Ta đã biết trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là tọa độ Descartes của nó; x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ. Tổng quát: Mỗi bộ có thứ tự n số thực (x1, x2,..., xn) gọi là một điểm n chiều. Ký hiệu M(x1, x2,..., xn) có nghĩa là điểm n chiều M có các tọa độ x1, x2,..., xn. Tập các điểm M(x1, x2,..., xn) gọi là không gian Euclide n chiều. Ký hiệu tập này là Rn.
Trang 1HÀM NHIỀU BIẾN GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 Không gian n chiều
• Ta đã biết trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z)
là tọa độ Descartes của nó; x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ
Tổng quát: Mỗi bộ có thứ tự n số thực (x1, x2, , xn) gọi là một điểm n chiều Ký hiệu M (x1, x2, , xn) có nghĩa là điểm n chiều M có các tọa độ x1, x2, , xn Tập các điểm M (x1, x2, , xn) gọi là không gian Euclide n chiều Ký hiệu tập này là
Rn
• Cho M (x1, x2, , xn) ∈ Rn, N (y1, y2, , yn) ∈ Rn Gọi khoảng cách giữa M và N,
ký hiệu d (M, N), là số thực tính theo công thức:
d(M, N) =
q (x1− y1)2+ + (xn− yn)2=
s
n
∑
i=1
(xi− yi)2
Tương tự như trong R, R2, R3 ta nhận được bất đẳng thức tam giác trong Rn Tức
là với 3 điểm A, B,C bất kỳ trong Rn ta có:
d(A,C) ≤ d (A, B) + d (B,C)
• Cho M0 x01, x02, , x0n ∈ Rn và ε > 0 Tập Ωε(M0) = {M ∈ Rn: d (M, M0) < ε} gọi là ε− lân cận hoặc lân cận bán kính ε của M0 hoặc hình cầu mở tâm M0 bán kính ε
• Cho E ⊂ Rn Điểm M ∈ E gọi là điểm trong của E nếu ∃ε > 0 : Ωε(M) ⊂ E Điểm
N ∈ Rn gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ Ωε(N) đều chứa những điểm thuộc E
và điểm không thuộc E(∀ε > 0) Tập E gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó Tập các điểm biên của
E ký hiệu ∂ E Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E = E ∪ ∂ E
• Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu tồn tại số N sao cho E ⊂ ΩN(0)
• Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau
bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E Tập liên thông E gọi là đơn
liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín trong R 2; một mặt cong kín trong R3) Tập liên thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai
mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một
Ví dụ 1 Xét các tập sau trong R2
A=(x, y) : x2+ y2< 4
B= {(1, 2) , (−1, 0) , (0, 0)}
và R2
Giải: Ta có:
∂ A =(x, y) : x2+ y2= 4 − đường tròn tâm O bán kính 2
A=(x, y) : x2+ y2≤ 4 − hình tròn kể cả biên
A, R2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc)
A, B là các tập giới nội, R2không giới nội (cả mặt phẳng Oxy)
Trang 22 Định nghĩa hàm nhiều biến
Cho D ⊂ Rn Gọi ánh xạ
f : D → R
Hay là M (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (M) = f (x1, x2, , xn) ∈ R là một hàm số của n
biến số xác định trên D D gọi là miền xác định của hàm số f; x1, x2, , xn là các biến
số độc lập, còn u gọi là biến số phụ thuộc.
3 Miền xác định của hàm nhiều biến số
Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f (M) mà không nói gì về miền xác định D của
nó thì pahir hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu
thức f (M) có nghĩa Miền xác định của hàm số thường là tập liên thông
Ví dụ 2 Tìm miền xác định của các hàm số sau đây và mô tả hình học các miền đó
1 z =p1 − x2− y2
2 x = ln (x + y)
3 u = p y
9 − x2− y2− z2
Giải:
1 Miền xác định là tập (x, y) ∈ R2sao cho 1 − x2− y2≥ 0 hay x2+ y2≤ 1 Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng 1 (Hình 1a) hình tròn đóng này có thể mô tả bởi
hệ bất phương trình:
( −1 6 x 6 1
−p1 − x26 y 6p1 − x2
2 Miền xác định là tập (x, y) ∈ R2 thỏa mãn x + y > 0 hay y > −x Đó là nửa mặt phẳng có biên là đường y = −x (Hình 1b) Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình:
−∞ < x < +∞
−x < y < +∞
3 Miền xác định là tập (x, y, z) ∈ R3 thỏa mãn x2+ y2+ z2 < 9 Đó là hình cầu mở tâm O bán kính bằng 3 (Hình 1c) Hình cầu mở này được mô tả bằng hệ bất phương trình:
−3 < x < 3
−p9 − x26 y 6p9 − x2
−p9 − x2− y26 z 6p9 − x2− y2
4 Giới hạn của hàm nhiều biến số
Khái niệm giới hnaj của hàm nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàm một biến số Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d (M0, M) giữa hai điểm M0 và M trong không gian Rn Để đơn giản trong cách viết chúng ta xét trong không gian 2 chiều R2
Trang 3• Ta nói dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0); ký hiệu Mn→ M0khi n → ∞ nếu lim
n→∞d(Mn, M0) = 0 hay
(lim
n→∞xn= x0 lim
n→∞yn= y0
• Cho hàm z = f (x, y) xác định ở lân cận M0(x0, y0), có thể trừ điểm M0 Ta nói rằng hàm f (M) có giới hạn là l khi M (x, y) dần đến M0(x0, y0) nếu mọi dãy điểm
Mn(xn, yn) thuộc lân cận dần đến M0 ta đều có: lim
n→∞f(xn, yn) = l
Ta thường ký hiệu lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = l
Sử dụng ngôn ngữ "ε − δ " có thể định nghĩa như sau: Hàm số f (M) có giới hạn l khi M → M0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < d (M0, M) < δ ⇒ | f (M) − l| < ε
Chú ý 1 • Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lý về giới hạn: tổng, hiệu, tích, thương đều giống như hàm một biến số.
• Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l của hàm số f (x, y) khi M → M0 không phụ thuộc đường đi của M tiến đến M0, vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến đến
M0mà f (M) tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại M0.
Ví dụ 3 Tìm các giới hạn:
1. lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2
2. lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+ y2
3. lim
(x,y)→(0,0)
xy p
x2+ y2
Giải:
1 Ta có d (M, O) =px2+ y2và
x2y
x2+ y2− 0
≤ |y|
Do đó ∀ε > 0, ∃δ = ε : 0 < d (M, M0) =px2+ y2< δ ⇒ |y| < δ = ε Vậy:
lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2 = 0
2 Cho M (x, y) → O (0, 0) theo đường y = Cx, C = const thì
xy
x2+ y2 = Cx
2
(1 +C2) x2 ⇒ lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+ y2 = C
1 +C2
chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào C, do đó hàm đã cho không có giới hạn
3 Ta có
xy p
x2+ y2− 0
x2+ y2|y| ≤ |y| Lập luận tương tự câu 1 suy ra
lim
(x,y)→(0,0)
xy p
x2+ y2 = 0
Trang 45 Tính liên tục
5.1 Định nghĩa
• Hàm số f (M) xác định trên miền D và M0 ∈ D Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại M0nếu lim
M→M0 f(M) = f (M0)
• Hàm số f (M) xác định trên miền D được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M ∈ D
• Hàm số f (M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm N ∈ ∂ D theo nghĩa: lim
M→N f(M) = f (N) , M ∈ D
• Nếu đặt ∆ f (x0, y0) = f (x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f (x0, y0) gọi là số gia toàn phần của hàm số tại (x0, y0) Khi đó hàm số f (x, y) liên tục tại (x0, y0) nếu như ∆ f (x0, y0) →
0khi ∆x → 0 và ∆y → 0
5.2 Tính chất
Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây:
Định lý 1 Nếu f (x, y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và
giá trị bé nhất trong miền D tức là ∃M1, M2∈ D để có bất đẳng thức kép:
f(M1) ≤ f (M) ≤ f (M2) , ∀M ∈ D
... = f (M0)• Hàm số f (M) xác định miền D gọi liên tục miền D liên tục điểm M ∈ D
• Hàm số f (M) liên tục miền đóng D liên tục miền D liên tục điểm N ∈ ∂ D theo nghĩa:... C
1 +C2
chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác phụ thuộc vào C, hàm cho khơng có giới hạn
3 Ta có
xy... data-page="4">
5 Tính liên tục< /b>
5.1 Định nghĩa
• Hàm số f (M) xác định miền D M0 ∈ D Ta nói hàm số f (M) liên tục M0nếu lim
M→M0