bài giảng giới hạn và liên tục

Hàm cho bởi phương trình tham số.Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = xt là t = tx... giới hạn tráiSố a gọi là giới hạn trái của y = fx tại điểm x0, nếu Đị

Nội dung -

I.2 – Giới hạn của hàm số

Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại

đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm

Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu

Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua

Xét hàm lượng giác y = sin x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên đoạn - , , y = sin x là hàm 1 – 1.

Xét hàm lượng giác y = cos x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên đoạn 0, , y = cos x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arccosx

Miền xác định: [-1,1]

Hàm arcsin x

,

Hàm luôn luôn giảm

Xét hàm lượng giác y = tanx

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên khoảng , , y = tan x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arctan x

Xét hàm lượng giác y = cot x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên khoảng 0, , y = cot x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccot x

Miền xác định: R

Hàm arctan x

,

x



Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

1) cosh ( ) sinh ( ) 1a  a 

2) sinh(2 )a  2sinh( ) cosh( ); cosh(2 )a a a cosh ( ) sinh ( )a  a

3) cosh(ab) cosh( ) cosh( )a b sinh( ) sinh( )a b

4) cosh(a b ) cosh( ) cosh( ) sinh( )sinh( )a b  a b

5) sinh(ab) sinh( ) cosh( ) sinh( ) cosh( )a b  b a

6) sinh(a b )sinh( ) cosh( ) sinh( ) cosh( )a b  b b

và các công thức lượng giác hyperbolic khác

Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công

thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay

sin bởi isinh.

Ví dụ.Từ công thức cos2 asin2a 1

ta có cosh2ai2sin2a 1

cosh a sinh a 1

Hàm cho bởi phương trình tham số.

Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,

giả sử của x = x(t) là t = t(x)

Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận

V nào đó của điểm t0

Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm

cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t)

Ví dụ

Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số

2cos3sin (1)

(1)

sin3

Ví dụ.

Phương trình tham số của đường

tròn tâm O bán kính R:

cossin

1 cos 1lim

2

x

x x

f

x D x B f x a 

Định nghĩa

thì f(x) trong khoảng này

khi x trong khoảng

lim ( )

x f x L

Định nghĩa (ngôn ngữ dãy )

Cho x 0 là điểm tụ của miền xác định

Nếu tìm được hai dãy (x n),(x n' ) x0 mà f x( n), (f x n' )

hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn

2 Giới hạn của hàm số

Ví dụ Chứng tỏ không tồn tại giới hạn

0

1limsin

x x

2

n n

sin 1) lim 1

x

x x

0

1 2) lim 1







x x

e x

2 0

Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x0

Định nghĩa (giới hạn trái)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

Định nghĩa (giới hạn phải)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

Ví dụ

1

1 lim

0

sin lim

| |



x

x x

Định lý.

Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới

hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau

Chú ý

Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm không có giới hạn

Chú ý

Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường

hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x x0.

Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

0

Tổng hữu hạn các VCB

2 2 0

Ví dụ

0

ln(cos )lim

x

2 0

2 2 0

/ 2 1lim

sin

Ví dụ.

Tính giới hạn

2 2 0

coslim

1 1 coslim

I

x

2 2 2 0

sin x  x

Ví dụ

Tính giới hạn

sin 5 sin 0

limln(1 2 )

e I

1lim 1

Ví dụ

Tính giới hạn

sinh 3 sinh 0





Ví dụ.

3 4 0

1 (cos 1)lim

x x

( / 2)lim

2

x

x x I

2 cos(1/ )lim

arctan

x x

3 0

sin 2lim

Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.

x

x x x





3 0

1 cos6) lim

1 cos lim

Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi x 0

Qui tắc ngắt bỏ VCL

0

Tổng hữu hạn các VCL

x

I) Tìm các giới hạn sau.

Bài tập

2 2 2

41) lim

2 0

x x

2 2

29) lim

x x

1/ 110) lim

2 2

1411) lim

1412) lim

0

sin 2 2arctan 3 315) lim

10 / 37

Qui tắc ngắt bỏ VCL

0

Tổng hữu hạn các VCL

x

3 Liên tục của hàm số

Hàm y  f x( ) được gọi là liên tục tại , nếu xác định

tại điểm này và

1) Điểm gián đoạn loại một:

Định nghĩa

Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y  f x( )

giới hạn trái f(x 0- ) và phải f(x 0+) tồn tại và hữu hạn

x0 là điểm khử được: f(x 0- ) = f(x 0+)

2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một

Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại

hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng

x0 là điểm nhảy: f x( 0)  f x( 0)

bước nhảy: h  f x( 0) f x( 0)

x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được

x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.

Nếu y  f x( ) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B

thì  C [ , ]A B tồn tại x0 a b,  sao cho f x( 0)C.

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

Hàm liên tục tại x = 0 Vậy hàm liên tục trên R

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

Bước nhảy: h  f  0  f  0   1 ( 1)  2

Tập xác định:

Ví dụ

1( ) arctan

Ví dụ

cos( / 2)

, / 2,3 / 2 , 0,sin

khơng tồn tại.

0

limsin

x k

x x

là số hữu tỷ

0, là số vô tỷ

Khảo sát điểm gián đoạn

Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm (Vì sao??)

Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai

là số hữu tỷ.

0, là số vô tỷ

Khảo sát điểm gián đoạn

Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm khác 0

Các điểm khác khơng là những điểm gián đoạn loại hai

II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

2

11) ( )f x arctan

x



2) ( )f x sin(xlg( x 1))

1 13) ( ) ln

arctan(1/ )

x y

x= 0, loại haix= -1, điểm nhảy, h = -2x= 3, điểm nhảy, h = 2x= 0, điểm nhảy, h = 2

liên tục trên MXĐx= 0, khử được

V) Tìm giá trị a để hàm liên tục

(1 ) 1

, 0,1) ( )

n x

VII) CMR pt 2x  4x có ít nhất hai nghiệm thực

VIII) CMR pt xsinx 1/ 2 có vô số nghiệm

IX) CMR pt 1 chỉ có một nghiệm