Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục potx

Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hà

Nội dung

Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Bạn nên học và làm bài tập của bài này

trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4

là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng

phụ thuộc hay hàm số của x

Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f

Tập hợp f (X) {y= ∈\, y f (x) : x X}= ∈ gọi là miền giá trị của f

Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y f (x)= mà không nói gì thêm thì

ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa

Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]

Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến

Hàm f (x) là một hàm số xác định trên R Nếu x không âm thì giá trị của hàm số

được tính theo công thức: f (x) x= 2+ Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: 1

Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa

độM x; y( ), ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X

Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa

các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá

trị của hàm số và biến số Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi

1.1.3.1 Hàm số đơn điệu

Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b)

• Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x1 2∈(a, b), x1<x2kéo theo: f (x ) f (x )1 ≤ 2

CHÚ Ý:

Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền

Hình 1.2

(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là:

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) )

• Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x1 2∈(a, b), x1<x2kéo theo: f (x ) f (x )1 ≥ 2

(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức:

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) )

Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này

Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải

• Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) f ( x)= − với mọi x D∈

Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi

• Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x)= − − với mọi x Df ( x) ∈

Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu

Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D≡ R ) nếu

tồn tại số thực p 0≠ sao cho:

Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f

Ví dụ 5:

Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì:

sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cos x x+ π = + π = ∀ ∈ R

Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì:

Giả sử ta có hai hàm số

y f (u)= biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u

u= ϕ(x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x

Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u= ϕ(x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y f (u)= Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc:

f

x⎯⎯ϕ→ ⎯⎯u → , hay y f ( (x))y = ϕ

Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ

Ký hiệu: g f ( (x))= ϕ (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x )

Ví dụ 6:

Hàm số y sin x= 5 là hàm hợp của hai hàm y u= 5 và u sin x=

Cách nói sau cũng được chấp nhận:

“Hàm số g(x) sin x= 5 là hàm hợp của hai hàm f (x) x= 5 và (x) sin xϕ = ”

Xét hàm số y f (x)= có miền xác định X , miền giá trị Y f (X)= Nếu với mỗi y0∈ Ytồn tại duy nhất x0∈ để X f (x ) y0 = 0(hay phương trình f (x) y= 0 có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số y Y∈ thành nghiệm duy nhất của phương trình

f (x) y= là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f−1

1

f (y) x− = ⇔f (x) y.=Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f−1

o Hàm số y =cotgx ( ( )0,π → R) có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là:

Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3

CHÚ Ý :

• Đồ thị của hai hàm ngược nhau không

thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị

định nghĩa:

M (x, y) (C)= ∈ ⇔M ' (y, x) (C ')= ∈

o y cos x= : Có MXĐ là R ,

MGT [ 1,1]− ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác

Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π

MGT R ; cho tương ứng mỗi

số thực x với tung độ của giao điểm tia OM (M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x 1=

Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π

o y = cotgx: Có MXĐ là R\ k , k{ π ∈Z}, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x

với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y 1= Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π

Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác

Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác

• Hàm lượng giác ngược

Ví dụ 8:

Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp:

• Hàm bậc nhất: y ax b= +

• Dãy tăng nếu xn <xn 1+ ∀ ∈ ` n

• Dãy giảm nếu xn >xn 1+ ∀ ∈ ` n

• Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm

• Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho xn ≤M, n∀ ∈ `

• Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn ≥m, n∀ ∈ `

• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

Trong ví dụ 10

• Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1

• Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi 1− và bị chặn trên bởi 1

• Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn

• Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1

Ta viết: n

n

lim x a

→∞ = hay xn →a khi n→ ∞ Dãy { }xn được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để n

n

lim x a

→∞ = Trong trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ

Trong định nghĩa trên, số n phụ thuộc vào 0 ε nên ta viết n0 =n ( )0 ε

− = < = ε

ε

Định nghĩa:

Dãy { }xn được nói là có giới hạn ∞ khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M 0>

cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên n sao cho với mọi 0 n n> 0 thì xn >M; ta cũng viết n

1.2.3.1 Tính duy nhất của giới hạn

1.2.4 Các định lý về giới hạn của dãy số

Cho { } { }x , yn n là các dãy có giới hạn hữu hạn Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau:

n

n n n

lim xx

Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm x (có thể trừ tại 0 x ) Ta nói hàm số 0

f (x) có giới hạn là A khi x dần tới x nếu: 0

Với mọi số ε >0 cho trước, đều tồn tại một số δ >0 sao cho khi:

1.3.1.2 Định nghĩa (giới hạn một phía)

Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình x→x0 không phân biệt x x> 0 hay

0

x x< Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu như sau:

• Quá trình x tiến đến x về phía bên phải, tức là 0 x→x0 với điều kiện x x> 0, được kí hiệu là: x→x0+ hoặc đơn giản hơn là 0 x→x0+

• Quá trình x tiến đến x về phía bên trái, tức là 0 x→x0 với điều kiện x x< 0, được kí hiệu là: x→x0− hoặc đơn giản hơn là 0 x→x0−

• Giới hạn của hàm số f (x) khi x→x0+ hoặc khi x→x0− được gọi tương ứng

là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x 0

• Giới hạn bên phải:

Nếu f (x) g(x) f (x) g(x)≥ ( > ) với mọi x∈ ∈{x R: 0< − < δx a } và cả hai hàm số

f (x),g(x) có giới hạn hữu hạn khi x→a thì

• Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x→a nếu

x a

lim F(x)

→ = +∞

• Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi x→a thì 1

f (x) là VCL

và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi x→a thì 1

F(x) là một VCB khi x→a

Chú thích:

• Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi x→a

• Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x→a

Nhưng không tồn tại

x 0

1limsin

x

→ nên x sin1

x và 2x là hai VCB khi x→0 không

so sánh được với nhau

Định nghĩa:

f(x) được gọi là:

liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

liên tục trên đoạn [ ]a, b , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là

Định lý (về giá trị trung gian):

Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ]a; b ; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn tại ξ∈[ ]a, b sao cho:

f ( )ξ = μ

Hệ quả:

Nếu f(x) liên tục trên [ ]a, b , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm ξ sao cho: f( )ξ =0

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là:

CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn

2 Định nghĩa hàm số ngược của hàm số y = f(x) Tìm hàm số ngược của các hàm số lượng giác

3 Định nghĩa và phân loại các hàm số sơ cấp

4 Định nghĩa giới hạn của dãy số

5 Định nghĩa giới hạn của hàm số, giới hạn một phía, giới hạn vô hạn

6 Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

7 Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương

8 Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

3 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ các hàm số sau:

a f (x) A cos x Bsin x= λ + λ b f (x) sin x 1sin 2x 1sin 3x

5 Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh rằng dãy số

2

n 2

3n 1x

5n 1

+

=

− có giới hạn bằng 3