Vành cực tiểu nội xạ

Một số tính chất của vành tự - nội xạ phải được nghiên cứu từ lớpcác vành cực tiểu nội xạ phải.. Ngoài ra, một số khái niệm, tính chất củavành cực tiểu nội xạ phải được ứng dụng vào việc

2:4 Vµnh cùc tiÓu linh ho¸ tö: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: 39

KÕt luËn: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 Tµi liÖu tham kh¶o: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

Mở đầu

Vành cực tiểu nội xạ phải đã được M Ikeda giới thiệu vào năm

1952 và sau đó đã được J Dieuconne và M Harada tiếp tục nghiên cứu,năm 1970 J E Bijork và năm 1989 V Camillo đã đưa ra một số kháiniệm và ví dụ về vành cực tiểu nội xạ

Một số tính chất của vành tự - nội xạ phải được nghiên cứu từ lớpcác vành cực tiểu nội xạ phải Ngoài ra, một số khái niệm, tính chất củavành cực tiểu nội xạ phải được ứng dụng vào việc nghiên cứu Q-F vành(Quasi - Frobenius rings) và một số vành khác

Luận văn tập trung khai thác một số tính chất quan trọng của vànhcực tiểu nội xạ phải Chủ yếu là đi sâu vào việc chứng minh chi tiết cáctính chất của vành cực tiểu nội xạ phải và tìm hiểu về mối liên hệ giữavành cực tiểu nội xạ phải với một số vành khác như: Vành actin, vànhcực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : :

Luận văn được trình bày theo 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 5 mục, trình bày một số khái niệm cơ bản vềmôđun nội xạ, sự nội xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục,vành tựa -Frobenius

Chương 2 Vành cực tiểu nội xạ

Sử dụng các kết quả của chương 1 để tìm hiểu về vành cực tiểu nộixạ và mối liên hệ giữa vành cực tiểu nội xạ với vành actin, vành cực tiểu

đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : :

Luận văn được hoàn thành nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy giáo

PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới thầy giáo.

Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo KhoaToán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy côgiáo tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý để tác được hiểu sâuhơn về vấn đề, tạo điều kiện để luận văn được hoàn thành

Mặc dù đã cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên luậnvăn không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong được sự góp

ý của quý thầy cô giáo và đồng nghiệp để tác giả được hiểu sâu hơn vềvấn đề

Lê Na

1 r

Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị

Đặt J = J(R) = \T Ătối đạiT là căn Jacobson của R và Mn(R) làvành các ma trận n Ê n trên R Các môđun phải, trái lần lượt được

kí hiệu là MR và RM , các đồng cấu môđun được hiểu theo nghĩathông thường Nếu M là một R Ă môđun, ký hiệu Z(M); Soc(M)

và MÔ = homR (M; R) lần lượt là môđun con suy biến, đế và đối ngẫucủa M Chiều Goldie của môđun M kí hiệu là dim(M)

R là vành, ký hiệu

Soc(RR) = Sr; Soc(RR) = Sl; Z(RR) = Zr và Z(RR) = Zl:Môđun con tối đại, môđun con cốt yếu và môđun con bé N của M lầnlượt được kí hiệu là:

N àmax M; N àe M và N àsm M;

và kí hiệu N àâ M nếu N là hạng tử trực tiếp của M Các linh hoá tửphải kí hiệu là: r(Y ) = rX(Y ) = fx 2 X j yx = 0; 8y 2 Y g, tương tựvới linh hoá tử trái lX(Y ) = l(Y ) Các ánh xạ x 7! ax và x 7! xa được

kí hiệu a và Âa, nếu ẳ là một tính chất của các môđun, ta gọi M là mộtmôđun ẳ nếu nó có tính chất ẳ và các vành R là một vành ẳ phải nếu

RR là một môđun ẳ (với quy ước tương tự bên trái)

1.1 môđun nội xạ

1.1.1 Định nghĩa Cho M là RĂ môđun (môđun phải), K là môđun con

của M và được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con

Ki à Mi với mỗi i Khi đó âi 2IKi àe M , Ki àe Mi với mỗi i.

(4) Đặt K = âi 2IKi và giả sử Ki àe Mi; i2 I.

Khi đó K àe M , mR \ K 6= 0 với 0 6= m 2 M

Trường hợp 1: I hữu hạn Ta dùng phương pháp quy nạp

Giả sử jIj = 2, cho K1 àe M1; K2 àe M ) K1\ K2 àe M1\ M2

Ta có 0 àe M1\ M2 ) M1\ M2 = 0 ) tồn tại M1â M2

Xét ẳ1 : M1â M2 Ă! M1 và ẳ2 : M1â M2 Ă! M2

Do K1 àe M1 nên K1â M2 = ẳ1Ă1(K1) àe M1â M2(theo (3)).Tương tự ta có M1â K2 = ẳ2Ă1(K2) àe M1â M2

Suy ra, K1â M2\ M1â K2 àe M1â M2(theo (2))

Ta lại có, K1â M2\ M1â K2 = [(K1â M2)\ M1]â K2

= K1â (M2\ M1)â K2 = K1â K2 ) K1â K2 àe M1â M2:Trường hợp 2: I vô hạn

Lấy 0 6= m 2 M ) m = m1+Â Â Â + mn

) mR à m1R + Â Â Â + mnR à M1â Â Â Â â Mn(do miR à Mi).Theo trường hợp 1 ta có: ân

1Ki àe ân

1Mi ) mR \ ân

1Ki 6= 0suy ra, mR \ âIKi 6= 0 ) âIKi àe âIMi:

1.1.3 Định nghĩa Cho M và A là các RĂ môđun.

(i) M gọi là AĂ nội xạ nếu với mọi X là môđun con của A, mọi đồng

(ii) M được gọi là tự- nội xạ (tựa- nội xạ) nếu M là MĂ nội xạ (iii) M được gọi là nội xạ nếu M là AĂ nội xạ với mọi môđun A.

1.1.4 Bổ đề Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi K à M, mỗi đồng cấu

¯ : K Ă! E mở rộng thành một đồng cấu ° : M Ă! E.

Chứng minh Nếu E là nội xạ, từ định nghĩa ta suy ra với K à M, mỗi

đồng cấu ¯ : K Ă! E tồn tại mở rộng của ¯ là ° : M Ă! E

Ngược lại, nếu đ : N Ă! M là đơn cấu, ánh xạ đ0 : đ(N) Ă! N xác

định bởi đ0(đ(n)) = n; n 2 N Khi đó, cho ánh xạ ¯ : N Ă! E, ánh xạ

¯ ± đ0 : đ(N) Ă! E mở rộng thành ° : M Ă! E (theo giả thiết), và takiểm tra được rằng ° ± đ = ¯ Vậy E là nội xạ (theo định nghĩa)

1.1.5 Hệ quả Giả sử E = ƯiEi là tích trực tiếp của các môđun, khi đó

ĂĂ! E ĂĂ! Eẳj j là các ánh xạ chính tắc

Nếu E là nội xạ và nếuK à M, cho ¯ : K Ă! Ei, tồn tại ° : M Ă! Esao cho ° = ắi ± ¯ trên K Khi đó ẳi ± ° : M Ă! Ei là mở rộng của ¯.Vậy Ei là nội xạ (theo bổ đề 1.1.4)

Ngược lại, nếu mỗi Ei là nội xạ, lấy đ : K Ă! E; K à M Với mỗi i,tồn tại °i : M Ă! Ei mở rộng của ẳi ± đ

Nếu ° : M Ă! E được xác định bởi °(m) = (°i(m)), với mỗi m 2 M thì

° là mở rộng của đ vì x = (ẳi(x)), với mỗi x 2 M.

Vậy E là nội xạ (theo bổ đề 1.1.4)

1.1.6 Bổ đề (Tiêu chuẩn Baer) RĂ môđun phải E là nội xạ khi và chỉ

khi với mỗi T à R là một iđêan phải, mọi đồng cấu ° : T Ă! E mở rộng thành R ! E thì ° = c là phép nhân, c là một phần tử nào đó thuộc E.

1.1.7 Bổ đề Cho R là một vành, khi đó các khẳng định sau là đúng:

RĂ môđun nội xạ phải.

Chứng minh (1): Nếu á 2 E; a 2 R, E trở thành một RĂ môđun phải

theo (á:a)(r) = á(ar); 8r 2 R Cho ° : T Ă! ER là đồng cấu, T là mộtiđêan phải của R Từ bổ đề 1.1.6 ta mở rộng ° thành RR Ă! ER Xác

định à : T Ă! Q cho bởi à(t) = [°(t)](1) Khi đó à là một ZĂ cấu xạ

Do ZQ là nội xạ nên xác định được ^à : R Ă! Q là một ZĂ cấu xạ mởrộng của à

Từ ^à 2 E, xác định ^° : R Ă! E cho bởi ^°(a) = ^à:a; 8a 2 R

Thử lại thấy ^° là đồng cấu, rõ ràng nó là mở rộng của °; ^°(t) = °(t);8t 2 T Nếu r 2 R ta có:

[^°(t)](r) = [^à:t](r) = ^à(tr) = à(tr) = [°(tr)](1) = [°(t):r](1) = [°(t)](r)vì ° là đồng cấu và °(t) 2 E Do đó ^°(t) = °(t)

(2): Cho MR; ' : Z(I) Ă! M là ZĂ toàn cấu với tập I nào đó sao cho

ZM ằ= Z(I)=K à QI=K; K = ker(') Đặt Q = QI=K, Q chia được

Từ MR ằ= hom(RR; MR) với m 7! m ta có

MR ằ= homR(RR; MR) à homZ(R; M ) ,! homZ(R; Q):

Do ER = homZ(R; Q) là nội xạ theo (1) Suy ra (2) được chứng minh

1.1.8 Hệ quả Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi đơn cấu ắ : E Ă! M

Chứng minh Nếu ắ : E Ă! M là đơn cấu, tồn tại ° : M Ă! E sao cho

° ± ắ = 1E Khi đó M = ắ(E) â ker(°)

Điều ngược lại được suy ra từ bổ đề 1.1.7 Vì hạng tử trực tiếp của môđunnội xạ là nội xạ

1.1.9 Bổ đề (Bổ đề cốt yếu) Cho K à M là các môđun Nếu C là phần

bù của K trong M thì các khẳng định sau là đúng:

Vậy Y =C \ (K â C)=C 6= 0 ) (K â C)=C àe M=C:

1.2 Sự nội xạ lẫn nhau

1.2.1 Bổ đề Cho G = Ưi 2IGi và M là môđun Khi đó G là MĂ nội xạ

Điều kiện đủ: Cho Gi là MĂ nội xạ với mỗi i 2 I

Cho pk¯ : X ĂĂ! G¯ ĂĂ! Gpk k Với 8k 2 I; ^¯k là mở rộng của pk¯ hay

Ngược lại, nếu G là MiĂ nội xạ với mỗi i, cho ¯ : X Ă! G là đồng cấu,

X à M Tương tự như trong chứng minh bổ đề 1.1.6, cho (C; ¯Ô) là tối

đại sao cho X à C à M và ¯Ô : C Ă! G mở rộng của ¯ Ta chứng minh

C = M bằng việc chứng minh Mi à C với mỗi i Từ giả thiết, tồn tại

đi : Mi Ă! G sao cho đi = ¯Ô trên Mi\ C Xây dựng ¯i : Mi+ C Ă! Gxác định bởi ¯i(mi+ c) = đi(mi) + ¯Ô(c); 8mi 2 Mi và c 2 C Khi đó ¯i

được định nghĩa vì đi = ¯Ô trên Mi \ C, và ¯i mở rộng của ¯ vì X à C

và ¯Ô mở rộng của ¯ Do đó Mi + C = C theo tính tối đại của (C; ¯Ô) vìvậy Mi à C

1.2.4 Bổ đề (Bổ đề Johnson - Wong) Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ

khi M hoàn toàn bất biến trong bao nội xạ E(M).

1.2.5 Hệ quả Cho M là môđun tựa nội xạ Nếu E(M) = âi 2IKi thì

M = âi 2I(M \ Ki).

i=1ki 2 M; ki 2 Ki Nếu ẳi : E(M ) Ă! E(M)

là phép chiếu lên Ki, thì ki = ẳi(m) 2 ẳi(M )(theo bổ đề 1.2.4), vì vậy

ki 2 M \ Ki Do đó M à âi 2I(M \ Ki) Chiều ngược lại là hiểnnhiên

1.3 môđun liên tục.

² M thoả mãn C1Ă điều kiện nếu mỗi môđun con của M là cốt yếutrong một hạng tử trực tiếp của M (Ta coi như môđun con không làcốt yếu trong chính nó)

² M thoả mãn C2Ă điều kiện nếu K và N là các môđun con của M,

K ằ= N và K là hạng tử trực tiếp của M thì N cũng là hạng tử trựctiếp của M

² M thoả mãn C3Ă điều kiện nếu với N và K là các môđun con của

M với N àâ M , K àâ M và N \ K = 0 thì N â K àâ M

Nếu M là một môđun không phân tích được thì M là một C3Ă môđun;

M là C1Ă môđun nếu và chỉ nếu nó là đều (nghĩa là X \ Y 6= 0 vớimọi môđun con X 6= 0 và Y 6= 0) và M là một C2Ă môđun nếu và chỉnếu các đơn cấu trong end(M) là các phép đẳng cấu

Tương tự, R không là C2Ă trái Ta thấy rằng R là một C1Ă phải, cho T 6= 0

là một iđêan phải Nếu T 6à Sr =

dimF(T ) = 1, lấy T = xR, x 2 Sr Nếu x2 = x 6= 0 ta được điều cần tìm.Mặt khác, x 2 J, vì vậy T = J và thử lại ta có T àe e11R =

2

4F F

0 0

35.Hơn nữa, R là C1Ă phải; Tương tự R là C2Ă phải

1.3.2 Định nghĩa (i) Môđun được gọi là liên tục nếu nó thoả mãn cả

1.3.3 Định lí Mọi môđun tựa nội xạ là liên tục.

Chứng minh Cho M là tựa nội xạ Nếu N à M thì E(M) chứa E(N) = E

và E(M) = E â G, G là môđun con, vì E là nội xạ Từ hệ quả 1.2.5 ta

1.4 môđun tựa liên tục

Nếu K à M là các môđun, phần bù C của K trong M là môđuncon của M tối đại với K \ C = 0 và trong trường hợp này K â C à eMtheo bổ đề 1.1.9 Một môđun con C của M được gọi là đóng trong Mnếu C là phần bù của một số môđun con của M

1.4.1 Định lí C là môđun con của môđun M Các khẳng định sau đây

(2), điều đó thoả mãn K \ N = 0 Nhưng nếu K \ N 6= 0 thì C àe N ta

có 0 6= C \ (K \ N) = C \ K điều này mâu thuẫn với giả thiết C là phần

bù của K

(2))(3) Nếu (3) không cho C à N àe M và giả sử rằng (X=C) \(N=C) = 0; X=C 6= 0 Theo (2) thì C không cốt yếu trong X, chọn

Y \C = 0 với 0 6= Y à X Khi đó Y \N = (Y \X)\N = Y \(X \N) =

Y \ C = 0 điều này mâu thuẫn vì N àe M

(3))(4) Nếu D là một phần bù của C, cho D\N = 0; C\N; ta cần chứngminh C = N Ta có D â C à M theo bổ đề 1.1.9 vì vậy (D â C)=C àe

M=C theo (3) Hơn nữa, điều đó thoả mãn (N=C) \ [(D â C)=C] = 0

Nhưng nếu n + C = d + C; n 2 N; d 2 D thì n Ă d 2 C à N, vì vậy

d 2 N \ D = 0

(4))(1) Hiển nhiên

1.4.2 Định lí Cho M là môđun, các khẳng định sau tương đương:

(1) M là tựa liên tục.

(2) Nếu C và D là phần bù của nhau thì M = C â D.

Chứng minh Đặt E(M) = E.

(1))(2) Cho C và D như ở trong (2), mỗi C, D là đóng theo Định lí 1.4.1,vì vậy mỗi C, D là hạng tử trực tiếp Nhưng C \ D = 0, nên C â D = M(theo C3Ă điều kiện)

(2))(3) Cho ¿2 = ¿ : E Ă! E Đặt K = M \¿(E), N = M \(1Ă¿)E.Như vậy K \ N = 0, lấy C ả K là một phần bù của N trong M và

C \ N = 0, lấy D ả N là một phần bù của C trong M Từ C là

đóng và là một phần bù của D (theo Định lí 1.4.1), nên M = C â Dtheo (2) Cho ẳ : M Ă! C là một phép chiếu với hạt nhân D Vì

M àe E nên ta có M \ (1 Ă ¿)M = 0 Nhưng nếu m = (¿ Ă ẳ)(x)với x; m 2 M thì ¿(x) = m + ẳ(x) 2 M \ ¿(E) = K à C Hơn nữa(1Ă ¿)(x) 2 M \ (1 Ă ¿)E = N à D vì vậy, từ x = ¿(x) + (1 Ă ¿ )(x) ta

có ẳ(x) = ¿(x) theo định nghĩa của ẳ Do đó m = 0

(3))(4) Cho m 2 M, lấy m 2 E1â Â Â Â â En, và cho ¿1; :::; ¿n là các luỹ

đẳng trực giao trong end(E) với ¿i(E) = Ei với mỗi i Khi đó ¿i(M ) à M

với mỗi i theo (3), vì vậy m = Đn

i=1¿i(m) 2 ân

i=1(M \ Ei) Từ đó suy ra

M à âni=1(M \ Ei) Dễ dàng chứng minh điều ngược lại

(4))(1) Nếu K à M Đặt E = E(K) â G Khi đó

M = (M \ E(K)) â (M \ G) theo (4), và K àe M \ E(K) Như vậy Mthoả mãn C1Ă điều kiện

Chứng minh C3Ă điều kiện, cho K1 àâ M; K2 àâ M và K1\K2 = 0 Tachứng minh (K1âK2) àâ M Với mỗi i chọn một bao nội xạ Ei = E(Ki)sao cho Ki à Ei à E Khi đó E1 \ E2 = 0 vì Ki àe Ei với mỗi i Từ

E1â E2 là nội xạ, ta có E = E1 â E2â H với H nào đó Từ (4) ta có

M = (M \ E1) â (M \ E2) â (M \ H) nên Ki = M \ Ei với mỗi i

Điều đó suy ra (1) vì Ki àe M \ Ei (từ Ki àe Ei) và Ki àâ M \ Ei (từ

Ki àâ M )

1.4.3 Hệ quả Nếu M = K â N là tựa liên tục thì K là NĂ nội xạ.

Chứng minh Nếu X à N và đ : X Ă! K là đồng cấu, ta mở rộng đ

thành N Ă! K Đặt Y = fx Ă đ(x) j x 2 Xg Khi đó Y \ K = 0,vì vậy lấy C ả Y là một phần bù của K trong M Từ K là đóng trong

M và nó là một phần bù của C theo Định lí 1.4.1 nên M = K â C theo

Định lí 1.4.2 Chọn ẳ : M Ă! K là phép chiếu với ker(ẳ) = C Khi đó

Y à ker(ẳ), vì vậy ẳ(x) = ẳ[đ(x)] = đ(x) với x 2 X Như vậy hạn chếcủa ẳ trên N là mở rộng của đ

1.4.4 Ví dụ Nếu F là một trường, R =

1.4.5 Định lí R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:

(1) R là tự nội xạ phải.

(2) R â R là liên tục (tựa liên tục) như một RĂ môđun phải.

Chứng minh (1),(2) Suy ra từ hệ quả 1.4.3, (1))(5) vì tự nội xạ phải

là một tính chất Morita - bất biến, và (5))(4))(3) rõ ràng Cho (3), đặt

S = M2(R) sao cho S = e11Sâe22S, eii là ma trận đơn vị Khi đó S là tựaliên tục phải theo (3), vì vậy eiiS là ejjSĂ nội xạ với i 6= j, theo hệ quả1.4.3 Mà e11S ằ= e22S, e11S là ejjSĂ nội xạ, với mọi j Hơn nữa, e11S là

SĂ nội xạ theo bổ đề 1.2.3, vì vậy nó nội xạ như một SĂ môđun phải (bổ

đề 1.1.6) Tương tự, e22S là nội xạ nên suy ra S là tự nội xạ phải

1.5 Vành tựa - Frobenius

1.5.1 Định nghĩa Một vành gọi là tựa - Frobenius (hoặc một vành QF)

nếu nó là actin phải và trái và tự nội xạ phải và trái.

Các ví dụ

(1) Các vành nửa đơn, actin

(2) Các nhóm đại số F G, F là một trường và G là một nhóm hữu hạn.(3) Các vành R=aR, a 6= 0, a khác đơn vị trong một (giao hoán) miềniđêan chính R

Gọi iđêan phải T của vành R là mở rộng nếu mọi đồng cấu đ : T Ă! R

mở rộng thành R Ă! R, nghĩa là đ = a là phép nhân bên trái, a 2 R.Như vậy R là tự nội xạ phải nếu mọi iđêan phải là mở rộng

1.5.2 Bổ đề Cho T và T0 là các iđêan phải của vành R.

đ(t + t0) = bt, đ = aÂ, a 2 R (theo giả thiết) Vì b Ă a 2 l(T ) và a 2 l(T0),nên b = (b Ă a) + a 2 l(T) +l(T0) Do đó, l(T \ T0) à l(T ) + l(T0) Chiềungược lại luôn đúng

(2) Chọn đ = b trên T và đ = c trên T0

Từ b Ăc 2 l(T \T0) = l(T ) + l(T0), chọn bĂc = d Ăd0 với dT = 0 = d0T0

Đặt a = b Ă d = c Ă d0 Khi đó, at = (b Ă d)t = bt = đ(t) với mọi t 2 T

và at0 = (cĂ d0)t = ct0 = đ(t0) với mọi t0 2 T0 Từ đó suy ra đ = a

Bổ đề 1.5.2 thường được ứng dụng khi T + T0 = R, trong trường hợpl(T \ T0) = l(T )â l(T0)

1.5.3 Bổ đề Một vành R là F Ă nội xạ phải nếu và chỉ nếu nó thoả mãn

hai điều kiện sau:

(b) lr(a) = Ra; 8a 2 R.

Chứng minh Giả sử R là F Ă nội xạ phải Khi đó, T + T0 là mở rộng vớimọi iđêan phải T và T0 hữu hạn sinh, vì vậy (a) đúng theo bổ đề 1.5.2.Nếu b 2 lr(a), ánh xạ ° : aR Ă! R xác định bởi °(ar) = br, vì vậy

° = c với c 2 R Hơn nữa, b = °(a) = ca 2 Ra, vì vậy lr(a) à Ra.Chiều ngược lại luôn đúng

Ngược lại, nếu các điều kiện đúng và đ : T Ă! RR xác định, quy nạptheo n với T = Đn

i=1tiR Nếu n = 1 thì đ(t1) à lr(t1) = Rt1, chọn

đ(t1) = at1 suy ra đ = aÂ, vì vậy đ là mở rộng Trong trường hợp tổngquát, các thu hẹp của đ trên t1R và trên T0 = Đn

i=2tiR đều mở rộng trên

R theo phép quy nạp, vì vậy đ mở rộng theo bổ đề 1.5.2

1.5.4 Hệ quả Nếu R là nội xạ phải thì

(1) l(T \ T0) = l(T ) + l(T0) với mọi iđêan phải T và T0.

(2) lr(L) = L với mọi iđêan trái hữu hạn sinh L của R.

Chứng minh (1) Suy ra từ bổ đề 1.5.2.

(2) Đặt L = Đn

i=1Rai Từ (1) ta có lr(L) = l[\n

i=1r(ai)] = Đni=1Rai = L,

áp dụng (1) và bổ đề 1.5.3 ta được điều cần chứng minh

1.5.5 Bổ đề Giả sử lr(a) = Ra với mọi a 2 R và l(T0\T ) = l(T0)+l(T )

cấu đ : T Ă! R với ảnh hữu hạn sinh mở rộng thành R Ă! R.

Chứng minh Từ đ(t) hữu hạn sinh, ta có

T = T0 + ker(đ), T0 = t1R +Â Â Â + tnR Từ lr(t1) = Rt1 theo giả thiết,

sự hạn chế của đ trên t1R mở rộng thành R (xem chứng minh của bổ đề1.5.3) Hơn nữa, theo quy nạp, sự hạn chế của đ trên T0 mở rộng như sựhạn chế trên ker(đ) Vì vậy, đ mở rộng theo bổ đề 1.5.2

Một RĂ môđun phải được gọi là xoắn nếu nó có thể được nhúngtrong một tích của các bản sao của RR.

1.5.6 Bổ đề Nếu T là một iđêan phải của R thì rl(T ) = T khi và chỉ

khi R=T là xoắn.

A = fai j i 2 Ig Khi đó T = r(A), vì vậy rl(T ) = rlr(A) = r(A) = T Ngược lại, nếu T = rfai j i 2 Ig, ánh xạ R Ă! RI xác định bởi

r 7Ă! (air) là hạt nhân của T

Môđun C gọi là đối sinh môđun M nếu M có thể được nhúng vàotrong một tích trực tiếp CI của các bản sao của C và CR được gọi là đốisinh nếu nó đối tạo thành mọi môđun phải

1.5.7 Bổ đề CR là đối sinh khi và chỉ khi \fker(á) j á : M Ă! Cg = 0

phép chiếu, thì \fker(ẳi ± ắ) j i 2 Ig = 0

Ngược lại, nếu \fker(á) j á : M Ă! Cg = 0 chọn I = homR(M; C),xác định ắ : M Ă! CI bởi ắ(m) = (á(m))á 2I Khi đó ắ là RĂ đơncấu

1.5.8 Bổ đề Nếu ER là môđun nội xạ, thì E là đối sinh khi và chỉ khi mọi môđun phải đơn có thể được nhúng trong E.

với phép chiếu ẳi : EI Ă! E Mặt khác, K ,! E Ngược lại, cho MR,

đặt N = \fker(á) j á : M Ă! Eg Do đó N = 0 (theo bổ đề 1.5.7)

Nhưng nếu N 6= 0, lấy 0 6= n 2 N và chọn X àmax nR Theo giả thiếtlấy ắ : nR=X Ă! E là đơn cấu vì vậy E là nội xạ, mở rộng ắ thành

^

ắ : M=X Ă! E Khi đó xác định á : M Ă! E bởi á(m) = ^ắ(m + X).Với n 2 N ta có 0 = á(n) = ^ắ(n + X) = ắ(n + X), do đó n 2 X Mâuthuẫn

1.5.9 Định lí Cho fKi j i 2 Ig là một hệ đại diện phân biệt của các

RĂ môđun phải đơn và đặt C = âi 2IE(Ki) Khi đó

ra từ bổ đề 1.5.8 và (1) vì E ,! CI

(2) Nếu D là đối sinh bất kì, lấy ắ : E(Ki) Ă! DJ là đơn cấu Khi

đó ẳj[ắ(Ki)] 6= 0 với phép chiếu ẳj : DJ Ă! D; j 2 J, vì vậy tồntại ° : E(Ki) Ă! D sao cho °(Ki) 6= 0 Nên Ki 6à ker(°), vì vậy

Ki \ ker(°) = 0 (do Ki là đơn) Nhưng ° là đơn cấu vì Ki àe E(Ki).Vậy E(Ki) nhúng trong D với mọi i Nếu ta coi như E(Ki) à D thì

Đi 2IKi là trực tiếp vì Ki không đẳng cấu từng đôi một, vì vậy Đi 2IE(Ki)

là trực tiếp Từ đó suy ra C ,! D (C = âi 2IE(Ki) được gọi là một đốisinh tối tiểu với phạm trù các RĂ môđun)

1.5.10 Định nghĩa Một vành R được gọi là một vành Kasch phải (hoặc

1.5.11 Định lí Cho vành R, các mệnh đề sau là tương đương:

(1) R là Kasch phải.