Sự phân loại các vị nhóm bởi tính c nội xạ và CC nội xạ luận văn thạc sĩ

MỞ ĐẦU Một loại nội xạ mới, gọi là C-nội xạ và CC- nội xạ đã được nghiên cứu.Chúng ta có thể phân loại các vị nhóm bởi các tính chất của các tác động C- nội xạ và CC- nội xạ.. Dựa trên h

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học Vinh

2.2 Cấu trúc của vị nhóm S với tính chất: mọi S- tác động đều C- nội xạ 19

Chương 3 Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ. 263.1 Hệ phương trình trên các tác động CC- nội xạ 263.2 Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ 30

MỞ ĐẦU

Một loại nội xạ mới, gọi là C-nội xạ và CC- nội xạ đã được nghiên cứu.Chúng ta có thể phân loại các vị nhóm bởi các tính chất của các tác động C- nội xạ và CC- nội xạ Dựa trên hai bài báo “Classification of monoids byinjectivities” của Xia Zhang – Ulrich Knauer – Yuqun Chen đăng trên tạp chísemigroup Forum năm 2007 và năm 2008 , trong luận văn này chúng tôitrình bày chi tiết sự phân loại của vị nhóm bởi các tính chất của các tác độngC- nội xạ và CC- nội xạ

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày khái niệm phạm trù và một số phạm trù cụ thể như: Phạm trùcác vật, phạm trù các nhóm, phạm trù các vành và phạm trù các môđun Trìnhbày khái niệm hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến cùng với một số hàm tử,đặc biệt như hàm tử quên, hàm tử biểu diễn

Trình bày khái niệm môđun nội xạ và các tính chất của môđun nội xạ

Chương 2 Sự phân loại của các vị nhóm theo C- nội xạ.

Trình bày các khái niệm nội xạ , F- nội xạ và C- nội xạ Trình bày một

sự phân loại đồng điều của một vị nhóm của các iđêan phải C- nội xạ

Trình bày cấu trúc của một vị nhóm mà tất cả các tương đẳng trên nóđều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng tương đẳng

Chương 3 Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ.

Trình bày khái niệm hệ phương trình trên các tác động CC- nội xạ vàđiều kiện phi mâu thuẫn của nó

Trình bày sự phân loại các vị nhóm theo tính chất CC- nội xạ và các ví

dụ minh họa

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh Nhân dịpnày tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến PGS.TS.LêQuốc Hán cùng với các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡtác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, tôi rất mong nhận được những đống góp quý báu của các Thầy,các

Cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

KẾT LUẬN

Trong luận văn này chúng tôi đã thực hiện được các việc sau đây:

1 Hệ thống hóa các khái niệm và tính chất cơ bản của phạm trù và hàm

tử, của môđun nội xạ

2 Trình bày sự phân loại của một vị nhóm theo tính chất của các iđêanphải C- nội xạ (Định lý 2.1.8)

3 Trình bày cấu trúc của một vị nhóm S mà tất cả các tác động trên nóđều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng tương đẳng (Định lý2.2.4, Hệ quả 2.2.6)

4 Trình bày sự phân loại các vị nhóm theo tính chất của tác động CC- nội

xạ (Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.3, Định lý 3.2.6)

5 Trình bày một số lớp tác động xung quanh các tác động nội xạ (Ví dụ3.2.4, Ví dụ 3.2.5, Ví dụ 3.2.8)

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] A.H Cliphớt và G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch của

Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB ĐH & THCN, Hà Nội

[2] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm và Lý thuyết, Đại

học Vinh

[3] Ngô Sỹ Tùng, Lý thuyết phạm trù, Trường Đại học Vinh.

Tiếng Anh

[4] J.Ahsan, Z.K.Liu (1987), “On relatively injective and weakly injective

S-acts”, Southeast Asian Bull Math, 21, 249 – 256.

[5] Y.Q.Chen, K.P.Shum (1999), “Projective and indecomposable S-acts’’,

Sci.Chine Ser A 42 , 593 – 599.

[6] M.Kilp, U.Knauer , A.Mikhalev, (2000), “Monoid, Acts and categories, with Applications to wreath Products and graphs’’, de Gruyte, Berlin.

[7] U.Knauer, (1972), “Projectivily of acts and Morita equivalence of

monoids”, Semi group Forum, 3, 359 – 370.

[8] P.Normak, (1980), “Purity in category of M-sets”, Semigroup Forum, 20,

157 – 170

[9] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by

injectivities I, C – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 169-176.

[10] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by

injectivities II, CC – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 177-184.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù Α bao gồm trong nó các lớp vật Ob (Α) đối

với 2 vật tùy ý A,B ∈ Ob (Α), tập Mor (A,B) gọi là tập các cấu xạ từ A đến B;đối với ba vật bất kỳ A,B,C ∈ Ob (Α) một luật hợp thành (tức là ánh xạ): Mor (B,C) x Mor (A,B) → Mor (A,B)

đồng thời các tiên đề sau phải thỏa mãn:

PT1 Hai tập hợp Mor(A,B) và Mor(A’,B’) không giao nhau, trừ

trường hợp A = A’ và B = B’, trong trường hợp đó chúng bằng nhau

PT2 Đối với mỗi vật A ∈ Ob(Α) có một cấu xạ idA∈Mor(A,B) mà đốivới mọi vật B∈ Ob(Α), nó có tác dụng bên trái và bên phải lên các phần tửthuộc tập Mor(B,A) và Mor(A,B) tương ứng một cách đồng nhất

PT3 Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp nó xác định),

nghĩa là nếu f ∈ Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) và h ∈ Mor(C,D) thì:

(h0g)0f = h0(g0f)đối với các vật A, B, C, D bất kỳ thuộc Α

1.1.2 Chú ý Lớp tất cả các cấu xạ của phạm trù Α sẽ được ký hiệu là Ar(Α).Đôi khi, ta sẽ dùng cách viết “f∈Ar(Α)” để biểu thị f là một cấu xạ nào đó của

Α, nghĩa là một phần tử thuộc một tập Mor(A,B) nào đó, trong đó A,B

∈Ob(Α) Ta cũng sẽ gọi chính thức lớp các vật là phạm trù, trong trường hợp

mà ta đã hiểu rõ ràng các cấu xạ của phạm trù đó là đối tượng nào rồi

Phần tử f ∈Mor(A,B) cũng được viết dưới dạng f: A → B hoặc A f →B

Cấu xạ f được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại cấu xạ g: B →A sao cho g f 0 = id A

và f g id 0 = B Nếu A = B thì cũng gọi là tự đẳng cấu.

Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu Tập các tự

đồng cấu của vật A được ký hiệu là End(A) Từ các tiên đề trên suy ra End(A)

f → f’ (trong Χ) là cặp cấu xạ (ϕ,Ψ) trong Α sao A Bcho biểu đồ giao hoán nghĩa là Ψ0f = g0ϕ ϕ f Ψ

g

X Y

f gAnghĩa là h0f = g

1.1.5 Định nghĩa Giả sử Χ là một phạm trù nào đó Vật P ∈ Ob(C) được

gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C,

Mor(P,X) có đúng một phần tử Vật P∈ Ob(Χ) được gọi là vật cuối cùng hay

vật kéo phổ dụng nếu với mỗi X ∈ Ob(Χ), tập Mor(P,X) có đúng một phầntử

Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là

vật phổ dụng.

Chú ý rằng vì vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên nếu P,P’ là vật phổ dụng thuộc Χ thì giữa chúng tồn tại một đẳng cấu xác định duynhất

1.1.6 Ví dụ.

h

Giả sử f: S → F là ánh xạ từ tập S vào một nhóm F nào đó, g: S →G làmột ánh xạ khác như thế Nếu f(S) sinh ra F, thì tồn tại nhiều nhất một đồngcấu ϕ từ nhóm F vào nhóm G sau sao cho biểu đồ giao hoán.

S F

g ϕGBây giờ ta xét phạm trù Χ mà các vật là các ánh xạ từ tập S vào cácnhóm Nếu f: S → G và f’: S → G’ là các vật thuộc phạm trù ấy, thì ta hiểucấu xạ từ f đến f’ là đồng cấu ϕ: G → G’ sao cho ϕf = f’, nghĩa là các biểu đồsau đây giao hoán

S Gf’ ϕ G’

Gọi (F,f) là nhóm tự do trên tập S Thế thì (F,f) chính là vật khởi đầucủa phạm trù C

Bây giờ, ta chuyển sang khái niệm hàm tử

1.1.7 Định nghĩa Giả sử Α, Β là các phạm trù Hàm tử hiệp biến F từ A vào

B là một quy tắc đặt mỗi vật A ∈ Ob(Α) ứng với mỗi vật F(A) nào đó thuộc Β

và mỗi cấu xạ f: A → B ứng với một cấu xạ F(f): F(A) → F(B) sao cho cácđiều kiện sau đây được thỏa:

HT1 Đối với mọi A ∈ Ob(Α), có F(idA) = idF(A)

HT1 Đối với f: A → B, g: B → C là hai cấu xạ thuộc Α thì:

f(g0f) = F(g)0F(f)

Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghĩa tương tự, chỉ khác

là đối với một cấu xạ f: A → B thuộc Α thì F(f): F(B) → F(A) trong Β saocho nếu f: A → B, g: B → C thì F(g0f) = F(f)0F(g)

h

f

Đôi khi, để ký hiệu hàm tử, ta viết f* thay cho F(f) trong trường hợphàm tử hiệp biến, và f* trường hợp hàm tử phản biến.

Chú ý rằng, mọi hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, vì f0g = id kéotheo F(f)0F(g) = id*

1.1.8 Ví dụ.

a Đối với mỗi nhóm G ứng với tập của nó (cất cấu trúc nhóm khỏi nó)

và mỗi đồng cấu nhóm ứng với chính đồng cấu ấy, chỉ xem về quan điểm lýthuyết tập, ta được một hàm tử phạm trù các nhóm vào phạm trù các tập Hàm

tử đó được gọi là hàm tử quên.

b Xét tương ứng F: S →Grp mỗi tập S ứng với mỗi nhóm tự do F(S)sinh ra bởi S và ánh xạ f: S → T ứng với đồng cấu nhóm duy nhất F(f): F(S)

→F(T) (sự tồn tại và duy nhất của đồng cấu nhóm F(f) là bởi f(T) là nhóm tựdo) Dễ kiểm tra đây là một hàm tử hiệp biến

Tương tự ta có hàm tử từ S→ Ab biến mỗi tập hợp thành nhóm Abensinh bởi tập đó và biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh

xạ đó

c Giả sử Α là một phạm trù nào đó và A là một vật cố định trong Α Ta

được hàm tử hiệp biến

MA: Α –––––→ Sbằng cách đặt MA(X) = Mor(A,X) với vật X bất kỳ thuộc Α Nếu ϕ: X → X’

sao cho MB(Y) = Mor(Y,B) Nếu Ψ: Y’ → Y là cấu xạ thì ta lấy

1.2 MÔĐUN NỘI XẠ

Khái niệm môđun nội xạ được R Baer phát hiện vào năm 1940 Từ đóđến nay lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụquan trọng trong mọi ngành của đại số học

1.2.1 Định nghĩa Một R- môđun E được gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính

chất mở rộng phổ dụng sau đây: Với các R – đồng cấu f: N →M và g: N → E, trong đó f là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R- đồng cấu h:

M → E sao cho g = h0f, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng trên khớp) làgiao hoán

Chỉ với định nghĩa trên ta chưa có thể đưa ra những ví dụ đơn giản vềmôđun nội xạ, tuy vậy ta có thể thấy được sự tồn tại của môđun nội xạ thôngqua những tính chất cơ bản dưới đây.

1.2.2 Mệnh đề Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom R (*,E):

M R → M R là hàm tử khớp.

Chứng minh Giả sử E là một R- môđun nội xạ Vì HomR(*,E) là một hàm

tử nghịch biến, khớp trái , nên để chứng minh hàm tử này là khớp ta chỉcần chỉ ra rằng, nếu f: N→ M là một R- đơn cấu thì HomR(f,E):HomR(M,E) → HomR(N,E) là toàn cấu Tức là ta phải chứng minh rằng,nếu φ ∈ HomR(N,E) thì luôn tồn tại ψ ∈ HomR(M,E) sao cho

φ = HomR(f,E)(ψ) = ψ o f Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa tính nội xạ

của môđun E Chứng minh chiều ngược lại là đơn giản „

1.2.3 Mệnh đề Cho (E i ) i∈I là một họ các R- môđun Khi đó tích trực tiếp

Πi∈I E i , là nội xạ khi và chỉ khi E i , ∀i ∈ I là nội xạ.

Chứng minh Đặt E = Πi ∈ IEi , với mọi i thuộc I ta ký hiệu pi: E →Ei là toàncấu chính tắc và ji: Ei → E là đơn cấu chính tắc xác định bởi tích trực tiếp

E Giả sử E là nội xạ Ta sẽ chứng minh rằng Ei, ∀i∈ I, là nội xạ Thật vậy,cho f: N → M là R- đơn cấu và g: N → Ei là một R – đồng cấu tùy ý Vì

E là nội xạ và ji o g là R- đồng cấu từ N vào E, nên tồn tại một mở rộng h:

M → E của ji o g để ji o g= h o f Đặt k = pi o h: M → Ei là một R- đồngcấu Dễ thấy rằng pi o ji = 1Ei, do đó ta suy ra:

k o f = pi o h o f = pi o ji o g = gđiều này chứng tỏ Ei mà một R- môđun nội xạ

Ngược lại, giả sử Ei là nội xạ với mọi i ∈ I Cho f: N → M là R- đơncấu và φ: N →E là một R- đồng cấu tùy ý Khi đó tồn tại một mở rộng:

ϕ : M→Ei cho R- đồng cấu pi o φ : N →Ei Bây giờ ta xây dựng

một đồng cấu ψ: M → E được xác định bởi

ψ(x) = (ψi(x))i ∈ I, ∀x ∈M

Rõ ràng ψ là một R- đồng cấu và với mọi y ∈ N ta có:

ψ o f(y) = (ψi(f(y))i ∈ I = (pi(φ(y)))i ∈ I = φ(y)

Vậy E là nội xạ „

1.2.4 Chú ý Khi tập chỉ số I là hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp

trùng nhau nên Mệnh đề 1.2.3 vẫn còn đúng cho tổng trực tiếp ⊕i ∈ IEi trongtrường hợp này Tuy nhiên, khi tập chỉ số I là vô hạn thì điều kiện Ei là nội xạvới mọi i ∈ I nói chung không suy ra tổng trực tiếp ⊕i ∈ IEi là nội xạ

Sau đây ta chứng minh một tiêu chuẩn đơn giản nhưng rất hữu hiệu đểkiểm tra tính nội xạ của một mô đun

1.2.5 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi

mỗi R- đồng cấu I →E từ một iđêan I của R (xem như R- môđun) vào E luôn được mở rộng thành một đồng cấu R →E.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa của môđun nội

xạ Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử f: N →M là một R- đơn cấu và g: N

→E Khi đó không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng N làmột môđun con của M Ký hiệu Ω là tập hợp những cặp (A,φ), trong đó A làmột R-môđun thỏa mãn tính chất N ⊆ A ⊆ M và φ: A → E là một mở rộngcủa g Ta định nghĩa trên Ω một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ như sau Cho (A,φ),

(B,ψ) là hai phần tử của Ω, ta xác định (A,φ) ≤ (B,ψ) nếu A ⊆ B và ψ là một

mở rộng của φ Vì (N,g) ∈Ω nên Ω≠∅ Hơn nữa, cho một xích:

(A1,φ1) ≤ (A2,φ2) ≤ … ≤ (An,φn)≤

các phần tử trong Ω Xét cặp (A,φ) trong đó A = n 1

∞

=

U Ai và φ là ánh xạ A → Eđược xác định bởi: với mỗi x ∈ A tồn tại một số tự nhiên n để x ∈An, khi đó

ta đặt φ(x) = φn(x) Rõ ràng A là một R- môđun con của M chứa An, ∀n và φ

là R- đồng cấu mở rộng của φn, ∀n Vậy theo bổ đề Kuratowski-Zorn luôn tồn

tại một phần tử cực đại (B,ψ) ∈Ω Khi đó định lý sẽ được chứng minh nếu ta

chỉ ra rằng B = M Thật vậy, giả sử ngược lại B ≠M, tức tồn tại x ∈M\B Xéttập hợp con của R

I = ∈ a R \ ax B ∈

Dễ kiểm tra thấy I là một iđêan Tiếp theo ta xây dựng một ánh xạ h: I →E xác

định bởi h(a) = ψ(a,x), ∀a ∈ I Rõ ràng h là một R- đồng cấu Khi đó theo giả

thiết tồn tại một R- đồng cấu π: R →E sao cho h = π o j, trong đó j là phépnhúng tự nhiên iđêan I vào R Bây giờ ta có thể định nghĩa được một tương ứng:

φ: B + Rx → E,xác định bởi:

φ(y+ax) = ψ(y) + π(a) , ∀y ∈ B, ∀a ∈ RNếu y + ax = 0, suy ra ax ∈ B, tức a ∈ I Khi đó:

ψ(y) + π(a) = -ψ(ax) + π(j(a)) = -h(a) + h(a) = 0Điều này chứng tỏ φ là một ánh xạ và suy ra φ cũng là một R- đồng cấu thỏamãn tính chất φ(x) = ψ(x) = h(x), ∀x ∈ N, vì N ⊆ B Vậy cặp (B+Rx,φ) ∈ Ω.Mặt khác, rõ ràng B ⊂ B+Rx nên (B,ψ) < (B+Rx,φ) Điều này mâu thuẫn với

tính cực đại của (B,ψ) trong Ω và định lý được chứng minh „

Trước khi phát biểu một đặc trưng khác của môđun nội xạ ta cần khái

niệm sau Một R-môđun M được gọi là xyclic, nếu tồn tại một iđêan I của R

sao cho ta có đẳng cấu R- môđun M ≅ R/I

1.2.6 Định lý Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp ngắn

0 → E → M → M’ → 0 các R- môđun với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra Chứng minh Ta sẽ chứng minh một điều kiện mạnh hơn điều kiện cần

của Định lý 1.2.6 như sau: Nếu E là nội xạ thì mọi dãy khớp ngắn

f

0  →  E → g

M  → M '  → 0 đều chẻ ra Thật vậy, do E nội xạ, tồn tại mởrộng h: M  → E của ánh xạ đồng nhất 1E , tức h o f = 1E và dãy khớp trên làchẻ ra

Ngược lại, giả sử I là iđêan của R và α: I → E là một R- đồng cấu Kýhiệu j: I → R là phép nhúng tự nhiên I vào R và p: R → R/I là phép chiếu tựnhiên Xét R-môđun R = (E ⊕ R)/W, trong đó W = { (α( )a , a | a I − ) ∈ } Khi đó

ta có thể dễ dàng kiểm tra được các tương ứng β: b a (0,b) + W, ∀b ∈ R;

j*: x a ( )x,0 + W, ∀x ∈E và p*: (x,b) + Wa p b( ) , ∀x ∈E, ∀b ∈R là những đồng cấu, hơn nữa chúng làm cho biểu đồ sau là giao hoán với các dòng lànhững dãy khớp ngắn

tỏ γ là một mở rộng của j và khi đó điều kiện đủ của định lý được chứng minhnhờ tiêu chuẩn Baer „

Môđun nội xạ có quan hệ đặc biệt chặt chẽ với một lớp môđun gọi làmôđun chia được mà ta sẽ đưa ra trong định nghĩa sau đây

1.2.7 Định nghĩa (i) Một R- môđun M được gọi là môđun chia được, nếu

với mọi phần tử (không là ước của không) a ∈ R ta luôn có:

1.2.9 Mệnh đề Mọi môđun nội xạ là chia được.

Chứng minh Giả sử E là một R- môđun nội xạ Cho x ∈ E tùy ý và a∈R

là một phần tử không là ước của không Xét tương ứng f: Ra → E xác địnhbởi f(ra) = rx, ∀r ∈ R Vì a không là ước của không, nếu r1a = r2a thì r1 = r2 ,

do đó f(r1a) = f(r2a) Vậy f xác định một ánh xạ, hơn nữa là một R- đồng cấu.Theo tiêu chuẩn Bear, tồn tại một mở rộng g: R → E của f Khi đó ta có:

x = f(a) = g(a) = ag(1) ∈ aE

Vậy E là chia được „

Nói chung mệnh đề ngược của Mệnh đề 1.2.9 là không đúng trongtrường hợp tổng quát, tuy nhiên nó vẫn còn đúng đối với một vài vành cụ thể

1.2.10 Định lý Giả sử R là một miền iđêan chính Khi đó một R- môđun E là

nội xạ khi và chỉ khi E là chia được.

Chứng minh Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên nhờ mệnh đề

1.2.9 Ngược lại, giả sử E là chia được Theo tiêu chuẩn Baer ta chỉ cần chứngminh rằng mọi R- đồng cấu f: I →E, trong đó I ≠ 0 là một iđêan của R, luôn

có một mở rộng g: R → E Thật vậy, vì R là miền iđêan chính nên tồn tại một

phần tử không là ước của không a ∈ R để I = Ra Đặt x = f(a) ∈ E Do E làmôđun chia được, tồn tại y ∈ E sao cho x = ay Bây giờ ta xây dựng một ánh

xạ g: R → E xác định bởi g(b) = by, ∀b ∈ R Rõ ràng g là R- đồng cấu Hơnnữa ta được: g(ba) = bay = bx =bf(a) = f(ba), ∀b∈ R

Vậy g là một nửa mở rộng của f „

Vì vành các số nguyên Z là miền iđêan chính nên Định lý 1.2.10 cho ta

hệ quả trực tiếp sau

1.2.11 Hệ quả Một nhóm Abel là nội xạ khi và chỉ khi nó là chia được.

Để chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm nội xạ ta phải biết trước hếtrằng lớp các môđun nội xạ là đủ nhiều trong phạm trù các R- môđun

1.2.12 Định lý Mỗi môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một

Khi đó tồn tại một toàn cấu nhóm f: F → G, tức G ≅ F/K, trong đó K=Ker f

Từ đây suy ra G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm F’/K Do nhóm cộngcác số hữu tỉ Q là chia được nên F’/K là chia được Vậy theo Hệ quả 1.2.11nhóm Abel G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm Abel nội xạ F’/K „

Cho G là một nhóm Abel Khi đó HomZ(R,G) là một nhóm Abel Hơnnữa để dễ kiểm tra thấy rằng nhóm này có cấu trúc R- môđun nhờ phép nhân với

vô hướng như sau: ∀a ∈ R, ∀f ∈ HomZ(R,G) xác định af ∈ HomZ(R,G) bởi:

(af)(b) = f(ab), ∀b ∈ R

1.2.14 Bổ đề Cho G là một nhóm Abel nội xạ Khi đó Hom Z (R,G) là môđun nội xạ.

R-Chứng minh Dựa vào mệnh đề 1.2.1 chỉ cần chứng minh hàm tử

nghịch biến HomR(*,HomZ(R,G)) là khớp Khi đó như trong chứng minh củaMệnh đề 1.2.1 chỉ cần chỉ ra nếu f: N → M là một R- đơn cấu thì:

f*: HomR(M, HomZ(R,G)) → HomR(N,HomZ(R,G))

là một R- toàn cấu

Vì R⊕RN ≅ N, R⊕RM ≅ M nên có các đẳng cấu:

HomZ(N,G) ≅ HomZ(R⊕RN,G) ≅ HomZ(N,HomZ(R,G)),

HomZ(M,G) ≅ HomZ(R⊕RM,G) ≅ HomZ(M,HomZ(R,G))

Khi đó hàm tử của HomR(*, HomZ(R,G)) cho phép ta suy ra biểu đồ sau làgiao hoán

Hom M, Hom R,G → Hom N, Hom R,G

Theo giả thiết G là nhóm Abel nội xạ HomZ(f,G) là một R- toàn cấu.Vậy dựa vào tính giao hoán của biểu đồ với các ánh xạ đứng là những đẳngcấu ta suy ra f* cũng là một R – toàn cấu và bổ đề được chứng minh „

Chứng minh Định lý 1.2.12 Cho M là một R- môđun Xem M như là một

nhóm Abel Khi đó theo Bổ đề 1.2.13 tồn tại một đơn cấu nhóm j: M → G,trong đó G là một nhóm Abel nội xạ Vì hàm tử Hom(R,*) khớp trái, suy raánh xạ j*=HomZ(R,j): HomZ(R,M) → HomZ(R,G) là một Z- đơn cấu với

HomZ(R,G) là R- nội xạ Mặt khỏc hai mụđun trờn cú cấu trỳc R- mụđun vàkiểm tra được rằng khi đú f* cũng R- đơn cấu Bõy giờ xột ỏnh xạ φ: M→HomZ(R,M) xỏc định bởi (φ(x))(a) = ax, ∀x ∈ M, ∀a ∈ R Rừ ràng φ là mộtR- đồng cấu Hơn nữa, nếu φ(x) = 0 với x ∈ M nào đú thỡ x = (φ(x))(1) = 0,tức φ là đơn cấu Vậy: f* o φ: M → HomZ(R,G) là phộp nhỳng R- mụđun Mvào một R- mụđun nội xạ Định lý được chứng minh „

1.2.15 Chỳ ý Cho M là một R- mụđun tựy ý, theo Định lý 1.2.12 tồn tại đơn

cấu j: M → E, với E là một R- mụđun nội xạ Khi đú cú thể chứng minh đượcrằng tồn tại một mở rộng E’ của M (tức E’ là R- mụđun và M ⊆E’) và một R-đẳng cấu f: E’ → E sao cho f(x) = j(x), ∀x ∈ M Hiển nhiờn E’ cũng làmụđun nội xạ Vậy Định lý 1.2.12 cú thể phỏt biểu lại dưới dạng hay được sửdụng như sau

Phỏt biểu lại Định lý 1.2.12 Mỗi R- mụđun luụn cú ớt nhất một mở rộng

nội xạ.

CHƯƠNG 2

SỰ PHÂN LOẠI CỦA CÁC VỊ NHểM THEO C-NỘI XẠ2.1 Sự phân loại của một vị nhóm theo tính chất

của các iđêan phải C- nội xạ

Trước hết, xin nhắc lại một số khỏi niệm và kết quả cơ bản liờn quanđến tỏc động trờn một vị nhúm

éịnh nghĩa tỏc động: Một S-tỏc động (phải) hay S-hệ thống là một tập

hợp A cựng với một hàm λ: A ì S → A, được gọi là tỏc động của A trờn S,

sao cho đối với x ∈A và s, t ∈ S (bằng cỏch ký hiệu λ(x,s) bởi xs) thỡ (xs)t =x(st) Nếu S là một vị nhúm với đơn vị là e thỡ cần thỏa món điều kiện xe = e

Trong chương này, ta sẽ ký hiệu S là một vị nhúm, AS hay đơn giản A

là một S - tỏc động đơn nguyờn phải (nghĩa là ae = a với mọi a∈A,trong đú e

là đơn vị của S)

2.1.1.Định nghĩa (i)Giả sử A là một S-tác động.Khi đó A được gọi là nội xạ

nếu với một S – tác động tùy ý N, một tác động con tùy ý M của N, và mọiđồng cấu f ∈ Hom (M,A),tồn tại một đồng cấu g∈ Hom (N,A), mà nó là mởrộng của f, nghĩa là g |M=f

A

(ii) Trong biểu đồ (*), nếu M hữu hạn sinh thì A được gọi là F – nội xạ, nếu

N là S và M là một iđêan phải (tương ứng: iđêan chính, hữu hạn sinh) của S

thì A được gọi là W - nội xạ (tương ứng PW – nội xạ hay FW - nội xạ).

Ta có mối liên hệ giữa các loại nội xạ trên như sau:

F – nội xạNội xạ W – nội xạ FW – nội xạ → PW – nội xạChú ý rằng sự kéo theo ở đây là ngặt (Mũi tên ngược lại là không đúng)

2.1.2.Định nghĩa Một S- tác động A được gọi là C- nội xạ nếu M là xyclic

trong biểu đồ (*)

2.1.3.Chú ý Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 trực tiếp suy ra:

(i) Nếu A là S – tác động F- nội xạ thì A là S- tác động C- nội xạ

(ii) Nếu A là một tác động C-nội xạ thì A là S-tác động PW- nội xạ nghĩa là

ta có sơ đồ:

F - nội xạ → C - nội xạ → PW - nội xạ

Trong phần tiếp theo , chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của cáctác động C- nội xạ, và chứng tỏ rằng tính C- nội xạ là thực sự nằm giữa tínhF- nội xạ và PW- nội xạ Muốn vậy , cần đến một số bổ đề đã dược chứngminh trong [4]

∃g

2.1.4 Bổ đề (i) Giả thiết rằng một S- tác động A chứa zero Thế thì A là nội

xạ nếu và chỉ nếu nó là nội xạ tương đối với tất cả bao gồm các S- tác động xyclic.

(ii)S- tác động là PW- nội xạ nếu và chỉ nếu S là vị nhóm chính quy (iii)Nếu một iđêan phải hữu hạn sinh K ⊆ S là FW- nội xạ thì K được sinh bởi một lũy đẳng.

(iv)Mọi iđêan phải chính của S nội xạ nếu và chỉ nếu S là vị nhóm tự nội xạ chính quy.

Từ đó nhận được các kết quả sau

2.1.5 Mệnh đề.

(i) Mỗi S- tác động C- nội xạ chứa một zero.

(ii)Mỗi S- tác động C- nội xạ là nội xạ.

Vì mỗi S- nội xạ phân tích được một cách duy nhất thành một đối tích,

mà chúng là hợp rời của các tác động con không phân tích được của nó nên tanhận được kết quả sau

2.1.6 Hệ quả Một S- tác động A là C- nội xạ nếu và chỉ nếu A chứa một

zero, và đối với tác động con xyclic tùy ý K của một S- tác động không phân tích được bất kỳ T,một đồng cấu bất kỳ f ∈ Hom(K,A), tồn tại một đồng cấu

h∈hom(T,A) mở rộng f.

Chúng ta biết rằng, tích của một họ các S- tác động nội xạ {Q | i Ii ∈ } làmột nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi Qi, i I∈ nội xạ Nhưng điều đó không đúngtrong trường hợp đối tích.Kết quả sau đây về tính C- nội xạ có thể chứngminh trực tiếp

A

A là C- nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi A i (i∈I) là C-nội xạ.