Giới hạn và liên tục của Hàm Số

Giới hạn và liên tục của Hàm Số

2

Chương IV GIỚI HẠN

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

§1 DAY CO GIGI HAN 0

1 Định nghĩa dãy số giới han 0

Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy số (u,) cớ giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của

dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số

hạng nào đó trở đi

Khi đó ta viết lim (u,) = 0, viết tắt là lim(u,) = 0 hoặc limu, = 0 hoặc u,—>0

noo

Nhận xét: Dãy số (u,) có giới hạn 0 khi và chỉ khi day số 6) có giới hạn 0

2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Sử dụng định nghĩa, người ta chứng minh được rằng

b Dãy không đổi (u,), với u„ = 0 có giới hạn 0.;

c Néu Iq! < I thì limq" = 0

Các bạn được sử dụng kết quả này khi làm bài mà không phải chứng minh

§2 DAY CO GIGI HAN

1 Định nghĩa dãy số giới hạn

Xét dãy số (u,) với u„= 9 + st © U,—

Định lý I: Giả sử lim u, = L Khi d6

a limlu,| = ILI và lim‡ƒu„ =WL

b Nếu u,> 0 với mọi n thì L > 0 và lim./u„ =XL

Dinh ly 2: Gia str lim u, = L, lim v, = M vac la hang s6 Khi đó

a các dãy s6 (u, + v,), (u,—V,), (U,-V,), (c.u,) có giới han và

Dinh ly 3: (Dinh ly kep vé gidi han)

Cho ba dãy số (v,), (u,), (w,) và số thực L

Vv, su, sw a n Nếu với mọi n ta có | thì (u,) có giới hạn va limu, = L

limv, =limw, =

Dinh ly 4: (Vai-o-xto-rat-xo)

a Day số tăng va bi chặn trên thì có giới hạn

b Day số giảm va bị chặn dưới thì có giới hạn

Thí dụ 3 Tìm các giới hạn sau đây:

9n" -3n" +n+l n> +4n° +1

Lời giải

(Chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức của phân thức)

a Chia tử thức và mẫu thức cho n” ta có:

Bạn biết thêm : Một cách minh hoa hình học tổng trên

Xét tam giác ABC có diện tích bằng I

Gọi A,,A-, A¿, theo thứ tự là trung điểm AC, A,C, A;C, và Bị, B;,Bạ theo

thứ tự là trung điểm BC, B,C, B;C, ta có :

~ Diện tích tam giác ABB, bằng 3

— Diện tích tam giác AB,A, bằng x

— Diện tích tam giác A,B,B; bằng =

— Dién tich tam gidc A,B,A, bang a

— Dién tich tam gidc A;B,B, bing s

Tiếp diễn quá trình trên mãi mãi ta có I1 l1

Loi giai

a Viét lai 0,3333 25 24+ 2+ 24+ 4 I0 102 10° 10

= 0,3333 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u, =: = „q

Từ đó suy ra 7 + 0,28282828 =74 2% = 72! pay 728082828 = 2! 99 99 99

Thí dụ 7 Gọi C là đường tròn đường kính AB = 2a (a là số thực dương cho trước)

C; là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính = ,

C; là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính Sp

~

C, là đường gồm 2" nửa đường tròn đường kính "

Gọi p„ là độ dài của C, và S, diện tích hình phẳng giới hạn bởi C„ và đoạn thẳng AB

a Mỗi đường tròn đường kính ^Š có bán kính là r,= -^P = _2® = -Â suy ra 2n 2n+l 2nrl 2n

e Nửa chu vi của nó là mr, hay ¬ —=Pp,= = = ra

4

e Thấy rằng (S,) là cấp số nhân lùi vô han cé S, = > , công bội là q = 5

Bởi vậy, theo định nghĩa tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

lim S, = = = a = ma’ (bang dién tich dudng tron dudng kinh AB) vy

t-

2

Thí dụ 8 Cho lại < 1, lQI < 1 Biết rằng:

e a là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u = 1 và có công bội là q

e b là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có công bội là Q

e© S là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có công bội là qQ Theo công thức tông của một cấp số nhân lùi vô hạn ta có

§3 DAY DAN TOI VO CUC

1 Cac dinh nghia

Dinh nghia 1; Ta noi rang day số (u,) có giới hạn là + œ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở

đi Khi đó ta viết:

lim(u,) = + œ, viết tắt là lim(u,)= + œ

n>+0

hodc limu, = + œ hoặc u, —> + œ

Định nghĩa 2: Ta nói rằng đấy số (u,) có giới hạn là —œ nếu mọi số hạng của

dãy số đều nhỏ hơn một số âm bé tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

Thí dụ 1

ro imvn = +7:

® linn= +:

® lim([ - 2n)=-z: lim\-n=

Chủ y:

vô cực hay dần đến vô cực

2 Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

` +1ự , ”

limon os tons imo’ = ber

su TH? đa + Các dãy số có giới hạn là + œ và —œ được gọi chung là các dãy số có giới hạn + Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Vì + œ và -œ không phải là các số thực nên không áp dụng được các định lý

Ta thừa nhận các quy tắc sau:

Quy tác 3 Dấu của L Dấu của vụ lim(u,v,)

Nếu limu, = L # 0, limv, = 0 va + + +00

thức như cách làm trong thí dụ trên ta thu được kết quả sau:

._ AnnP +a, ¡nP””+ +a¡n+ao, p<q p= 4 P>q

b,n?+b,_,n4 + + bịn + bọ a=0 a= — œ=œ

Goi u,, q theo thứ tự là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đã cho

Tổng của cấp số nhân bằng 6 nghĩa là S = _— =6 =>u,=6(I -q ()

a Chứng minh dãy (v,) xác định bởi v, = u, + 6 1a mét c4p s6 nhan

b Tim lim u,

16]

Loi giai

a Tacé v,=u,+6<2 u, =v,- 6 (2) Thay (2) vao (1) c6v,,,-6= vạ =6 =3 C©v,.¡= 23 (v,,) là cấp số nhân với công bội q= > và vị =l+6=7,

a lm————————, b lim——————r, c lim———————-

Bài 2 Tìm các giới hạn sau :

a lim L†Zt3t b lim(+Ín + sin?(n + 1) —+/n — cos?(n + 1) )

a Gọi (v,) là dãy xác định bởi v„ = u„ + œ Tìm œ để (v,) là một cấp số nhân

b Tim lim u,,

Bai 5 Biéu thi moi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số

a 2,22222 b 5,123123123

Bai 6 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Hình vuông A,B, C, D,có đỉnh là

trung điểm các cạnh của hình vuông ABCPD, hình vuông A,B,C,D, cé đỉnh là trung

điểm các cạnh của hình vuông A,B,C,D,, , hình vuông A,B,C,D, có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông A,_,B„_.C,_¡D,s,, GỌI pị, p›› Pạ và SỊ, S, ,

Sn, theo thứ tự là chu ví và diện tích các hình vuông A,B,C,D,, A;B;C;D;, ,

a Giới hạn tại một điểm

Giả sử xạ là một điểm thuộc khoảng (a; b), f(x) là một hàm số xác định trên

khoảng (a; bì có thể không xác định tại Xọ

Định nghĩa † (giới hạn hữu hạn)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dan đến xạ (hoặc tại điểm

Xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\xe}(tức là x„e(a; b) và x„# xạ) mà

limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L

Khi đó ta viết: lim f(x)= L hoặc f(x)—>L khi x—>Xạ

Ta nói rằng ham số f có giới hạn là vô cực khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm xạ)

nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\{xo}(tttc 14 x,e(a; b) va x, # Xo) ma

limxX,, = Xp ta déu cé limf(x,) = 0

Khi đó ta viết lim f(x)= œ hoặc f(x)—>œ khi x—>Xạ

b Giới hạn tại vô cực

Định nghĩa 3 (tại vô cực)

e Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoang (a; +00)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dân đến + œ© nếu với mọi

day s6 (x,) trong khoảng (a; +œ) (tức là x„> a với mọi n) mà limx„ = +œ ta đều có limf(x,) = L

Khi đó ta viết: lim Í(x) = L hoặc f(x)—>L khi x—> +

se lim f(x)=L, lim f(x)= +0, lim f(x) =—o duoc định nghĩa tương tự

c Giới hạn một bên

Định nghĩa 4 (giới hạn phải)

Giả sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng (xạ; b) (xạc R )

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến xọ (hoặc tại điểm xo) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (xạ; b) mà limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L

163

Khi đó ta viết: lim f(x) = L hoac f(x)->L khi xx 4

Định nghĩa 5 (giới hạn trái) Gia sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng ( a; xạ) (xạeR)

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm

xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (a; xẹ) mà limx, = xọ ta đều có limf(x,) = © Khi đó ta viết lim f(x) = L hoặc f(x)—>L khi xx 4

x¬^%

Nhận xét: Hàm số f có lim f(x) = L khi và chỉ khi nó có lim f(x) = lim f(x)=L X—Xọ KX XG

Điều nói trên đúng cả giới hạn vô cực

Nhận xér: Nếu k là số nguyên dương và a là hằng số thì với mọi xạeR, ta có:

lim ax* = ax‘

c Nếu f(x) > 0 với mọi x # xọ thì L> 0 và lim Jf(x) = VL X—Xo

Định lý 3: (kẹp) Giả sử f, h và g là ba hàm số xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm xạ (có thể không xác định tại xạ)

Néu f(x) < h(x) < g(x) v6i moi xE(a; b)\{ Xp} va lim f(x)= lim g(x) =L(LeR)

X—>Xụ XX yy

thì lim h(x) = L

Chi y:

Ba định lý vừa nêu trên đây đúng cả khi thay x~—>Xọ bởi X—> + co hoặc x—> —co

Ba định lý vừa nêu trên đây không áp dụng được cho giới hạn vô cực

164

_—._—ằ+ : popes RSs PP Ot ea”

Khi gặp giới hạn vô cực, bạn có thể áp dụng các quy tắc sau :

Néu lim f(x) = +œ và lim g(x) =L #0 +œ —œ —œ thì lim [fx)g(x)] được cho trong bảng bên: ~œ +œ ~eœ

X>Xọ —©œ —œ +00

Quy tác 2 limu, Dấu của L ¡ lim(u,v,)

Nếu lim f(x) =L #0, lim g(x) = 0 va g(x )# 0 +œ + +œ

§5 CAC KY THUẬT TÌM GIỚI HẠN

Lời bình 1: Giới hạn của hàm số tại điểm x = a không phụ thuộc hàm số tại điểm

ấy Trong thí dụ vừa nêu, hàm số có giới hạn mặc dầu tại đó hàm số không tồn tại

b Chia cả tử thức và mẫu thức cho x’, ta cé:

x + 2 lim x lim ——Š—_X~ = lim Š = +œ

Nhắc lại: Để tính giới hạn tại vô cực, bạn có thể chia cho luỹ thừa bậc cao nhất

của x có trong mẫu thức

Loi giai Với mọi xeR có 0< L2sin 3x + 3cos 2x | < 3+2 =— 5

2x° +2x+1 2x +x+l 2x“ +x+l

Ta có lim 5 =0 lim |2sin3x + 3cos2x Ì =0>K=0

x0 2x" +x4+] x0 2x? +2x+1

II Ki thuật tìm giới hạn dạng vô định

1 Dang —,—: lim——, trong dé lim f(x) =lim g(x) = 0, hoặc 4 *Ê

t 2 Dạng 0.œ: lim {f(x)g(x)], trong dé lim f(x) = 0, lim 2(x) = too

|

lim f(x) = lim g(x) = +00

/ 3 D _ :]l fi _ , t d , x

ạng œ~e: lim [f(x}-g@x)], trong đó hoặc lim f(x) = lim g(x) = =œ

( lim được hiểu A thay cho một trong các kí tự Xọ, Xọ osXạ, +9, —œ)

x^A

Để tìm giới hạn các dạng trên, bạn phải khử dạng vô định Các bạn theo dõi một

số kỹ thuật thường dùng để khử dạng vô định trong mỗi thí dụ dưới đây

Kĩ thuật 2 Khử nhân tử chung

Nén lim (1 —x) xt =~ lim | =Đ6+3) =0

xi" Vx? 42x -3 xi x+3

Kĩ thuật 3 Nhán biểu thức liên hợp

Hằng đẳng thức Liên hợp với a-b | Liên hợp với a+b

a°— bỉ =(a— b)(a +b}) a+b a-—b

a’ — b’ = (a — b)(a’ + ab + b’) a—ab +b a— ab+b' a’ + b> =(a + b)(a — ab + b) A liên hợp với B thì B liên hợp với A

7]

Thí dụ 12” (dạng — =) Tim lim ——==

19x 4 3x7 +1

Loi giai Nhân cả tử thức và mẫu thức với 2x — v3x” + l (biểu thức liên hợp của mẫu thie) §

Nén lim (1 ~ x), x17 — = — im — = 0

x” +2x —3 x1" x+3

Kĩ thuật 3 Nhân biểu thức liên hop

Hằng đẳng thức Liên hợp vớia-b_ | Liên hợp với a+b

a”— b° =(a - b)(a” + ab + b) a°-ab + bỉ a’—ab+b

2 +b a (a+ bya? — ab +b’) | — A liên hợp với B thì B liên hợp voi A

Kĩ thuật 4 Đổi biến

Thí dụ 18”) (Dạng œ - œ ) Tìm gidi han K = lim (Vx* + 3x? — Vx? -2x)

Loi giai

Viét lai K= lim 'Í-š -[i-2}]- os 1 =

x—<+œ X X X

Khi x —>oœ <>y >0, ta có:

K = lim Vit 3y -vI-2y ins = tn WE cua

III Phương pháp gọi số hạng vắng Bản chất khử dạng không xác định % của bài toán tìm giới hạn là làm xuất hiện nhân tử chung để:

* Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định

— FSV

* Hoặc là đưa về dang “co ban”, quen thudéc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải

Trong các bài tập khó, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng

Để giải quyết bài toán, điểm mấu chốt là khôi phục các hạng tử thiếu vắng đó

Việc khôi phục, gọi lại các hạng tử đó như thế nào, bằng cách nào, sẽ được trình

bày trong ba phương pháp dưới đây

` (1) Tại sao phải có số 2?

(2) Tại sao lại là số 2?

(3) Tìm số 2 như thế nào?

Trả lời ba câu hỏi đó ta có phương pháp giải loại toán này

* Trả lời câu hỏi 1: Số 2 là hạng tử đã bị xoá Muốn giải, ta phải khôi phục nó

* Trả lời câu hỏi 3: Cách tìm số 2, thực hiện theo các bước sau đây:

VÝ5-x”-c _ Vx°+7-c x? -] x?

Bước]: Với mọi c e R, luôn có : ƒ(x)=

-l Bước 2: Trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x”—l cùng có nhân tử chung với

fix) = Ý5—x” — c và f(x) = Vx? +7- c Diéu đó xẩy ra khi và chỉ khi c là :

Đó cũng là câu trả lời tại sao lại là số 2

Qua thí dụ trên, chúng ta nêu lên thuật toán như sau:

e Thuật toán 1: Giả sử F(x) = 1` có giới hạn dang

f,(a;)-c =0

Với c tìm được thì lim CO Ê€ và tim BC sẽ hoặc là dạng xác định, xa, g(x) xX; g(x)

hoặc là dang quen thuộc

Sau khi tìm được c, việc trình bày lời giải như đã làm

Bước 1: (Phân tích) VceR, luôn có: /x)= ZYX‡1=€_ x x Š

Bước 2: (Tìm c) Nghiệm của mẫu thức là x = 0

Lời bình 2: Ở phương pháp 1, nhân tử chung được khử để đưa giới hạn về dạng

xác định, hoặc dạng quen thuộc, hoặc đạng “cơ bản”

Loi giai - Goi A= V1+xsin3x -Acos2x = (J1+xsin3x —1)+(1—xjcos2x)

_ il +xsin3x ~1\(V¥14+xsin3x +1) (1—-v¥cos2x)(1+-V¥cos 2x)

Thí dụ 24”, (Chúng ta trở lại bài này trong phương pháp hai bằng thí dụ 28)

" 2¢(1 + 3x)? + V4 3x + 1)- 3/14 2x +1)

X (jl+2x+ yaa +3x)? 44/14 3x 41) 2Ÿ rào) -1 2Ñ 1+3x-1_ 112%]

= lim .¬o ch + naa Se} +¥1+3x yD

(QAx), Q,(x) theo thứ tự là biểu thức liên hợp của 'ÿf(x) — h(x), h(x) —- t/g(x) )

Suy ra K = lim its) _ + lim 81%)

Goi K, = lim YA =d=*) _ x) = lim A-(l-x) = lim x 2sin” xX

O0 X *20 x2(/A +I—x) *20x2(VA +I—x)

vie of sa) X —=Ì—¿& 1—2.1 3

=lim———-——~ =——“—=-~ >0 (/A+l-x) XVi-0+1I-0 2 (2)