NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

1 MỞ ÐẦU Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại n + 1 điểm phân biệt.. Từ đây nảy sinh vấn đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Mục lục MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuẩn và chuẩn phi Archimede 3

1.2 Xây dựng các tập số p-adic 5

1.2.1 Chuẩn p-adic 5

1.2.2 Xây dựng trường p 5

1.2.3 Xây dựng vành p 7

1.2.4 Xây dựng trường p 8

1.3 Hàm chỉnh hình p-adic 9

1.4 Xây dựng tương tự p-adic của hàm log 16

Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic 19

2.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic 25

2.3 Nội suy p-adic hàm số mũ 26

2.4 Nội suy hàm gamma p-adic 30

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1 Độ cao của hàm chỉnh hình 35

3.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 35

3.1.2 Một số ví dụ minh họa 38

3.1.3 Công thức p-adic Poisson – Jensen 42

3.2 Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị 43

3.2.1 Độ cao của dãy điểm 43

3.2.2 Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị 44

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

1

MỞ ÐẦU

Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt Từ đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yêu cầu đặt ra

là làm thế nào có thể khôi phục lại hàm số khi biết giá trị của nó từ một dãy rời rạc các điểm?

Nội suy các hàm p-adic là một công cụ quan trọng trong giải tích p-adic để xây dựng các hàm p-adic và đặc biệt là xây dựng các tương tự p-adic của các L_hàm số học Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu hơn về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó

Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên p và nội suy các hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị của p, thể hiện trong 3 chương:

 Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p – adic gồm chuẩn

p – adic, các tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic và hàm log

 Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic các hàm liên tục trên ptừ

đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p – adic

 Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của dãy điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng nhất

là chứng minh chặt chẽ điều kiện cần và đủ để một dãy điểm là dãy nội suy của một hàm chỉnh hình cho trước và những ứng dụng của kết quả này

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm của thầy

Mỵ Vinh Quang Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn Lời cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ để tôi yên tâm học tốt Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến các thầy trong

TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009

3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Chuẩn và chuẩn phi Archimede

Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường , ,

Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì Ánh xạ : F  được định nghĩa bởi:

với mọi x F , 1 0

khi x x

Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương của chuẩn)

Giả sử 1 và 2 là hai chuẩn trên trường F Các khẳng định sau là tương đương:

i) x1 1 x2  với mọi x F1 

ii) x1 1 x2  với mọi x F1 

4

iii) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho x2  x1C với mọi x F

iv)  x n là dãy Cauchy đối với 1   x n là dãy Cauchy đối với 2

Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede

Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho là chuẩn trên trường F Các khẳng định sau là tương đương:

i) là chuẩn phi Archimede

ii) 2 1

iii) n  với mọi n  1

iv) Tập bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho n  với mọi n  c

Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede)

Cho là chuẩn phi Archimede trên trường F Khi đó:

 Gọi S là tập các dãy Cauchy trong

Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương như sau:

6

   x n y n  x y n n

Khi đó ta có thể chứng minh ( p, , )  là trường với đơn vị  1

Ngoài ra, với  x n  tức là 0 x n  0, theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với mọi n > N : x n  a  Khi đó, phần tử nghịch đảo của 0  x n là    1

x   y

trong đó

01

n

n

n N y

n N x

 Chuẩn trên p được xác định như sau:

Với mỗi x x n  p, p lim n p

n





Ta có thể chứng minh được chuẩn p trên p là chuẩn phi Archimede

 Trường có thể xem là trường con của p nhờ ánh xạ nhúng:

  Có thể chứng minh được p là chuẩn trên trường

p và là mở rộng của chuẩn p – adic trên p

Trường p cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ Làm đầy đủ p theo

p ta sẽ được trường các số phức p – adic kí hiệu là p

Với   n , n p thì p lim n p

n



  và khi  0, p  n p với n đủ lớn Chúng ta cũng mở rộng ord p cho p: ord x p  logp x p

Từ đây trên các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết nghĩa là

Theo định nghĩa u p  p1/(p n1p n) hay  1p  p1/p n1p n ■

 Với mọi z p , z  : chuỗi hội tụ r

 Với mọi z p , z  : chuỗi phân kì r

 Với mọi z p , z  : chuỗi hội tụ khi r a r n n  , phân kì khi 0 n

n

a r  0

10

Định nghĩa 1.17

Hàm f D: (0, )r  p gọi là hàm chỉnh hình trên D(0, r) nếu f(z) biểu diễn

được dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức là

i) ( , )r f là chuẩn phi Archimede trên vành A r( p)

ii) A r( p) đủ đối với ( , ) r f

  

  hay (1, )f a max{ (1, ), (1, )}Q R

i a  suy ra a iD(0,1) với mọi i hay f D(0,1)[ ]z

Do max{ (1, ), (1, )} 1 Q  R  nên (1, ), (1, ) 1 Q  R  suy ra ,Q R D (0,1)[ ]z Xét trên vành (0,1)[ ] (0,1)[ ]D z D z ta có 0 f z( )g z Q z( ) ( )R z( )

Vì (1, ) 1 g  hay b k  nên deg1 g k degRdegR suy ra Q và như 0vậy R hay ( ), ( )0 R z Q z D(0,1)[ ]z do đó max{ (1, ), (1, )} 1 Q  R  (mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu của ta)

i  r h  r h

  với h là một trong các đa thức f, g, Q, R

Vì ta đã chứng minh ở trường hợp 2, ( , ) maxr f i  ( , ) ( , ), ( , )r g i  r Q i  r R i 

nên lấy giới hạn 2 vế ta có đpcm ■

Định lý 1.22

Cho f A r( p) và g z( )b0b z1   b z k k p[ ]z sao cho ( , ) r g  b r k k Khi đó tồn tại chuỗi lũy thừa Q A r( p) và đa thức ( )R z  p[ ]z sao cho ( ) ( ) ( ) ( )

giới hạn 2 vế của (*) ta có được ( )f z  g z Q z( ) ( )R z( ) trong đó degR n  nên k

degR < k Khi đó ( , ) max{ ( , ) ( , ), ( , )} r f   r g  r Q  r R ■

Đặc biệt h không có không điểm trong D(0, )r x p : x r và f có đúng

 không điểm trong (0, )D r

Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1

Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức ,g h i i thỏa các điều kiện 1, 2, 3 Theo định lý 1.22, tồn tại chuỗi lũy thừa Q iA r( p) và đa thức R i p[ ]z

sao cho ( )f z g z h z i( ) ( )i  g z Q z i( ) ( )i R z i( ) với degR i  

Điều kiện (2) cũng đúng với i + 1 vì

Rõ ràng g i  và ( , )g  r g ( , )r g i  b r i   b r  (điều kiện (ii) đúng)

Vì A r( p) đầy đủ nên { }h i hội tụ do đó tồn tại h A r( p) sao cho h i  h

Theo điều kiện (3), cho i  ta có ( , r f gh) 0 nên f = gh (điều kiện (i) đúng)

Điều kiện (iii) đúng là hiển nhiên do cách định nghĩa h

Cho i   trong điều kiện (2) ta có điều kiện (iv)

Cho i  trong điều kiện (2) ta cũng có ( , r f g)( , )r f ( , )r f (điều kiện (v) đúng)

Gọi z1, ,z là các không điểm của g Khi đó g z( )b z z(  1) (z z )

Điều kiện (ii) kéo theo ( , / ) r g b  và như vậy r

max ,r z1  max , r z   suy ra r z j  với 1, ,r j  

Do đó g có đúng  không điểm, h không có không điểm trong (0, )D r nên f cũng có đúng  không điểm trong (0, )D r ■

z n

n n n

Tại z p, z  : lấy dãy số { }1 n k mà ( , ) 1n p k  Khi đó 1 1

n

z n

z z

17

i) log :1 E  đẳng metric với E

1 1

  và do đó

1 1

1 n p

x x

p n

 Ngược lại, giả sử có z D (0,1) mà log(1 + z) = 0

Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp(1z)p n  1 n1 với mọi n trong đó

(1z)p n  1 p p suy ra (1z)p n  1 E

Vì log :1 E  đẳng metric nên đơn ánh E

Do đó log(1z)p n  p nlog(1z) 0 log1  suy ra (1z)p n  hay1 zp n1 1 ■

19

Chương 2 : PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p

Trong chương này ta quy ước viết nghĩa là p

2.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:

A X trù mật trong X Khi đó nếu f A g A thì f = g ■

Sau nhận xét 2.2, ta thấy rằng nếu cho trước a a1, , 2 là dãy các phần tử của

p thì có tối đa một hàm :f p  p liên tục sao cho ( )f n a n với mọi n Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại một hàm f có tính chất như vậy? Ta có định nghĩa sau:

20

Định nghĩa 2.3

Dãy a a1, , 2 các phần tử trong p gọi là nội suy p – adic nếu tồn tại một hàm

f  liên tục sao cho ( )f n a n với mọi n

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn thông qua định lý sau :

Với mỗi X p  , tồn tại { }x n  :x n  X

Vì g liên tục đều trên nên

0, ( ), x y, : x y g x( ) g y( )

Do x n  nên tồn tại X N  N( ) : x n X    n N

Do trù mật trong p nên tồn tại { },{ }x n y n  sao cho x n  , X y n  Y

Suy ra, tồn tại N1 N1( ) : x n X , y n   với mọi Y  n N 1 Khi đó

x y  x X  X Y  Yy  x X X Y y Y  nên theo (*) ta có ( )g x n g y( )n  với mọi  n N 1

Theo cách xây dựng f ta có ( ) lim ( ), ( ) lim ( )n n

Ta đã có (1) Vậy (2)  (1) còn (1)  (2) là hiển nhiên

Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương sau :

Do dãy a a1, , 2 các phần tử của p là dãy nội suy p – adic nên theo định

nghĩa (2) ở trên, tồn tại j0 sao cho với mọi n  thì a n p j0 a n  

Khi đó, với mọi j  , j0

Vậy theo định nghĩa (2), a a1, , 2 là dãy nội suy p – adic ■

Ta tổng kết lại một số định nghĩa tương đương của dãy nội suy p – adic như sau:

(1) Tồn tại một hàm :f p  p liên tục sao cho ( )f n a n với n 

Giờ ta chứng minh p \ trù mật trong p Xét số tự nhiên m bất kì Rõ ràng

dãy {m p n} khi n m   (vì m p nm  pn  khi n   ) do đó 0

\{ }

p

m m suy ra { }m không là tập mở (**) (vì nếu ngược lại thì p \{ }m là tập đóng nên m p \{ }m  p \{ }m vô lí) Ngoài ra, {m} là tập 1 điểm trong không gian metric pnên {m} là tập đóng và do đó cũng là tập không đâu trù mật (vì giả

25

Chú ý rằng p đầy đủ,  { }m là các tập không đâu trù mật nên theo định

lý Baire về phạm trù, p \ trù mật trong p suy ra với số tự nhiên n bất kì, tồn tại dãy { }x k  p \ , x k  Áp dụng tính chất (*) cho { }n x k  p \ ta có ( )k

f x  với mọi k Khi đó a n ( ) lim ( )k

k



2.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p – adic

Ví dụ 1: Dãy a n n k với k là dãy nội suy p – adic

  là dãy nội suy p – adic ■

Ví dụ 3: Dãy a n  ( 1)nlà dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi p = 2

Chứng minh

Dãy an là dãy nội suy p – adic

( 1)n p j ( 1)n 0

     khi j  ( 1)p j     ■ 1 0 p 2

Giả sử có i, ta chứng minh kết quả sau bằng quy nạp:

Nếu a p thì a p n  1 n1 với  maxa1 ,p 1

Với n = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử khẳng định của ta đúng với n, ta sẽ chứng minh nó đúng với n + 1

Do a p nên a     a 1 1 1

Khi đó a p n   1 a 1 a p n1a p n2     1 a 1 1

Áp dụng bổ đề 2.7 với    và a 1 y a p n ta có (a p n)p  1  a p n  1

Đặt b = a – 1, ta cần chứng minh b  Bằng phương pháp phản chứng giả sử 11

   Vậy theo định lý 2.5, dãy  a n

là dãy nội suy p – adic ■

Định nghĩa 2.11

Với mọi x p, ta đã biết rằng tồn tại dãy số tự nhiên { }x n  x

Khi đó với a p, theo định lý 2.10 ở trên, dãy  a n là dãy nội suy p – adic nên cho phép ta đặt x lim x n

Giả sử bất đẳng thức đúng với k, ta sẽ chứng minh nó đúng với k + 1

Do a p nên a p k  p (hệ quả 2.9) Khi đó theo giả thiết quy nạp và bổ đề 2.7 ta có a p k1  1 (a p k)p  1  a p k  1   k a 1 k 1 a tức là bất đẳng 1thức đúng với k + 1

Với a *p, giả sử a a 0 a p1   a p k k  với 0a i  p a p, ( , ) 10 

Do (a0, p) = 1 nên theo định lý Fermat ta có a0p11 (mod )p do đó

2.4 Nội suy hàm gamma p – adic

Hàm gamma  trong giải tích phức là hàm chỉnh hình trên với các cực điểm đơn tại 0, –1, –2… thỏa (1) 1, (     z 1) z z( ) với z \{0, 1, 2 }  do đó (n 1) n!

   với mọi n 

Một cách tự nhiên trong trường hợp giải tích p – adic, câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hàm liên tục p: p  p thỏa p( )n  hay không tức là nói cách khác, n!dãy a n  có phải là dãy nội suy p – adic hay không n!

Tuy nhiên ta lại có mệnh đề sau:

nên (1 p N1)! 1  p ) Do đó dãy a n  không là dãy nội suy p – adic ■ n!

Định lý sau đây là cơ sở để xây dựng hàm gamma p – adic

s

p j

32

Vậy

2 1

( ) 1(mod )

s

p

s j

n p

a  a  p do đó với mọi n, a n p s a n  khi s   0

Vậy lim sups n p s n 0

n

a  a

   chứng tỏ a n là dãy nội suy p – adic ■

Dựa vào định lý 2.15 và nhận xét 2.2 ta có hệ quả sau:

33

Định lý tiếp theo cho ta một số tính chất của hàm gamma p – adic:

Định lý 2.18

Hàm  thỏa các tính chất sau đây: p

i) Với mọi x p: p(x  1) p( ) ( )x h x p với ( ) 1

( 1) ( 1) ( 1) ( )

n n

p n

j n

p j

- Nếu x 1 thì do x n  nên x x n 1 với n đủ lớn

Do đó h x p( )n  x n suy ra lim ( ) lim( ) ( )

 p n    n    p

ii) Xét dãy { } p n , rõ ràng p n  pn  khi n   Theo định nghĩa, ta có: 0

34

1 / 1

( ) ( 1)

n n p

n j

iii) Trước tiên ta chứng minh p( )n  p( )m   với mọi ,n m n m (*)

Giả sử n m  pj ta xét các trường hợp sau:

j

p

j j

35

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH P – ADIC

TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p

b b  n n Khi đó rõ ràng min n min{ , , ,0 1 n0 1}

n b  b b b  và như vậy tồn tại n để

  gọi là độ cao của f tại t  logp z

 nf t, ,nf t, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của n để ( )v a n  đạt nt

giá trị nhỏ nhất

36

 hf t, n t hf t, , f t, n t hf t, , f t, h f t, h f t, lần lượt là độ cao địa phương bên phải, độ cao địa phương bên trái và độ cao địa phương của hàm f(z) tại logp

Và theo định lý Weierstrass, số không điểm của f trong miền z  là ( , )r  r f

suy ra số không điểm của f trong miền ( )v z  (tức t z  pt) chính là

i) Nếu h f t,  thì ( )0 f z không có không điểm tại ( )v z  và t f z( )  pH f t( , )

ii) Nếu h f t,  thì ( )0 f z có không điểm tại ( )v z  và t

,  

f t

h t số không điểm của ( )f z

iii) Trong [r, s] với 0 r s    , chỉ có hữu hạn điểm tới hạn

Chứng minh

i) Giả sử ( , ) 0 h f t  Khi đó nf t, nf t, và như vậy ( )v a n  đạt giá trị nhỏ nhất nt

tại đúng một giá trị duy nhất n n f t, nf t,

ii) và iii) Để chứng minh ta đưa ra khái niệm “đa giác Newton”

Với mỗi n, hình dung rằng đồ thị  biểu diễn hàm (n n) ( ) ( )

Tại mỗi đỉnh (t, H(f, t)) của đa giác, có nhiều hơn một đường thẳng  qua nó n

và hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong các hệ số góc của các đường thẳng  đó nchính là nf t, (nf t, ) Do đó, tại các đỉnh này, nf t, nf t, nên t chính là một điểm tới hạn của f(z)

Còn tại các điểm nằm trên các cạnh mà không phải đỉnh của đa giác đều có