Bài giảng Quy nạp Dãy số CSc, CSN (Dạy thêm)

Bài tập dánh cho sv và GV dạy thêm môn toán 11. Bài tập đại soo11 chương 3. Tài lieuj gom pp quy nạp, đại cương dãy số, cp so cong và cap só nhan. Giáo trình dánh cho sv và GV dạy thêm môn toán 11. Bài tập đại soo11 chương 3.

1 Traàn Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

Bài 1 Chứng minh rằng ∀n∈N*

ta có:

1 1 2 ( 1)

2

n n

   

2 1 22 2 2 ( 1)(2 1)

6

   

3

2 2

3 3 3 ( 1)

1 2

4

n n

   

4

2

1 3 (2 1)

3

n n

5 1 3 5 (2     n  1) n2

6 1 2 3 4 2 n ( n 2 1 ) n 1

7 1.4 2.7   n n.(3   1) n n(  1)2

8 2 5 8 (3 1) (3 1)

2



9

1 (3 3)

3 9 27 3

2

 

10 1.2 2.5 3.8    n n(3   1) n n2(  1)

11

2

1.2 2.3 ( 1).

12

12 22 42 (2 )2 2 ( 1).(2 1)

3

13 (1 – 1

4 )(1 –

1

9 )…(1 –

1

n2 ) =

n + 1 2n (n≥2)

14 1 + 3 + 6 + 10 + + n(n + 1)

2 =

n(n + 1)(n + 2)

6

15 1 1 1

n

16 1 1 1

n

17 1 1 1

n

18 3 4 2 2 1 1 1.2.2 2.3.2 (( 1).2n ( 1).2n

n



19 1 + 1

2 +

1

22 + +

1

2n = 1 –

1

2n

20 11 22 3 2 3

4

    

21

2

4 4 4 ( 1)(2 1)(3 3 1)

1 2

30

   

22



Bài 2 Chứng minh rằng ∀n∈N*:

1 n

n

2 2 1 (n≥3)

2 2n22n5

3 n

n2

2 (n≥4)

n

n

1

6 . n

7 . n

8 1 1 n1 n 1

1

10 1 1 1 13

n n   n  (n > 1)

Bài 3 Chứng minh rằng:

1 Với mọi số thực x >-1 ta có ( 1 x) n 1 nx ∀n∈N*

n 1 (n 1 ) (n>2)

3 n n

n (n 1 ) 1

4 (n!)2 n n

5 1.1!+2.2!+…+n.n! < (n+1)!

2 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

Bài 4 Chứng minh rằng:

1 n3 2 n chia hết cho 3

2 13 n 1 chia hết cho 6

3 n3 11 n chia hết cho 6

4 2 n

9 14 chia hết cho 5

5 10 n 4 chia hết cho 3

6 n

n

16 15 1 chia hết cho 225

7 n

n

4 15 1 chia hết cho 9

8 n

n

10 18 28 chia hết cho 27

9 3 2 n 1 2 n 2 chia hết cho 7

10 6 2 n 3 n 2 3 n chia hết cho 11

11 n n

. 2 2 2 1

7 2 3 chia hết cho 5

12 n n

. 3 2 3 1

5 2 3 chia hết cho 19

13 n4 6 n3 11 n2 6 nchia hết cho 24

14 n

4 3 32 36 chia hết cho 64

15 6 2 n 1 chia hết cho 35

16 n n

2

2 3 5 4 chia hết cho 25

17 5 2 n 1 2 n 4 2 n 1 chia hết cho 23

18 n

n

7 3 1 chia hết cho 9

19 n

n

2 1

3 40 67 chia hết cho 64

20 n6 3 n5 6 n4 7 n3 5 n2 2 n chia hết cho 24

21 n.( n 2 2 3 n 1 ) chia hết cho 6

22 11 n 1 12 2 n 1 chia hết cho 133

§2 DÃY SỐ

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* un+1 – un > 0 với  n  N*

 n 1 1

n

u

u  với n  N* ( un > 0)

 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N* un+1 – un< 0 với  n  N*

 n 1 1

n

u

u  với n  N* (un > 0)

2 Dãy số bị chặn

 (un) là dãy số bị chặn trên M  R: un  M, n  N*

 (un) là dãy số bị chặn dưới m  R: un  m, n  N*

 (un) là dãy số bị chặn m, M  R: m  un  M, n  N*

Bài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a) 222 1

1

u

n





2 1

n

u

n

 



2

1 1

u n







d) sin2 os2

u   c  e) u n  n cos2n f) ( 1)!

2

u  

Bài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a) 1 2, 1 1 1

3

u  u   u  b)u115,u2 9,u n2 u nu n1

c) 1 0, 1 22

1

n n

u u

u



 d) u11,u2  2,u n2 u n12u n

3 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

Bài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:

a) u11,u n1u n3 b) u13,u n1 1u n2 c) u13,u n12u n

d) u1 1,u n12u n1 e) u11,u n15u n7 e) 1 5

4

u  ,

2

1 1





n

u u

f) u n1u nn g)

u , u

1 2

2

Bài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

a) 2 1

3 2

u

n





( 1)!

n n

u n



2

n n

u n







d) 2 2 1

1

u

n

 



n





g)u n 2n35n1 h)u n 3nn k) u n 3nn

l) 3 1

2

n

u   m)u n  n n21 n)u n n 1 1

n

 



o)u n  n 1 n p) 2

3

n n

u     n

3

u  

Bài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

a) 2 3

2

u

n





( 1)

n

u

n n



d) 22 2

1

u

n n





2 2

u

n n n



  f) ( 1) cos

2

n n

u

n

§3 CẤP SỐ CỘNG

1 Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)

2 Số hạng tổng quát: u n  u1 (n 1)d với n  2

3 Tính chất các số hạng: 1 1

2

k

u   

 với k  2

1 2

n u u

S  u u  u   = 2 1 ( 1)

2

n u  n d

4 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

Bài 1: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó:

a) un = 3n – 7 b) 3 2

5

u   c) u n n2

d) u n 3n e) 7 3

2

u   f) 1

2

u  

Bài 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

a) 1 5 3

1 6

10 17

u u u

u u

4 6

10 26

u u u

u u

14

15 18

u u



d) 7 3

2 7

8

u u

u u

2 2

4 12

60 1170

u u

u u





1 3 5

1 2 3

12 8

u u u

u u u



g) 3 7 4

2 6

10 8

u u u

u u



  

7 3

2 7

8

u u

u u



 i)

2 5 3

4 6

10 26

u u u

u u



  

 k)

17 20

2 2

17 20

9 153

u u

u u







Bài 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng

b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng

Bài 4: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình

phương của chúng là 293

b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66

Bài 5: Xác định CSC biết:

a Cho một cấp số cộng cĩ 5 số hạng Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7 Hãy tìm các số hạng cịn lại

b Một cấp số cộng cĩ 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140 Hãy tìm cấp số cộng đĩ

c Cho một cấp số cộng cĩ 7 số hạng với cơng sai duơng và số hạng thứ tư bằng 11 Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số cộng đĩ, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6

d Hãy tìm một cấp số cộng cĩ 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10

e Cho cấp số cộng tăng (un) cĩ u31 u315 302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 Hãy tìm u1

và cơng sai d của cấp số cộng đĩ

f.Một cấp số cộng cĩ số hạ ng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400 Hỏi

cấp số cộng cĩ mấy số hạng, xác định cấp số cộng đĩ?

Bài 6: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng Tìm số đo các góc đó

b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30 Tìm số đo của các góc đó

5 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất Tìm số đo các góc đó

Bài 7: Hãy tính các tổng sau đây :

a Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng cĩ số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và

số hạng cuối bằng 999

b Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng cĩ số hạng đầu bằng 1/3, số hạng thứ hai bằng -1/3 và số hạng cuối bằng -2007

c Cho cấp số cộng (un) cĩ u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của (un)

d Cho cấp số cộng (un) cĩ u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ

e Bốn số tạo thành 1 cấp số cộng cĩ tổng = 10, tích = – 56 Tìm 4 số đĩ

f Năm số tạo thành 1 cấp số cộng cĩ tổng = 10, tích = 320.Tìm 5 số đĩ

g Ba số lập thành một CSC cĩ tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293 Tìm 3 số đĩ

Bài 8: Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng :

a a2 + 2bc = c2 + 2ab

b 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo thành 1 cấp số cộng

c a2 + 8bc = (2b + c)2

d 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2

Bài 9: Cho các số a,b,c > 0 Chứng minh rằng :

a các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 CSC  các số 1

b + c

, 1

c + a

, 1

a + b lập thành 1 CSC

b) các số a,b,c lập thành 1 CSC  các số 1

b + c

, 1

c + a

, 1

a + b lập thành 1 CSC

Bài 10: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với:

a) x b 2bc c y c 2;  2ca a z a 2;  2ab b 2

b) x a 2bc y b;  2ca z c;  2ab

Bài 11: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

a) a10 3 ; x b2x23;c 7 4x b) a x 1; b3x2;c x 21

Bài 12: Tìm các nghiệm số của phương trình: x315x271 105 0x  , biết rằng các nghiệm số phận biệt và tạo thành một cấp số cộng

Bài 13: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1= un

1 – un n ≥ 1

6 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

a Chứng minh rằng: un < 0 n  N

b Đặt vn = 1 + un

un Chứng minh rằng: (vn) là một CSC Từ đĩ suy ra biểu thức của un và vn

Bài 14: Tính tổng:

1 S 1 7 13 595

2 S 5 10 15 995

3 S 1790 1781 1772 8 1

4 S 1002 992 982 972 42 32 22 12

5 S 2002 1992 1982 1972 42 32 22 12

6 S 55 60 65 855

9 S 3 15 75 1171875

§4 CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội)

2 Số hạng tổng quát: u nu q1 n1 với n  2

3 Tính chất các số hạng: u2k u k1.u k1 với k  2

4 Tổng n số hạng đầu tiên: 11

1 (1 )

1 1

n

n n

S nu với q

u q

S với q

q



Bài 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a) 4 2

5 3

72 144

u u

u u

  

1 7

325

u u



2 6

90 240

u u

u u

  

 d)















180 a

a

60 a a

3 5

2 4

e)

















91 a a

a

728 a

a

5 3 1

1 7

f) 1 2 3

1 2 3

14

u u u

u u u

 g) 1 2 3

1 2 3

21

1 1 1 7

12

u u u

u u u



   

1 2 3 4

2 2 2 2

1 2 3 4

30 340

u u u u

u u u u





i) 4 2

5 3

60 180

u u

u u



  

 k)

7 1

1 3 5

728 91

u u

u u u

 



   

 l)

7 1

1 3

1460 20

u u

u u

 



  

 m)

7 1

1 3 5

325 65

u u

u u u

 



   



n) 5

9

96

192

u

u





 

 o)

90 240



  

 p)

8 272





  





Bài 2: a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân

b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân

Bài 3: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216

Bài 4: a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và

số hạng cuối là 486

b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số

7 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

hạng là 889

Bài 5: a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9

lần góc thứ hai

b) Độ dài các cạnh của ABC lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng ABC có hai góc không quá 600

Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ

nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560

Bài 7: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần

tổng các số hạng có chỉ số lẻ Xác định công bội của cấp số đó

Bài 8: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148

9 , đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng

Bài 9: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân Biết cơng bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu

bằng 25

Bài 10: Cho tứ giác ABCD cĩ 4 gĩc tạo thành 1 cấp số nhân cĩ cơng bội bằng 2 Tìm 4 gĩc ấy

Bài 11: Một cấp số nhân cĩ số hạ ng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, cơng bội q = 3 Hỏi cấp số

nhân ấy cĩ mấy số hạng

Bài 12: Xác định cấp số nhân cĩ cơng bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728

Bài 13: Tìm cấp số nhân cĩ 6 số hạ ng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62

Bài 14: Tìm cấp số nhân cĩ 4 số hạ ng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng cịn lại bằng 72

Bài 15: ch số x, y, , th thứ tự ập thành 1 N, đ ng th i ch ng à số hạng đầu, số hạng thứ

và thứ của 1 m số đĩ, biết tổng a ch ng b ng 1

Bài 16: ch số x,y, , th thứ tự ập thành 1 N với cơng bội hác 1, đ ng th i các số x, 2y,

th thứ tự ập thành 1 với cơng sai hác ìm

Bài 17: ch số x,y, , th thứ tự ập thành 1 N, số x, y- , th thứ tự ập thành 1 N, và các số x, y- , - th thứ tự ập thành 1 ìm x,y,

Bài 18: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân

Bài 19: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số

hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24

Bài 20: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2, ab +

5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân

Bài 21: Chứng minh rằng nếu 3 số 2 , ,1 2

y x y y z  lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân

Bài 22: Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 CSN Chứng minh rằng

a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2

8 Trần Quang – 01674718379 Study the past if you would define the future

b) 3 số 2

b – a ;

1

b ;

2

b – c tạo thành 1 cấp số cộng

Bài 23: Cho một cấp số nhân cĩ 5 số hạng với cơng bội dương Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số

hạng thứ tư bằng 6 Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ

Bài 24: Một cấp số nhân cĩ 7 số hạng với số hạng đầu và cơng bội là các số âm Biết rằng tích các số hạng

thứ ba và thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746 496 Hãy tìm cấp số nhân đĩ

Bài 25: Cho một cấp số nhân cĩ 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ

hai Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ

Bài 26: Xác định cấp số nhân g m 6 số hạng với ba số hạng đầu bằng 168 và ba số hạng cuối bằng 21 Bài 27: Hãy tính các tổng sau :

1 Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân cĩ số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai bằng –2 và số hạng cuối bằng 64 2

2 Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân cĩ 11 số hạng, số hạng đầu tiên bằng 3

4

và số hạng cuối

bằng 256

81

3 S 1 4 16 64 1048576

4 S 1536 768 3

5 S 5 5 5

5

6 S 2 4 1024

1

3