Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
Trang 1BÀI TẬP GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
PHẦN 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1) lim2 32 5 3 3
3
− +
− 2) lim (4 5)2
) 3 2 )(
2 1 (
−
− +
n
n n
3) lim 3 2
3 1
2
n
n n
−
−
4) lim
2 5 2
3 3
3 2
− +
−
n n
n n
5) lim ( n+1− n) 6) lim
7 5
3 3 4 2 3
2 3
+
−
+ +
−
n n
n n n
7) lim 2 2
3 ) 1 3
(
) 2 3 ( )
1
(
+
+
−
n
n n
8) lim( 3n−1− 2n−1) 9) lim n n n n
5 3 2
5 4 +
−
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
2 3 1
) lim n n
a
+
3 2
3 2 ) lim
2 1
b
n
3 2 ) lim
2 1
n c
− +
5
1 2 3 ) lim
( 2) (5 1)
d
2
) lim
1 2
e
n
+ +
−
3 2.5 ) lim
3.5 4
−
3 4 1 ) lim
2.4 2
+
) lim
2
h
n
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
2
) lim(3 1)
a n + −n b) lim( 2− n4 + − +n2 n 3) c) lim 3( n2+nsin 2n) d) lim 3n2+ −n 1
) lim 2.3n 5.4n
e − f) lim 3n2+ −1 2n g) lim n2+ −1 n h)lim( n2− +n n)
) lim 3 6 1 7
i n − n+ − n k) lim n( n− −1 n) l) lim( n2−3n n− ) m) lim(3 n3+n2 −n)
PHẦN 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1, ( 2 )
2
lim 5 1
3
1 lim
2
x
x x
−
→
+
2 1 lim
3
x
x x
−
→
−
1 lim ( 4)
x
x x
→
−
−
5, xlim (→−∞ − + − +x3 x2 x 1) 6, 2
2 1
2 3 lim
x
→
2 lim
7 3
x
x x
→
−
3
3 2
2 3 4 lim
1
x
→+∞
− − +
9, lim 2 4 2 1
2 3
x
x
→−∞
1 1
1
x→ − x x
2 lim ( 4 2 )
12, lim( 2 2 1)
1
3 lim
2 3
x
x
→−
+
3
lim
4 13 4 3
x
→
15,
3 0
( 3) 27
lim
x
x
x
→
2
2 2 lim
7 3
x
x x
→
+ −
lim
49
x
x x
→
−
Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞
∞):
a) lim 33 52 1
x
→+∞
3
3 2 lim
2 1
x
x x
→−∞
3 2 2
lim 3
x
→−∞
− + + d) lim 5 223 43
1 3 2
x
→+∞
2
5 1 ) lim
x
x e
→+∞
−
lim
2 5
x
x
→−∞
−
Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a) xlim ( 2→−∞ − x3 +x2 −3x+1) b) lim ( 4 3 5 3)
d) lim 2 3 2
Trang 2Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)
3
1
lim
3
x
x
x
−
→
+
1 lim
4
x
x x
→
−
− c) 3
2 1 lim
3
x
x x
+
→
−
− d) 2
2 1 lim
2
x
x x
+
→−
− +
3 1 lim
1
x
x x
−
→−
− +
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0):
a/ 2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
− b/
2 1
3 2 lim
1
x
x
→
− +
− c) 3 2
3 lim
2 3
x
x
→−
+ + − d)
3 2 1
1 lim
1
x
x x
→
−
− e)
2 2 1
2 3 lim
x
→
− − f)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ − g)
2 3
9 lim
1 2
x
x x
→
− + − h) 4
2 1 3 lim
2
x
x x
→
+ −
− i) 1
2 1 lim
5 2
x
x x
→−
+ − + − k)
2 2
3 2 lim
2
x
x
−
→
− +
−
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 ∞):
a) 1 ( ) 2
2 3 lim 1
1
x
x x
x
+
→
+
−
− b)
2 3
2 1 lim 9
3
x
x x
x
+
→
+
−
− c/ ( 3 )
2 2
lim 8
2
x
x x
x
−
−
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a) lim( 2 1 )
PHẦN 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2 4
2
x
voi x
voi x
= +
tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1 nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
tại x = 3
3,
2
0 ( )
f x
x voi x
=
tai x = 0 4,
−
= 2 2 1 )
(
x
x x
1 ,
1 ,
≥
<
x
x
tại x = 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2 2
2
x
voi x
voi x
= −
1
2 ( 2)
( )
x voi x x
g x
voi x
−
−
=
3,
=
2 1
1 1 )
x x
f
0 ,
0 ,
=
≠
x
x
4, ( )
x > 2 2
khi
− −
5, ( ) 1
2
f x
x
=
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
( )
f x
ax voi x
( )
1
x = -1
khi
= +
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2 4
-2
4 -2
x
khi x
khi x
= +
tại x0 = -2 b)
2 4 3
khi x<3
5 khi 3
x
− +
tại x0 = 3
Trang 3c)
2
2 3 5
1
7 1
khi x
khi x
>
tại x0 = 1 d)
3 ( ) 3
3 3
x
khi x
khi x
tại x0 = 3
e/
2 2
2
2 2 2
x
khi x
khi x
= −
tại x0 = 2 f)
2 2 ( ) 1 1
3 4 2
x
khi x
−
tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2 3 2
2
1 2
khi x
khi x
b) ( )2
1 2 2
( )
3 2
x
khi x x
f x
khi x
−
−
=
c) ( )
2
2
x 2 2
khi
= −
d) ( ) 2
2
0
0 1
<
ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1
Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a) ( )
1 1
1
khi x
= +
với x0 = -1 b)
2 1 ( )
x khi x
f x
ax khi x
với x0 = 1 c)
7 3 2
1 2
x
khi x
≠
với x0 = 2 d)
2
( )
2 1 1
f x
− <
với x0 = 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3−10x− =7 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3+1000x+0,1 0=
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)
d) Chứng minh phương trình x2sinx x+ cosx+ =1 0 có ít nhất một nghiệm x0∈(0;π)
e) Chứng minh phương trình ( ) (3 )
m x− x− + x− = luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
a) x4−5x+ =2 0 có ít nhất một nghiệm
b) x5− − =3x 7 0 có ít nhất một nghiệm
c) 2x3−3x2+ =5 0 có ít nhất một nghiệm
d)2x3−10x− =7 0 có ít nhất 2 nghiệm
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
g) x3+3x2− =1 0 có 3 nghiệm phân biệt
h) ( 2) ( )3 2
1−m x+1 + − − =x x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m
i) ( )3( 2 ) 4
m x− x − + − =x luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m