Xây dựng các l hàm p adic

Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số.. Trong luận văn này trình bày

LỜI NÓI ĐẦU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-oOo -

CAO TRẦN TỨ HẢI

XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI NÓI ĐẦU

Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng

40 năm trở lại đây Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi tiếng

Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L-hàm p-adic”

Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s  2

Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 Đại số và giải tích p-adic Trình bày các bước xây dựng trường số p-adic p, nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic

Chương 2 Hệ số Bernoulli và L-hàm phức Bao gồm hai §

§1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet

§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu một số tính chất cơ bản của hàm phức như : phương trình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của F(z)zn1 tại z = 0, công thức

n

B )

, n (

L 1     n, với

n  1 và giá trị của L-hàm tại s = 1 Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bernoulli tổng quát và tính chất của hàm zeta

Chương 3 Xây dựng L-hàm p-adic Đây là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựa theoIwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyên dương bằng cách sử dụng - biến đổi của một hàm số Cụ thể chương III gồm năm

§

§1 Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một dãy số p-adic trong p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic

§2 L-hàm p-adic Như ta đã biết    Bn, 

n  là các số đại số trên  nên ta xem chúng thuộc  Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p

p-adic f sao cho Bn,

n



      , n  0 hay không ? Rất tiếc dãy





n,

B

n không phải là dãy nội suy p-adic Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một chút để có được dãy nội suy p-adic Trong § này chúng tôi chứng minh dãy













n

bn

với   n  n,

n

b  1 1 , n  n là dãy nội suy p-adic Do

đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả

n

b n

p( 1  ,)   được gọi là L- hàm p-adic liên kết với đăc trưng 

§3 Toán tử – biến đổi Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó

– biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàm

p-adic tại các điểm nguyên dương

§4 Công thức tính Lp(1,) Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1

§5 Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại

các số nguyên s  2

Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót

Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng

nghiệp

Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư

phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá

trình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang đã

trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu

Người thực hiện

CHƯƠNG 1

ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC

Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giải tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3)

§1 CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC

1.1.1 Trường số p-adic

Cho trước số nguyên tố p, mọi x  \ 0  đều có thể phân tích được dưới dạng

1 2 k

1 2 k

x p p p p     trong đó p,p ,p , ,p là các số nguyên tố phân biệt và 1 2 k

, , ,

     được gọi là chỉ số p-dic của x, kí hiệu  ord (x)p Ta qui ước ord (0)   Với mọi x, y  dễ dàng chứng minh được p

ord (xy) ord (x) ord (y)  và ord (x y) min ord (x),ord (y)p    p p  Khi đó ánh xạ trên  được xác định bởi

ord (x) ord (x) p khi x 0

x p

0 khi x= 0



lập thành chuẩn phi Archimade trên  , nghĩa là

i) x 0,   x , x 0  x 0

ii) xy  x y , x,y 

iii) x y max x , y ,     x,y

Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu x  y thì x y max x , y    ”

Chú ý rằng trên trường  với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy

đủ Ta xây dựng được trường bao đủ  của  , chuẩn trên p  là sự mở rộng p chuẩn trên 

Mỗi phần tử trong  đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng p

x a p m m   a0a p a p1   n n với 0 a i   , i  - m, p 1 am  0 được gọi là biểu diễn p-dic của x, khi đó x p m

Trường  có các tính chất đặc trưng sau đây p

i)  chứa p 

ii)  trù mật trong  p

iii)  đầy đủ p

Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất Trường  được gọi là p

Vành p xp: x 1   được gọi là vành các số nguyên p-adic Đây là p vành địa phương với ideal tố đại duy nhất *  

p   x : x 1  là p tập compact nên  compact địa phương Các tập p  , , m  m p 1   trù mật trong  với tôpô cảm sinh từ p  p

Trường kp/ pp / pFp được gọi là trường thặng dư của  Tập p

     cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi

là nhóm giá trị của  p

Gọi  là bao đóng đại số của p  , với mỗi p    , ta gọi p

 

x a x    a   x là đa thức tối tiểu của  Khi đó  cùng với p chuẩn được xác định bởi

1 n 0 a

  là không gian định chuẩn phi Archimade chứa p

 Lúc này  lại không đầy đủ theo chuẩn trên Bao đủ của p  là không gian p p-adic phức  Đồng thời ta cũng có p  không compact địa phương p  có p trường thặng dư k là bao đóng đại số của k F p, nhóm giá trị

     Dãy  x   là dãy Cauchy khi và chỉ n p

nlim x  x 0

nlim x x 0

   thì tồn tại N > 0 sao cho n

x  x , n N 

Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M  0 là số p-dic cho trước

a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu a b  M Kí hiệu

a b ( mod M ) Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo modulo M là một quan hệ tương đương

Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=a x + +a x an n 1  0, với

i p

a  ,i 0,n thoả mãn ai  (mod p) với 0 0 i n 1   , an  (mod p), 0 0

a  (mod 0 p ) Khi đó f(x) bất khả quy trên 2  ” p

1.1.2 Căn của đơn vị và đại diện Teichmuller

Căn bậc n của đơn vị trên trường F là nghiệm nào đó của đa thức xn  Tập 1 các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n Căn của đơn vị là một căn bậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó  được gọi là căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số nguyên dương m < n sao cho  là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác  có cấp là

n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay  là phần tử sinh

F(x) c c x c x   x Gọi

 

n 1

F'(x) c 2c    nc x   x là đa thức đạo hàm của F(x).Cho p

a sao cho F(a) 0 (mod p) và F'(a) 0 (mod p) Khi đó tồn tại duy nhất p

b là nghiệm của đa thức F(x) và b a (mod p) ”

Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường  , phương trình p p

x   luôn có p nghiệm phân biệt x 0 a ,a , ,a0 1 p 1 thoả ai i (mod p) Các nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,1, ,p 1 Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, , p -1 là các căn bậc p -1 của đơn vị Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, , p -1 không là

số hữu tỉ

Với mỗi a , tồn tại duy nhất một đại diện Teichmuller p

0

i

a sao cho 0

i

a a (mod p) Kí hiệu

0

i (a) a

  được gọi là đại diện Teichmuller của a Khi đó

có thể kiểm tra được (ab)  (a) (b) và  (a p) (a) Đặt

*

U =  x x 1 , D 1 q   p với p khi p >22

q

p khi p=2



 

 , khi đó U là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch

và D là nhóm con của U chứa tất cả các phần tử dạng 1 qa , a  Đặt p

 

V  nếu p = 2, đặt V là nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị 1 nếu p > 2 Với mỗi a U , ta dễ dàng chứng minh được (a) a (mod q) do đó

(a)1a 1 (mod q) Đặt   1

p

        , khi đó a được biểu diễn thành tích của (a) V và  a D Rõ ràng cách biểu diễn này là duy nhất nên U V D 

Gọi    là trường gồm tất cả các số phức đại số trên  Do  nên p p

   và mọi căn đơn vị trong  đại số trên  nên đều nằm trong p  Nhóm

p

V   có thể đồng nhất với nhóm nhân các căn bậc p – 1 của đơn vị trong

p

   ( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị

trong    (nếu p = 2) Vì vậy ta có thể xem p (a) , (a) đại số trên  Khi đó ánh xạ : a  (a) từ    được gọi là đăc trưng Teichmuller Trên trường  , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi p

n = p –1, nghĩa là căn đơn vị trong  chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác p không, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc – 1 Trên trường  đóng p đại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau

§2 CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC

1.2.1 Hàm chỉnh hình p-dic

Trên trường con K của trường p-dic đóng đại số  , xét chuỗi vô hạn p n, ta nhận thấy n hội tụ khi và chỉ khi n

xlim 0

 

Ta gọi bán kính hội tụ của n n n p

n 0

f(x)  a x (a )



   là số thực được xác định

1 n n n

1 r

lim sup a





Chuỗi n n

n 0

a x





 hội tụ nếu x r , phân kỳ nếu x r Nếu

tồn tại x0 K, x 0  sao cho r n 0n

n 0

a x





 hội tụ ( hoặc phân kỳ ) thì chuỗi

n n

n 0

a x





 hội tụ ( hoặc phân kỳ )  x K, x  r

Xét chuỗi luỹ thừa n n n

n 0

f(x)  a x (a K)



   , với x cố định thoả x r , nếu

f(x) hội tụ thì f(x) có đạo hàm n n 1

n 1

f '(x)  na x 



  , hơn nữa f’ và f có cùng bán kính hội tụ Từ đó suy ra hàm f(x) khả vi vô hạn lần Vì lý do đó ta gọi hàm

n

n 0

f(x)  a x (a K)



K

B (0,r) x K x r Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó gọi là hàm phân hình trên tập mở đó

1.2.2 Đại số Banach các hàm chỉnh hình P K

Gọi K là trường mở rộng hữu hạn của  sao cho p K   Khi đó K là p trường compact địa phương với tôpô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimade trên K Gọi K[[x]] là đại số của tất cả các chuỗi hàm luỹ thừa hình thức của x Với mỗi

n n

n 0

A A(x)  a x K[[x]]



n

A sup a Đặt

K

P  A K[[x]] A  

Rõ ràng P là đại số con của K[[x]] và K K[x] P K K[[x]], K[x] trù mật trong K

P

n 0



   và  thoả mãn p   ta có 1

n

Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1)x  p x 1   Nhưng hàm chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc P K

K A(x),B(x) P

n 0

A(x)  a x



n 0

B(x)  b x



  ta dễ dàng khẳng định được

i) A  0, A 0 A 0

ii) A B max A , B   

iii) cA  c A , AB  A B

Vậy (P , ) là đại số định chuẩn trên trường K K

1.2.3 Mệnh đề

( , )P K là đại số Banach trên trường K

Chứng minh Giả sử  A là dãy Cauchy bất kỳ trong k (P , ) , K

(k) n (k)

n 0

A (x)  a x , a K



n

A A sup a a  khi 0 k,l Suy ra 0  (k)

n k

a là dãy Cauchy trong K với n  0 nên (k)n n

   ,

n 0

A A(x)  a x K[[x]]



    ta chứng minh  A hội tụ về A trong k K

(P , ) Thật vậy,  A là dãy Cauchy suy ra k

(k) (l)

n

0 , N 0 : sup a a , k,l N

Cho l   ta được (k)n n

n

sup a a     Đặc biệt với k = N ta có , k N (N)

n

a max , A , n Do đó An max , A N  hay AnPK Hơn nữa từ

(k)

n n n

sup a a     suy ra , k N AkA     nên, k N k

klim A A

  trong K

P Vậy P là đại số Banach K

1.2.4 Hàm logarithm p-adic





n 1

( 1)

n có bán kính hội tụ là 1 trong p Đặt D   p  -1 1 khi hàm số  log : D   xác định bởi p

n 1

( 1)

n







được gọi là hàm logarithm p-adic Sau đây là các tính chất cơ bản của hàm

logarithm p-adic

log(xy) = logx + logy ,  x,y D

và logex x, elogx x trong đó 



  n

x

n n

x e

n! Bây giờ ta thác triển hàm logarithm p-adic từ log : D p thành



*p p log : mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình  x *p, giả sử x p với  r



a

r = , (a,b) = 1

b Ta gọi xp p là nghiệm nào đó của đa thức xbp suy a

ra  xp b p Khi đó a 1 p    p   

p

x

với (x ) là đại diện Teichmuller tổng quát của 1 x , 1 x1 nằm trong quả cầu mở

B(1,1) = D Do đó x=x (x ) xp 1  1 Đặt







n 1

( 1)

khi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm x và là hàm chỉnh hình trên p

*p Đồng thời hàm này có các tính chất sau :

i)







n 1

( 1)

n với x 1 1   ii) log(xy) = logx + logy ,  x,y *p iii) logex x, elogx x trong đó 



  n

x

n n

x e

n! iv) logp = 0

v) log :*p p là toàn ánh

CHƯƠNG 2

HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC

Chương này không liên quan gì với p-adic Chúng tôi trình bày những kiến thức

về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet Một vài kết quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng minh Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]

§1 HỆ SỐ BERNOULLI ĐA THỨC BERNOULLI

2.1.1 Hệ số Bernoulli

Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển Taylor của hm 



t t

t.e F(t)

e 1 tại t =0.Tức là F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ thừa của





  n n

n 0

t

n! (2.1)

Do đó B là đạo hm cấp n của F(t) tại t = 0, Bn n = F(n)(0) R rng cc B , n 0 l số n hữu tỉ B0 = 1, B1 = 1

2, B3 =

1

6, B3 = 0 , Ta cĩ







Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được

n

Suy ra B0 = 1, Bn  0 với n chẵn khc khơng, B1 = 1

2, Bn = 0 với n lẻ lớn hơn 1

2.1.2 Đa thức Bernoulli

Xt hm hai biến F(t,x) F(t).etx t.e(1 x)tt

e 1



 , khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến

t tại t = 0, ta được