Bài giảng bài số phức giải tích 12 (4)

Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z.. Số đo rađian của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z... Số đo rađian của mỗi góc lượng giá

Trang 2

CÂU HỎI:

Đáp án

Nêu khái niệm căn bậc hai của số phức z Tìm các căn bậc hai của số phức 2  

1

2  i

Một số phức z thoả mãn z2 =W được gọi là một căn bậc hai của

số phức W

2

os sin os sin

Vậy có hai căn bậc hai là:

Trang 3

1 Số phức dưới dạng lượng giác

a Acgumen của số phức z ≠ 0

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm trong mặt

phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian)

của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối

OM được gọi là một Acgumen của z

M(z)

y

O

Chú ý:

Nếu  là một Acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )

Ví dụ:

- Số thực dương tuỳ ý có một acgumen là 0

- Số thực âm tuỳ ý có một acgumen là 

- Số 3i có một acgumen là

2



- Số -2i có một acgumen là

2





M(z)

y

O

N( l.z )

- Số phức z≠0 có acgumen là  thì mọi số phức l.z có acgumen là:  + 2k

với k  Z )

Trang 4

ĐỊNH NGHĨA 1

phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian )

Chú ý:

Nếu  là một Acgumen của z thì mọi

acgumen của z có dạng  +2k ( k  Z )

H 1

M(z)



x

y

O

N( - z )

- 

( )

P z

( )

Q  z

Biết số phức z ≠ 0 có một acgumen là  Hãy tìm một acgumen của các số phức:

1 ( )

R z

.

z

z  z z  z  a b



z   a bi

có một Acgumen là  +

có một Acgumen là - 

có một Acgumen là - 

Trang 5

ĐỊNH NGHĨA 1

Chú ý:

M(a+bi)



x

y

b

b Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức dạng z = a + bi≠0 ( , a b  )

r   z a  b

dễ thấy: a  r cos ; b = r.sin  

Vậy z = a + bi có thể viết dưới dạng khác

z  r cos   i.sin 

Định nghĩa 2 Dạng z  r cos (   isin  ) trong đó

r > 0, gọi là dạng lượng giác của

số phức z ≠ 0 Còn dạng z = a+ bi ( , a b  ) Được gọi là dạng đại số của số phức z

Trang 6

ĐỊNH NGHĨA 1

Chú ý:

M(a+bi)



x

y

b

ĐỊNH NGHĨA 2

Dạng z  r cos (   isin  ) trong đó

R > 0, gọi là dạng lượng giác của

số phức z ≠ 0 Còn dạng z = a+ bi

( , a b  )

Nhận xét để tìm dạng lượng giác

z  r cos   isin 

của số phức Z = a + bi

( , a b  ) Được gọi là dạng đại số

của số phức z

z ≠ 0 ta tiến hành các bước

1 Tìm r  a2  b2

2 Tìm  là một số thực sao cho

;sin

cos =

Trang 7

ĐỊNH NGHĨA 1

ĐỊNH NGHĨA 2

của số phức z

r  a  b

;sin

cos =

Ví dụ 2

+Số 2 có mô đun bằng 2 , có một acgumen bằng 0

+Số -4 có môđun bằng 4, có một acgumen bằng 

+Số 3i có môđun bằng 3 , có

một acgumen bằng

2



số -2i có môđun bằng 2 , có một

acgumen bằng

2





số 1  3i Có môđun r  1+3  2

Lấy os 1 sin 3

c        

Vậy 1 acgumen là

3



Trang 8

ĐỊNH NGHĨA 1

phẳng phức biểu diễn số z Số đo ( rađian) của

mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

được gọi là một Acgumen của z

ĐỊNH NGHĨA 2

r > 0, gọi là dạng lượng giác của số

phức z ≠ 0

( , a b  ) Được gọi là dạng đại số của số phức z

1 | z | = 1  z = cos + i.sin ( )

Còn dạng z = a+ bi

2 Khi z = 0  | z | = 0 còn acgumen của z là tuỳ ý : 0 = 0 (cos + i sin)

3 Cần chú ý đòi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác của số phức z ≠ 0

Ví dụ

a Số phức –(cos+ i.sin) có dạng lượng giác : cos(+) + i sin (+)

a Số phức cos - i.sin có dạng lượng giác : cos(- ) + i sin (- )

Trang 9

ĐỊNH NGHĨA 1

ĐỊNH NGHĨA 2

của số phức z

r  a  b

;sin

cos =

H2 Cho z = r ( cos + i sin) Tìm môđun và một acgumen của 1

z

1 ( os -i.sin )

1

= os(- ) i.sin(- )

z

c r





Vậy môđun và một acgumen của 1

z

Là : 1

, acgumen là :

Trang 10

ĐỊNH NGHĨA 1

ĐỊNH NGHĨA 2

R > 0, gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0

;

z = r cos i.sin ( r 0) ' '.(cos ' i.sin ') ( ' 0)

cos( + ') i.sin( + ') '

cos( ' ) i.sin( ' ) ; ( 0 )

z.z' = r.r'.

z r'

z r

 

   

Còn dạng z = a+ bi gọi là dạng đại số

2 Nhân và chia số phức dạng lượng giác

Định lý:

Nếu

Chứng minh

Ví dụ 4

3 Công thức Moa – vrơ (Moivre) và ứng dụng

a Công thức Moa – vrơ

b ứng dụng vào lượng giác

c Căn bậc ha của số phức dưới dạng lượng giác

4.Hướng dẫn học và làm bài ở nhà

Trang 11

Chứng minh

 cos( + ') i.sin( + ') 

'

cos( ' ) i.sin( ' ) ; ( 0)

r cos i.sin '.(cos ' i.sin ')

' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos

Chứng minh

2

'( os ' + i.sin ' ( os i.sin ' '.

'

os ' os sin '.sin ( os sin ' sin os ')

' os( ' ) sin( ' )

r

r r

r



Trang 12

2 2

os sin

Ví dụ 4

3 1

os sin

3

2 os sin

1+ i

i

os sin 2 os sin

2 os sin 2 os sin



Nhận xét: nếu thực hiện phép chia hai số phức dưới dạng đại số ta được

1 3 ( 3 1).

1+ i





Trang 13

 r c ( os +i.sin )   n  r cn( osn   i sin n  )

a Công thức Moa-vrơ

 ( os +i.sin ) c   n ( osn c  i sin n  )

 5

2 os5 .sin 5.

4 2

2 i 2

Khi r = 1, ta có

Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng qui nạp toán học với mọi số Nguyên dương n,

cả hai công thức trên gọi là công thức Moa- vrơ

Ví dụ 5:

4 1 i

Trang 14

b Ứng dụng vào lượng giác

os sin os 3 os sin 3 os sin ( sin )

os 3 os sin (3 os sin sin )

Công thức khai triển luỹ thừa bậc 3 của nhị thức cos + i sin  cho ta

os sin os3 sin 3

Mặt khác theo công thức Moa- vrơ

os3 os 3 os sin os3 4 os 3 os sin 3 3 os sin sin sin 3 3.sin 4sin

c

Trang 15

c Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

os sin

r c    i  

Từ công thức Moa- vrơ số phức z = r (cos+i.sin), r > 0 có hai căn bậc hai

Và

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	594,83 KB