Giáo trình dùng cho giáo viên và sinh viên dạy thêm, dạy kèm và học sinh khá giỏi. Học sinh chưa có nền tảng kiến thức k nên sử dụng. Mình rất bận nên sẽ k rep tin nhắn hỏi đáp án hay cách làm :) các bạn thông cảm
Trang 1M' M
∆
I
∆
a
H
M'
I
M
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I Phép tịnh tiến: T u: M M MM' u
( , )
u a b
T : M(x; y) M(x; y) Khi đó: y x'' y b x a
II Phép đối xứng trục: Đd: M M d là trung trực MM’
ĐOx: M(x; y) M(x; y) Khi đó: x y'' x y
ĐOy: M(x; y) M(x; y) Khi đó: x y'' y x
III Phép đối xứng tâm: ĐI: M M IM' IM
ĐI(a,b): M(x; y) M(x; y) ⟹ y x' 2' 2a x b y
IV Phép quay: Q(I,φ): M(x;y) M(x’;y’)
' ( ;IM IM IM IM')
Lưu ý: 1.Nếu O≡I thì ' cos sin
' sin cos
2 Q( ; 90)I Q( ; 90)O o IO T
V Phép vị tự: V(I,k): M M IM' k IM. (k 0)
V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N M N' ' k MN.
V( , )I k : ( ; )O R ( '; ')O R R' k R
V(I(a,b),k): M(x; y) M(x; y) Khi đó: x y'' ky kx (1(1 k b k a))
Chú ý:
Cho d: ax+by+c = 0
Ta cĩ:
T a:d d' ⟹d//d’
V( , )I k :d d' ⟹d//d’
ĐI Q( ,180)I :d d'
⟹d//d’
Q( ; 90)O :d d' ⟹d⊥d’
Đ :d d'
M(x,y)⟼M’(x’,y’) Gọi a là đường thẳng qua
M và vuơng gĩc với ∆ Gọi H = a ∩ ∆ Khi đĩ H là trung điểm MM’
Gọi I = d ∩ ∆ Khi đĩ d’ là M’I
Lưu ý:
d ∩ ∆ = I⟹ I ∈ d’
d // ∆ ⟹ d// d’
d ⊥ ∆ ⟹ d ≡ d’
Trang 2Trần Quang – 01674718379
DẠNG 1: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT Bài 1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d Lấy hai điểm P,Q cố
định trên d
a Tìm trên d điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất
b Tìm M và N thuộc d sao cho MNPQ và MA+NB ngắn nhất
Bài 2 Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm về hai phía của d Tìm điểm M trên d sao
cho MAMB lớn nhất ?
Bài 3 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 và hai điểm cố định AB nằm hai phái ngoài d1
và d2 Tìm M và N thuộc d1 và d2 sao cho MN⊥ d1 và AM+BN ngắn nhất
Bài 4 Cho hình vuồn ABCD có tâm O Tìm M ∈ AB, N ∈ CD sao cho MN//BC và
OM+MN+NB ngắn nhất ? Hd: dùng TBC :O ↦O’
Bài 5 Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B nằm trong góc đó Đường thẳng d bất kì qua A cắt
Ox, Oy tại P và Q
a CMR diện tích ∆OPQ lớn nhất khi A là trung điểm PQ
b Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho chu vi ∆AMN nhỏ nhất
c Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho MA+NB nhỏ nhất
Bài 6 CMR trong tất cả các tam giác có chung một cạnh và cùng diện tích thì tam giác cân có
chu vi nhỏ nhất
Bài 7 Cho ∆ABC có m là tia phân giác ngoài góc A và M là điểm tùy ý thuộc m Cmr chu vi
∆ABC≤∆MBC ?
Bài 8 Cho ∆ABC Tìm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB sao cho chu vi ∆MNP nhỏ nhất
biết:
a M và N cho trước? b M cho trước? c M,N,P chưa biết ???
Hd: c Giả sử dựng được M Dựng M1 và M2 đối xứng với M qua AB và AC Cmr
1 2 2
M AM BAC không đổi ⇒ M1M2 ngắn nhất khi AM1 và AM2 ngắn nhất (Định lý cosin) mà
AM1 = AM2 =AM khi M là chân đường cao AH Tương tự P và N là các chân đường cao
Bài 9 Cho ∆ABC có góc C ≤ 120o và M là điểm tùy ý nằm trong ∆ABC Tìm M để
MA+MB+MC nhỏ nhất ? Hd: Dùng Q(C,60)
Bài 10 Cho ∆ABC đều và M là điểm tùy ý ngoài ∆ABC CMR MB≤MA+MC nhỏ
nhất ? Tìm M để dấu “=” xảy ra ? Hd Dùng Q(A,60)
Bài 11 Cho tứ giác ABCD có AB=a,BC=b,CD=c,DA=d CMR
2
ABCD
ac db
Hd: Gọi ∆ là trung trực BD Đ∆: C⟼C’ ' 1 .sin '
ABC
ac
S ac ABC và ' 1 .sin '
ADC
bd
S bd ADC
Trang 3Trần Quang – 01674718379
DẠNG II: DỰNG HÌNH Bài 1 Cho vecto a , đường thẳng d và d’ cắt nhau, đường tròn (O), (O’) Dựng M và N thỏa:
a M ∈ d và N ∈ d’ sao cho MNa
b M ∈ d và N ∈ (O) sao cho MNa
c M ∈ (O) và N ∈ (O’) sao cho MNa
Bài 2 Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, BC = b và (AC BD, )
Hd: Dựng hbh ACC’B C năm trên cung chứa góc φ trên dây AC’ và BC=b
Bài 3 Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tại A và B với OO’=m 2 Dựng đường thẳng d qua A cắt (O),(O’) tại P và Q sao cho PQ = 2m
Hd: Gọi M và N là trung điểm AP và AQ ⟹ MN = m Kẻ ON’ ⊥NO’ ⇒ N’O’=m 2
Bài 4 Cho hai đường tròn (O),(O’) và đường thẳng d dựng đường thẳng d’ // d và cắt
(O),(O’) theo các dây cung AB và CD sao cho AB = CD ?
Hd: Gọi I và I’ là hình chiếu của O và O’ lên d Dùng TII'
Bài 5 Cho ∆ABC Dựng tam giác MNP nhận A,B,C làm trung điểm các cạnh MN,NP,PM Bài 6 Cho ∆ABC Tìm điểm M trên AB và N trên AC sao cho MN//BC và AM = CN
Hd: Dựng hbh MNCD CMR D là chân phân giác trong AD
Bài 7 Cho a xác định, đường tròn (O) có hai dây cung AB và CD không cắt nhau Tìm M
∈(O) ssao cho MA và MB cắt CD tại E và F thì EFa?
Hd: dùng T a:A A' thì A FB' AMB không đổi
Bài 8 Cho đường thẳng d, đường tròn (O) và điểm I Tìm M ∈ d và N ∈ (O) sao cho I là trung điểm MN
Bài 9 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d
a Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’
b Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài
Bài 10 Cho góc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong góc Dựng đường thẳng d qua A cắt
Ox, Oy tại m và N sao cho A là trung điểm MN?
Bài 11 Cho điểm A và hai đường tròn (O), (O’) Tìm B và C thuộc hai đường tròn trên sao cho
∆ ABC đều?
Bài 12 Cho hai đường thẳng song song d và d’ G là điểm cố định không nằm trên d và d’
Dựng ∆ ABC đều thỏa mãn: A, B nằm trên d và d’, G là trong tâm tam giác ABC ?
Bài 13 Cho tam giác ABC có góc A = α, điểm M cố định nằm trên AB.Tìm N và P thuộc Bc
và AC sao cho MP=MN và MN tiếp tuyến với dường tròn ngoại tiếp ∆AMP?
Trang 4Trần Quang – 01674718379
Hd: CMR NMPMAP Phép QM,:A A' Khi đó suy ra (A’N,AP)=α Gọi I là giao điểmA’N và AP ⟹ NI//AM (hai góc đồng vị) hay A’N//AB
Bài 14 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Dựng đường thẳng d qua A cắt
(O) và (O’) tại M,N sao cho:
a A là trung điểm MN b N là trung điểm AM
Bài 15 Cho tam giác nhọn ABC Dựng hình vuông MNPQ sao cho P và Q nằm trên BC, M và
N nằm trên AB và AC
Bài 16 Cho tứ giác lồi ABCD Trên các cạnh AB,BC,CD, DA dựng các đỉnh hình thoi MNPQ
và MN//AC, MQ//BD ?
Bài 17 Cho góc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong góc Dừng đường tròn (O) đi qua A
và tiếp xúc với Ox, Oy ?
Bài 18 Cho hai đường tròn (O;r) và (O’;R) khác bán kính và tiếp xúc ngoài với nhau Điểm M
cố định nằm trên (O) Dựng đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với hai đường tròn trên ?
Bài 19 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau tại A Điểm B cố định trên
(O) Dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại B và tiêp xúc với d ?
Bài 20 Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại C tìm trên d và d’ điểm A và B sao cho ABC
vuông cân tại A
DẠNG III: QUỸ TÍCH
Bài 1 Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó
Chứng minh rằng
a Trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
b Gọi P là đỉnh của tam giác đều AHP Tìm quỹ tích P?
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD có A cố định, ABD nội tiếp đg tròn (O;R) cố định và B,D
di động trên (O;R) nhưng BD = 2a không đổi Tìm quỹ tích:
a Trung điểm I của BD b Trực tâm H của ABD c Quỹ tích C
Hd: c dựng đường kính AK CMR K là trục tâm BCD ⇒ AHCK là hbh …
Bài 3 Cho tam giác ABC cố đinh có trực tâm H Về phía A của nữa mặt phẳng bờ BC, dựng
hình thoi BCDE Hạ EE1⊥AC, DD1⊥AB Gọi M = EE1∩DD1 Tìm quỹ tích:
a Điểm D b Điểm M
Hd: b Cmr BHEM là hbh Dựa vào các cạnh song song suy ra MEDHBC và MDEHCB Khi đó ∆HBC=∆MED⇒HCDM là hbh Khi đó DM CH cố định
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi
Trang 5Trần Quang – 01674718379
Bài 5 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các
đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?
Bài 6 Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định Với mỗi điểm M , ta xác định điểm
M’ sao cho MM' MA MB Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R)
Bài 7 Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm trên a ta
dựng tam giác đều ABC có tâm là G Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a?
Bài 8 Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên (O) Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B và M3 là điểm đối xứng với
2
M qua C Tìm quỹ tích điểm M3 ?
Hd: Gọi D là trung điểm MM3 CMR ABCD là hbh ⇒D cố định
Bài 9 Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi trên
đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N Tìm quỹ tích điểm N
Bài 10 Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và
PQ là đường kính thay đổi của (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB lần lượt tại M và N
a Chứng minh Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ
b Tìm quỹ tích của các điểm M,N khi đường kính PQ thay đổi
Bài 11 Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định Một dây cung thay đổi của (O;R) có
độ dài bằng m không đổi Tìm quỹ tích các điểm G sao cho GA GB GC 0
Bài 12 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R , các đỉnh B,C cố định còn A thay đổi trên (O) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn
Bài 13 Cho nữa đường tròng tâm O đường kính AB Điểm M di động trên đường tròn Phía ngoài MAB dựng hình vuông AMNP Tìm quỹ tích P và N ?
Bài 14 Cho ∆ABC Trên Bx, Cy là tia đối của BA, CA lấy D và E di động sao cho
BD=2CE Tìm quỹ tích trung điểm M của DE?
Hd: Dựng Bt//Cy
Trang 6Trần Quang – 01674718379
K H
O2
O
A
DẠNG 4: ÁP DỤNG PHÉP DỜI HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG ĐỂ CHỨNG MINH Bài 1 Cho ∆ABC cĩ A1, B1, C1 là trung điểm BC, CA, AB Gọi O1, O2, O3 I1, I2, I3 là tâm đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ∆AB1 C1 , ∆A1 BC1 , ∆A1 B1 C CMR ∆O1O2 O3 = ∆I1 I2I3 ?
Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) với AD=R Dựng các hình bình hành
DABM và DACN Cmr tâm đường trịn ngoại tiếp DNM nằm trên (O) ?
Bài 3 Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải hình thang Gọi M, N là trung điểm AB và CD Biết
MN tạo với AD và BC hai gĩc bằng nhau Cmr AD =BC ?
Bài 4 Cho hbh ABCD và M nằm trong tam giác MBD Biết MBCMDC, Cmr AMDBMC?
Bài 5 Bên ngồi ∆ABC, dựng hình chử nhật BCDE Các đường thẳng qua D và E lần lượt vuơng gĩc với AB, AC, cắt nhau tại K Cmr AK⊥BC?
Hd: Gọi H là trực tâm ∆ABC Cmr T BE:BH EK CH; DK suy ra H↦K
Bài 6 Cho ∆ABC cĩ tâm đường trịn nội tiếp I, diểm P tùy ý nằm trong ∆ABC Gọi A’, B’, C’ là điểm đối xứng với P qua AI, BI, CI Cmr AA’, BB’, CC’ đồng quy ?
Hd: Cmr AA’ là trung trực B’C’ Tương tự BB’, CC’ là các trung trực của tam giác A’B’C’
Bài 7 Cho ABC với trực tâm H
a Cmr các đường trịn ngoại tiếp các ∆HAB, HBC, HCA cĩ R bằng nhau
b Gọi O1, O2, O3 là tâm của các đường trịn nĩi trên Chứng minh rằng
đường trịn đi qua 3 điểm O1, O2, O3 cĩ bán kính bằng bán kính đường
trịn ngoại tiếp ABC
Hd: a dùng D BC : HBC KBC
b Cmr O BO1 2 2ABCAOC ⟹∆OAC=∆BO1 O2 ⟹ AC=O1 O2
Bài 8 Cho tứ giác ABCD có A = 600, B = 1500, D = 900, AB = 6 3, CD = 12
Tính độ dài các cạnh AD và BC
Hd: Dựng hbh ABCC’ ⟹góc BAC’=30⟹ BC = 6, AD = 6 3
Bài 9 Cho ABC cân đỉnh A Điểm M chạy trên BC Kẻ MD AB, ME AC Gọi D =
ĐBC(D) Tính BD M' và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Hd: BD M' = 1v; MD + ME = BH với BH⊥AC
Bài 10 Cho ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF Chứng minh IMJ
vuông cân Hd: Xét phép quay Q (A,90 0 )
Trang 7Trần Quang – 01674718379
Bài 11 Cho ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 1
2FK
Hd: Gọi D = Đ (A) (B) Xét phép quay Q (A,90) :D↦F, C↦K
Bài 12 Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE Chứng minh BMN đều
Bài 13 Cho OAB và OA’B’ vuơng cân tại O sao cho O nằm giữa B’A và nằm ngồi A’B Gọi G và G’ là trọng tâm OAA’ và OBB’ Cmr OGG’ vuơng cân ?
Bài 14 Cho ABC Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC1, CAB1, CAB1 Chứng minh rằng :
a AA1, BB1, CC1 bằng nhau?
b AA1, BB1, CC1 đồng quy ?
Hd: a Xét các phép quay Q (A,60 0 ) , Q (B,60 0 )
b Gọi I=AA 1 ∩ CC 1 Q (B,60) :A↦C 1 ; A 1↦C, I↦J Vì A, A 1 , I thẳng hàng nên C, C 1 , J thẳng hàng Xét Q (A,60) :C 1↦B; C↦B 1 , J↦I Tính thẳng hàng suy ra I thuộc BB 1
Bài 15 Cho ABC đều tâm O Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD + AE = AB Chứng minh rằng OD = OE và DOE = 1200
Hd: Xét phép quay Q (O,120 0 )
Bài 16 Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F CM cắt AD tại N Chứng minh rằng:
a) CM + CN = EF b) 12 12 12
CM CN AB Hd: Xét phép quay Q (C,90 0 )
Bài 17 Cho ABC Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và D nằm khác phía với AB Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của ABC
Hd: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC Gọi O là tâm hình vuông ACIJ Xét
phép quay Q (O,90 0 ) IB CK Tương tự CD BK
Bài 18 Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và GH 2GO
Hd: Gọi A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB Cmr O là trực tâm A’B’C’ Xét V (G,–2)
Trang 8Trần Quang – 01674718379
Bài 19 Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O) Tìm quĩ tích trọng tâm G của ABC
Bài 20 Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O)
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H của MPQ
HD: a) Kẻ OI d, OI cắt PQ tại N OI ON r 2 N cố định
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O 1 ) đường kính NO
Tập hợp các điểm O đường trung trực đoạn OI
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O 2 ) = V (O,2)
Bài 21 Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định
c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ABC
Hd: a) AO cắt (AMN) tại D OA OD OM ON R2 D cố định
b) AO cắt BC tại E AE AD AO 2 R2 E cố định
c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O 1 ) đường kính EO
Tập hợp các điểm G là đường tròn (O 2 ) = 2
( , ) 3
A
V (O 1 )
Bài 22 Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn Một điểm M chạy trên đường tròn AM cắt d tại D,
CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của MAC
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD CDNE là hình thang c) Gọi I là trung điểm AC Kẻ GK // MO Tập hợp các điểm G là đường tròn (K,
3
R ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép 1
( , ) 3
I
V