NỘI SUY các hàm p ADIC

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1.. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị..... Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình tr

Nguyễn Thanh Hà

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

Nguyễn Thanh Hà

NÔI SUY CÁC HÀM P-ADIC

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

MỤC LỤC

Mục lục

MỞ ĐẦU

Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede

1.2. Xây dựng các tập số p-adic

1.2.1. Chuẩn p-adic

1.2.2. Xây dựng trường

1.2.3. Xây dựng vành

1.2.4. Xây dựng trường

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic

1.4. Xây dựng tương tự p-adic của hàm log

Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic

2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic

2.3. Nội suy p-adic hàm số mũ

2.4. Nội suy hàm gamma p-adic

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình

3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản

3.1.2. Một số ví dụ minh họa

3.1.3. Công thức p-adic Poisson - Jensen

3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị

3.2.1. Độ cao của dãy điểm

3.2.2. Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị

KÉT LUẬN

.1

.3

.5

.5

.5

.7 8

.9

16

19

25

26

MỞ ĐÀU

Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cáchkhác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt Từ

đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yẽu cầu

hon về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó

Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên và nộisuy các hàm chỉnh hình p - adic trên đĩa đơn vị của , thể hiện trong 3 chương:

> Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p - adic gồm chuẩn

p - adic, các tập số p - adic, hàm chỉnh hình p - adic và hàm log

> Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p - adic các hàm liên tục trên ptừ

đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p - adic

> Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của dãy

điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p - adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng nhất

bô môn Đại số, khoa Toán - Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và

phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này

Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc không tránh khỏi

những thiếu sót nhất định Người viết rất mong nhận được sự đóng góp của quýthầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này

TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009

Chương 1: KIẾN THỨC cơ BẢN

1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede

Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường , ,

Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì Ánh xạ I I: F —» được định nghĩa bởi:

Hai chuẩn I I và I I trên F gọi là tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi hai

metric tương ứng là như nhau Kí hiệu II I I (Các điều kiện tương đương của chuẩn)

iii) Tồn tại hằng số c > 0 sao cho |x|2 = l^lỊ7 với mọi X E F

iv) {x„} là dãy Cauchy đối với I I <$■ {x„} là dãy Cauchy đối với I I

v) I I, I |2

Định nghĩa 1.4

Chuẩn I I trên trường F gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu ngoài 2 điều

kiện i và ii trong định nghĩa 1.1 nó thỏa thêm điều kiện:

iii’) \x + y\ <max{|x|,|y|}

Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede

Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho I I là chuẩn trẽn trường F Các khẳng định sau là tương đương:

i) I I là chuẩn phi Archimede

ii) |2| < 1

iii) I n\ < 1 với mọi n E

iv) Tập bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho ịnị < c với mọi

n E

Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede)

Cho I I là chuẩn phi Archimede trên trường F Khi đó:

i) Nếu x,y E F, |x| *\y\ thì |x + y| = max||x|,|y|Ị.

ii) D(a,r) - {x E F: |x - aị < r), D(a,r) = (x E F: |x - a\ < r) vừa đóng

vừa mở

iii) Giả sử {xwỊ là dãy Cauchy

Nếu xn —» 0 thì lim \xn I = 0.

n—>00

Khi đó I I là chuẩn phi Archimede gọi là chuẩn p - adic.

Định lý 1.9 (Ostrowski)

Mọi chuẩn không tầm thường trên đều tưong đương với chuẩn giá trị tuyệtđối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p - adic với p là số nguyên tố nào

> Gọi s là tập các dãy Cauchy trong

Trẽn s ta xây dựng quan hệ tương đương như sau:

{*„} =0n —>oo ' P

Ta gọi là tập hợp tất cả các lóp tương đương theo quan hệ trên và trang bị

M+{y»} = {x,,+yn}

Khi đó ta có thể chứng minh ( p,+,-) là trường với đon vị ỊlỊ

Ngoài ra, với ^ 0 tức là xnỵ4o, theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với mọi n > N: |xw| = \a\ * 0 Khi đó, phần tử nghịch đảo của {xwỊ là {xwỊ

trong đó yn =

0 n< N n>N [ X H

> Chuẩn trên được xác định như sau:

Với mỗi * = {*„} e \x\ =\im\xn\ r ' 'P n—>co1 1 p

Ta có thể chứng minh được chuẩn I I trên p là chuẩn phi Archimede.

> Trường có thể xem là trường con của nhờ ánh xạ nhúng:

00Tóm lại, mọi IG sẽ có biểu diễn dạng x-^Cịp' với me ,

i-m

{o, ,/? -1}, cm * 0 gọi là khai triển p - adic của X

Tập hợp p = {x G p : 1*1 <1} cùng với phép cộng và nhân trong p lập

thành một vành gọi là vành các số nguyên p - adic

Tập họp tất cả các phần tử khả nghịch của , kí hiệu là:

Định lý 1.11 (Tính chất tôpô của và )

i) compacttừđó compact địa phươngii) đầy đủ

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

Cho đa thức f (x) — ŨQ + ữ ị X + + CLnxn £ /;[x] trong đó a^sOộnod/?)

với

= 0,1, , 72-1; anỹẩ0 (mod/?) và aữ/ẩ0 (mod/>2) Khi đó f(x) bất khả quy trên

p •

Gọi là bao đóng đại số của tức là tập tất cả các phần tử đại số trên

Với mọi a e , a đại số trên do đó tồn tại đa thức Irr(a, ,x) bất khả

quy, hệ số thuộc mà hệ số đầu tiên là 1 nhận « làm nghiệm dạng:

I ^ ta sẽ được trường các số phức p - adic kí hiệu là p

Với a ={#„), ớr„ e _ thì ịa\ =lim|a„| và khi a * 0,\a\ =\a\ với n đủ

lớn Chúng ta cũng mở rộng ordp cho p : ordpX = -ìogp |x|

Từ đây trẽn các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết I I nghĩa là

I I p •

Định lý 1.13 (Tính chất của trường )

i) đóng đại số

xpn +p”Xf’n-ỉ+ + p'ìX = ỵpn_pn-l

Do ỡp -1 và Op ^1 nẽn u là nghiệm của đa thức /{X) E P[X~\ Ngoài ra

bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của

tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên với hệ số

đầu tiẽn là 1 nhận u làm nghiệm

Theo định nghĩa IuI - pì/{p “/;)hay|ớ-l| =pì/p ~p ■

■ Với mọi z E , |z| < r: chuỗi hội tụ.

■ Với mọi z E , |z| > r: chuỗi phân kì

, |z| = r: chuỗi hội tụ khi anrn —> 0, phân kì khi

anrn/40.

z E

Gọi p[[z]] = {f = aữ+aỉz + + anzn+ \ai G p}.

Trong p[[z]], ta xây dựng 2 phép toán cộng và nhân nhu sau:

Với / = a0 +aỉz + +anzìl + , g = b0 + bxz + + bnzn + thuộc p[[z]\ thì

f + g = (a0 +bữ) + (ax + bị)z + + (an + bn)zn +

Với f(z) - ơ0+a1z + + anz” e Ẩr( p), đặt

= max|an|r" gọi là hạng tử tối đại của f.

n

v(r,f) = max{n:\an\rn =ju(r,f)}

Mệnh đề 1.20

Chor>0, f(z) = a0 +aỊz + + anztt eAr( p) Khi đó:

i) ụ(r,f) là chuẩn phi Archimede trên vành Ar( ).

ii) Ar( p) đủ đối với ụ(r,/).

iii) p[z] trù mật trong 4( p).

Định lý 1.21

Cho r > 0

k Giả sử /(z), g(z) e p[z] với g(z) = Ybnzn sao cho ju(r,g) = ịbk\rk Gọi

Q(z) và R(z) lần lượt là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z) tức là

/0) = g(z)Q(z) + R{z) Khi đó ụ(r,/) = max{jư(r,g)jư(r,Q),jư(r,R)}.

Chứng minh

Do định nghĩa //(r,/) dễ thấy ju(r,f)<max{/u(r,g)ju(r,Q),/j(r,R)} Đe

chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = 1.Không mất tính tổng quát giả sử //(l,g) = l do đó ta cần chứng minh

max{yư(l,0,//(l,R)}<//(l,/) (*)Thật ra ta chỉ cần chứng minh (*) đúng trong trường hợp

max{//(l,0,//(l,i<!)} = 1 Thật vậy, giả sử max{//(l,0,//(l,i?)} = \a\ = pr Khi đó

= max {//(1, Ô), //(1, R)}.

Để chứng minh ta giả sử ngược lại //(!,/)<! Khi đó nếu

f = y]aizi thì max| a\< 1 suy ra dị e D(0,1) với mọi i hay f E D(0,l)[z]

Do max{//(l ,0, //(1,R)} = 1 nên //(1,0, ju(\,R) < 1 suy ra Q, Re Z)(0,l)[z].

12

Tóm lại (*) đúng hay max{ju(ì,g)jư(ì,Q), ju(l,R)} > Giờ xét r E khi đó tồn tại ae * sao cho \a\ - r.

Với h-a0 + axz + + anzn + , đặt ha(z) = h(az) = a0 + + ananzn +

Rõ ràng ju(\,ha) - max anan = max|a llứl" = max|ứ lr" = ju(r,h) (**)

và fa (z) = ga (z)Qa (z) + Ra (z)

Áp dụng chứng minh trên với r = 1 thìju(ĩ,fa) = max{/^(l,gíỉ)//(l,ôíI), //

(l,Rữ)}

Cuối cùng giả sử r Ể trù mật trong + nên tồn tại ĩị G

do đó limụ(ri9K) - ju{r,h) với h là một trong các đa thức f, g, Q, R.

Vì ta đã chứng minh ở trường họp 2, /u(rị,f) = max{//(^,g)//

Do fn là dãy Cauchy nên Qn, Rn e Ẩr( ) là dãy Cauchy đối với ju(r,-)

mà

Ar( ) đủ đối với ju(r, -) nên tồn tại Q{z) = lim Qn (z), R(z) = lim Rn (z)

Lấy

giới hạn 2 vế của (*) ta có được /(z) = g(z)Q(z) + R{z) trong đó degi?fl < k nên

degR < k Khi đó ju{r,f) = max{ju{r,g)ju{r,Q),Ịu{r,R )} ■

Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass)

Cho / eẨr( p) vớir>0.

Khi đó tồn tại đa thức g(z) = b0 + bịZ + + bvrv G p[z] có bậc V =

v{r, f) và chuỗi lũy thừa h(z) G [[z]] thỏa:

i) f(z) = g(z)h(z)

iii) hsAr( p)

iv) /j(r,h-1)< 1 v) ju(r,f-g)<ju(r,f) Đặc biệt h không có không điểm trong D(0,r) = ịx G p : |x| < rỊ và f có

Giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng tồn tại dãy các đa thức

gi(z) = bi0+bnz + + biựzv và hị sao cho:

(!) M(r,gi) = \biv\rv (2) Jư(r, f - g ị ) < Sju{r,/), ju(r,h ị - \ ) < s (3) ụ{r,f-gihi)<Siju{rJ)

Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1

Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức gị, hị thỏa các điều kiện 1, 2,

Như vậy (1) đúng với i + 1 vì degi?; < degg, = V.

Điều kiện (2) cũng đúng với i + 1 vì

M(r,f-gM) = M(r,f-gi -Rị)< maxị/j(r,f-gi),/d(r,Ri)} < SjLỉ(r,f)

và ju(r,hM -í) = ju(r,hị -1 + Qi)<max{/i(r,hi ụ{r,Qi)} < ố

Ngoài ra, chú ý rằng

f-gMhM=f-(gi+R,)(hi +Qì)=f-gẢ-g,Q,-m +Qi) = Ri(\-hi-Q)

Do ổ < 1 nên {gi},{hị} là các dãy Cauchy đối với chuẩn //(>,-) Khi đó với 0 < j < v,i > 1, \bi+ỈJ -bụ\rJ < ju{r,gM -gị)< ỏ* tức là

{bịj };>! là dãy Cauchy với mọi j nên hội tụ.

Đặt bj = \imby, g(z) = Ỳjbjzj •

po

Rõ ràng gị g và /u{r,g) = /d>,gz.) = |6ỉV|rl' = I rv (điều kiện (ii) đúng)

Vì Ar( ) đầy đủ nên {hị} hội tụ do đó tồn tại h G Ar( ) sao cho hị -> h Theo điều kiện (3), cho i -» 00 ta có ju(r,f - gh) < 0 nên f = gh (điều kiện

(i)đúng)Điều kiện (iii) đúng là hiển nhiên do cách định nghĩa h

Cho ỉ -» 00 trong điều kiện (2) ta có điều kiện (iv)

Cho ỉ —» 00 trong điều kiện (2) ta cũng có Jư(r,f - g) < ổịu{r,f) <

Gọi Zj, ,zv là các không điểm của g Khi đó g(z) =bv(z-zỊ) (z-zv)

Điều kiện (ii) kéo theo ju(r,g / bv) = rv và như vậy

(max|r,|z1|Ịj Ịmax|r,|zl/|Ịj = r' suy ra |zy.|<r với j = 1,

Do đó g có đúng V không điểm, h không có không điểm trong D(0,r) nên

00 zn

_2 _3 _4

1 -h < max

n ( zn~l Z1_«-2 z2 Zj

1 \ H—»oo *

lim n — Với mọi số tự nhiên n, n-pordprì.m trong đó (m, p) = 1 Khi đó

p ordpn - |H| suy ra —Ị= < !^n\ <1 do đó lim ỉịỊịnị = 1 hay

r = 1 Vậy 1

z = p p

chuỗi lũy thừa hội tụ trong D(0, 1)

Tại z G , |z| = 1: lấy dãy số {nk} mà (nk,p) = 1 Khi đó

z G ,|z| = 1, chuỗi phân kì ■

= 1^0 Vậy tại

00Trong giải tích phức, hàm log được định nghĩa là log(l + z) = V (-l),ỉ+1 — hội

tí n

tụ trong (-1, 1] Giờ trong giải tích p - adic, sự hội tụ được xét với chuẩn p - adic

00thì yV-l)'^1— hội tụ trong đĩa D(0, 1) và hàm log lúc này được định nghĩa như

i) Đe chứng minh i, ta cần chứng minh những điều sau:

ordp í Xỉ'"x” 1 j = ordp n\ (n-1)!>ord(xỉ xn_l)-ord(n\)

ì-Vì vậy, với zeE, |log(l + z)| =

n+1 zj +zị z2+ + z2

z,+z2

z2 + + z:

zi 2 n- ì

■ Ngược lại, giả sử có z G Z)(0,1) mà log(l + z) = 0

Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp (1 + z)p -1 <£n+ỉ với mọi n trong

đó

£ = max{|z|,/7-1}.

Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 0 Giả sử nó đúng với n ta cần chứng

minh nó đúng với n + 1

ap+Cìpap-ì+ + Cp~ìa

= \a\

ap-ỉ+Cỉpap~2+ + Cp ck:p, k = \,p-\ nên với u <£n+ì dễ thấy ap 1 + clap 2 + + cp < £ 0-\

Vì log: 1 + E —» E đẳng metric nên đơn ánh.

Do đólog(l + z)p = l o g ( l + z) = 0 = logl suy ra (ì + z)p =lhayzG/>'7ĩ-l.

19

Chương 2 ; PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN ,

Trong chương này ta quy ước viết I I nghĩa là I I

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:

Từ mệnh đề 2.1 ta có ngay nhận xét:

Nhận xét 2.2

Neu ax,a2, là dãy các phần tử của thì tồn tại nhiều nhất một hàm

/ : -» liên tục sao cho /(«) = an với mọi n E

Chứng minh

Nhận xét này được suy ra dễ dàng từ mệnh đề 2.1 và một kết quả trong

tôpô:

Cho X, Y là các không gian metric f,g:X —» Tlà hai hàm liên tục Giả sử

A d X trù mật trong X Khi đó nếu fụ - gụ thì f = g ■

Sau nhận xét 2.2, ta thấy rằng nếu cho trước ax,a2, là dãy các phần tử

của

thì có tối đa một hàm /: -» liên tục sao cho /(n) - an với mọi n G

20

Định nghĩa 2.3

Dãy ax,a2, các phần tử trong gọi là nội suy p - adic nếu tồn tại một hàm

/ : —» liên tục sao cho /(«) = với mọi n E

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hon

thôngqua định lý sau :

Giờ ta định nghĩa /: -» cho bởi f(X) = lim g(xn), ta đã chứng minh f được xác định tốt và dễ thấy fị = g Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều trên p.

Lấy X, Y E p thỏa \x - Y\ < ổ (ổ được xác định trong (*))

Do trù mật trong nên tồn tại {*„ },{>>„} cz sao cho xn -» X, yn —» 7 Suy ra, tồn tại 2Vj = jVj (ố): \xn ~x\<ỏ, \yn -Y\<ổ với mọi n>Nl Khi đó

k -y.\ = |(*„ - X) + (X - r) + (y - ><„)| < max(|x„-X\\X-ĩ\,\yn-Y\)<S nên

theo (*) ta có |g(xM) - g(yM)| < £ với mọi n>Nị.

Theo cách xây dựng f ta có /(X) = limg(xM), /(7) = limg(y;ỉ) do đó tồn tại

Dãy các phần tử ax,a2ì các phần tử của là dãy nội suy p - adic nếu

\/£>0, 3N e saochoVra,72G thỏa \n -mị < P~N thì \an - am\< £

(1).ữ/ w Cỉ/ < £ (2).

\/£ > 0, 3N e sao cho v« e thì

n+p Thật vậy, giả sử có (2) Khi đó với mọi m,ne , n > m, \n — m\ < P~N tức

là/

;

< 8

Ta đã có (1) Vậy (2) => (1) còn (1) => (2) là hiển nhiên

Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương sau :

Định lý 2.5

Dãy ax,a2, các phần tử của là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi

lim sup a , -a„

(a Ị—a ị in) + (a ị ,v -a ị in) + (a in-a„)

1 < s với mọi n suy ra sup a J - ar

n+pJ 1{ <£

./-^•0O n

> Điều kiện đủ Lấy £ > 0.

a ị - an n+ p' n = 0

Do lim sup

n a -a n+pJ n = 0 nên tồn tại jữ G sao cho với mọi j > j0 thì

Vậy theo định nghĩa (2), ax,a2, là dãy nội suy p - adic.

Ta tổng kết lại một số định nghĩa tuơng đuơng của dãy nội suy p - adic nhu

Dùng phương pháp phản chứng ta giả sử có số tự nhiên no sao cho an ^ a.

2.5, lim Aị =0 do đó với j đủ lớn ta có Aị <

Vì trù mật trong nên với mọi XE \ , tôn tại dãy sô tự nhiên

—» X Do f liên tục nên /(x) = lim f(nk) = lim an =a (*)

k—>oo k—>oo *Giờ ta chứng minh \ trù mật trong Xét số tự nhiên m bất kì Rõ ràng

dãy {m + pn} —» m khi « —> 00 (vì m + pn -m - p~n 0 khi 72—»oo) do

772} suy ra {722} không là tập mở (**) (vì nêu ngược lại thì \ {722} là tậpđóng nên 772 E \ {772} = \ {772} vô lí) Ngoài ra, {m} là tập 1 điểm trong không

gian metric nên {m} là tập đóng và do đó cũng là tập không đâu trù mật (vì giả

{722} = {772} thì {m} chính là tập mở duy nhất chứa x0 nhưng điều này mâuthuẫn với (**))

25

Chú ý rằng đầy đủ, = u{m} là các tập không đâu trù mật nên theo định

lý Baire về phạm trù, \ trù mật trong suy ra với số tự nhiên n bất kì, tồn

tại dãy {xk} a \ , xk -»« Áp dụng tính chất (*) cho {xk} a \ ta có

f (**) = a với mọi k Khi đó an - f {rì) - lim f{xk) = a m

Ấr-»oo

2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p - adic

Dãy an = n với ke là dãy nội suy p - adic.

= pk j —> 0 khi j —> 00 Theo định lý 2.5,

dãy an = là dãy nội suy p - adic

Ví dụ 3: Dãy an = (-1)" là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi p = 2.

n—>00

Chứng minh

> i => ii

,p~' do đó

Nếu ữ E + thì <Tn+ỉ với r = maxỊ|ứ-l|,p 1 j.

Với n = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử khẳng định của ta đúng với n, ta sẽ chứng minh nó đúng với n + 1

nên \a = ứ-1 + 1 =1.

2+ + l -l| < 1

Áp dụng bổ đề 2.7 với s = |fl-l| và y - ap ta có (ap y-1 < ĩ