT n n  ,

của ( ) và ().

– Một VTPT của ( ) là: n  u n  ,  

.

Dạng 12: ( ) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một

khoảng k cho trước:

– Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D   0A2 B2 C2  0.

– Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  () (ta được hai phương trình (1), (2)).

– Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( ))  k , ta được phương trình (3).

– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

Dạng 13: ( ) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:

– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.

a) A( ; ; ), ( ; ; ) 2 1 1 B 2 1 1   b) A( ; ; ), ( ; ; ) 1 1 4   B 2 0 5 c) A( ; ; ), ( ; ; ) 2 3 4  B4 1 0 

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a b, 

cho trước, với: a) M( ; ; ), 1 2 3  a ( ; ; ), 2 1 2 b  ( ; ; ) 3 2 1 

b) M( ; ; ), 1 2 3  a   3 1 2 ; ; ),b  ( ; ; ) 0 3 4c) M( ; ; ),  1 3 4 a ( ; ; ), 2 7 2 b  ( ; ; ) 3 2 4

d) M( ; ; ),  4 0 5 a  ( ; ; ); 6 1 3 b  ( ; ; ) 3 2 1Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với mặt phẳng  cho trước, với:

a) M2 1 5 ; ; ,      Oxy b) M1 2 1 ; ; ,     : 2x y   3 0

c) M 1 1 0 ; ; ,   :x 2y z  10 0  d) M3 6 5 ; ;  ,  :    x z 1 0

e) M( ; ; ), ( ): 2 3 5   x 2y z   5 0 f) M( ; ; ), ( ): 1 1 1  10x 10y 20z 40 0 Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặtphẳng toạ độ, với:

a) M ; ;2 1 5 b) M ; ;1 2 1   c) M 1 1 0 ; ;  d) M ; ;3 6 5e) M( ; ; )2 3 5  f) M( ; ; )1 1 1 g) M( ; ; ) 1 1 0 h) M( ; ; )3 6 5 

Viết phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng chotrước, với:

Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng(), () cho trước, với:

Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng

thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:

a) ( ):P x y   2 0 , ( ):Q 5x 13y 2z 0 , ( ; ; ),M1 2 3 k 2

III RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Ngày soạn: PPCT: Tuần: 28

Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 y2  z2 2ax 2by cz d 2   0

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:

Giải tương tự như dạng 4.

Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:

– Xác định tâm J và bán kính R  của mặt cầu (T).

– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

x y z  ax by cz d   với a b c d2  2    2 0

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a b c d2  2   2 .

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

Xác định m, t, , … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán

kính của các mặt cầu đó:

a) x2 y2  z2 2 (m 2 )x 4my mz m 2  5 2   9 0

b) x2 y2  z2 2 3 (  m x)  2 (m 1 )y mz m 2  2 2   7 0

c) x2 y2  z2 2 (cos   1 )x 4y 2 cos cos  z 2    7 0

d) x2 y2  z2 2 3 2 (  cos ) 2  x 4 (sin 2   1 )y  2z cos 4    8 0

e) x2 y2  z2 2 ln t x 2y z 6 3  lnt  8 0

f) x2 y2  z2 2 2 (  ln )t x 4 ln t y 2 (lnt 1 )z 5 ln 2t  8 0

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:

a) I( ; ; ), 1 3 5  R 3 b) I( ; ; ), 5 3 7  R 2 c) I( ; ; ), 1 3 2  R 5 d) I( ; ; ), 2 4 3  R 3Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:

a) A1 1 0 ; ; ,  B 0 2 1 ; ; ,  C 1 0 2 ; ; ,   D 1 1 1 ; ; b) A2 0 0 ; ; ,  B 0 4 0 ; ; ,  C 0 0 6 ; ; ,  D 2 4 6 ; ; c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 2 3 1 B 4 1 2  C 6 3 7 D   5 4 8 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 5 7 2  B3 1 1  C 9 4 4  D1 5 0e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 6 2 3  B 0 1 6 C 2 0 1  D 4 1 0 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 0 1 0 B 2 3 1 C  2 2 2 D1 1 2 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng(P) cho trước, với:

a) ( ) (A P( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )1 2 0Oxz B)1 1 3 C 2 0 1

 b) ( ) (A P( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 0 1Oxy B)1 3 2 C3 2 0

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:

 



VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu

Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 ).

 I I1 2  R R1  2  (S 1 ), (S 2 ) trong nhau  I I1 2  R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) ngoài nhau

 I I1 2  R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong  I I1 2  R R1 2 (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngoài

 R R1  2 I I1 2 R R1  2  (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn.

Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:

Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.

– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M Chẳng hạn có dạng:

– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: x f t y g t

z h t

( ) ( ) ( )

– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.

– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2) Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho: a) MA2 MB2  30 b) MA 2

MB c) MA2 MB2 k k2 (  0 )Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3) Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:a) MA2 MB2  124 b) 3

d) x2 y2  z2 4 2 (  cos )m x 2 5 2 (  sin )m y z 6  cos 2m  1 0

e) x2 y2  z2 2 3 4 (  cos )m x 2 4 ( sinm 1 )y 4 5 2z  sin 2m 0

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

a)       32x x y z34y z8 5 02 5 0  b)  33x x 42y z y z  3 6 05 3 0

    

 c)       53x y z x y z35 3 7 05 1 0 d) 126x y x8 12 5 04y z 6 5 0z  

g)      2x my z x y  4nz2 03 0 h)   32x y mz x ny  2 1 0z 2 0

 d)       3(m x m(2)x 32)y y mz  2 5 0z 10 0

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

e) mx4x y z2y37 1 0z 3 0

 f)  3x y mz x y   53  2 5 0z 3 0



VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng của một điểm qua mặt

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất

kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng

a)      2x x y z2y z  3 1 03 5 0 b)      66x x 22y z y z  1 03 0 c)         32x y z x y5 4 5 0z 1 0d)         44x y z x y z8 1 08 5 0 e)         32x y z x y5 4 5 0z 1 0 f)   3x x6y z2y z  3 7 0 1 0

Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song vớimặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):

a) A1 2 3 ; ;– , ( ): Q 2x 4y z   4 0 b)A 3 1 2 ; ;– , ( ): Q 6x 2y z   3 12 0 Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và

cách điểm A một khoảng k cho trước:

Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một.Gọi  , ,   lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) vớimặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos 2   cos 2   cos 2   1

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Cho mặt phẳng ( ): Ax By Cz D    0 và mặt cầu (S):

(  )   ( )   ( ) 

 () và (S) không có điểm chung  d I( ,( ))  R

 () tiếp xúc với (S)  d I( ,( ))  R ( ) là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H của d và ( )

H là tiếp điểm của (S) với ( ).

H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với ( ).

Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R2  IH2

Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):

c) I( ; ; ), ( ):  1 1 2 P x 2y   2 3 0z d) I( ; ; ), ( ):  2 1 1 P x 2y z 2 5 0  

Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:

a) ( ):(S x 3)2  ( 1) ( 2)y 2 z 2 24tại M( ; ; ) 1 3 0

b) ( ):S x2y2 z2 6 2 4 5 0x y  z tại M( ; ; )4 3 0

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng

Cho tứ diện ABCD

 Viết phương trình các mặt của tứ diện

 Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện

 Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện

 Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD)

 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện

 Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D lần lượt là các điểm đối xứng với cácđiểm A, B, C, D qua các mặt đối diện

 Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện

 Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I vàbán kính R của (S)

 Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện

 Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.a) A5 1 3 ; ; ,  B 1 6 2 ; ; ,  C 5 0 4 ; ; ,  D 4 0 6 ; ;  b) A1 1 0 ; ; ,  B 0 2 1 ; ; ,  C 1 0 2 ; ; ,   D 1 1 1 ; ;c) A2 0 0 ; ; ,  B 0 4 0 ; ; ,  C 0 0 6 ; ; ,  D 2 4 6 ; ;  d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 2 3 1 B 4 1 2  C 6 3 7 D   5 4 8e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 5 7 2  B3 1 1  C 9 4 4  D1 5 0 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 0 1 0 B 2 3 1 C  2 2 2 D1 1 2 Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0),B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1)

a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q)

b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều

b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc

c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD)

Ngày soạn: PPCT: Tuần:

1 Phương trình tham số của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và cóVTCP a a a a  ( ; ; ) 1 2 3

:

1 2 3

o o o

( ):      đgl phương trình chính tắc của d.

2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:

a a

a M M

, ,

 d  d  00 12 00 12

x ta x ta hệ y ta y ta ẩn t t cóvôsốnghiệm

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

 d và (S) khơng cĩ điểm chung  (*) vơ nghiệm  d(I, d) > R

 d tiếp xúc với (S)  (*) cĩ đúng một nghiệm  d(I, d) = R

 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) cĩ hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d đi qua M 0 và cĩ VTCP a và điểm M

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2.

d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP a1, d 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP a2

7 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( ).

8 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP a a 1 2, .

Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa a a 1 2, .

o o o

Dạng 3: d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và song song với đường thẳng  cho trước:

Vì d //  nên VTCP của  cũng là VTCP của d.

Dạng 4: d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

Vì d  (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

 Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

– Tìm toạ độ một điểm A  d: bằng cách giải hệ phương trình ( )( )Q P

 (với việc chọn giá trị cho một ẩn)

– Tìm một VTCP của d: a  n n P Q,  

 Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 6: d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 :

Vì d  d 1 , d  d 2 nên một VTCP của d là: a  a a d1, d2 

Dạng 7: d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ), vuông góc và cắt đường thẳng 

 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng .

 Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d Khi đó d = (P)  (Q)

Dạng 8: d đi qua điểm M x y z0 0 0 0 ( ; ; ) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 :

 Cách 1: Gọi M 1  d 1 , M 2  d 2 Từ điều kiện M, M 1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được

M 1 , M 2 Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.

 Cách 2: Gọi (P) = (M d0 1 , ), (Q) = (M d0 2 , ) Khi đó d = (P)  (Q) Do đó, một VTCP của d có thể chọn là a  n n P Q,  

.

Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 :

Tìm các giao điểm A = d 1  (P), B = d 2  (P) Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 10: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 :

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và d 1 , mặt phẳng (Q) chứa  và d 2 Khi đó d = (P)  (Q).

Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 chéo nhau:

 Cách 1: Gọi M  d 1 , N  d 2 Từ điều kiện 1

+ Lấy một điểm A trên d 1 + Một VTPT của (P) có thể là: nP  a a  , d1 

– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d 2

Khi đó d = (P)  (Q).

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P):

 Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách: