Bài giảng dùng cho gv, sinh viên dạy thêm môn toán 11. tài liệu gồm 3 phần: giới hạn dáy số giới hạn hmaf số hàm số liên tục Bài giảng dùng cho gv, sinh viên dạy thêm môn toán 11. tài liệu gồm 3 phần: giới hạn dáy số giới hạn hmaf số hàm số liên tục
Trang 1TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
I Giới hạn của dãy số
1 Giới hạn đặc biệt:
1
n
lim n 0 ( 1)
2 Định lí :
Nếu u n 0, n và lim u n = a
thì a 0 và lim u n a
Nếu u n v n ,n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
Nếu lim u n = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
q 1
1 Giới hạn đặc biệt:
lim n limn k (k )
lim q n (q1)
2 Định lí:
Nếu lim u n thì lim 1 0
n
u
Nếu lim u n = a, lim v n = thì lim n
n
u
v = 0
Nếu lim u n = a 0, lim v n = 0 thì lim n
n
u
v =
0 n n 0
nếu a v nếu a v
Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim(u n v n ) = nếu a nếu a00
Chú ý: Phương pháp nhân lượng liên hợp:
;
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1 lim 2 22 3
n n
2 lim 3 2 21
n
3 lim3 3 32 2
4
n
4 lim 42 1
n
n n
5 lim 2 34 22 3
n n
6 lim 3 32 2
1
n
7 lim 23 2
1
n n
n
8 limn4 3n2 n
n n
9 lim 2 1 4
n
10 lim1 2 3 2
1
n n
11 lim 3 3 5 9
n n n
12 lim 32 2 2 1
1
n n
n n
13 lim 43 22 5
n n
n n
14 lim 9 2 1 2
n
15 lim2n
2 + n – 3
n2 +1
16 lim– n
2 + n – 1 2n2 – 1
17 lim3n – 1n2 – 2
18 lim 4n – 1
n + 1
19 lim
1 n 2 n
3 n 2
20 lim2n 1
n 1
21 lim 3n22 4n 1
22 lim n33 4
5n n
23
24 lim2n 12
25 lim4n(n2 1)3
(2n 4)
26 lim2 n 1
n 1
27 lim35 8n2 n3 7n
4n 3
28 2 3 3
2
lim
29 lim 3n2 4
n 2
30 3 3 2
2
8n n lim
31
2
2
lim
32 lim2 1
1
n n
33
2 2
lim
n n
n n
34
3 3
4 lim
n
n n
35 lim 2 1
2
n n
36 lim 2 4
n
n n
Trang 2TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
3
lim
n n
n
38
3
2
lim
1
n
n
39
2
1 lim
n
n
40 lim 2 1
2 2
n
n
41 lim 1
1
n
n
42 lim 2
1
n
43
3 3
2 lim
2
n n n
44
3 3
2
1 1 lim
3 2
n n
2
lim
2
1 lim
1
2
lim
48 lim(2 1)( 3)
( 1)( 2)
2
4 4 1 lim
3 1
2
lim ( 1)(2 )( 1)
n
n n n
2
3
lim
n
52 limn(2n 5)(3n3 2)
3n 4
53
2 2
lim
2
1 lim
1 3
n n
55 lim12 223 322 2
n
n n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1 lim1 3
4 3
n n
2 lim4.3 7 1
2.5 7
3 lim4 1 6 2
4 lim3 4nn
5 4
5 lim3n 2n 5n 1n
6 lim23n 2n 2 73nn 1
7 lim πnn 3nn 22n 22n
8 lim2 5 1
1 5
n
9 lim1 2.3 7
5 2.7
10 lim1 2.31 6
n n
11
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1.3 2.4 n n( 2)
c) lim 1 12 1 12 1 12
1.2 2.3 n n( 1)
e) lim1 2 2
3
n
1 3 3 3
n n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) lim n22n n 1
b) lim n2 n n22
c) lim 32n n 3 n 1
d) lim 1 n2 n43n1
1 lim
n n
2
lim
1 lim
1
2
lim
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim2cos2 2
1
n
3 1
n
n n n
Trang 3TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
d) lim3sin6 25cos (2 1)
1
n
e) lim3sin (2 3 2)2 2
2 3
n
f) lim 3 2 2 2
(3cos 2)
Bài 6: Cho dãy số (un ) với u n = 1 12 1 12 1 12
, với n 2
a) Rút gọn u n b) Tìm lim u n
n n n n n n (n N*)
1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n
c) Tìm lim u n
Bài 8: Tính các tổng sau:
1 1 8 4 2 1 1 1
S
2 1 (0,3) (0,3) (0,3)n
S
3 3 1 1 1
S
4 4 1 1 12 1
S
5 S=2 1 1 1
3 6 12
6 S = 1+ 2x +3x2 +4x3 +… Với x 1
7 S=3 1 1 1 1 1
2 4 8 2.2n
;
8 S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4 +… Với x 1
Bài 9: Biểu diễn các số sau thành phân số:
1 0,3333…
2 0.51515151…
3 0,441111…
4 5,616161…
5 0,77777…
6 0,27555…
7 0,31212121…
8 1,123123123…
9 5,323232…
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
;
0
lim
(c: hằng số)
2 Định lí:
b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
thì L 0 và
0
lim ( )
c) Nếu
0
lim ( )
thì
0
lim ( )
3 Giới hạn một bên:
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
; lim k
x
nếu k chẵn
lim
; lim k 0
x
c x
0
1 lim
x x ;
0
1 lim
x x
x x x x
2 Định lí:
Trang 4TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
0
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
Nếu
0
lim ( )
0 và
0
lim ( )
x x g x
thì:
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
nếu L và g x cùngdấu
f x g x
nếu L và g x trái dấu
0
0
( )
( )
lim ( ) 0 ( ) 0
x x
x x
nếu g x
f x nếu g x và L g x
g x
nếu g x và L g x
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
0
1
lim
1
x
x x x x
1
3 1 lim
1
x
x
c)
2
sin
4 lim
x
x x
1
1 lim
3
x
x
x x
2
1 lim
1
x
x
1
2 3 lim
1
x
x
g)
1
8 3 lim
2
x
x
x
2
3 4 3 2 lim
1
x
x
0
1 lim sin
2
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
1
2
3
2 15 lim
3
x
x x
x
2
2
2 1
lim
1
x
x x
x
3
2
2 2
lim
2
x
x x
x x
4
2
2
2
lim
6
x
x x
x x
5
2 1
1 lim
x
x x x
x x
6
lim
x a
x a
x a
0
lim
h
h
8
3
lim
x
x x
x x x
9
5
3
1
1 lim
1
x
x
x
10
1
1 lim
1
m
n
x
x
x
11
2 1
lim
1
x
x x x x
12 32 2
1
1 lim
x
x x x
1
1 lim
2
x
x
14 53
1
1 lim
1
x
x x
3
lim
x
x x
1
lim
(1 )
x
x
17
1
1 lim
1
m n x
x x
2
lim
2
x
x
19 3 22 1
lim
1
x
x
20 2 2
2
2 lim
x
21 3 4 2 2 3
lim
x
22 3 4 2
1
1 lim
x
x
23 3 2 2 1
1 lim
x
24 2 2 1
lim
x
2
lim
4
x
x
26
2 1
lim
1
x
x
27
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
1
lim
1
n x
x
Trang 5TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
2
16 lim
2
x
x
x x
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
1
1
1
lim
1
x
x
x
3
1 2
lim
9
x
x
x
1
lim
1
x
x
x
2
lim
4
x
x
x
2
2 5 7
lim
2
x
6
4
lim
4
x
x
x
7
0
lim
x
x
7
lim
49
x
x x
2
lim
4
x
x
x
10
2
2 lim
x
x
11
4
lim
x
x x
12
1
lim
x
x
1
lim
x
14 2 1
lim
1
x
x
15
0
lim
x
x
16
3 1
2 lim
1
x
x
17
3 0
lim
x
x x
18
2 3
2 0
lim
2
x
x x
19
3
2
4 2 lim
2
x
x x
2
lim
4
x
x x
21 3 3
1
1
4 4 2
x
x x
0
lim
x
x x
23
2
2 2 lim
7 3
x
x x
24
1
lim
1
x
x
0 2
1 1 lim
16 4
x
x x
26 3
0
1 1 lim
1 1
x
x x
3
3 2 lim
3
x
x x
x 0
2 4x 8 lim
x 4 2
29
x 2
x 3x 2 lim
2x 5 3
30 3
x 1
5 3x 2 lim
3x 4 1
31 3
x 4
x 4 x 3 lim
x 4 2
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
1
0
lim
x
x
0
lim
x
x
2
lim
x
x x
x 1
x 4 2x x
lim
x 1
0
lim
x
x
0
lim
x
x
2
lim
x
x x
1
lim
1
x
x
9
0
lim
x
x
0
lim
x
x
11 3
0
lim
x
x
12 3 2 4
4 lim
x
3
lim
9
x
x
14 3 2
lim
2
x
x
Trang 6TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
2
lim
4
x
x
3 2 2
lim
x
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
1 lim 22 1
x
x
x x
2
x
x x x
3 lim 32 2 21
x
x
x x
4 lim 2 22 10
x
3
lim
x
6 lim 43 2 2 5
x
2
lim
x
2
lim
x
1
x
x x
x x
13 lim (2 1) 22 3
5
x
x x
2
lim
x
15 lim 2 5 2
x
x x x
16 lim 63 2
x
x x
17 lim 63 2
x
x
2
2 lim
x
19 lim 2
x
x x
21
3
2 lim
3
x
x
22
x 4 x
) x x )(
1 x (
2
23
1 x 2
x x x lim
2
24 lim( x x 3 x)
2
25 lim( 3 x 5 x)
26 limx( x2 5 x)
27 lim x( x2 1 x)
28 lim( x2 x 1 x2 7x 3)
2 x
lim
x
lim
x 1
3 3 x
lim
32
1 x x
1 x x 1 x x lim
2
2 2
33
1 x x 16 x 14 1
x 7 lim
2
x
Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
1 lim 2
5
xlim (x x2 5x)
6
xlim ( x2 x x2 1)
11 lim
12 lim 32 1 32 1
13 lim 33 3 1 2 2
1
1 3 lim
1 1
15
2
lim
1
lim
1
1 3 lim
1 1
18
1
lim
3 2 5 6
x x x x x
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
Trang 7TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
1
2
15 lim
2
x
x x
2
2
15 lim
2
x
x x
3
1
lim
1
x
x x
4
2
lim
2
x
x x
5
1
15 lim
1
x
x x
3
1 3 2 lim
3
x
x
3
1 3 lim
9
x
x x
1
2 lim
x
x
3
lim
x
x x
10 22
5
lim
x
11 2 5
1
1 lim
x
x
12
0
lim
x
x x
2
4 lim
2
x
x x
2
2 lim
x
x
2
2 lim
x
x
Bài 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
1 1
2
x
khi x
b)
2
x khi x
x khi x
c)
2 3 4
8
2
x x khi x x
x
d)
2 2
1
1 2
x
Bài 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
2 2
khi x
m x mx khi x
0 3
khi x x
x m khi x
x x m khi x
I GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
0
sinx
1
0
sinx
lim
2
1
lim
1
x
in x
x
3
2
2
0
s
2
lim
x
x in
x
4
0
1 cos lim
.sin
x
x
0
lim
sin
x
x
6
4
lim
4
x
x
x 0
1 cos 2x lim
x
x 0
lim
1 cos x
x 0
1 cos 2x lim
x sin x
x 0
x sin 3x lim
1 cos 2x
11
x 0
sin 2x lim
x 1 1
Trang 8TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
x 0
1 sin x cos 2x lim
tan x
x 0
3 6 3cos x
lim
x
x π/4
1 sin 2x
lim
cos 2x
0
lim
x
x
15
0
lim
x
16
2
cos lim
2
x
x x
17
2 6
lim
x
x x
18
0
lim
x
tgx
x
19
0
s 5
lim
3
x
in x
tg x
20
0
1 cos
lim
.sin
x
x
21
0
1 cos lim
1 cos3
x
x x
0
sin lim
x
x
0
lim
sin
x
x
0
1 cos lim
.sin 2
x
x
0
1 cos lim
.sin 3
x
x
26 3 2
0
lim sin
x
x x
0
lim
x
x
28
0
sin
29
0
0
lim
x
x
tg x
0
1 cos 2 lim
.sin
x
x tg x
32
4
lim
x
x x
33
4
1 lim
1 cot
x
tgx gx
34
2
1
cos
x
tgx x
35
2
lim(1 cos 2 )
x
x tgx
36
0
sin( ) sin( ) lim
( ) ( )
x
tg a x tg a x
2 0
lim
x
tg a x tg a x tg a
x
38
6
lim
x
x x
3
3 lim
6
x
x
TỔNG HỢP
1
1
1 lim
x
x
x
2
2
2 lim
x
x
3
1
lim
x
x x
4
2
1
lim
1
x
x
5
3
2 1
lim
1
x
x
6
1
lim
1
x
x
1
lim
x
x
8
2
3
2
4 lim
x
x
9
2
2 1
lim
x
10
2
2 lim
x
x x
3
3 lim
x
x
12
3
0
lim
x
x x
13
5
5 lim
5
x
x x
14
2
2
lim
2
x
x x
15
1
1 lim
x
x x
0
1
17
3
2 2
8 lim
x
x
18
3
lim
x
19
3
0
lim
x
x x
20
0
3 lim
2
x
x
( 2)
2 lim
x
x x
1
3
24
4
2 ( 2)
lim
x
x
Trang 9TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
26
3
lim
1
x
27
lim
x
x
29
3
3
lim
9
x
x
30
7
lim
1
x
31
2
3 lim
2
x
x
lim
1 3
x
x x
35
lim
x
36
2
lim
x
x x
37
lim
x
x x
lim 1000
39
4
2
lim
2
x
40
2
lim
x
x
41
2
3
lim
x
42
2
2
lim
5
x
43
3
2 lim
x
44
2
lim
1
x
x
45
3
1
x
x x
III Hàm số liên tục
y = f(x) liên tục tại x 0
lim ( ) ( )
Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 :
B1: Tính f(x 0 )
B2: Tính
0
lim ( )
x x f x
B3: So sánh
0
lim ( )
x x f x
với f(x 0 ) và rút ra kết luận
2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
4 Hàm số đa thức liên tục trên R
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
5 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
1 3 2 2 1
2
x x
f x
x
tại x0=2
2 f(x)=
5
1
4
x
x
x tại x0 = 5
3 f x( )x25x1 tại x0
4 f x( )x32x3 tại x1
5
x
f x tại x
x
2
x
x khi x
khi x
8
1
4
x khi x x
khi x
Trang 10
TRAÀN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
9
2 3 2
x x x khi x
khi x
10
2
x khi x
11 ( ) 1 cos 0 0
x khi x
13
3 2
2 3 khi x 1
5 khi x 1
14
3 2
3 2 khi x >1 1
2 khi x 1 3
x
,
15
3 2
1 cos2 khi 0 sin
2 ( ) khi 0 0
3
1 1 1 khi 0 6
x
x
16
3
2
6
2 2
( )
11
2 3
khi x
f x
khi x
, tại
x
17
x - khi x x
f x
khi x
( )
2
, tại x0 0.
khi x
, tại x0 1.
19
3
3
0 2
( )
1 1
0
1 1
f x
x
khi x x
, tại x0 0.
20
2
5 6 NÕu x 3
2 6 5
NÕu x = 3 2
x y
tại x0 = 3
21
2 2
3 7 2
NÕu x 2 4
3 NÕu x = 2
22
2 2
11 5 34
NÕu 2 4
3 1 NÕu x = 2
x
x
x0 = 2
23 f(x) =
2
9
3 3
6 3
x khi x x
khi x
tại x0=3
24 f(x) =
2
25
5 5
9 5
x
khi x x
khi x
tại x0=5
25
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
x
x
tạix0=2
26
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
x x
f x
x
tại x0= -1
27 1 2 3 khi 2
2
1 khi 2
x
x
x
tại x0=2
28
3
3 2 2
khi 2 2
3 khi 2 4
x
x x
f x
x
tại x0=2
29
2 khi 4
5 3 3
khi 4 2
x
x x
f x
x
tại x0=4
30 2+4 2
2 1 2
f x
3 2 1
f x
32 2 0
1 0
x khi x
f x
x khi x
Trang 11TRẦN QUANG - 01674718379 On the way to success, there is no trace of lazy men
33
5 khi 5
2 1 3 3
khi 5 2
x
x x
f x
x
tại x0=5
Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
2x 3 khi x 1
0 6
( 3)
3
x x
x x
2
2
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
c)
( ) 2
khi x
f x x
khi x
e)
2
2 3 khi 1 1
4 khi 1
x
x
f)
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
x x
f x
x
g)
2 2
7 4 khi 3
3 khi 3 4
x
x
x x
f x
x
x - khi x x
f x
khi x
( )
2
Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)
2
b)
c)
f x
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x33x 1 0 b) x36x29x 1 0 c) 2x6 13 x 3
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x53x 3 0 b) x5 x 1 0 c) x4x33x2 x 1 0
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x55x34x 1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2)
Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x( 1) (3 x 2) 2x 3 0 b) x4mx22mx 2 0