Trường quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trường các số p adic

Mở đầuLý thuyết trờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số.. Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng số hữ

cña c¸c më réng trêng c¸c sè p-adic

Chuyªn ngµnh: §¹i sè - lý thuyÕt sè

*&* Mục lục

Trang

1.3 Mở rộng đơn, Mở rộng đại số , Mở rộng hữu hạn sinh 61.4 Mở rộng chuẩn,mở rộng Galoa, mở rộng xiclic 11

Chơng 2 Trờng quán tính,mở rộng không phân nhánh của các

Mở đầu

Lý thuyết trờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại

nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số Tìm hiểu nghiên cứu về

lý thuyết trờng là một điều thú vị, nó thực sự hấp dẫn nhiều nhà làm toán Ngoài ra

nó góp phần cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về chơng trình toán THPT; góp phần tích cực bồi dỡng học sinh giỏi Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng số hữu tỷ

Q ta nhận thấy rằng những đa thức x2 - 2, x2 - 3, không có nghiệm trên Q, còn đối với trờng khác sẽ nh thế nào? Bài toán đặt ra là chúng ta cần mở rộng trờng để chúng có nghiệm trên trờng đó

Nếu ta xét một mở rộng trờng trên trờng các số p - adic RP thì ta thu đợc kết quả:

[K: RP] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên trờng các số p - adic RP , e là chỉ số phân nhánh của trờng K và f là bậc quán tính của tr-ờng K Khi đó: Nếu e = 1 thì trờng K đợc gọi là mở rộng không phân nhánh và nếu

e = n thì trờng K đợc gọi là mở rộng hoàn toàn phân nhánh

Bằng những lý do trên đây và qua thực tiễn giảng dạy toán ở trờng THPT nên chúng tôi chọn đề tài:

“Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic”

Đây là một bài toán về lý thuyết mở rộng trờng mà vừa qua Thạc Sỹ: Lê Anh Chiến, đã mô tả đợc một số kết quả nh nhóm các đơn vị chính của trờng mở rộng K/ RP

Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục đa ra khái niệm trờng quán tính và nghiên cứu một số tính chất của nó

Luận văn đợc chia làm 2 chơng cùng với phần mở đầu và kết luận

Chơng 1: Các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng

Chơng 2: Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng ờng các số p-adic

tr-Trên cơ sở đó trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu cho lớp các

mở rộng khác, và hy vọng sẽ thu đợc kết quả tốt

Một phần kết quả chính của luận văn là “Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic”, đã đợc gửi đăng trên tạp chí khoa học trờng Đại học Vinh

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình tận tâm của thầy giáo PGS - TS Nguyễn Quý Dy Nhận dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành

và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy; Ngời đã đặt bài toán và giành nhiều thời gian công sức cho luận văn này

Tác giả rất biết ơn thầy PGS - TS Ngô Sỹ Tùng, TS Nguyễn Thành Quang và các thầy giáo, cô giáo trong tổ đại số, khoa toán đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới BGH nhà trờng, BCN khoa toán, BCH khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong thời gian học tập, nghiên cứu cũng nh làm luận văn tại trờng Đại học Vinh

Một lần nữa tác giả xin nhận đợc những góp ý chân thành của quý thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2003

Tác giả:

Ngô Đức Việt

Chơng 1

Các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng:

1.1.Trờng con và trờng mở rộng 1.1.1.Trờng mở rộng.

Định nghĩa Cho K và L là các trờng, L đợc gọi là mở rộng của K nếu K

là trờng con của L Ký hiệu: L/K

Số chiều của không gian véc tơ L trên K là bậc của trờng mở rộng L/K:

[L : K]=deg(L/K)

1.1.2.Ví dụ i)Trờng C các số phức là một mở rộng của trờng R các thực.

ii)Trờng Q các số hữu tỷ là trờng con của mọi trờng có đặc số 0

iii)Trờng Q( 2) là trờng mở rộng của các trờng Q các số hữu tỷ

1.2.Mở rộng hữu hạn 1.2.1.Định nghĩa Trờng L đợc gọi là mở rộng hữu hạn bậc n cuả trờng K

nếu L là không gian véctơ n chiều trên K

i =∑ ∈

i

j i ij j

v u b

x Suy ra các phần tử uivj lập nên một hệ sinh của không gian véctơ L trên K

Giả sử { }C ij là họ các phần tử thuộc K ta có một quan hệ tuyến tính:

ij u v

j

ij v C

Nếu L i là mở rộng hữu hạn trên trờng L i-1 với (i = 1, 2, 3, , n) thì L là mở rộng hữu hạn trên K và [L:K] = [L 1 :K].[L 2 :L 1 ] [L:L n-1 ]

1.3 Mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng hữu hạn sinh 1.3.1 Mở rộng đơn.

1.3.1.1 Định nghĩa Giả sử K[x] là vành đa thức ẩn x trên K, với K là trờng

con của L Phần tử α ∈ L là nghiệm của đa thức bậc dơng thuộc vành K[x] đợc gọi

là phần tử đại số trên K

Phần tử không đại số trên K gọi là phần tử siêu việt

1.3.1.2 Định nghĩa Giả sử K⊂ L, α ∈ L, trờng con bé nhất của L chứa K

và α đợc gọi là mở rộng đơn của K nhờ phần tử α , ký hiệu K(α )

1.3.1.3.Ví dụ Q( 2) = {a+b 2; a,b ∈ Q} là mở rộng đơn của Q nhờ phần

tử 2

1.3.1.4 Nhận xét Giả sử α ∈ L, K[x] là vành đa thức của x khi đó:

K[α ] = {f(α ) : f(x)∈K[x]} = {a0+a1α + +anα n+ ;ai∈K,n∈N}

Dễ dàng thấy rằng K[α ] lập thành vành con của K(α )

1.3.1.5 Định lý Giả sử K[x] là vành đa thức của x trên K, K(α ) là mở rộng đơn của K nhờ α , ϕlà ánh xạ từ K[x] lên K(α ) đặt tơng ứng đa thức f(x)∈

iii) ϕ là toàn cấu vành.

*ϕ đồng cấu vành: Giả sử f(x) = amxn + +a1x + a0 và g(x) = bnxn + +b1x +b0 ,là hai đa thức thuộc vành K[ ]x , khi đó ta có:

ϕ(f(x) + g(x)) = ϕ(a0 + b0 + +(ai + bi)xi + )

= (a0 + b0) + +( ai + bi) α i +

=(a0 + +aiα i + ) + (b0 + +biα i + ) =ϕ(f(x)) + ϕ(g(x))

ϕ(f(x).g(x)) = ϕ(a0b0 + + ∑+ = + +

1

k j

k j k

j b x a

= a0b0 + + ∑

= +

1

k j

k j k

j b

=(a0 + +ajxj + )(b0 + +bkxk + ) =ϕ(f(x)) ϕ(g(x))

Vậyϕ là đồng cấu vành.

*ϕ là toàn ánh: Giả sử có β ∈k( α ), khi đó: β= anα n + +a1α + a0, từ

đó đa thức f(x) = a1xn + +a1x + a0 ∈ K[ ]x để ϕ(f(x)) = anα n + +a1α + a0 =

β

Vậy ϕ là toàn cấu vành.

iV)Theo định nghĩa ker(ϕ)

V)Suy ra từ iii; iV và định lý đồng cấu vành

1.3.1.6.Hệ quả Nếu α là siêu việt trên K thì vành K[ ]x đẳng cấu với K(

α ).

Chứng minh

Xét ánh xạ ϕ: K[ ]x K(α )

Hiển nhiên ϕ là đồng cấu vành.

Nếu α là siêu việt trên K , f(α ) = 0(f(α ) ∈K(α )) , khi và chỉ khi

f(x) = 0 =>ker(ϕ) = { }0

Vậy k(α ) ≅ K[ ]x /{ }0 = K[ ]x

1.3.2.Đa thức tối tiểu của một phần tử đại số.

1.3.2.1.Định nghĩa Cho α là phần tử đại số trên K Khi đó có vô số đa thức thuộc vành K[ ]x nhận α làm nghiệm Đa thức có dạng:

f(x) = xn + an-1xn-1 + + a1x + a0, ai ∈ K , có bậc bé nhất nhận α làm nghiệm đợc gọi là đa thức tối tiểu của α Bậc của f(x) gọi là bậc của α

1.3.2.2.Định lý Nếu α là phần tử đại số trên K thì đa thức tối tiểu của α

là duy nhất.

Chứng minh Giả sử f(x) và g(x) là 2 đa thức tối tiểu của α ta cần chứng minh f = g

Thật vậy, dùng thuật toán Ơclit ta có:

f(x) = g(x).h(x) + r(x) mà deg(r(x)) < deg(g(x))

=>f(α ) = g(α ).h(α ) + r(α ) =>r(α ) = 0 => r(x) = 0 => f(x) = g(x).h(x) ,

mà ta có f(x) và g(x) là hai đa thức cùng bậc

=>h(x) = c (c là hằng số thuộc K)

Mà lại có f(x) và g(x) có hệ số cao nhất là 1 =>c = 1 vậy f(x) = g(x)

1.3.2.3.Định lý Giả sử α là phần tử đại số trên trờng K, deg(α ) = n,

α ∉K và g(x) là đa thức tối tiểu của α , khi đó:

i)Nếu f(x) là một đa thức của K[ ]x nhận α làm nghiệm thì f(x) chia hết cho g(x) trong K[ ]x

ii)g(x) bất khả qui trong K[ ]x

ii)Giả sử g(x) khả qui, suy ra g(x) = h(x).f(x) trong K[ ]x

với 1 ≤deg(h(x)) < deg(g(x)) và 1≤deg(f(x)) < deg(g(x)) , khi đó

g(α ) = h(α ).f(α ) Do tính không có ớc của không ,suy ra h(α ) = 0 hoặc f(α )

= 0, trái với giả thiết g(x) là đa thức tối tiểu của α Vậy g(x) bất khả qui trong

Theo giả thiết α là phần tử đại số trên K, nên tồn tại đa thức f(x) ≠0,

f(x) ∈ K[ ]x sao cho f(α ) = 0 Suy ra f(x) ∈ker(ϕ) và ker(ϕ)≠ 0

Vì ker(ϕ) là một idean chính khác khác không của vành chính K[ ]x , nên ker(ϕ) = <g> là idean sinh bởi g(x) ∈ K[ ]x , với g(x) là đa thức bất khả qui, suy ra ker(ϕ) = <g> là idean tối đại, do đó vành thơng K[ ]x /g(x) là một trờng

iV)Theo định lý (1.2.1.3) ta có K[ ]x /ker(ϕ) ≅ K[ ]α và chứng minh ,

ker(ϕ) = <g> là idean tối đại sinh bởi đa thức g(x) bất khả qui trong K[ ]x Từ đó suy ra: K[ ]x /g(x) ≅ K[ ]α

V)Theo (1.3.1.4) thì K[ ]α lập thành vành con của K(α )

Ta chứng minh vành K[ ]α giáo hoán, có đơn vị và tồn tại phần tử nghịch đảo

Ta có: K(α ) = {c c c n c i K}

+ +

− , 1

1 1

1 1

+ +

− lập thành một vành giao hoán, có đơn vị

1 = 1+0.α + +0 α n-1, chứa α , vì α = 0 + 1.α + +0 α n-1

Với mọi β ∈K( α ), β ≠ 0đều có nghịch đảo:β = c0 + c1α + +cn-1 α n-1 ≠

0, suy ra có ít nhất một ci ≠ 0 (i = 0, , n-1), do đó đa thức

f(x) = c0 +c1x + +cn-1 xn-1 ≠0, đa thức này nguyên tố với đa thức tối tiểu g(x) của α (Vì không nhận α làm nghiệm), do đó tồn tại các đa thức u(x) và v(x) ∈ K[ ]x sao cho:

f(x).u(x) + g(x).v(x) = 1

f(α ).u(α ) + g(α ).v(α ) = 1 mà g(α ).v(α ) = 0 =>f(α ).u(α ) = 1 =>u(α )

là nghịch đảo của f(α ) = β vậy vành K[ ]α = K(α )

Vậy trong trờng hợp này tồn tại đẳng cấu trờng:

ϕ1: K[ ]x /(g(x)) ≅ K(α ), sao cho:

ϕ1(x + <g>) = ϕ(x) = α

ϕ1(a + <g>) = ϕ(a) = a, ∀a ∈K .

1.3.2.4.Định lý Giả sử α là phần tử đại số trên K, degα = n, khi đó phần

tử bất kỳ β ∈K (α ), có thể biểu diễn một cách duy nhất dới dạng:

1.3.2.6.Hệ quả Nếu α là phần tử đại số bậc n trên K thì K(α ) là một mở rộng hữu hạn trên K.

Chứng minh Giả sử [L : K]= n và α ∈L (α ≠ 0) khi đó các luỹ thừa của α :

1, α ,α 2, , α n là phụ thuộc tuyến tính trên K (Vì giả sử không phụ thuộc tuyến tính trên K đối với tất cả các số nguyên dơng n) => Số chiều của L trên k là vô hạn => mẫu thuẫn)

Vì hệ này có n + 1 phần tử, do đó có n + 1 số c0, c1, , cn không đồng thời bằng 0 sao cho: c0 +c1α + +cn-1 α n-1 = 0 khi đó đa thức

f(x) = c0 +c1α + +cn-1 α n-1 nhận α làm nghiệm, hay α là phần tử đại số trên K

Vậy L/K là mở rộng đại số

1.3.4.Mở rộng hữu hạn sinh.

1.3.4.1.Định nghĩa Giả sử α 1, , α n ∈ L là các phần tử đại số trên K, L là

mở rộng của K Khi đó trờng con bé nhất chứa K và α 1, α 2, , α n đợc gọi là ờng sinh bởi α 1, , α n trên K, ký hiệu: K(α 1, , α n)

tr-Trờng L đợc gọi là mở rộng hữu hạn sinh trên K nếu L = K(α 1, , α n)

1.3.4.2.Định lý Giả sử α 1 , , α n là các phần tử của L đại số trên K Khi

đó K(α 1 , , α n ) là mở rộng hữu hạn của K.

Chứng minh Theo hệ quả (1.2.3), với L = K(α 1, , α n), ta có:

[L : K] = [K( α1, , αn) :K( α1, , αn-1)] [K( α1,α2) :K( α1)][.K( α1) :K], vì

mỗi bậc [K( α1, , αn) :K( α1, , αn-1)] hữu hạn Nên bậc [L : K] là hữu hạn

Vậy K(α 1, , α n) là mở rộng hữu hạn của K

1.3.4.3.Định lý Các điều kiện sau là tơng đơng:

(a) L là mở rộng hữu hạn trên trờng K.

(b) L là mở rộng đại số hữu hạn sinh trên trờng K.

(c) Tồn tại các phần tử α 1 , , α n∈L sao cho L = K(α 1 , , α n), với α i là phần tử đại số trên K(α 1 , , α i-1 ) với i = 1, 2, ., n.

Chứng minh (a) => (b) Giả sử [L : K] = n và {β1, β2, , βn}là cơ sở của ờng L, suy ra {β1, β2, , βn} cũng là cơ sở của không gian véctơ L trên K Lúc đó hiển nhiên L = K(β1, , βn), theo(1.3.4.1) => L là mở rộng hữu hạn sinh trên K.

tr-Mặt khác theo chứng minh định lý (1.3.3.2) thì L là mở rộng đại số trên K.Vậy trờng L là mở rộng đại số hữu hạn sinh trên K

1.4.1.1.Định nghĩa Cho L/K là một mở rộng đại số L/K đợc gọi là một mở

rộng chuẩn nếu mọi đa thức bất khả qui trong K[ ]x có nghiệm trong L đều có thể phân tích đợc thành các đa thức bậc 1 trong L[ ]x

(Điều đó có nghĩa nếu L chứa một nghiệm của một đa thức bất khả qui f trong K[ ]x thì L cũng chứa tất cả các nghiệm khác của f trong một bao đóng đại số

(c) Mọi K đồng cấu từ L vào K đều là một tự đẳng cấu của L/K.

1.4.1.3.Định nghĩa Cho f là một đa thức bậc dơng trong K[ ]x

Mở rộng L của K đợc gọi là trờng phân rã của f trên K nếu tồn tại các phần

tử a1, ,an ∈L (Không nhất thiết phải khác nhau), sao cho L = K(a1, ,an) và f = c(x - a1) (x - an), c ∈ K

1.4.1.4.Định lý Một mở rộng hữu hạn L/K là một mở rộng chuẩn khi và

chỉ khi L là trờng phân rã của một đa thức trong K [ ]x

Chứng minh Nếu L/K là một trờng phân rã của một đa thức f ∈K[ ]x thì L/K là một mở rộng chuẩn (theo định lý 1.4.1.2)

Ngợc lại, giả sử L = K((a1, ,an) là một mở rộng chuẩn của K Gọi fi là đa thức cực tiểu của ai trên K Do đó fi là tích các đa thức bậc 1 trong L[ ]x nên L là tr-ờng phân rã của f = f1 fn.

1.4.1.5.Định lý Cho K ⊂ Z ⊂ L Nếu L là mở rộng chuẩn trên K thì L là

mở rộng chuẩn trên Z.

Chứng minh Giả sử một K - đồng cấu ϕ: L K của trờng L trên Z thế

thì K - đồng cấu ϕ cũng chính là của trờng L trên K.

Mà L/K là mở rộng chuẩn => ϕlà tự đẳng cấu của L/K =>ϕ là tự đẳng cấu

Do L/Z cũng là trờng phân rã của f trên L nên L/Z là một mở rộng Galoa

1.4.2.4.Định nghĩa Cho L/K là một mở rộng Galoa Khi đó nhóm các tự

đẳng cấu của L/K đợc gọi là nhóm Galoa và đợc ký hiệu G(L/K)

1.4.2.5.Mệnh đề G(L/K) là một nhóm hữu hạn và G(L/K) = [L : K].

Đây là một hệ quả của định lý (1.4.2.2)

1.4.3.Mở rộng Xiclic.

1.4.3.1.Định nghĩa Một mở rộng hữu hạn L/K đợc gọi là mở rộng xiclic

nếu nó là mở rộng Galoa và nhóm Galoa G(L/K) của nó là nhóm xiclic

1.4.3.2.Định nghĩa Cho K là một trờng và K là bao đóng của K Các

nghiệm của đa thức xn - 1 trong K đợc gọi là các căn đơn vị bậc n

Gọi En là tập hợp các căn đơn vị bậc n trong K Ta thấy En là một nhóm xiclic với phép nhân Các phần tử sinh của nhóm En đợc gọi là các căn nguyên thuỷ

n->∞

bậc n của đơn vị Nếu ξ là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị thì các căn

nguyên thuỷ bậc n khác là ξ m với (m,n) = 1

1.4.3.3.Định lý Cho L là một mở rộng hữu hạn bậc n trên K Nếu K chứa

tất cả các căn đơn vị bậc n thì các điều kiện sau là tơng đơng:

(a) L = K(α ) với α n ∈K, α là nghiệm của đa thức x n - 1.

(b) L/K là một mở rộng Galoa với G(L/K) là một nhóm xiclic.

1.5.Trờng số p-adic 1.5.1.Trờng định chuẩn.

1.5.1.1.Định nghĩa Trờng K cùng với ánh xạ ϕ: K R đợc gọi là trờng định

chuẩn (mêtric), nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) ϕ(a)≥0, ϕ(a) = 0 <=> a = 0

ii) ϕ(a + b) ≤ϕ(a) + ϕ(b)

iii) ϕ(ab) = ϕ(a) + ϕ(b)

Với mọi a, b∈K

*Khi đó ϕ đợc gọi là chuẩn (mêtric) của trờng K.

*Nếu thay bất đẳng thức (ii) bởi bất đẳng thức mạnh hơn là (ii’):

ϕ(a + b) ≤ max(ϕ(a),ϕ(b)) thì trờng định chuẩn (K,ϕ) đợc gọi là trờng

định chuẩn không Acsimet và khi đó ϕ đợc gọi là chuẩn (mêtric) không Acsimet.

1.5.1.2.Ví dụ i)Mỗi trờng K luôn có một chuẩn tầm thờng là ϕ(0) = 0, ϕ(

α ) = 1, với 0 ≠ α ∈K

ii)Các trờng Q, C là những trờng định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối

x nếu x > 0 -x nếu x < 0

1.5.1.3.Định nghĩa Giả sử (K, ϕ) là một trờng định chuẩn.

*Dãy { }a n ,n∈N , các phần tử của trờng K đợc gọi là cơ bản đối với chuẩn ϕ,

nếu với ε > 0 bé tuỳ ý cho trớc, tồn tại n0 ∈N: ϕ(an - am) < ε với mọi

m, n > n0

*Dãy { }a n ,n∈N , các phần tử của trờng K đợc gọi là hội tụ về phần tử

a ∈K, nếu với ε > 0 bé tuỳ ý cho trớc, tồn tại n0 ∈ N sao cho ϕ(an - a) <ε

1.5.2.1.Định nghĩa Hai chuẩn ϕ và ψ trên cùng một trờng K đợc gọi là

t-ơng đt-ơng với nhau nếu chúng xác định trên K cùng một tính hội tụ, nghĩa là ϕ(xn -

x) 0 khi và chỉ khi ψ(xn - x) 0(trên trờng số thực).

1.5.2.2.Định lý Giả sử ϕ và ψ là hai chuẩn trên trờng K Khi đó ϕ và ψ

là tơng đơng với nhau nếu và chỉ nếu:

K

x∈

∀ , (ϕ(x) < 1 => ψ(x) < 1)

Chứng minh +)Giả sử ϕ ~ ψ trên K

Nếu ϕ(x) < 1 khi đó dãy số thực ϕ(x)n 0 trong R khi n ∞ suy

ra ϕ(xn) 0 trong R khi n ∞ tức là xn 0 theo chuẩn ϕ trên

tr-ờng K

Mà ϕ ~ ψ trên K nên ta có xn 0 theo chuẩn ψ trong K, từ đó ta có:

ψ(xn) 0 trong R, suy ra ψ(xn) 0 trong R hay ψ(x) < 1.

+)Giả sử sử ϕ và ψ là hai chuẩn thoả mãn:

) (

a

b

ϕ ϕ

=> 0 < ψ(a) < ψ(b) Giả sử p là một phần tử tuỳ ý cố định của K sao cho

ϕ(p) > 1(Phần tử p nh vậy là tồn tại, vì nếu ngợc lại thì ϕ(p-1) = 1 1

) (

Đặt ϕ(a) = ϕ(p)δ và ψ(a) = ψ(p)δ ' Ta sẽ chứng minh δ= δ’.

Giả sử n và k là các số nguyên sao cho < ,k> 0

k

n

Khi đó ϕ(p)n/k < ϕ(p)δ= ϕ(a) (Do ϕ(p) > 1) hay ϕ(p)n < ϕ(a)k

<=> ϕ(pn) < ϕ(ak) Lại theo nhận xét trên ta suy ra: ψ(p)n < ψ(a)k Từ đó suy ra: ψ (p)n/k < ψ (a) = ψ(p) δ ' nên < δ '

Chọn ε =lnlnψϕ((p p)) thì ε là một số thực dơng không phụ thuộc vào a.

Từ đó ta có lnψ(a) = δ 'lnψ(p) = δlnψ(p) = δ ε lnψ(p) = εlnϕ(p)δ

= ε lnϕ(a) =lnϕ(a)ε .

Do đó ψ(a) = ϕ(a)ε,

) ( ln

) ( ln ,

p

p K

1.5.2.3.Mệnh đề Với mỗi x ∈ Q, định nghĩa ϕ(x) = xα,α∈R +

Chứng minh ϕ là một chuẩn khi và chỉ khi α ≤ 1.

Chứng minh i)Giả sử ϕ là một chuẩn, ta chứng minh α ≤ 1; Giả sử ngợc lại

α > 1, khi đó ∀x,y ∈ Q; x,y > 0; x > y

x

y x

y

x+ = 1 + > α 1 +

α α

α

(do α > 1) = ( 1 )

y

Hay là ϕ(x + y) > ϕ(x) + ϕ(y); ∀x,y ∈ Q, x > y > 0 => ta có mâu thuẫn.ii)Cho α ≤ 1 ta chứng minh ϕ là chuẩn.

Ta chỉ cần kiểm tra rằng ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với ∀x, y ∈ Q

Thật vậy, giả sử x ≥y,x≠ 0 khi đó:

α α

α α

α

) 1 ( 1

x

y x x

y x

Định nghĩa Trờng K đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của trờng K đều

hội tụ trong K

Suy ra ϕp(α + β)≤max(ϕp(α ),ϕp(β))

*)ϕp(α β) = ϕp( n. m) ϕp( p n m) p (n m) p n.p m ϕp( α ) ϕp( β )

bd

ac p

d

c p b

Vậy ϕp(α β) = ϕp(α ).ϕp(β).

Chuẩn ϕp xác định nh trên đợc gọi là chuẩn p-adic trên Q.

1.5.4.2.Định nghĩa Mở rộng đầy đủ của trờng số hữu tỷ Q theo chuẩn ϕp

đợc gọi là trờng số p-adic, ký hiệu RP

1.5.4.3.Mệnh đề Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các chuẩn

p-adic và q-adic không tơng đơng với nhau trên Q.

p n Tức là { }x n hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn trên Q

Trong khi đó theo chuẩn q-adic thì: ϕp(xn) = ϕq(pn.q0) = 1 (Vì (p,q) = 1)

Do đó { }x n không hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn q-adic

Vậy ϕp và ϕq không tơng đơng với nhau trên Q

1.5.4.4.Hệ quả Nếu p,q là hai số nguyên tố phân biệt thì các trờng R p và

R q không đẳng cấu tôpô với nhau.

Chứng minh Giả sử trờng RP và Rq có các chuẩn tơng ứng là ϕp, ϕq

Theo mệnh đề (1.5.4.3) thì ϕp và ϕq không tơng đơng với nhau trên Q.Vậy Rp , Rq không đẳng cấu tôpô với nhau

1.5.4.5.Mệnh đề Cho 0 < p < 1, xét hàm

x ord p

p nếu x ≠0

ϕ(x)=

0 nếu x = 0 Trong đó x ∈ Q và ord p x = m với x = p m

Chứng minh i)Ta chứng minh ϕlà chuẩn không Acsimet trên Q

Với mọi x, y ∈ Q, giả sử n p m

d

c y p b

.

+

−

Do đó ta có ϕ(x + y) = pk; k ≥ m ≤ pm ( do 0 < p < 1)

=max(pm,pn) = max(ϕ(x), ϕ(y))

Từ đó suy ra ϕ(x + y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y))

ϕ(xy) = ϕ( ) ( p ) p( ) p .p (x) (y) (xy) (x) (y)

bd

ac p

d

c p b

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

Vậy ϕ là chuẩn không Acsimet trên Q

ii)Ta chứng minh ϕ và ϕp tơng đơng với nhau trên Q

1.5.4.6.Định lý [2] Điều kiện cần và đủ để dãy { }a n hội tụ trong trờng

p- adic R p là số hạng tổng quát của nó tiến đến 0 nghĩa là ϕ(a n ) 0

1.5.4.7.Ví dụ i)Dãy 1 + p+ + p2 + +pn+ ; trong trờng p-adic RP là dãy hội

tụ, vì ϕ(pn) = pn 0 (nghĩa là số hạng tổng quát tiến đến 0)

Ta có Sn = 1 + p+ + p2 + +pn+ = p + p−n p

−

+

1 1

, suy ra lim Sn =1−1p

Do đó, tổng đã cho bằng 1−1p