Về nhóm galois các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p adic

Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng số hữu tỷ Q ta nhận thấy có những đa thức, ví dụ x2-2, x2-3, , không có…nghiệm trên Q, ngời ta đã tìm ra những trờng mới, mà trên đó các đa thức

Mở đầu

Lý thuyết trờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện

đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số Ngoài

ra, các hiểu biết về lý thuyết trờng sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về toán học phổ thông Đặc biệt là chơng trình toán PTTH, góp phần tích cực vào việc bồi dỡng học sinh giỏi Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng

số hữu tỷ Q ta nhận thấy có những đa thức, ví dụ x2-2, x2-3, , không có…nghiệm trên Q, ngời ta đã tìm ra những trờng mới, mà trên đó các đa thức trên

có nghiệm – Vì vậy, mà chúng tôi cho rằng, việc tìm hiểu thêm về lí thuyết mở rộng trờng sẽ là một vấn đề phong phú, có nhiều thú vị

Nếu ta xét một mở rộng trờng trên trờng các số p – adic Rp thì ta thu đợc kết quả :

[K: Rp] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên ờng các số p – adic Rp , e là chỉ số phân nhánh của trờng K và f là bậc quán tính của trờng K Khi đó nếu e = 1 thì trờng K đợc gọi là mở rộng không phân nhánh, nếu e = n thì trờng K đợc gọi là mở rộng hoàn toàn phân nhánh

tr-Khi nghiên cứu các mở rộng hữu hạn của một trờng, bài toán nghiên cứu các nhóm GaLois – Nhóm tạo thành từ các tự đẳng cấu của trờng đó, có một ý nghĩa rất quan trọng và khá phức tạp Với ý đồ tìm hiểu thêm về cách vận dụng các kiến thức về lý thuyết trờng, lý thuyết nhóm, lý thuyết môđun, , vào giải…quyết một bài toán cụ thể, chúng tôi chọn đề tài:

“ Về Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trờng các số p adic – “

Đây một trong những bài toán của lý thuyết mở rộng trờng Trong phạm

vi khả năng của mình, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ hơn về cấu trúc

nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trờng các số

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận đợc nhiều sự

động viên, góp ý trao đổi đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã

có nhiều ý kiến có giá trị giúp tác giả hoàn thành luận văn, tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó

Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong BGH trờng THPT Tĩnh Gia 2, cùng bạn bè, đồng nghiệp lớp cao học 10 Đại số đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và trong quá trình làm luận văn

Vinh, tháng 11 năm 2004

Tác giả

ch

ơng1 : Các khái niệm cơ sở

1.1 Đặc số của trờng:

Giả sử T là một trờng, với phần tử đơn vị đợc ký hiệu là1 Nếu n.1 ≠ 0, với mọi số tự nhiên n ≠ 0, thì ta nói trờng T có đặc số 0 (Hoặc đặc số ∞) Trong tr-ờng hợp ngợc lại ta gọi số nguyên dơng bé nhất n sao cho n.1 = 0 là đặc số của trờng T

Chúng ta đã có kết quả : Mỗi trờng T tuỳ ý hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc

số là số nguyên tố

Ví dụ: - Các trờng Q, R, C đều có đặc số 0

Zp- trờng các lớp thặng d theo mô đun nguyên tố p là trờng có đặc số p

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi trờng T là trờng nguyên tố (trờng đơn ) nếu nó

không có một trờng con thực sự nào cả

1.1.3 Định lý Cho K là một trờng và P là trờng con nguyên tố của K Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỷ Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên tố môđun p

Chứng minh Đơn vị của trờng K, thuộc trờng P Xét đồng cấu vành h:Z →K

xác định bởi h(m) = m.1k , ∀m∈Z vì 1k ∈P nên Im h ⊂ P Còn vì Kerh là một Iđean của vành Z nên có dạng Kerh = sZ, với một số nguyên

s ≥ 0 bé nhất thuộc Kerh, sao cho h(s) = s.1k = 0, nên s chính là đặc số của ờng K ⇒ hoặc s = 0 hoặc s = p (p nguyên tố ) vậy:

tr-Nếu K có đặc số s = 0 ta có Kerh = 0 và đẳng cấu với miền nguyên h:

P

h

Z ≈ Im ⊂ Do đó trờng các thơng Q của Z đẳng cấu với trờng các thơng FD của miền nguyên D = Imh ⊂ P nhng vì FD là một trờng con của K, chứa trong trờng con nguyên tố P⊂ K nên FD = P

Vậy trong trờng hợp này Q ≈ P

Nếu K có đặc số s = p (số nguyên tố ) thì

Kerh = pZ và theo định lý cơ bản về đồng cấu vành cho đẳng cấu vành :

P h pZ

Z Kerh

Nhng vì Z pZ Z p

p

= là một trờng, nên Imh cũng là một trờng chứa trong

trờng con nguyên tố P⊂ K do đó Zp ≅ Imh= P

Định lý 1 cũng cho ta thấy rằng trờng Q các số hữu tỷ và mỗi trờng Zp (p nguyên tố) đều là các trờng nguyên tố

Hệ quả Mỗi trờng chỉ có một và chỉ một trờng con nguyên tố

1.2 Mở rộng trờng:

Giả sử T là một trờng con của U, khi đó ta nói U là một mở rộng của ờng T Chẳng hạn mọi trờng có thể xem là một mở rộng của trờng con nguyên

tr-tố của nó

Giả sử U là một mở rộng đã cho của trờng T và S là một tập con tuỳ ý của

U Họ trờng con của U chứa T và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó, giao của họ này là một trờng con của U chứa S và T Hiển nhiên đó là trờng con bé nhất chứa T và S, ta ký hiệu T(S) và gọi nó là mở rộng thu đợc từ T bằng cách ghép thêm tập hợp S

Nếu S ={x1,x2, ,x n} thì thay cho T(S) ta viết T(x1 ,x 2 , ,x… n)

Đặc biệt, với phần tử α tuỳ ý thuộc U, ta gọi T(α ) là mở rộng đơn của T ghép thêm phần tử α

1.2.1 Định nghĩa Cho T là một trờng và U là một mở rộng của T phần

tử α∈ U đợc gọi là đại số trên T nếu α là nghiệm của một đa thức

0 ≠ f ∈ T[x] Một phần tử U không đại số trên T gọi là siêu việt trên T

Ví dụ: T = Q - trờng số hữu tỷ, ta dễ dàng kiểm chứng đợc rằng các số

2

3 2

1 , 5 ,

2 3 i− + , là đại số trên Q

Có những số thực nh: π=3,1415 hay e = 2,71828 , chúng không phải là… …nghiệm của bất kỳ đa thức 0 ≠ f ∈ Q[x] nào, đó là những số siêu việt.

Một mở rộng đơn T(α) của trờng T đợc gọi là mở rộng đại số hay siêu việt tuỳ theo phần tử sinh α∈ U là đại số hay siêu việt trên T

Một mở rộng đơn đại số K(u) của một trờng K sinh bởi một nghiệm u của một đa thức bất khả quy bậc n của K[x], ( K(u) là mở rộng đơn của phần tử đại

số u), thì

i/ 1, u, u2, , u… n-1 là độc lập tuyến tính trên K, với n là bậc của u

ii/ Mỗi phần tử ω∈ K(u) đều biểu diễn đợc duy nhất dới dạng:

ω = a 0 + a 1 u +a 2 u 2 + + a… n-1 u n-1 , a i∈ K

Từ đó ta có : K(u) là một không gian véc tơ n chiều trên K

1.2.2 Định nghĩa Một mở rộng F của trờng K đợc gọi là mở rộng bậc

hữu hạn của K nếu K – không gian véc tơ F là hữu hạn chiều Khi đó n =

dimKF Số chiều của không gian véc tơ F trên K, đợc gọi là bậc của mở rộng F của K và đợc ký hiệu n = [F: K]

Ví dụ: Trờng C các số phức gồm tất cả các biểu thức dạng:

x = a + b.i, a, b∈ R nên C là một không gian véc tơ 2 – chiều trên R

và do đó là mở rộng bậc 2 trên R, [C: R] = 2

Hệ quả Mọi mở rộng đơn đại số đều có bậc hữu hạn

1.2.3 Định lý Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn trên trờng K Khi đó

mỗi phần tử F là đại số và thoả mãn một đa thức bất khả quy bậc không vợt quá bậc [F: K] của một mở rộng

Chứng minh Do F là không gian véc tơ n – chiều trên K nên mọi hệ

n+1 véc tơ 1, u, u 2 , ,u… n với u ∈ F là phụ thuộc tuyến tính, từ đó suy ra sự tồn tại của các phần tử ai∈ K, i = 0, 1, , n… không đồng thời bằng 0 sao cho

a 0 + a 1 u + + a… n u n = 0

Điều này chứng tỏ u là nghiệm của đa thức

f(x) = a 0 + a 1 x + + a… n x n ∈ K[x]

Nh vậy u là phần tử đại số Bây giờ nếu q(x) là đa thức bất khả quy trên K, nhận u làm nghiệm thì theo [13] q(x) chia hết f(x) do đó bậc của q(x) là không vợt quá bậc của f(x)

deg q ≤ deg f ≤ n = [F:K]

Hệ quả Mọi phần tử của mở rộng đơn đại số trên trờng K, đều là đại số

trên K.

1.2.4 Định nghĩa Mở rộng F của trờng K đợc gọi là mở rộng đại số tạp

của F nếu có một dãy tăng các trờng con của F

K = L0 ⊂ L1⊂ … ⊂ Lk = F (k >1 )

Sao cho với mỗi chỉ số i, trờng Li là mở rộng đại số đơn của trờng Li-1, số k

đợc gọi là độ dài của mở rộng F

Ví dụ: [Q(i)]( 2) là mở rộng đại số tạp của trờng Q có độ dài 2

1.2.5 Định lý Cho dãy mở rộng các trờng K ⊂ E ⊂ F Nếu tập hợp các phần tử {u1,u2, ,u m} là một cơ sở cho mở rộng F của E và tập hợp các phần tử {v1,v2, ,v n} là một cơ sở cho mở rộng E của K thì m.n tích u i v j là một cơ sở cho mở rộng F của K

Chứng minh Giả sử x là phần tử tuỳ ý thuộc F, khi đó

x = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a… m u m , a i∈ F

a i = b i1 v 1 + b i2 v 2 + + b… in v n , b ịj ∈ K

từ đó :

j i j i ij i

m

i

n

i j

Điều này chứng tỏ {u i v j / i = 1, 2, , m,… j = 1, 2, ,n.… } là hệ sinh của không gian véc tơ F trên K

Bây giờ ta sẽ chứng minh hệ {u i v j} là độc lập tuyến tính Giả sử có đẳng thức

∑ =

j

i

j i

Do hệ {vj} độc lập tuyến tính ⇒ điều phải chứng minh

Hệ quả 1 Nếu F là mở rộng hữu hạn của trờng K và E là mở rộng hữu

hạn của trờng F thì E là mở rộng hữu hạn của trờng K và bậc của E trên K là: [E: K] = [E: F].[F: K] (E ⊃ F ⊃ K)

Hệ quả 2 Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K có bậc [F: K] = n thì

mọi phần tử u ∈ F có bậc trên K là ớc số của n Hơn nữa , một phần tử

u ∈ F sinh trên K toàn thể mở rộng F nếu và chỉ nếu (bậc của U trên K ) [U: K] = n = [F: K]

Hệ quả 3 Nếu F = K (u 1 , …….,u r ) là một trờng sinh bởi trờng K và r phần tử u 1 , , u… r sao cho mỗi u i là đại số trên trờng K (u 1 , ,u… i-1 ) sinh bởi

K và i-1 phần tử trớc u i thì F là mở rộng hữu hạn của trờng K , và mọi phần

tử của F là đại số trên K.

1.2.6 Định nghĩa Một mở rộng đại số F của trờng K là mở rộng chuẩn

tắc trên K nếu mọi đa thức bất khả quy p(x)∈ K[x] có một nghiệm trong F thì

có tất cả nghiệm trong F (ta nói p(x) phân rã hoàn toàn trong F )

Hai phần tử đại số trên K đợc gọi là liên hợp (trên K) nếu các đa thức tối tiểu của chúng trùng nhau

Nh vậy, mở rộng F của K là chuẩn tắc nếu mọi phần tử liên hợp với phần

tử của F thì cũng thuộc F

1.2.7 Định lý Một mở rộng có bậc hữu hạn trên trờng K là chuẩn tắc

trên K nếu và chỉ nếu nó là trờng nghiệm của một đa thức nào đó trên K.

Ví dụ: E = Q( 2) là trờng nghiệm của x2 – 2 nên E là mở rộng chuẩn tắc trên Q.

F = E(4 2) là trờng nghiệm của x2- 2, nên F là chuẩn tắc trên E nhng

F không chuẩn tắc trên Q vì F chỉ gồm các số thực trong khi đó đa thức bất khả quy x4- 2 ngoài nghiệm α = 4 2 ∈ F còn có những nghiệm phức

Hệ quả Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách đợc đều là

tr-ờng nghiệm của một đa thức tách đợc

Lu ý rằng: Nếu K là trờng có đặc số 0 thì mọi mở rộng chuẩn tắc F của

đều là mở rộng tách đợc

1.2.8 Định lý Cho L/K là một mở rộng đại số trong K (Bao đóng đại

số của K ) Những điều kiện sau là tơng đơng:

i/ L/K là một mở rộng chuẩn

ii/ Tồn tại một hệ D ⊆ K[x] sao cho L = K(s), với s là tập nghiệm của các đa thức của D

iii/ Mọi K đồng cấu từ L vào K đều là một tự đẳng cấu của L/K

1.2.9 Định lý Cho K ⊂ Z ⊂ L Nếu L là mở rộng chuẩn trên K thì L là

) ( ).

( )

của nhóm này là ánh xạ đồng nhất id

Nhận xét: Mọi phần tử của trờng con nguyên tố P, P ⊂ F giữ nguyên

đối với mọi tự đẳng cấu của F

Giả sử K là trờng con của F, các tự đẳng cấu ϕ của trờng F đợc gọi là tự

đẳng cấu trên K hay, K - tự đẳng cấu nếu nó giữ nguyên mọi phần tử trên K, tức là:

ϕ(c) = c , ∀ c ∈ K

Tập hợp các tự đẳng cấu trên K là một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của trờng F

1.3.1 Định nghĩa Nhóm tự đẳng cấu của trờng F trên trờng con K là

nhóm các tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K

1.3.2 Bổ đề Cho F là một mở rộng đại số trên K, ϕ là một tự đẳng cấu của F trên K, khi đó với mỗi c ∈ F ảnh ϕ(c) liên hợp với c

1.3.3 Định nghĩa Cho F là một mở rộng chuẩn tắc của trờng K, tập hợp

mọi tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K lập thành một nhóm, gọi

là nhóm GaLois của F trên K và ký hiệu bởi G(F/K)

G(F/K) = {ϕ :F →F/ ϕ (a) =a, ∀a∈K}

Ví dụ: Xét mở rộng F = Q ( 2) của K = Q Số thực 2 là ngiệm của

đa thức p (x) = x2- 2 bất khả quy trên Q, đa thức này có 2 nghiệm 2 và

-2 do đó F = Q ( 2) là trờng nghiệm của đa thức x2 –2 trên Q theo định

lý (1.2.7) F là chuẩn tắc trên Q

Nếu ϕ là tự đẳng cấu thuộc nhóm GaLois G = G(F/Q) thì ϕ biến 2

thành 2 hoặc - 2, nh vậy nhóm GaLois G có 2 phần tử :

G = {idF , ϕ} trong đó a+b:F2→a−b F2

ϕ

1.3.4 Định lý Nếu F là trờng nghiệm của một đa thức tách đợc

f(x)∈ K[x] thì cấp của nhóm GaLois G = G(F/K) bằng bậc của mở rộng [F: K]

1.3.5 Định nghĩa Mở rộng hữu hạn F của trờng K đợc gọi là mở rộng

GaLois nếu nó là chuẩn tắc và tách đợc

1.3.6 Định lý Cho F là mở rộng bậc hữu hạn trên K với nhóm GaLois

G, khi đó các điều kiện sau tơng đơng:

i/ F là mở rộng GaLois trên K

ii/ K = F G ( nghĩa là tập các phần tử của F bất biến dới mọi tự đẳng cấu của nhóm GaLois G đúng bằng K )

iii/ Cấp của nhóm GaLois G đúng bằng bậc của mở rộng [ F: K]

Ta đã biết có sự tơng ứng giữa nhóm con và trờng con:

1.3.7 Định lý Nếu K là một trờng, f ∈ K[x] là một đa thức tách đợc trên K

và G là nhóm GaLois đối với trờng nghiệm N của f trên K, thì tồn tại song ánh H

→ F từ các nhóm con H của G đến các trờng con F của N chứa K Khi cho nhóm con H, trờng con tơng ứng F = F(H) gồm tất cả các phần tử của N đợc giữ bất biến bởi mọi tự đẳng cấu thuộc H Khi cho trờng con F, nhóm con tơng ứng H = H(F) gồm tất cả các tự đẳng cấu trong G giữ cố định mỗi phần tử của F và H(F)

là nhóm GaLois của N trên F có cấp là bậc [N:F]

1.3.8 Định lý Một trờng trung gian F, K ⊂ F ⊂ N là một trờng chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu nhóm tơng ứng H(F) là nhóm con chuẩn tắc cuả nhóm GaLois G của N Nếu F là chuẩn tắc thì nhóm GaLois của F trên K

đẳng cấu với nhóm thơng G/H(F)

1.3.9 Mệnh đề G(L/K) là một nhóm hữu hạn và G(L/K)= [L:K]

1.3.10 Định nghĩa Một nhóm G đợc gọi là giải đợc nếu tồn tại một dây

chuyền giảm những nhóm con

G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ……⊃ Gs = 1

Sao cho Gi là ớc chuẩn của Gi-1 và các nhóm thơng Gi-1/Gi với i = 1, 2, 3, , s…

là Aben

1.3.11 Định lý Mỗi nhóm con của nhóm giải đợc là giải đợc

1.3.12 Định lý ảnh đồng cấu của một nhóm giải đợc là giải đợc

1.3.13 định lý Mỗi nhóm có cấp là luỹ thừa của một số nguyên tố đều

là giải đợc

1.3.14.Định nghĩa Nhóm G đợc gọi là p – nhóm nếu cấp của G bằng luỹ

thừa của p, với p nguyên tố

1.4 Mở rộng xiclic:

1.4.1 Định nghĩa Một mở rộng hữu hạn L/K đợc gọi là mở rộng xiclic

nếu nó là mở rộng GaLois và nhóm GaLois G(L/K) của nó là nhóm xiclic

1.4.2 Định nghĩa Cho K là một trờng vàK là bao đóng của K, Các

nghiệm của đa thức x n 1– trong K đợc gọi là các căn đơn vị bậc n

Gọi En là tập hợp các căn đơn vị bậc n trong K Ta thấy En là một nhóm

xiclic với phép nhân Các phần tử sinh của nhóm En đợc gọi là các căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị Nếu ξ là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị thì các

căn nguyên thuỷ bậc n khác là ξm với (m, n) = 1

1.4.3.Định lý Cho L là một mở rộng hữu hạn bậc n trên K Nếu K

chứa tất cả các căn đơn vị bậc n thì các điều kiện sau là tơng đơng :

i/ L = K(α) với α n∈ K , α là nghiệm của đa thức x n 1 –

ii/ L/K là một mở rộng GaLois với G(L/K) là một nhóm xiclic

1.5 Trờng định chuẩn:

1.5.1 Định nghĩa Trờng K cùng với ánh xạ: K → R đợc gọi là trờng

định chuẩn (mêtric) , nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn :

i/ ϕ(a) ≥ 0 , ϕ (a) = 0 ⇔ a = 0

ii/ ϕ(a+b) ≤ ϕ(a) + ϕ(b)

iii/ ϕ (a.b) = ϕ(a).ϕ(b)

với mọi a, b∈ K

* Khi đó ϕ đợc gọi là chuẩn ( mêtric) của trờng K

* Nếu thay bất đẳng thức (ii) bởi bất đẳng thức mạnh hơn là

iv/ ϕ(a+b) ≤ max ( ϕ(a), ϕ (b)) thì trờng định chuẩn (K, ϕ) đợc gọi là ờng định chuẩn không Acsimet và khi đó ϕ đợc gọi là chuẩn (mêtric) không

(x

ϕ |x| X nếu x > 0

-X nếu x < 0

1.5.2 Định nghĩa Giả sử K là một trờng định chuẩn

* Dãy {an}, n ∈ N , các phần tử của trờng K đợc gọi là cơ bản đối với

chuẩn ϕ, nếu với ε > 0 bé tuỳ ý cho trớc, tồn tại n0∈ N : ϕ (a n - a m ) < ε với mọi

m, n > n 0

* Dãy {an}, n ∈ N, các phần tử của trờng K đợc gọi là hội tụ về phần tử

a∈ K , nếu với ε >0 bé tuỳ ý cho trớc, tồn tại n0∈ N sao cho ϕ(a n a ) < – ε với mọi n > n0

1.6.1 Định nghĩa Hai chuẩn ϕ và ψ trên cùng một trờng K đợc gọi là

tơng đơng với nhau nếu chúng xác định trên K cùng một tính hội tụ, nghĩa là

ϕ(x n - x) → 0 khi và chỉ khi ψ(x n - x) → 0 (trên trờng số thực.)

1.6.2 Định lý Giả sử ϕ và ψ là hai chuẩn trên trờng K Khi đó ϕ và ψ

là tơng đơng với nhau nếu và chỉ nếu:

∀x∈ K : ϕ(x) < 1 ⇒ψ(x) < 1

Chứng minh Giả sử ψ∼ ϕ trên K

nếu ϕ(x) <1 khi đó dãy số thực ϕ(x) n →0 trong R khi n →∞ suy ra ϕ(x n)→

0 trong R khi n →∞ tức là xn→0 theo chuẩn ϕ trên trờng K mà ϕ ∼ψ trên

K nên ta có xn→0 theo chuẩn ψ trong K, từ đó ta có : ψ(x n)→0 trong R, suy ra

ψ(x n ) →0 trong R hay ψ(x) <1.

*/ Giả sử ϕ và ψ là hai chuẩn thoả mãn :

∀x ∈ K : (ϕ(x) <1 ⇔ψ(x) <1 )

Ta sẽ chứng minh rằng ψ (x) = ϕ(x)ε ∀x ∈ K, và ε là số thực dơng nào đó Trớc hết ta có: Nếu 0 < ϕ (a) < ϕ (b) ⇒ 1 ( ) 1 ( ) 1

) (

) (

a b

a

ψ ϕ

ϕ

ϕ

⇒ 0 < ψ (a) < ψ (b) Giả sử p là một phần tử tuỳ ý cố định của K sao

cho ϕ(p) > 1 (phần tử p nh vậy là tồn tại, vì nếu ngợc lại thì ϕ(p -1 )

Đặt ϕ(a) = ϕ(p)δ và ψ(a) = ψ(p)δ’ ta sẽ chứng minh δ = δ’

Giả sử n và k là các số nguyên sao cho < δ

k

n

, k > 0 Khi đó ϕ(p) n/k < ϕ (p)δ = ϕ(a) (Do ϕ(p) > 1) hay ϕ(p) n < ϕ(a) k ⇔

ϕ(p n ) < ϕ(a k ), lại theo nhận xét trên ta suy ra ψ(p) n < ψ(a)k Từ đó suy ra

Do đó ψ(a) = ϕ(a)ε ∀a ∈ K, ε =lnlnψϕ((p p)) suy ra ψ = ϕε hay ψ∼ ϕ

1.7 Trờng đầy đủ :

1.7.1 Định nghĩa Trờng K đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của K,

đều hội tụ trong K

1.7.2 Định lý Đối với mỗi trờng mêtric hoá K , tồn tại một trờng mêtric

hoá đầy đủ K chứa K với t cách trờng con đầy đủ hầu khắp nơi , trờng K

đó gọi là mở rộng đầy đủ của K , xác định một cách duy nhất chính xác đến một phép đẳng cấu tôpô, giữ nguyên các phần tử của trờng K

1.8 Chuẩn ϕp:

1.8.1 Định nghĩa Cho p = 2, 3, 5, là một số nguyên tố cố định, với…

α∈ Q , α ≠ 0 ta viết đợc một cách duy nhất dới dạng p n

p d

c p b

a + = − +

Khi đó ta có ϕp (α+β) = p -k , (k≥ m)

≤ p-m = max (p-n ,p -m ) với n ≥ m

= max (ϕp(α), ϕp(β))

Suy ra ϕp(α+β) ≤ max (ϕp(α), ϕp(β))

+/ ϕp(α.β) = ϕp( n p m

d

c p b

Chuẩn ϕp đợc xác định nh trên đợc gọi là chuẩn p – adic trên Q

1.8.2 Định nghĩa Mở rộng đầy đủ của trờng số hữu tỷ Q theo chuẩn ϕp

đợc gọi là trờng số p – adic, ký hiệu Rp

1.8.3 Mệnh đề Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các chuẩn

p adic và q- adic không t– ơng đơng với nhau trên Q

Chứng minh Xét dãy {x n} = {pn} Theo chuẩn p – adic :

ϕp(xn ) = 1 → 0 , (n→ ∞ )

p n tức là {xn} hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn trên QTrong khi đó theo chuẩn q – adic thì: ϕp(xn ) = ϕq (p n q 0) = 1(Vì (p,q) = 1)

Do đó {xn} không hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn q – adic

Vậy ϕp và ϕq không tơng đơng với nhau trên Q.

Hệ quả Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các trờng R p và R q

không đẳng cấu tôpô với nhau

Chứng minh Giả sử trờng Rp và Rq có các chuẩn tơng ứng là ϕp và ϕq , theo mệnh đề trên thì ϕp và ϕq không tơng đơng với nhau trên Q vậy Rp và Rq không đẳng cấu tôpô với nhau

1.8.4 Mệnh đề Cho 0 < p < 1, xét hàm :

ϕ (x) = P

ord p x nếu x ≠ 0

0 nếu x = 0 Trong đó x∈ Q và ord p x = m với p m

Chứng minh Ta chứng minh ϕ là chuẩn không Acsimet trên Q

Với mọi x, y∈ Q , giả sử n p m

d

c y p b

= − Do đó ta có ϕ( x + y) = p k ; ( k ≥ m )

≤ pm (do 0 < p < 1 ) = max (pm ,p n)

Vậy ϕ là chuẩn không Acsimet trên Q

Ta chứng minh tơng đơng với nhau trên Q