Về môđun hầu nội xạ luận văn thạc sĩ

MỞ ĐẦUViệc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang đượccác nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm.Môđun nội xạ là một trong hai trụ cột chính của lý t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN MAI DẠ THẢO

VỀ MÔĐUN HẦU NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học PGS TS. NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN – 12.2011

MỤC LỤC

Trang

.

MỞ ĐẦU

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang đượccác nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun quan tâm.Môđun nội xạ là một trong hai trụ cột chính của lý thuyết môđun và nóđược ứng dụng nhiều để đặc trưng vành Nhưng điều kiện để một môđun

là nội xạ quá mạnh, do đó một số lớp vành khó có thể đặc trưng qua lớpmôđun này Vì vậy người ta đã mở rộng nghiên cứu lớp môđun nội xạ vàtrong những năm của thập kỷ 80, 90 các nhà toán học đã đạt được nhiềukết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội

xạ Cụ thể người ta xét các lớp môđun sau: Môđun nội xạ, môđun tựanội xạ, môđun liên tục, tựa liên tục, CS- môđun, môđun M- nội xạ…Năm 1989, Y Baba [6] đã đưa ra khái niệm về lớp môđun hầu M-

nội xạ (M - almost injective) Dựa vào tài liệu chính là “A note on

almost injective modules” của Adel Alahmadi and S.K.Jain [4] ; luận

văn nghiên cứu về các tính chất cơ bản của lớp môđun hầu nội xạ, mốiquan hệ với CS- môđun, từ đó trình bày một số tính chất và điều kiệncủa các môđun hầu nội xạ lẫn nhau, và sự phân biệt giữa môđun hầu nội

xạ và môđun nội xạ Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của

lý thuyết môđun Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả đã cónhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Môđun hầu nội xạ

Trong chương này chúng tôi đề cập những tính chất đặc trưng củamôđun hầu M-nội xạ, từ đó tìm ra điều kiện của các môđun hầu nội xạlẫn nhau, phân biệt giữa môđun hầu nội xạ và môđun nội xạ

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đãtrực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và động viên tôi rấtnhiều trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn

Tôi xin được cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán,Khoa đào tạo Sau Đại học-Trường Đại học Vinh và tất cả các bạn bèđồng nghiệp đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôihoàn thành luận văn của mình

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sựgiúp đỡ của thầy cô và các bạn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Tất cả các vành R trong luận văn này là vành có đơn vị, ký hiệu 1 và cácmôđun là các R- môđun phải unita

1.1.Môđun con cốt yếu, môđun con đóng

Cho R là vành có đơn vị và M là R-môđun phải , N là môđun con của M

1.1.1 Định nghĩa Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M

1.1.2 Định nghĩa a) Nếu N cốt yếu trong M thì M được gọi là mở rộng

cốt yếu (essential extension) của N

b) Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M gọi là môđun

1.1.3 Định nghĩa a) R- môđun M được gọi là môđun đơn (simple

module) nếu M không chứa môđun con thực sự nào (có nghĩa là M chỉ

có hai môđun con là 0 và M).

b) R- môđun M được gọi là môđun nửa đơn (Semisimple module) nếu mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp.

Ví dụ:

1 Môđun 0 gọi là môđun nửa đơn

2 Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn

c) Tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M được gọi là đế (socle) của M và ký hiệu là Soc(M).

Nếu M không có môđun con đơn thì ta qui ước Soc(M) = 0

Nhận xét: Môđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu Soc(M) = M

1.1.4 Hệ quả i) Soc(M) Ae M A

ii) Nếu M là môđun nửa đơn thì M = Soc(M).

iii) Môđun nửa đơn có môđun con bé là và chỉ là 0

1.1.5 Định nghĩa Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M Kí

Hay nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với môđun con K của M mà N cốt yếu trong K thì N = K

Ví dụ: Mọi hạng tử trực tiếp của M là đóng trong M

1.1.6 Định nghĩa Môđun con K của M được gọi là bao đóng của

môđun con N trong M nếu K đóng M và N cốt yếu trong K.

Hay nói cách khác, môđun K được gọi là bao đóng của N trong M nếu K

là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K

1.1.7 Nhận xét Bao đóng của một môđun con A trong M luôn tồn tại.

Chứng minh Đặt  {B A B M} Khi đó ta thấy:

đóng trong  Do đó A* là bao đóng của A ( vì A  A* và A*  ) 

1.1.8 Mệnh đề i) Cho M là R - môđun, N là môđun con khác không của

M và K là môđun con cốt yếu của M Thế thì K  N e N

ii) Nếu A i , B i ( i= 1,n ) là môđun con của M sao cho A i e B i , " =i 1,n

iii) Nếu f : M  N là đồng cấu môđun và A e N thì f 1 (A) e N

1.1.9.Mệnh đề i) Cho A là môđun con của R- môđun M khi đó A cốt

yếu trong M khi chỉ khi A  mR ≠ 0 m  M , m ≠ 0.

ii) Cho M là R- môđun, K  N  M Khi đó K e M khi và chỉ khi

iv) Cho A i , M i là các môđun con của M với i  I sao cho A i e M i

1.1.10 Định nghĩa Cho M là một R- môđun Ta có các điều kiện sau.

nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

c Một môđun M được gọi là tựa liên tục ( quasi - continuous ) nếu

M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3)

d Một môđun M được gọi là (1 – C1) – môđun nếu mỗi môđun con đều của M cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M, hay mỗi môđun con đóng đều của M là hạng tử trực tiếp.

Ta có các quan hệ sau đây đúng với một R- môđun phải.

Chiều ngược lại của các kéo theo trên không hoàn toàn đúng

1.2 Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa a) Cho M, A là các R- môđun, X là môđun con bất kỳ

của M Môđun A được gọi là M- nội xạ (M-injective module) nếu với

sao cho biểu đồ sau giao hoán

Z không phải là Z-môđun nội xạ

b) Môđun M được gọi là nội xạ (injective module) nếu M là A- nội

xạ với mọi môđun A.

c) M gọi là tựa nội xạ nếu M là M- nội xạ

d) Ta gọi bao nội xạ của M là một môđun Q và một đơn cấu

:

e) Cho M, A là các R- môđun Một đơn cấu f : A  M được gọi là

đơn cấu cốt yếu nếu f(A) e M Khi đó ta còn nói A nhúng cốt yếu được vào M.

1.2.2 Mệnh đề Cho môđun N là A- nội xạ và B là môđun con của A

N (ii) N là A- nội xạ, ta chứng minh N là A/B- nội xạ.

Gọi p:A ®A B/ và p' :X ®X B/ là phép chiếu tự nhiên

Điều kiện cần : Hiển nhiên

tại cặp tối đại (X ’ ;  ’) mà X  X ’  A và  ’ là mở rộng của  Suy ra

Theo giả thiết N là A j - nội xạ  N là Ra - nộị xạ, chọn K = {r R raÎ Î X'}

Lấy môđun X’ + Ra thì X là môđun con thực sự của X’ + Ra

Xét h : X’ + Ra  N

x’ + ra a  (x) +  (ra) thì h là đồng cấu.

của (X ’ ,  )  A = X ’ Do đó N là A- nội xạ 

1.2.5 Hệ quả Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con I

của R và mọi đồng cấu f :IM luôn tồn tại phần tử a thuộc M sao cho f(x)=xa,mọi xI

1.2.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.

Chứng minh.

Cho Q là nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của Q ta chứng minh A nội xạ, do A là hạng tử trực tiếp của Q nên ta có Q = A  B.

Với mọi môđun M và X là môđun con bất kỳ của M, với mọi đồng cấu f : X  A.

a a a + 0 Gọi α = iAf : X  Q

Do Q nội xạ nên tồn tại α* : M  Q là mở rộng của α, lấy

f * = pA α* : M  A.

a + b a a

1.2.7 Mệnh đề Môđun A nội xạ khi và chỉ khi nó là hạng tử trực tiếp

của các môđun chứa nó.

1.2.8 Định lý Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội xạ 1.2.9 Định lý Một môđun Q- nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực

tiếp của các môđun chứa nó.

1.2.10 Định lý i

I

Q

Õ nội xạ khi và chỉ khi Q i nội xạ với i I

1.2.11 Định nghĩa Cho môđun M Môđun nội xạ N nhỏ nhất chứa M

(N là mở rộng cốt yếu tối đại của M) được gọi là bao nội xạ của M, ký hiệu E(M).

1.2.12 Mệnh đề Bao nội xạ của môđun A là tối đại trong các mở rộng

cốt yếu và tối tiểu trong tất cả mở rộng nội xạ.

Chứng minh Giả sử B là mở rộng cốt yếu của A.

trong đó f là đơn cấu cốt yếu, j là phép nhúng.

đơn cấu

cho x = f(a)  kerg, aA.

Khi đó a = j(a) = gf(a) = 0  x = 0, mâu thuẫn.

Vậy kerg = 0  g đơn cấu  B  E(A)

Xét biểu đồ :

f  g

E ’ trong đó j là phép nhúng, f là đơn cấu

cấu

Giả sử kerg¹ 0Þ kerg AÇ ¹ 0, vì A eE(A)Þ $ Îa A a, Î ker ,g a¹ 0

Khi đó f(a)= gj(a)= g(a)= 0.

Vì f đơn cấu nên a = 0, mâu thuẫn.

1.2.13 Hệ quả i) Môđun A là nội xạ khi và chỉ khi A không có mở rộng

cốt yếu thực sự.

ii) Nếu A là môđun con của môđun nội xạ E thì A nội xạ khi và chỉ

khi A đóng trong E

Chứng minh i) Giả sử A là môđun nội xạ  E(A) = A.

Vì E(A) là mở rộng cốt yếu tối đại của A nên A không có mở rộng

cốt yếu thật sự

= E(A) Vì E(A) nội xạ nên A nội xạ.

Nếu T ≠ 0, do A e X nên A  T ≠ 0  A  B = 0, mâu thuẫn với

1.2.14 Định nghĩa Nhóm Aben A (¢- môđun A) gọi là chia được nếu

Ví dụ Nhóm Q(+) là chia được,nhóm Z(+) không chia được

1.2.15 Định lý A là ¢-môđun chia được khi và chỉ khi A là ¢-môđun nội xạ.

Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn Baer: R- môđun A là nội xạ khi và

f(a) = xa " Îi I

Điều kiện cần: Giả sử A là ¢-môđun chia được Khi đó " Îi N*thì nA

=A.

Lấy b= f(n)Î A  tồn tại a AÎ để na = b Khi đó " =x nz nZÎ có

f(nz) = zf(n) = zb = zna = xa  A là ¢-môđun nội xạ

Xét biểu đồ :

2.1 Môđun hầu M- nội xạ và Môđun hầu nội xạ

2.1.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các R-môđun Môđun N được gọi là

hầu M-nội xạ (M-almost injective module) nếu với mọi môđun con X của

ii) Hoặc tồn tại hạng tử trực tiếp M 1 khác O của M và đồng cấu

h * : N  M 1 sao cho h * h=  i, với  : M  M 1 là phép chiếu

O  X M

h 

N M1

Môđun M được gọi là hầu nội xạ(almost injective module) nếu M là hầu

A-nội xạ với mọi môđun A.

2.1.2 Hệ quả Nếu môđun M không phân tích được thì N là hầu M-nội

xạ với mọi môđun con X của M và đồng cấu h: X  N thì hoặc tồn tại đồng cấu h * : N  M sao cho h * i = h, hoặc tồn tại đồng cấu h * : N  M sao cho h * h = i, trong đó i: X  M là phép nhúng.

2.2 Môđun mở rộng (CS - môđun)

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Nếu với môđun con N bất

cách khác, M là CS- môđun nếu mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

2.2.2 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.

Theo định luật modular ta có N = N  M = N  (U  V) = U  (N

 V) hay U là hạng tử trực tiếp trong N

Do đó ta có N là CS – môđun 

2.2.3 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun uniform có vành các tự đồng cấu địa phương và M = M1 Å M2 Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) M 1 và M 2 hầu nội xạ lẫn nhau.

ii) M là CS- môđun.

Chứng minh i) ii)Giả sử M1 và M2 hầu nội xạ lẫn nhau và A là môđun

chứng minh M là CS_ môđun, ta sẽ chứng minh A là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Trước hết ta chứng minh rằng mọi môđun uniform N không phân

định nghĩa N là uniform.Vậy N không phân tích được

Gọi i là phép chiếu từ M lên M i và A i i( ),A i1, 2

 Ai M i

Giả sử f : A1  A2 là đồng cấu

Đặt A1(f) x f(x) xA1

Ta xét biểu đồ sau:

f g’

M2

Theo giả thiết M2 là M1-hầu nội xạ, mà M 1 là uniform  M1 khôngphân tích được Theo Hệ quả 2.1.2 ta có :

Hoặc tồn tại đồng cấu g : M1  M2 sao cho f = gi.

Khi đó AA1(f) M1(g)

Hoặc tồn tại đồng cấu g ’ : M2  M1 sao cho f g ’ = i A M g 2( )' .

Như vậy A là môđun con của M g1( ) hoặc M g2( )' M g1( )và

2

'

( )

M g là các hạng tử trực tiếp của M, hơn nữa M g1( ) M1, M g2( )' M2

cốt yếu Vậy A cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay M là CS_

môđun

ii)  i) Ta định nghĩa A'= A1(f ) với f : A1  A2 là đồng cấu Vì A'

nữa N1, M1, M2 là uniform nên M1 có tính chất thay đổi  M = N1 Å M1

m1M1, m2 M2, n1 N1 Khi đó ~h if  M2 là hầu M1- nội xạ

Tương tự nếu M = N1  M1 thì M1 là hầu M2- nội xạ hay M1, M2 hầunội xạ lẫn nhau 

2.2.4 Mệnh đề Cho {M α}I là tập hợp các môđun uniform với End(Mα)

địa phương α I và M = I M α Giả sử {M α}I là lsTn Khi đó các điều kiện sau tương đương :

i) M là CS- môđun

ii) M a là hầu M b - nội xạ với a ≠ b.

Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.3.

2.2.5 Mệnh đề Cho M = I M α với M α là uniform và với End(Mα) địa

phương α I Giả sử M là CS- môđun Khi đó không tồn tại tập hợp vô

M , trong đó các f i là đơn cấu môđun không đẳng cấu.

Chứng minh Giả sử {f i : M i  M i + 1} là tập hợp các đồng cấu môđun

không đẳng cấu Đặt M*  I M i(f i)  I M i

i* : M*  M đẳng cấu trong A/J  Y = 0 Do đó M* e M  M 1  M * ≠ 0.

Nếu tất cả các f i là đơn cấu, thì {f i}I phải là hữu hạn

2.2.6 Ví dụ R1 (tương ứng R2) là vành các ma trận tam giác trên (dưới)

trên trường K có đặc số vô hạn.

Giả sử e i = e ii là ma trận sơ cấp Khi đó e k R i là hầu e s R i - nội xạ với k,

s bất kỳ, i = 1, 2 cố định Hơn nữa k e k R1 là CS- môđun Mặt khác e k R2

là hầu j k e j R2- nội xạ với mọi k Tuy nhiên i e i R2 không phải là

e2R2  …enR2 … Hơn nữa e1R2 là hầu 2

e1R

tích U = A  B và ~h : e1R  A sao cho ~h f = A i với A : U  A Hơn

nữa Soc(U) = Soc(A)  Soc(B) và A Soc(A)  1Soc(A) Do đó ~h f = A i kéo

theo Soc(A) là đơn Vì vậy A không phân tích được và B là tổng trực tiếp

2.2.7 Định nghĩa a) Cho M là R- môđun và N là môđun con của M, N =

N1, ta nói N1 có thể mở rộng thành M1

b) Nếu với môđun con bất kỳ N của R- môđun M, mọi hạng tử trực tiếp của N có thể mở rộng thành hạng tử trực tiếp của M, ta nói rằng

M có tính chất mở rộng của hạng tử trực tiếp.

rằng M có tính chất mở rộng của tổng trực tiếp.

2.2.8 Mệnh đề Giả sử {M i}iI là tập hợp các môđun uniform và

End(M i ) địa phương iI; M i n1M i



đương:

i) M i là hầu M j - nội xạ i ≠ j.

ii) M có tính chất mở rộng của hạng tử trực tiếp.

Hơn nữa các điều kiện sau là tương đương

iii) M i là M j - nội xạ i ≠ j.

iv) M có tính chất mở rộng của tổng trực tiếp.

2.2.9 Mệnh đề Giả sử M1 và M2 là các môđun uniform và E i là bao nội

xạ của M i , i = 1,2 Giả sử M1 là hầu M2- nội xạ, và f : E1  E2 không

phải là đơn cấu Khi đó f(M2)  M1

Chứng minh Đặt M = f 1(M1) M2 Xét biểu đồ

f M

M1

Vì f 1(0)  M ≠ 0, tồn tại g : M2  M1 sao cho g M = f M theo giả

Hom R (E2, E1) Nếu (f-g)(M2) ≠ 0, vì M e E1, tồn tại m1 ≠ 0, m1M1 và m2

 M2 sao cho (f-f)(m2) = m1 Tuy nhiên g(m2)  M1, nên m2  M2  f

1(M) = M Do đó (f-g)(m2) = 0, mâu thuẫn với (f-g)(M2) ≠ 0 Vậy f(M2) =

g(M)  M1 

2.2.10 Định nghĩa a) Một họ các môđun con {Mi  iI} của một

trực tiếp của M.

b) Một sự phân tích M = I Mi được gọi là bù hạng tử trực tiếp nếu mọi hạng tử trực tiếp A của M, tồn tại tập con J của I sao cho

M = A( jJ Mj) Nếu M = iI Mi là tổng trực tiếp các môđun Mi và J 

I ; để cho gọn ta ký hiệu M(J) = jJ Mj.

2.2.11 Bổ đề Giả sử M = iI M i là sự phân tích bù hạng tử trực tiếp Khi đó sự phân tích M(J) = jJ M j cũng bù hạng tử trực tiếp đối với mọi tập con J của I.

Chứng minh Giả sử A là một hạng tử trực tiếp của M(J), khi đó A cũng

là hạng tử trực tiếp của M Theo giả thiết tồn tại tập con K của I sao cho

M = AM(K).

Vì A là môđun con của M(J), sử dụng luật modular ta có :

M(J) = A(M(K)  M(J)) Đặt X = M(K)  M(J) Dễ dàng kiểm tra được X = M(T), trong đó

T = K  J.

hạng tử trực tiếp

2.2.12 Bổ đề Giả sử {U i}iI là một tập các R- môđun đều và U là một

R- môđun Giả sử rằng U i và U j là hầu nội xạ lẫn nhau đối với mọi cặp

(i, j) và U là hầu U i - nội xạ iJ Khi đó U là hầu I U i - nội xạ.