gamma hàm p adic và các ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn.. Tôi xin chân thành cảm ơn các

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới:

Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực

hiện bảo vệ luận văn

PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo,

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị

những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn

Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1.Chuẩn và chuẩn phi Acsimet 2

1.2 Xây dựng trường số p – adic P 6

1.3 Xây dựng trường P 9

Chương 2 KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC GAMMA HÀM p-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 12

2.1 Khái niệm dãy nội suy p-adic 12

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic 12

2.1.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic 17

2.2 Xây dựng gamma hàm p-adic (với p≠2) 19

2.3 Xây dựng gamma hàm p-adic (với p=2) 24

2.4 Một số ứng dụng liên quan 30

2.4.1 Hằng số Euler p-adic 30

2.4.2 Các giá trị của hàm Γp tại 1, 1, 2,

2 − − 32

2.4.3 Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic 35

K ẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

Nội dung chính của luận văn là đưa ra một cách xây dựng gamma hàm p-adic

và một số ứng dụng liên quan thể hiện trong 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: Trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích

p-adic

Chương 2 Khái niệm dãy nội suy p-adic – Gamma hàm p-adic và một số ứng

dụng: Trình bày khái niệm dãy nội suy p-adic, từ đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng gamma hàm p-adic trong hai trường hợp p≠2 và p=2 và một số ứng dụng liên quan

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Mỵ Vinh

Quang Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình về sự hướng

dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn Lời cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi yên tâm hoàn thành luận văn Và cuối cùng xin cảm ơn các thầy trong bộ môn Đại số, khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này

Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này

TP HCM, ngày 28 tháng 8 năm 2014

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Chuẩn và chuẩn phi Acsimet

Ví dụ 1) F = ∨ = F  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F

2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F

Cho  là một chuẩn trên trường F Ta định nghĩa hàm : d F× →  như sau: F

d x y = −x y ∀x y∈ F

Do  là một chuẩn trên F nên ta dẽ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và

do đó (F d là m, ) ột không gian mêtríc

Tôpô cảm sinh bởi d: B a r( ), ={x∈F x| − < a r}

1.1.2.1 Định nghĩa

Cho   là hai chuẩn trên trường F Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương 1, 2

nếu tôpô cảm sinh bởi   là như nhau 1, 2

Chú ý rằng: { }x n là dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là:

1.1.2.2 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương)

Cho F là một trường;   là hai chuẩn trên trường F Các điều sau là tương 1, 2đương:

1.1.3 Chuẩn phi Acsimet

1.1.3.1 Định nghĩa

Cho  là một chuẩn trên trường F Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Acsimet trên

F nếu nó thỏa điều kiện:

Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Acsimet

Ví dụ Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet

ii) Cho p là một số nguyên tố cố định Với mỗi x∈\ 0{ }, ta luôn có

( ) ( ) ( )

, 1 ; , 1

x x

( )

, 0

0 , 0

p ord x p

3) Cho n là s0 ố tự nhiên lớn hơn 1 Với mỗi x ∈  , ta luôn có

x=a +a n + + a n (*) trong đó, 0≤a i <n o(hay 0≤a i ≤n o−1 , ) a s ≠ Bi0 ểu diễn (*) được gọi là biểu diễn

s=  x

1.1.3.5 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet)

Cho F là m ột trường, là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương

i) là chuẩn phi Acsimet

ii) 2 ≤ 1

iii) n ≤ 1,

iv) N bị chặn Nghĩa là, ∃ >c 0 : n ≤ ∀ ∈ c, n N

1.1.3.6 Hệ quả

Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet

1.1.3.7 Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet

Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet Ta có các khẳng định sau:

i) ∀x y, ∈F x, ≠ y ⇒ + =x y max{ ,x y} Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn

ii) Các tập

vi) Ký hiệu A={x∈F: x ≤1} , M ={x∈F: x <1} Khi đó:

• A là vành con chứa đơn vị của F

• M là iđêan tối đại của A Do đó, A M là một trường, gọi là trường thặng dư của F đối với chuẩn

1.1.3.8 Định lý Ostrosky Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với

giá trị tuyệt đối thông thường hoặc p (p là một số nguyên tố)

1.2 Xây dựng trường số p – adic  p

Ký hiệu S = {{ }x n ⊂  | { }x n là dãy Cauchy theo p } Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau:

0≠ =x { }x n của  đều có một đại diện là một dãy Cauchy mà mọi phần tử đều khác p

không Vậy nếu x∈p , x≠0 thì x={ } , x n x n ≠ ∀0 n Khi đó 1 1

Khi đó (p, ,.+ ) là một trường, trường này gọi là trường số p–adic  Trường p

 có thể xem như là trường con của  nhờ đồng cấu nhúng : p

: { }

Ta dễ dàng chứng minh được p định nghĩa như trên là một chuẩn trên  p

Hơn nữa, mọi dãy Côsi trong ( p, )

Với ,a b∈ ta định nghĩa p a≡b mod( p n)⇔(a b−  ) p n

Nhận xét Với , a b∈ , p a≡b mod( p n)⇔ −a b p ≤ p−n Nếu a, b ∈  thì định nghĩa đồng dư trong  sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số p

Cho p là số nguyên tố cố định Tập hợp p ={x∈p: x p ≤1} cùng với phép

cộng và nhân trong  lập thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p

1.2.5 Khai triển p – adic của x trong  p

0 0

1.3.1 Chu ẩn trên không gian véctơ

Cho F là một trường với chuẩn ; V là một không gian véctơ trên trường F Ánh

iii) x+y ≤ x + y ,∀x y, ∈ V

1.3.1.1 Định lý Cho (F, ) là compact địa phương, K là không gian hữu hạn chiều

trên trường F Khi đó, mọi chuẩn không gian véctơ trên K đều tương đương

1.3.1.2 H ệ quả Cho (F, ) là một trường với chuẩn compact địa phương, K là mở

rộng hữu hạn của F Khi đó, có nhiều nhất một chuẩn trường trên K là mở rộng của trên F

1.3.2 Chuẩn trên  p

a) F được gọi là bao đóng đại số của F nếu :

i) F là mở rộng đại số của F

ii) Đồng thời mọi đa thức của F x[ ] đều phân rã được trong F x[ ]

b) Gọi  là bao đóng đại số của p  , tức, p  là tập các phần tử đại số trên p

p

 Trong  ta đã có chuẩn p p là chuẩn compac địa phương

Nhận xét Có tối đa một chuẩn trên  là mở rộng của chuẩn p p trên p

Nh ận xét Giả sử là chuẩn trên  là mở rộng của chuẩn p p trên  Nếu p

, ′ p

α α ∈ và α α, ′ liên hợp với nhau trên  thì p α = α′

Chu ẩn của phần tử trong  p

Với α ∈p ⇒ αđại số trên  Ký hiệu đa thức tối tiểu của p α trên  là p

p

n p

a) Trường p không đầy đủ Đặt p = p = Ta chứng minh được p là đóng đại số  gọi là tương tự p–adic của trường số phức  p

b) Nhắc lại bao đủ của  p

Ký hiệu S = {{ }x n ⊂ p | { }x n là dãy Cauchy theo p } Trên S xét quan hệ tương

đương ~ cho như sau:

a)  đầy đủ (mọi dãy cauchy theo p p đều hội tụ trong  ) p

b)  đóng đại số (mọi đa thức p f x( )∈p[ ]x đều phân rã được trong p[ ]x ) c)  không compac địa phương p

d)  là không gian vectơ vô hạn chiều trên p  p

[ : ]=2, : p p= ∞

Chương 2 KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC GAMMA HÀM p-ADIC VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

2.1 Khái niệm dãy nội suy p-adic

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:

Nhận xét này được suy ra từ mệnh đề 2.1.1.1 và một kết quả trong tôpô:

Cho X, Y là các không gian metric f g X, : →Y là hai hàm liên tục Giả sử

A⊂ X trù mật trong X Khi đó nếu f|A =g|A thì f =g 

Qua nhận xét trên, ta thấy rằng nếu cho trước a a1, 2, là dãy các phần tử của p

thì có nhiều nhất một hàm f :p →pliên tục sao cho f n( )=a n, với mọi n∈ 

Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có luôn tồn tại một hàm f có tính chất như vậy

không? Ta có định nghĩa sau:

2.1.1.3 Định nghĩa

Dãy a a1, 2, các phần tử của p gọi là nội suy p-adic nếu tồn tại một hàm

f  → liên tục sao cho f n( )=a n, với mọi n∈ 

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.1.1.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn thông qua định lý sau :

Do p là tập compact nên f liên tục đều trên p

Suy ra f liên tục đều trên 

Với mỗi X∈ p = , tồn tại { }x n ⊂:x n →X

Vì g liên tục đều trên  nên

Như vậy, ta đã chứng minh {g x( )n } là dãy Cauchy trong p mà p đầy đủ nên

Lấy X Y, ∈p thỏa X −Y p < δ (δ được xác định trong (*))

Do  trù mật trong p nên tồn tại { } { }x n , y n ⊂  sao cho x n →X y, n →Y Suy ra tồn tại 1 1( ): n , n

N =N δ x −X < δ y −Y < δ với mọi n≥N1 Khi đó

x −y = x −X + X −Y + Y −y ≤ x −X X −Y y −Y < δ

Nên theo (*), ta có g x( ) ( )n −g y n p < ε với mọi n≥N1

Theo cách xây dựng f ta có ( ) lim ( ) ( )n , lim ( )n

Do đó f liên tục đều trên p 

Nhờ định lý 2.1.1.4 ta xây dựng được một định nghĩa khác tương đương về dãy

nội suy p-adic như sau:

Dãy a a, , các phần tử của  là dãy nội suy p-adic nếu

Nên ta có (1) Vậy (2)⇒(1) Còn (1)⇒(2) là hiển nhiên

Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương dựa trên định lý sau:

Do dãy a a1, 2, các phần tử của p là dãy nội suy p-adic nên theo định nghĩa (2)

ở trên, tồn tại j0∈  sao cho với mọi n∈  thì n p j0 n

p

a + −a < ε Khi đó, với mọi j≥ j0,

 Điều kiện đủ:

Lấy ε >0

a + −a < ε

Do đó: n p j n

p

a + −a < ε với mọi n∈ 

Vậy theo định nghĩa (2), a a1, 2, là dãy nội suy p-adic 

Ta tổng kết lại một số định nghĩa tương đương của dãy nội suy p-adic như sau: (i) Tồn tại một hàm f :p →pliên tục sao cho f n( )=a n, với mọi n∈ 

(iii) ∀ε >0, N∃ ∈  sao cho ∀m n, ∈: n m− p < p−N thì a n −a m p< ε

(iv) ∀ε >0, N∃ ∈  sao cho ∀ ∈ n thì n p N n

A = a + −a

Do a a1, 2, là dãy nội suy p-adic, nên theo định lý 2.1.1.5 thì lim j 0

→∞ =

Do đó với j đủ lớn ta có 0

2

n p j

a=a (trái với giả thiết phản chứng)

Vậy ta có điều phải chứng minh 

2.1.2 Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic

=  

  là dãy nội suy p-adic 

Ví dụ 3 Dãy a n = −( )1 n là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi p= 2

Chứng minh

Dãy a là dãy nội suy p-adic

Và do đó ( j) ( ) 0

p

F n+p −F n → khi j→ ∞ Nên theo định lý 2.1.1.5, dãy F n( ) là dãy nội suy p-adic 

Qua ví dụ 4, ta nhận được kết quả:

0

x p

2.2 Xây dựng gamma hàm p-adic (với p≠2 )

Gamma hàm Γ trong giải tích phức là một hàm chỉnh hình trên  với các cực điểm đơn tại 0, 1, 2, − − thỏa mãn:

( )1 1

Γ = , Γ + = Γ(z 1) z ( )z (z∈\ 0, 1, 2, { − − } )

Do đó Γ + =(n 1) n! với mọi n∈ 

Một cách tự nhiên trong trường hợp giải tích p-adic, câu hỏi đặt ra là liệu có tồn

tại hàm liên tục Γp:p →p thỏa Γp( )n =n! hay không? Nói cách khác, dãy a n =n!

có phải là dãy nội suy p-adic hay không?

Để trả lời cho câu hỏi đó, ta có mệnh đề sau:

1 +p N+ ! chia hết cho p nên ( 1)

1 +p N+ ! 1 − không chia hết cho p)

Do đó dãy a n =n! không là dãy nội suy p-adic 

Định lý sau đây là cơ sở để xây dựng gamma hàm p-adic

(dấu phẩy trong

s

p

s j

tập đầy đủ các phần tử đại diện của G

Như vậy, nếu ta gọi : s

p

ϕ →   là phép chiếu thì:

1 0

1

n p

Suy ra: s

s n

→∞ − = Điều này chứng tỏ a n là dãy nội suy p-adic 

Dựa vào định lý 2.2.2 và nhận xét 2.1.1.2 ta có hệ quả sau:

2.2.5 Định lý

Với số nguyên tố p>2, hàm Γp có các tính chất sau:

(i) ∀ ∈x p: Γp(x+ =1) h p( ) ( )x Γp x

p p

1 1

 Nếu x p =1 thì do x n →x nên x n p =1 với n đủ lớn

Do đó h p( )x n = −x n Suy ra lim p( )n lim ( )n p( )

→∞ = →∞ − = − = Tóm lại, lim p( )n p( )

n j p

s j

Như vậy, nếu ta gọi :

2s

ϕ  →   là phép chiếu thì:

2 1 0

(dấu phẩy trong

n

Do đó: với mọi n, a n+2s −a n 2 → 0 khi s→ ∞

Vậy lim sup n 2s n 2 0

→∞ − = Điều này chứng tỏ a n là dãy nội suy p-adic 

Dựa vào định lý 2.3.2 và nhận xét 2.1.1.2 ta có hệ quả sau:

Trong phép chứng minh định lý 2.3.2 ta đã biết 2( ) 2( )

1

1

2 1

n n

Vì Γ2 là hàm liên tục trên 2 nên lim 2( )n 2( )

 Nếu x2 = 1 thì do x n →x nên x n 2 = 1 với n đủ lớn

Do đó h2( )x n = −x n Suy ra lim 2( )n lim( )n 2( )

2

n j

b) Với 2 1

2

n m− = Khi đó: n= +m 2k (với k là số lẻ)

k i

 Với n= +m 4k (với k là số lẻ lớn hơn 1) thì:

122

k i

1 0

00

0

p p

n p

Khi đó: ( )

p

p p

n

n

′Γ

p p

đối với gamma hàm phức Γ

Hằng số Euler cổ điển γ được định nghĩa ( )

( )

11

′Γ

γ = −Γ

Một cách tương tự, ta cũng định nghĩa hằng số Euler p-adic γp như sau:

( ) ( )

1:

1

p p

p

′Γ

2.4.2 Các giá trị của hàm Γp tại 1, 1, 2,

( ) ( ) ( ) 1

n n p

  + −  

  + −  

m m

n

−

= + + +

 

Γ    là không hợp lí

Do đó, ta chỉ xét p≠2

Sử dụng công thức trong mệnh đề 2.4.2.2 ta được: 2 ( ) 1

2

1

12

l p

p

 

Γ    cho ta một minh chứng cho sự tồn tại

của − 1 trong p khi p≡1 mod 4( )

2.4.3 Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic

Công thức nhân trong trường hợp số phức là:

m mz m

−

−

Để nhận được tương tự p-adic của công thức trên, đầu tiên ta giả sử rằng m

không chia hết cho p Bởi vì nếu m chia hết cho p thì p x 1

m

  không định nghĩa được

Với m như vậy, m∈,m≥2, ta đặt:

n m

j

j G

j G

Thay n b ởi mn ta nhận được: G m( )n =G m( )0 m−m( )mn (n∈ )

Thay x=n vào (7) ta được:

1 0

nm−m là dãy nội suy p-adic

Với mỗi j∈  và hàm l được định nghĩa như trong mệnh đề 2.4.2.2 ta có :

m − có nghĩa với mỗi s∈p Vậy hàm:

Chúng ta vừa chứng minh định lý sau:

 Định lý (Công thức nhân p-adic)

Với mỗi x∈p, lấy l x( ) {∈ 1, 2, ,p} sao cho ( ) 1

KẾT LUẬN

Sau khi hoàn thành luận văn, chúng tôi đưa ra một số kết luận như sau:

Nội suy các hàm p-adic, mà cụ thể là gamma hàm p-adic là một vấn đề khá thú vị

trong giải tích p-adic Thông qua phép nội suy, chúng ta có một cách xây dựng tương

tự p-adic của gamma hàm phức và một vài ứng dụng liên quan

Đầu chương 2, chúng tôi đã giới thiệu một số định nghĩa tương đương về khái

niệm dãy nội suy p-adic Từ đó, chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ đơn giản về dãy nội suy p- adic, cũng như xem xét cách xây dựng gamma hàm p-adic ở cả hai trường hợp

2

p≠ và p=2 thông qua phép nội suy và một số tính chất cơ bản của hàm này

Bên cạnh những kết quả đã đạt được, do hạn chế về thời gian và kiến thức, luận văn này chắc hẳn vẫn tồn tại những hạn chế nhất định Người viết hi vọng sẽ tiếp tục nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về vấn đề nội suy gamma hàm p-adic và nghiên cứu thêm nhiều ứng dụng của nó

Người viết chân thành hi vọng nhận được sự góp ý của quý thầy cô và những ai quan tâm đến đề tài này