Tài liệu VỀ VÀNH HẦU NIL - NỘI XẠ YẾU potx

Trong bài báo này, chúng tôi bước đầu đưa ra một số đặc trưng và tính chất của vành AWN-nội xạ, mà vành này là một sự mở rộng thực sự của vành Wnil-nội xạ [8]; đồng thời, khảo sát về tín

VỀ VÀNH HẦU NIL-NỘI XẠ YẾU

Trương Công Quỳnh1, Hoàng Thị Hà2

1Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

2Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị

Tóm tắt.ChoRlà một vành VànhR được gọi làhầu Wnil-nội xạ phải(viết tắt

là AWN-nội xạ), nếu với bất kỳ0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0

sao choan 6= 0vàlr(an) = Ran⊕ Xan vớiXan ≤ RR Trong bài báo này, chúng tôi bước đầu đưa ra một số đặc trưng và tính chất của vành AWN-nội xạ, mà vành này là một sự mở rộng thực sự của vành Wnil-nội xạ ([8]); đồng thời, khảo sát về tính chính quy của vành AWN-nội xạ phải và đưa ra một số điều kiện để một vành AWN-nội xạ phải là tự nội xạ phải

1 Giới thiệu

Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị

1 6= 0 và mọi R−môđun được xét là môđun unita Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài viết, nếu không có gì nhầm lẫn, khi viết môđun M tức là M là một môđun phải Chúng

ta dùng ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của môđun

M Nếu A là môđun con cực đại (t.ư., hạng tử trực tiếp) của môđun M , chúng ta viết

A ≤maxM (t.ư.,A ≤⊕ M ) Căn Jacobson, đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M ), Soc(M ); đặc biệt, J (R), Sr(R), Sl(R) được dùng ký hiệu cho căn Jacobson của R, đế của RR và RR Ta ký hiệu: tập hợp tất cả các phần tử lũy linh được ký hiệu

là N (R), căn nguyên tố của R là P (R), iđêan suy biến phải (t.ư., trái) của vành R là

Zr(R) (t.ư., Zl(R))

Cho M và N là các R−môđun phải Đồng cấu từ M vào N được hiểu là R−đồng cấu phải từ M vào N Cho tập ∅ 6= X ⊆ M và tập A ⊆ R Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu rR(X) và được xác định như sau

rR(X) = {r ∈ R | xr = 0(∀x ∈ X)}

Linh hóa tử trái của A trong M , ký hiệu là lM(A) được xác định tương tự Khi không

sợ nhầm lẫn, chúng ta có thể viết gọn r(X) thay vì rR(X) Ta luôn có rR(X) là một iđêan phải của R, khi X là một môđun con của M thì rR(X) là một iđêan của R Năm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng mang tên ông để kiểm tra tính nội xạ của môđun như sau: R−môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi R-đồng cấu phải từ một iđêan phải bất kỳ I vào Q đều mở rộng thành một R-đồng cấu phải

từ R vào Q

33

Từ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, có nhiều hướng phát triển của mở rộng nội xạ và xuất hiện nhiều khái niệm mở rộng tính nội xạ như P-nội xạ ([5]), m-nội xạ ([6]), AP-nội xạ ([7]), AM-nội xạ ([10]), GP-nội xạ ([12]), AGP-nội xạ ([7]) Chẳng hạn, trong [5], W K Nicholson và M F Yousif đưa ra khái niệm môđun và vành P-nội xạ vào năm 1995 Môđun M được gọi là P −nội xạ nếu cho mỗi a ∈ R và mỗi đồng cấu

f : aR → M được mở rộng thành một đồng cấu từ R vào M , điều này tương đương với: cho mỗi a ∈ R thì lMrR(a) = M a MR được gọi là AP-nội xạ nếu với a ∈ R bất

kỳ, thì lMrR(a) = M a ⊕ Xa, trong đó Xa ≤ SM với S = End(MR) MR được gọi là GP-nội xạ nếu với a ∈ R bất kỳ, thì tồn tại số nguyên n = n(a) > 0, an 6= 0 sao cho

lMrR(an) = M an Và ta xem tính AP-nội xạ ( t.ư AM-nội xạ) là sự "hầu hóa" của tính P-nội xạ, còn tính GP-nội xạ là sự "yếu hóa" của tính P-nội xạ

Năm 2007, Wei và Chen ([8]) đã đưa ra một số trường hợp tổng quát của vành P-nội xạ, đầu tiên là vành nil-nội xạ, theo đó với MR, S = End(MR) thì M là nil-nội

xạ nếu với mỗi a ∈ N (R), lMrR(a) = M a như các S−môđun; thứ hai là khái niệm về tính Wnil-nội xạ là sự "yếu hóa" của tính nil-nội xạ, theo đó MR được gọi là Wnil-nội

xạ nếu với mỗi 0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0 sao cho an 6= 0 và

lMrR(an) = M an như các S−môđun

Năm 2011, Yu-e và Xianneng ([14]) đã đưa ra một sự tổng quát hóa thực sự của khái niệm vành nil-nội xạ đó là vành hầu nil-nội xạ (viết tắt AN-nội xạ), theo đó với

MR, S = End(MR) thì M là AN-nội xạ nếu với mỗi a ∈ N (R), tồn tại một S−môđun con Xa của M sao cho lMrR(a) = M a ⊕ Xa như các S−môđun

Tiếp tục xu hướng "hầu hóa" tính Wnil-nội xạ, chúng tôi đưa ra khái niệm vành hầu nil-nội xạ yếu, viết tắt AWN-nội xạ Trong bài báo này, chúng tôi thu được một

số đặc trưng và tính chất bước đầu của vành này Thật ra, việc nghiên cứu vành được gọi là AWN-nội xạ được xuất phát khi nghiên cứu tổng quan các vấn đề liên quan đến vành AN-nội xạ và vành Wnil-nội xạ, từ đó nhận thấy việc cấp thiết nhất là tìm

ra được ví dụ phân biệt các lớp vành và các tính chất cơ bản của nó Tuy nhiên sau một thời gian, truy cập trên Internet (không phải là tạp chí), hai tác giả người Iraq

là Raida D.M và Akram S.M đã đưa ra khoảng 1 trang giấy về định nghĩa của vành này mà không cho thêm bất kỳ một thông tin nào

2 Kết quả

Định nghĩa 2.1 Cho vành R, M là một R−môđun phải, S = End(MR) Môđun M được gọi là hầu Wnil-nội xạ (viết tắt là AWN-nội xạ), nếu với bất kỳ 0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0 sao cho an 6= 0 và lMrR(an) = M an⊕ Xan như là các S−môđun Nếu RR là hầu Wnil-nội xạ thì ta nói R là hầu Wnil-nội xạ phải Khái niệm vành AWN-nội xạ trái được định nghĩa một cách tương tự

Trong mỗi trường hợp S−môđun con Xk của M là không duy nhất, tuy nhiên khi chọn Xk cho mỗi k ∈ N (R) và ta xét S−môđun b(M ) =P

kXk Ta gọi b(M ) là chỉ số chặn (index bound) của M và tập hợp các Xk là một tập hợp chỉ số của M

Ví dụ 2.2 1) Đặc trưng của vành AWN-nội xạ được thể hiện trên các phần tử lũy linh khác không của vành nên nếu R là một vành có N (R) = (0) (tức là vành thu gọn) thì R là một vành AWN-nội xạ phải cũng như trái Chẳng hạn các vành không có ước

của không như Z, Q, R, Z2, Z3, Z5, là các vành AWN-nội xạ Ta biết rằng vành Z không nội xạ, nên ta thấy rằng một vành AWN-nội xạ thì không nhất thiết là nội xạ (2) Từ định nghĩa ta thấy ngay, mỗi vành AN-nội xạ phải là một vành AWN-nội xạ phải Tuy nhiên, chúng tôi chưa đưa ra được ví dụ cho thấy rằng lớp các vành AN-nội

xạ là con thực sự của lớp vành AWN-nội xạ

(3) Mỗi vành AGP-nội xạ phải (trái) là vành AWN-nội xạ phải (trái) Nhắc lại, một R−môđun MR được gọi là AGP-nội xạ nếu với bất kỳ 0 6= a ∈ R tồn tại số

tự nhiên n = n(a) sao cho an 6= 0 và lMrR(an) = M an⊕ Xan như là các S−môđun, trong đó S = End(MR) Mỗi vành AP-nội xạ phải là AGP-nội xạ phải, do đó mỗi vành AGP-nội xạ phải cũng là AWN-nội xạ phải

(4) Từ định nghĩa ta thấy mỗi vành Wnil-nội xạ phải ([8]) là AWN-nội xạ phải Sau đây là một ví dụ cho thấy: khái niệm vành AWN-nội xạ là mở rộng thực sự của khái niệm vành Wnil-nội xạ trong [16]

Ví dụ 2.3 Cho Q =

∞

Q

i=1

Fi với mỗi Fi = Z4, i ∈ N là tích của các vành Z4 Mỗi phần

tử trong Q có dạng a = (a1, a2, , ak, ), với các ai ∈ Fi, i ∈ N Khi đó Q với các phép toán trong Q là cộng và nhân theo từng thành phần, thì Q là một vành giao hoán

có đơn vị

Cho R là một vành con của Q được sinh bởi

∞

L

i=1

2Fi và 1Q, khi đó

R =

∞

M

i=1

2Fi + Z1Q,

và mỗi phần tử a của R có dạng: a = x + n1Q = (x1 + n, x2 + n, , xk + n), với

xi ∈ 2Z4 = {0, 2}, i ∈ N, n ∈ {0, 1, 2, 3} và 0R= 0Q, 1R= 1Q

Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra: với bất kỳ a ∈ R, tồn tại Xa ≤ R sao cho lr(a) = Ra⊕Xanhư các R-môđun (trái), như vậy R là vành AP-nội xạ Giả sử a = x+n1Q∈ R với x ∈

∞

L

i=1

2Fi và n ∈ {0, 1, 2, 3}

? Khi n = 1 hoặc n = 3 thì a khả nghịch trong R

? Khi n = 2: thì a ∈

∞

L

i=1

2Fi+ 2Z1Q thì r(a) =

∞

L

i=1

2Fi+ 2Z1Q và tính toán tương

tự ta cũng có lr(a) =

∞

L

i=1

2Fi+ 2Z1Q và Ra = {0Q; a} Do đó ta có:

lr(a) = r(a) =

∞

M

i=1

2Fi+ 2Z1Q =

∞

M

i=1

2Fi⊕ Ra

vì thế ta chọn Xa=

∞

L

i=1

2Fi;

? Khi n = 0: thì a ∈

i=1

2Fi, thực hiện tính toán như trên ta có Ra = {0Q; a}, lr(a) = r(a) =

∞

L

i=1

2Fi + 2Z1Q Vì thế Ra ≤⊕

∞

L

i=1

2Fi, tức là

∞

L

i=1

2Fi = Ra ⊕ Ya với

Ya ≤ R nào đó, và lr(a) = r(a) =

∞

L

i=1

2Fi ⊕ 2Z1Q = Ra ⊕ Ya⊕ 2Z1Q, vì thế ta chọn

Xa = Ya⊕ 2Z1Q

Tập N (R) 6= {0R} vì phần tử a = x + 2.1R với x ∈

∞

L

i=1

2Fi và x 6= 2.1R, phần tử

a thỏa mãn a2 = 0 Như vậy, R là vành AP-nội xạ và rõ ràng chỉ số chặn của R là b(R) =

∞

L

i=1

2Fi

 + 2Z1Q 6= (0), nên R là vành AWN-nội xạ Để ý trong trường hợp cuối cùng thì a2 = 0 và lr(a) 6= Ra nên R không là vành Wnil-nội xạ

Tiếp theo là một ví dụ cho thấy một vành là AWN-nội xạ phải thì không nhất thiết là AWN-nội xạ trái

Ví dụ 2.4 Cho Z2 = {0, 1} là một trường có hai phần tử và N là tập các số tự nhiên Cho A là vành con của ZN

2 gồm các phần tử có dạng (a1, a2, , an, a, a, ), với a1, , an, a ∈ Z2, n ∈ N, tức là A là hợp của đơn vị của ZN với iđêan của nó là Z(N)2 Khi đó A là một vành giao hoán (với các phép toán được cảm sinh từ ZN) với mỗi phần tử là lũy đẳng

Nếu k ∈ Z2 và (a1, , an, a, a ) ∈ A, ta xác định tích:

k · (a1, , an, a, a, ) := ka, thì ta có thể xem Z2 là một A−môđun phải Và rõ ràng Z2 là môđun trái trên chính

nó thì Z2 là một (Z2, A)−song môđun Vì thế ta có thể lập một vành ma trận tam giác trên như sau:

R =



Z2 Z2

 Tính toán cụ thể, ta được R là vành P-nội xạ phải, vì thế R là vành AWN-nội xạ với b(R) = (0) (tức là R là vành Wnil-nội xạ phải)

Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng R không phải là vành Wnil-nội xạ trái cũng như không AWN-nội xạ trái Thật vậy, với σ =  0 1

0 0

 , thì σ2 = 0 và tính toán cụ thể

ta có: Rσ = 0 Z2

0 0

 , trong khi đó l(σ) = R 0 0

0 1

 và

rl(σ) = r( 0 0

0 1

 ) =



Z2 Z2



= 1 0

0 0



R 6= σR

Hơn nữa, để ý rằng rl(σ) =



Z2 Z2



= 0 Z2

0 x

 +



Z2 0

0 0



= σR+



Z2 0

0 0

 , tuy nhiên



Z2 0

0 0

 không phải là một iđêan phải của R

Bổ đề 2.5 Cho c ∈ C(R), với C(R) là tâm của vành R Khi đó, nếu c là một phần

tử chính quy trong R thì nó cũng chính quy trong C(R)

Chứng minh Cho c ∈ C(R) và c chính quy trong R, tức là tồn tại s ∈ R sao cho c = csc Đặt d = scs ∈ R, khi đó cdc = c(scs)c = csc Vì c ∈ C(R) nên c = csc = c2s = sc2,

do đó ta sẽ chỉ ra r(c) = r(c2), thật vậy, rõ ràng r(c) ≤ r(c2); ngược lại, nếu u ∈ r(c2) thì

cu = cu2s = 0, do đó r(c2) ≤ r(c) Hơn nữa ta có d ∈ C(R), thật vậy, với t ∈ R bất kỳ,

vì c ∈ C(R) ta có c2(td−dt) = tc2d−c2dt = t(c2s)cs−(c2s)cst = tcsc−csct = tc−ct = 0

Vì thế td − dt ∈ r(c2) = r(c), do đó 0 = c(td − dt) = ctscs − cscst = c2(ts2− s2t), suy

ra ts2 − s2t ∈ r(c2) = r(c) Do vậy 0 = c(ts2− s2t) = tscs − scst = td − dt, điều này

có nghĩa d ∈ C(R) Vậy c chính quy trong C(R).

Định lý 2.6 Nếu R là vành AWN-nội xạ phải không suy biến phải thì C(R) là n−chính quy

Chứng minh Theo giả thiết, R có vành thương phải cực đại suy biến S (xem [2, Corollary 2.3.1]) Khi đó S là vành chính quy nên C(S) chính quy Với 0 6= a ∈

N (C(R)) ⊆ N (C(S)), tồn tại s ∈ S sao cho a = asa = a2s = sa2 (vì a ∈ C(R) ⊆ C(S)) Cũng từ a ∈ C(R) nên l(a) = r(a) và l(an) = r(an) với bất kỳ số nguyên n > 0 Hơn nữa, ta còn chỉ ra được rR(an) = rR(a) và lR(a) = lR(an), với bất kỳ n > 0 Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu tiên, thật vậy, rõ ràng với mọi n > 1 ta có r(a) ≤ r(an); ngược lại, với bất kỳ t ∈ r(an), tức là ant = 0, vì a = sa2 nên at = sa2t Nếu n = 2 thì at = sa2t = 0, hay t ∈ r(a), còn nếu n > 2 thì bằng quy nạp ta có

t ∈ r(a) Vậy r(an) = r(a) = l(a) = l(an) với bất kỳ số nguyên n > 0 Bây giờ, vì

a 6= 0 và a = a2s nên a2 6= 0, do đó tồn tại m > 0 sao cho a2m 6= 0 Theo giả thiết R

là vành AWN-nội xạ phải ta có lr(a2m) = Ra2m⊕ Xa2m với Xa2m ≤ RR nào đó Vì r(a2m−1) = r(a2m) = r(a)
nên

a2m−1∈ lr(a2m−1) = lr(a2m) = Ra2m⊕ Xa2m, suy ra a2m−1 = da2m+ x với d ∈ R, x ∈ Xa2m Vì thế a2m= ada2m−1+ ax, do đó ax = (1 − ad)a2m∈ Ra2m∩ Xa2m = 0 Khi đó, (1 − ad)a2m= 0, suy ra 1 − ad ∈ l(a2m) = l(a),

do vậy a = ada, tức là a là phần tử chính quy của R Theo Bổ đề 2.5, ta có a chính quy trong C(R) Vậy C(R) là n−chính quy.

Định lý 2.7 Nếu R là một vành AWN-nội xạ phải và nửa nguyên tố, thì tâm C(R)

là n−chính quy

Chứng minh Với bất kỳ 0 6= a ∈ N (C(R)), thì ta có Ra ∩ l(a) = 0 Thật vậy, vì a ∈ C(R) nên Ra và l(a) là hai iđêan của R, và Ra.l(a) = 0, do đó [Ra∩l(a)]2 ≤ Ra.l(a) = 0,

mà R là vành nửa nguyên tố nên Ra ∩ l(a) = 0 Do a ∈ C(R) nên l(a) = r(a) và l(am) = r(am), với mọi số nguyên m > 1 Hơn nữa ta sẽ chỉ ra l(am) = l(a) và r(a) = r(am) Ta chỉ cần chỉ ra đẳng thức đầu tiên, thật vậy ta luôn có l(a) ≤ l(am); còn với t ∈ l(am), tức là tam = 0, hay tam−1a = 0, suy ra tam−1 ∈ Ra ∩ l(a) = 0 Nếu m−1 = 0 thì t ∈ l(a), nếu không ta tiếp tục lý luận như trên ta có tam−2 ∈ Ra∩l(a) = 0

bất kỳ số nguyên m > 0 Để ý rằng a2 6= 0 vì Ra ∩ l(a) = 0 và a 6= 0 Từ đây ta lập luận hoàn toàn giống như phần chứng minh của Định lý 2.6 ta cũng có được C(R) là n−chính quy 

Bổ đề 2.8 Cho a, b là các phần tử của một vành R Nếu a − aba là chính quy, thì a cũng vậy

Nhắc lại rằng, vành R được gọi là NPP phải nếu với a ∈ N (R) bất kỳ ta có r(a) = eR, e2 = e ∈ R

Định lý 2.9 Cho R là một vành Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là một vành n−chính quy;

(ii) R là NPP phải và AWN-nội xạ phải;

Chứng minh (ii) ⇒ (i): Theo [8, Theorem 2.18], nếu R là vành n−chính quy thì R

là NPP phải và nil-nội xạ phải nên là AWN-nội xạ phải

(ii) ⇒ (i): Cho 0 6= a ∈ N (R), ta cần chứng minh a là phần tử (von Neumann chính quy) của R Từ R là AWN-nội xạ phải, tồn tại một số nguyên dương n và X ≤ RR sao cho an 6= 0 và lr(an) = Ran⊕ X Mặt khác, vì R là NPP phải nên r(an) = eR với e2 = e ∈ R nào đó Vì thế lr(an) = l(eR) = R(1 − e), mà Ran ≤⊕ lr(an) nên

Ran≤⊕

RR, tức là tồn tại một iđêan trái Y của R sao cho RR = Ran⊕ Y Khi đó, ta khẳng định anlà chính quy Thật vậy, vìRR = Ran⊕Y nên ta viết 1 = can+y với c ∈ R

và y ∈ Y , khi đó an = ancan+any, suy ra (1−anc)an= an−ancan = any ∈ Ran∩Y = 0 Vậy an = ancan, tức an là von Neumann chính quy

Nếu n = 1, thì a = a1 chính quy, đó là điều ta cần Nếu n > 1 thì ta sẽ chỉ ra an−1 cũng chính quy, và do đó theo quy nạp ta sẽ có a cũng chính quy Thật vậy, từ anlà chính quy, tồn tại c ∈ R sao cho an = ancan Đặt y = an−1− an−1(ca)an−1 = an−1− an−1can Khi đó ta có

y2 = (an−1− an−1can)(an−1− an−1can)

= (an−2− an−1can−1)a(an−1− an−1can)

= (an−2− an−1can−1)(an− ancan)

= 0

Xét hai khả năng sau:

Trường hợp 1: y = 0 Khi đó an−1 = an−1can∈ an−1Ran−1, tức là an−1 là chính quy Trường hợp 2: y 6= 0 Vì y2 = 0 tức là y ∈ N (R), nên với lập luận như chứng minh như trên đối với y thì chúng ta cũng có được phần tử y là chính quy Vì vậy, xn−1 cũng chính quy theo Bổ đề 2.8 

Hệ quả 2.10 Cho R là một vành Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) R là một vành n−chính quy;

(ii) R là NPP phải và Wnil-nội xạ phải

Một vành R được gọi là vành Baer nếu với tập con ∅ 6= X ⊆ R bất kỳ thì r(X) = eR, e2 = e ∈ R

Định lý 2.11 Cho R là vành Baer Khi đó, R là AWN-nội xạ phải nếu và chỉ nếu R

là n−chính quy

Chứng minh Chiều đảo được suy ra từ [8, Theorem 2.18] Ta chỉ cần chứng minh chiều thuận Nếu a = 0 ∈ N (R) thì 0 = 0.r.0 với r ∈ R tùy ý Bây giờ với 0 6= a ∈ N (R) thì tồn tại một số nguyên dương n và một iđêan trái Xan sao cho lr(an) = Ran⊕ Xan

Vì r(an) luôn khác rỗng nên tồn tại e2 = e ∈ R sao cho r(an) = eR (do R là vành Baer) Suy ra lr(an) = l(eR) = (1 − e)R = Ran⊕ Xa n Do đó tồn tại r ∈ R, x ∈ Xa n

sao cho 1 − e = ran+ x, từ đó an = an − ane = an(1 − e) = anran+ anx, suy ra

an− anran = anx ∈ Ran∩ Xan = 0 Như vậy an = anran, tức là an chính quy Điều này suy ra được a chính quy Vậy R là vành n−chính quy.

Hệ quả 2.12 Cho R là vành Baer Khi đó, R là Wnil-nội xạ phải nếu và chỉ nếu R

là vành n−chính quy

Ta biết rằng, vành (von Neumann) chính quy có thể đặc trưng qua tính một số mở rộng của tính nội xạ như: tính nil-nội xạ, AN-nội xạ, Kết quả về chỉ ra đặc trưng của vành n−chính quy tính AWN-nội xạ là một kết quả tổng quát mà chúng tôi mong muốn đạt được

Môđun MR được gọi là môđun Ikeda-Nakayama (viết gọn, IN-môđun) nếu

lS(A ∩ B) = lS(A) + lS(B), với bất kỳ các môđun con A và B của M với S = End(MR) Vành R được gọi là IN phải nếu RRlà IN-môđun Tiếp theo, chúng ta sẽ đến với một kết quả về tính n−chính quy của vành AWN-nội xạ không suy biến phải

Định lý 2.13 Nếu R là một vành IN phải, AWN-nội xạ phải và không suy biến phải thì R là n−chính quy

Chứng minh Cho 0 6= a ∈ N (R), theo tính AWN-nội xạ của R, tồn tại một số nguyên dương n và một iđêan trái Xan sao cho an 6= 0 và lr(an) = Ran⊕ Xan Vì R

là không suy biến phải nên r(an) không là iđêan phải cốt yếu của R, vì thế tồn tại một iđêan phải khác không I sao cho r(an) ⊕ I ≤e RR Vì R là IN phải nên ta có lr(an) + l(I) = l[r(an) ∩ I] = l(0) = R Hơn nữa, lr(an) ∩ l(I) ≤ l[r(an) ⊕ I] = 0 (do r(an)⊕I ≤e RRvà R không suy biến phải) Do đó, R = lr(an)⊕l(I) = Ran⊕Xan⊕l(I)

Ta viết 1 = can+ x với c ∈ R và x ∈ Xa n ⊕ l(I), khi đó an = ancan Đến đây, chúng

ta lập luận tương tự chứng minh của Định lý 2.9, thì ta đạt được a là phần tử chính quy Vậy R là n−chính quy 

Hệ quả 2.14 Nếu R là một vành IN phải, Wnil-nội xạ phải và không suy biến phải thì R là n−chính quy

Hệ quả 2.15 Nếu R là vành IN, phải AWN-nội xạ phải và ERT nửa nguyên tố, thì

R là vành n−chính quy

Vì tính Wnil-nội xạ suy ra tính AWN-nội xạ nên ta cũng có thêm hệ quả nữa của Định lý 2.13

Hệ quả 2.16 Nếu R là vành IN phải, Wnil-nội xạ phải và ERT nửa nguyên tố, thì

R là vành n−chính quy

? Ta dùng E(R), Mr(R) (hoặc Ml(R)), M Er(R) (hoặc M El(R)) để ký hiệu cho tập hợp của tất cả các phần tử lũy đẳng, tập hợp tất cả các phần tử cực tiểu phải (trái), tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng cực tiểu phải (trái) của R, tương ứng

? Một vành R được gọi vành MC2 phải nếu mỗi iđêan phải cực tiểu đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của R thì nó là một hạng tử trực tiếp của R, tức là nếu bất kỳ

kR là một iđêan phải cực tiểu và kR ∼= eR với e2 = e ∈ R thì kR = gR với g2 = g ∈ R nào đó Theo [9, Theorem 1.6], vành R là MC2 phải khi và chỉ khi eRa = 0 kéo theo aRe = 0 với mọi e ∈ M Er(R) và a ∈ R

Bây giờ, ta sẽ đi tìm điều kiện để một vành AWN-nội xạ là nội xạ

Bổ đề 2.17 Nếu R là vành AWN-nội xạ phải thì R là MC2 phải

Chứng minh Cho I là một iđêan phải cực tiểu của R với eR ' I, trong đó e2 = e Khi đó, I = aR với a ∈ R nào đó sao cho a = ae và r(e) là một iđêan phải cực đại Nếu (aR)2 6= 0, thì aR là một hạng tử trực tiếp của RR Nếu (aR)2 = 0, thì a ∈ N (R)

Từ R là AWN-nội xạ phải, tồn tại một iđêan trái X của R sao cho lr(a) = Ra ⊕ X Chú ý rằng a = ae và r(e) là một iđêan phải cực đại, chúng ta có r(a) = r(e), và vì thế

Re = l((1 − e)R) = lr(e) = lr(a) = Ra ⊕ X Ta viết e = ba + x, với b ∈ R, x ∈ X, thì

a = ae = aba + ax, suy ra a − aba ∈ Ra ∩ X = 0, và do đó a = aba Lúc đó (ab)2 = ab, nên aR = abR Như vậy, I = aR là một hạng tử trực tiếp của RR 

Định lý 2.18 Cho R là một vành AWN-nội xạ phải Nếu R chứa một iđêan phải cực đại nội xạ, thì R là một vành tự nội xạ phải

Chứng minh Cho M là một iđêan phải cực đại nội xạ của R Khi đó, ta có R = M ⊕N với một iđêan phải cực tiểu N của R nào đó Do đó ta có M = eR và N = (1 − e)R với e2 = e ∈ R nào đó Để chỉ ra R là tự nội xạ phải, ta chỉ cần chỉ ra N là môđun nội

xạ Ta xét hai khả năng sau:

Trường hợp 1: N M 6= 0 Thì ta khẳng định N là nội xạ Thật vậy, vì N M 6= 0 nên tồn tại u ∈ N sao cho uM 6= 0, điều này suy ra rằng N = uM (do tính cực tiểu của N ) Xét một R-toàn cấu phải ϕ : M → N xác định bởi ϕ(x) = ux, x ∈ M Từ N = (1−e)R

là xạ ảnh, nên tồn tại một môđun con phải T của M sao cho M = Ker(ϕ) ⊕ T với

N = Im(ϕ) ' M/Ker(ϕ) = (Ker(ϕ) ⊕ T )/Ker(ϕ) ' T Điều này chứng tỏ, N là nội xạ

Trường hợp 2: N M = 0 Thì (1 − e)ReR, suy ra (1 − e)Re − 0 Theo Bổ đề 2.17,

R là MC2 phải nên ta có eR(1 − e) = 0 (do 1 − e ∈ M Er(R)) Điều đó có nghĩa

là e là tâm Ta sẽ chỉ ra N là nội xạ Bây giờ, cho L là một iđêan phải cốt yếu thực sự bất kỳ của R và f : L → N là một R-đồng cấu khác không bất kỳ Khi

đó, L/U ' Im(f ), với U = ker(f ) Từ Im(f ) ≤ N và giả thiết suy ra L/U ' N

và U là một môđun con cực đại của L Bây giờ, cũng từ tính xạ ảnh của N , ta có

L = U ⊕ V , với V ' N = (1 − e)R là một iđêan phải cực tiểu của R Khi đó,

ta khẳng định V = (1 − e)R Bây giờ, với bất kỳ z ∈ L, ta viết z = x + y, với

x ∈ U , y ∈ V Khi đó, f (z) = f (x) + f (y) = f (y) Vì y = (1 − e)y = y(1 − e) (do ey ∈ M N = 0 và e là tâm), nên f (z) = f (y) = f ((1 − e)y) = f (1 − e)y Từ (1 − e)x = x(1 − e) ∈ U ∩ V = 0, suy ra f (1 − e)x = f ((1 − e)x) = f (0) = 0 Do đó

f (z) = f (1 − e)y = f (1 − e)y + f (1 − e)x = f (1 − e)(x + y) = f (1 − e)z Vậy N là nội xạ

Cả hai khả năng ta đều suy ra N là nội xạ Do đó RR= M ⊕ N là nội xạ 

Hệ quả 2.19 Cho R là một vành với Sr(R)  J(R) Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là tự nội xạ phải;

(2) R là AWN-nội xạ phải và chứa một iđêan phải cực đại nội xạ

Chứng minh (2)⇒(1): Chính là nội dung Định lý 2.18

(1)⇒(2): Khi kR là một iđêan phải cực tiểu với kR ≤ J (R), thì hoặc kR ≤⊕ RR

hoặc (kR)2 = 0 Nếu kR là hạng tử trực tiếp của RR, thì tồn tại 0 6= e2 = e ∈ R sao cho kR = eR, do đó e ∈ J (R), điều này mâu thuẫn (vì nếu e ∈ J (R) nên 1 − e khả nghịch mà e(1 − e) = 0, do đó e = 0) Do đó, nếu k ∈ Mr(R) mà kR ⊆ J (R) thì (kR)2 = 0

Vì thế, từ Sr(R)  J(R), tồn tại một iđêan phải cực tiểu M của R sao cho

M2 6= 0 Khi đó, tồn tại e2 = e ∈ R sao cho M = eR (do tính cực tiểu của M ) Mà

RR = (1 − e)R ⊕ eR là nội xạ, cho nên từ tính cực tiểu của M = eR ta có (1 − e)R là một iđêan phải cực đại nội xạ của R 

Kết thúc nội dung bài báo, chúng tôi đưa ra sơ đồ về mối quan hệ của một số mở rộng tính nội xạ

m-nội xạ ⇒ AM-nội xạ

AWN-nội xạ ⇐ Wnil-nội xạ ⇐ nil-nội xạ ⇒ AN-nội xạ

AGP-nội xạ ⇐ GP-nội xạ ⇐ P-nội xạ ⇒ AP-nội xạ

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York, N Y., 1974

Marcel Dekker, 1976.

[3] N K Kim, S B Nam, J Y Kim and Y Q Zhou, On simple GP-injective modules, Comm Algebra, 23(4), (1995), 5437-5444

[4] N K Kim, S B Nam, J Y Kim and Y Q Zhou, On simple singular GP-injective modules, Comm Algebra, 29(5), (1999), 2087-2096

[5] W K Nicholson and M F Yousif, Principally injective rings, J Algebra,

174, (1995), 77-93

[6] W K Nicholson and M F Yousif, Mininjective rings, J Algebra, 187, (1997), 548-578

[7] S S Page and Y Q Zhou, Generalization of Principally injective rings,

J Algebra, 206, (1998), 706-721

[8] J C Wei and J H Chen, Nil-injective rings, Int Electron J Algebra, 2, (2007), 1-21

[9] J C Wei and L B Li, Nilpotent elements and reduced rings, Turk J Math, 35, doi:10.3906/mat-0901-29, (2011), 341-353

[10] S Wongwai, Almost mininjective rings, Thai J Math., 4(1), (2006), 245-249

[11] G S Xiao, N Q Ding and W T Tong, Regularity of AP-injective rings, Vietnam Journal of Mathematics 32:4, (2004), 399-411

[12] W M Xue, A note on YJ-injectivity, Riv Mat Univ Parma (6) 1, (1998),31-37

[13] Z Yu-e, On simple singular AP-injective rings, International Mathematics Forum, Vol 6, no 21,(2011), 1037-1043

[14] Z Yu-e and D Xianneng, On almost nil-injective rings, International Electronic Journal of Algebra, 9, (2011), 103-113

ON ALMOST WEAKLY NIL-INJECTIVE RINGS

Truong Cong Quynh1, Hoang Thi Ha2

1College of Education, Da Nang University

2Le Quy Don High school, Quang Tri Province Abstract A ringR is called right almost weakly nil-injective (or AWN-injective), if every 0 6= a ∈ N (R), there exits an integer n = n(a) > 0,

an6= 0 and a left idealXan such thatlr(an) = Ran⊕ Xan In this paper,

we give some characterizations and properties of AWN-injective ring, which are proper generalization of a Wnil-injective ring We obtain some properties about regularity of right AWN-injective ring and give some conditions for a right AWN-injective rings to be an right self-injective rings