TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH WALKER CHÍNH

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH WALKER CHÍNH. Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940. Từ đó đến nay, lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụ quan trọng trong mọi ngành của Đại số học. Một trong những hướng nghiên cứu là tìm cách phân tích một môđun nội xạ thành các môđun con một cách tốt nhất.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN LÊ HƯƠNG LY

MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN ĐỊNH LÝ FAITH

Mục lục

1.1 Môđun nội xạ 31.2 Môđun cốt yếu và bao nội xạ 41.3 Bao nội xạ và vật đối sinh 5

2.1 Định nghĩa và các tính chất 72.2 Đặc trưng của vành Noetherian qua môđun nội xạ 82.3 Phân tích môđun 9

Chương 3 Môđun nội xạ và vành Noetherian Định lý Faith - Walker

3.1 Vành Noetherian và vật đối sinh cực tiểu 113.2 Phân tích Môđun nội xạ 143.3 Định lý Faith - Walker chính 17

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm môđun nội xạ được R Baer phát hiện vào năm 1940 Từ đó đến nay,lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụ quan trọng trongmọi ngành của Đại số học Một trong những hướng nghiên cứu là tìm cách phân tíchmột môđun nội xạ thành các môđun con một cách tốt nhất Bên cạnh đó, việc nghiêncứu môđun nội xạ trên vành Noetherian là một lớp vành quan trọng nhất của ngànhĐại số giao hoán và Hình học đại số lại cho ta nhiều kết quả rất đẹp

Tiểu luận này muốn tìm hiểu đặc trưng của vành Noetherian theo quan điểm cấutrúc môđun nội xạ, chia làm 3 chương:

Chương I và chương II muốn nhắc lại một số kiến thức cơ bản về Môđun nội xạ vàvành Noetherian nhằm chuẩn bị cho chương III nên nhiều kết quả chỉ nêu ra mà khôngchứng minh Tuy nhiên do tầm quan trọng của các kết quả này mà tác giả phải táchchúng thành hai chương, đồng thời chứng minh một đặc trưng quan trọng của vànhNoetherian qua môđun nội xạ

Chương III là phần chính của tiểu luận, theo đuổi xa hơn và tìm ra những đặctrưng khác của vành Noetherian qua môđun nội xạ, đặc biệt nêu và chứng minh định

lý Faith - Walker chính

Trong tiểu luận này, ta cần lưu ý :

1 Tất cả các định nghĩa và các kết quả đều được phát biểu cho các R - môđun trái

Trong một thời gian ngắn phải hoàn thành nên tiểu luận không tránh khỏi nhữngthiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

Huế, tháng 02 năm 2009Trần Lê Hương Ly

Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh các mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.1.2 Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ

Mệnh đề 1.1.3 Nếu (Ei)i∈I là họ các R - môđun thì tích trực tiếp Q

I

Ei nội xạ

2 Nếu E ∼= Q mà E nội xạ thì Q cũng nội xạ

Ta có một tiêu chuẩn đơn giản những hữu hiệu để kiểm tra tính nội xạ của mộtmôđun

Định lý 1.1.5 (Tiêu chuẩn Baer) Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọiIdeal trái I của R (xem như một R - môđun), với mọi đồng cấu R - môđun f : I −→ E,tồn tại một đồng cấu R - môđun h : R −→ E sao cho hi = f trong đó i : I −→ R làđồng cấu bao hàm

Hệ quả 1.1.6 Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mỗi Ideal trái I ≤ R vàmỗi đồng cấu h : I −→ E, tồn tại một x ∈ E sao cho h(a) = ax với mọi a ∈ I

Chứng minh Giả sử E nội xạ, I ≤ R Xét đồng cấu R - môđun h : I −→ E Lúc đótheo tiêu chuẩn Baer, tồn tại h : R −→ E sao cho h = hi tức là h|I = h Đặt x = h(1).Lúc đó với mọi ∈ I, ta có h(a) =h(a) = ah(1) = ax

Chiều ngược lại chứng minh một cách dễ dàng

Định nghĩa 1.1.7 Đơn cấu α : A −→ B được gọi là chẻ ra nếu Imα là hạng tử trựctiếp trong B

Mệnh đề 1.1.8 Đồng cấu môđun α : A −→ B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tạiđồng cấu β : B −→ A sao cho βα = idA Khi đó B = Imα ⊕ kerβ

Định lý 1.1.9 Mỗi R - môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi đơn cấu ϕ : E −→ B làđơn cấu chẻ ra

Định lý 1.1.10 Mọi R - môđun M đều tồn tại một R - môđun nội xạ E và đơn cấu

i : M −→ E

1.2 Môđun cốt yếu và bao nội xạ

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là một R - môđun khác không và K là môđun con của M(K ≤ M )

• K được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi môđun con L ≤ M , K ∩ L = 0thì L = 0 Kí hiệu K M

• Đơn cấu f : K −→ M được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu Imf  M

Như ta đã biết ở định lý 1.1.10, mỗi R - môđun M có thể nhúng vào một môđunnội xạ Ta tìm xem môđun nội xạ nhỏ nhất mà M có thể nhúng vào là gì

Định nghĩa 1.2.3 Một cặp (E, i) được gọi là bao nội xạ của R - môđun M nếu E nội

xạ và 0 −→ M −→ E là đơn cấu cốt yếu.i

Kí hiệu bao nội xạ của M là E(M )

Ta thường nghĩ về M như là môđun con của E(M )

Một trong những tính chất quan trọng của bao nội xạ chúng ta có được phát biểu trongmệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.2.4 Cho R là một vành M, N, Q là các R - môđun

1 M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M )

2 Nếu M  N thì E(M) = E(N)

3 Nếu M ≤ Q và Q nội xạ thì Q = E(M ) ⊕ E0 trong đó E0 ≤ Q

3 Ta có M ≤ Q và Q nội xạ nên E(M ) ≤ Q.Vì E(M ) nội xạ nên đơn cấu bao hàm

i : E(M ) −→ Q là chẻ ra Do đó E(M ) là hạng tử trực tiếp của Q

4 Dễ dàng có được điều này

1.3 Bao nội xạ và vật đối sinh

Định nghĩa 1.3.1 A là một tập chỉ số khác rỗng bất kì và E là một tập bất kì Taxác định một hàm số A −→ {E} bởi α 7−→ Eα Lúc đó Eα được gọi là một bản sao củaE

Định nghĩa 1.3.2 Cho C là một R - môđun C được gọi là vật đối sinh của R nếuvới mỗi R - môđun M , M có thể được nhúng vào tích các bản sao của C

0 −→ M −→ CA(điều này có nghĩa là T kerh = 0, h ∈ Hom(M, C))

Bây giờ, cho R là một vành Ta sẽ thấy rằng tồn tại vật đối sinh của R Thực ra,

R luôn có một vật đối sinh C0 mà chúng ta gọi là vật đối sinh cực tiểu Vật đối sinhcực tiểu này có thể nhúng vào mỗi vật đối sinh của R

Định lý 1.3.3 Kí hiệu S là tập không rút gọn được các đại diện các R - môđun đơn.Lúc đó

2 Với mọi R - môđun đơn T , E(T) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của C

3 C0 đẳng cấu với một môđun con của C

Chương 2

VÀNH NOETHERIAN

Trong chương này, ta nghiên cứu lớp vành được định nghĩa dựa vào lớp môđunmang tên một nhà nữ toán học người Đức Emmy Noetherian Đây là lớp môđun quantrọng nhất trong ngành Hình học đại số và Đại số giao hoán

2.1 Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 2.1.1 Một R - môđun M được gọi là môđun Noetherian nếu với mỗi tậpkhác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử tối đại (theo quan hệbao hàm) Vành R được gọi là vành Noetherian nếu R là một R - môđun Noetherian.Định nghĩa 2.1.2 Một tập L các môđun con của R - môđun M được gọi là thỏa mãnđiều kiện dây chuyền tăng (hay dừng)nếu với mọi dây chuyền

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln≤

trong L, tồn tại số n sao cho Ln+i= Ln (i = 1, 2, )

Ta biết rằng một R - môđun hữu hạn sinh thì môđun con của nó chưa chắc làmôđun hữu hạn sinh Tuy nhiên, khi R là vành Noetherian thì ta có kết quả sau:Định lý 2.1.3 Cho M là một R - môđun Khi đó các điều kiện sau là tương đương

1 M là môđun Noetherian

2 Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh

3 Mọi dây chuyền tăng các môđun con của M đều dừng

Mệnh đề 2.1.4 Một môđun M trên một vành Noetherian là môđun Noetherian khi vàchỉ khi M hữu hạn sinh

2.2 Đặc trưng của vành Noetherian qua môđun nội

xạ

Ta biết rằng tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ chưa chắc là môđun nội xạ Tuynhiên, điều này đúng nếu R là vành Noetherian và trên vành này, bao nội xạ giao hoánvới tổng trực tiếp

Định lý 2.2.1 Cho R là một vành Các mệnh đề sau đây là tương đương

(a) Tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ

(b) Nếu (Mα)α là tập được chỉ số hóa các R - môđun thì

E(I/Ii) nên tồn tại số tự nhiên k sao cho bi = 0 với mọi i ≥ k Do đó

fi(a + Ii) = 0 với mọi i ≥ k Vậy fi = 0 với mọi i ≥ k tức là Ii = Ik với mọi i ≥ k haydây chuyền đã cho dừng

(c) ⇒ (a) Giả sử E =L

A

Ei là tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ Ei Ta chứng minh

E nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer

Gọi I là một Ideal tùy ý của R, f : I −→ E là đồng cấu và j : I −→ R là đồng cấubao hàm Vì R là vành Noetherian nên I hữu hạn sinh Giả sử I có hệ sinh là {a1, , an}

Khi đó tồn tại một tập hữu hạn J ⊆ A sao cho với mọi k = 1, , n thì thành phần của

f (ak) trong Ej khác không khi và chỉ khi j ∈ J Từ đây suy ra f (I) ⊆ L

j∈J

(Ej) là nội xạ.Suy ra tồn tại R - đồng cấu g0 : R −→ L

Phần này được đưa vào để chuẩn bị cho chương 3

Định nghĩa 2.3.1 Một môđun được gọi là không phân tích được nếu nó khác không

Định nghĩa 2.3.3 Nếu M là một R - môđun thì hạng tử trực tiếp K của M được gọi

là hạng tử trực tiếp cực đại của M nếu K có một bù trực tiếp không phân tích được Ntrong M

Định nghĩa 2.3.4 Một sự phân tích M = L

A

Mα thành tổng trực tiếp các môđuncon khác không được gọi là bù các hạng tử trực tiếp (bù các hạng tử trực tiếp cực đại)nếu với mọi hạng tử trực tiếp K (hạng tử trực tiếp cực đại K) của M , có một tập con

B ⊆ A với

M = (M

B

Mβ)MKNhận xét 2.3.5 Một sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp thì bù các hạng tử trựctiếp cực đại Điều ngược lại không đúng

Bổ đề 2.3.6 Cho M =L

A

Mα là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp cực đại Nếu

M = N1⊕ ⊕ Nn⊕ Ktrong đó mỗi N1, , Nn là không phân tích được thì tồn tại α1, , αn ∈ A sao cho

Mαi ∼= N

i (i = 1, , n)

và với mỗi 1 ≤ l ≤ n,

M = Mα1 ⊕ Mαl⊕ Nl+1⊕ ⊕ Nn⊕ K

Nhắc lại rằng vành R là vành địa phương khi và chỉ khi với mọi t ∈ R, hoặc t hoặc

Chương 3

MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN ĐỊNH LÝ FAITH -

WALKER CHÍNH

Để kiểm tra một vành là vành Noetherian, ta thường dùng định lý "R là vànhNoetherian khi và chỉ khi tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ là nội xạ" Tuy nhiên,

ta cố gắng tìm ra một tiêu chuẩn khác tốt hơn nhiều

3.1 Vành Noetherian và vật đối sinh cực tiểu

Định nghĩa 3.1.1 Cho M là một R - Môđun, X ⊆ M, A ⊆ R

lR(X) = {r ∈ R|rx = 0∀x ∈ X}

rM(A) = {x ∈ M |ax = 0∀a ∈ A}

lần lượt được gọi là linh hóa tử trái của X trong R và linh hóa tử phải của A trong M

Kí hiệu: LR(M ) = {lR(X)|X ⊆ M }; RM(R) = {rM(A)|A ⊆ R}

Chú ý 3.1.2 Từ định nghĩa trên, dễ dàng nhận thấy:

1 lR(X) là Ideal trái của R và được gọi là Ideal M - linh hóa tử trái ; rM(A) là nhómcon của nhóm cộng M Nếu A là Ideal trái thì rM(A) là môđun con của M

a/ E(A) nội xạ với mọi tập A.

b/ Các Ideal E - linh hóa tử trái trong R thỏa điều kiện dây chuyền tăng

Vậy các Ideal E - linh hóa tử trái trong R thỏa điều kiện dây chuyền tăng

b ⇒ a: Giả sử b/ thỏa

Trước tiên ta chứng minh rằng mỗi tập khác rỗng các Ideal E - linh hóa tử trái đềuchứa một phần tử cực đại Thật vậy, giả sử ngược lại, có một tập con khác rỗng Γ cácIdeal E - linh hóa tử trái mà Γ không có phần tử cực đại Khi đó, với mỗi I1 ∈ Γ, tatìm được I2 ∈ Γ sao cho I1 ⊂ I2(I1 6= I2) Từ đó ta chọn được một chuỗi tăng ngặt vôhạn I1 ⊂ I2 ⊂ Điều này trái với giả thiết b/ Do đó, mỗi tập khác rỗng các Ideal E

- linh hóa tử trái đều chứa một phần tử cực đại

Gọi I là một Ideal của R Xét đồng cấu R - Môđun f : I −→ E(A)

Vì E nội xạ nên EA nội xạ Theo hệ quả 1.1.6, tồn tại x ∈ EA sao cho f (a) = ax

∀a ∈ I (Vì E(A) ≤ EA)

Với mọi α ∈ A , đặt

πα : EA −→ E(xα)α∈A 7−→ xα

Với mỗi F ⊆ A, đặt xF = (xβ)β∈F, trong đó πα(xF) = πα(x) nếu α ∈ F , πα(xF) = 0trong trường hợp ngược lại Đặt lR(xU) = {πα(x)|α ∈ U }.

Theo giả thiết và chứng minh trên, tập Γ = {lR(xA\F)|F là tập con hữu hạn của A}

có phần tử cực đại là lR(xA\F0)

Nếu F là một tập con hữu hạn của A thì F0 ⊆ F Suy ra A\F ⊆ A\F0 Do đó

lR(xA\F) ⊇ lR(xA\F0) Theo định nghĩa phần tử cực đại ta suy ra lR(xA\F) = lR(xA\F0).Bây giờ, với mỗi a ∈ I, vì f (a) ∈ E(A) nên có một tập con hữu hạn Fa⊇ F0 sao cho

aπα(x) = πα(ax) = πα(f (a)) = 0(α ∈ A\Fa)

Vì vậy, a ∈ lR(xA\Fa) = lR(xA\F0) Suy ra

f (a) = ax = ax − axA\F0 = a(x − xA\F0) = axF 0

Nhưng vì xF0 ∈ E(A) nên E(A) nội xạ theo hệ quả 1.1.6

Định lý Faith vừa chứng minh cùng bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn tiện lợihơn nhiều để kiểm tra một vành là Noetherian

Bổ đề 3.1.4 Cho I là Ideal trái của R và M là một R - Môđun Lúc đó, M đối sinhR/I khi và chỉ khi I là linh hóa tử của một tập con của M

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra

lR(rM(I)) = \{kerf |f : R −→ M, I ≤ kerf }

kerh Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Định lý 3.1.5 Cho R là một vành với vật R - đối sinh cực tiểu C0 Lúc đó các mệnh

đề sau tương đương:

3.2 Phân tích Môđun nội xạ

Bổ đề 3.2.1 Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ khác 0 không phân tích được

là vành địa phương

Chứng minh Giả sử E là một môđun nội xạ khác 0 không phân tích được Gọi U làmôđun con khác 0 bất kì của E Vì E nội xạ nên theo mệnh đề 1.2.4, ta có E = E(U )⊕E0với E0 ≤ E Vì E không phân tích được nên hoặc E(U ) = 0 hoặc E0 = 0, nhưng vì

U 6= 0 nên E(U ) 6= 0 Do đó E0 = 0 Suy ra E = E(U ) Vì thế U  E Như thế ta vừachứng minh được nếu 0 6= U ≤ E thì U  E

Lấy t ∈ End(E)

Với mọi x ∈ kert ∩ ker(1 − t), ta có

(t(x) = 0(1 − t)(x) = 0 ⇒

(t(x) = 0

x = t(x)

Do đó x = 0 Suy ra kert ∩ ker(1 − t) = 0

Nếu t đơn cấu, vì E nội xạ nên t chẻ ra, tức là tồn tại một đồng cấu s ∈ End(E)sao cho st = 1E và lúc đó E = Im(t) ⊕ ker(s) Suy ra Im(t) ∩ ker(s) = 0 Vì t đơn cấu

và E 6= 0 nên suy ra Im(t) 6= 0

Vì 0 6= Im(t) ≤ E nên theo chứng minh trên ta có Im(t) E Do đó ker(s) = 0 Suy

ra E = Im(t) Vì thế t là toàn cấu Như vậy t là đẳng cấu Suy ra t khả nghịch.Nếu t không khả nghịch, theo chứng minh trên thì t không đơn cấu, suy ra ker(t) 6= 0

Do đó ker(t) E Vì kert ∩ ker(1 − t) = 0 nên suy ra ker(1 − t) = 0, tức là 1 − t đơncấu Chứng minh tương tự ta có 1 − t khả nghịch

Vậy End(E) là vành địa phương

Mệnh đề 3.2.2 Nếu một môđun nội xạ E có sự phân tích không phân tích được

Nếu E0 6= 0 Vì E nội xạ nên Eα nội xạ với mọi α Do đó, từ giả thiết ta có Eα nội

xạ không phân tích được với mọi α Theo bổ đề 3.2.1, End(Eα) là vành địa phương vớimọi α Như thế sự phân tích E =L

A

Eα thỏa mãn định lý Azumaya Vì E0 6= 0 nên E0

có chứa một hạng tử trực tiếp không phân tích được và có một γ ∈ A và một hạng tử

trực tiếp E00 của E0 sao cho

A

Eα là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp

Một môđun nội xạ trên vành R không cần phải có sự phân tích không phân tíchđược Nhưng mộtR - môđun nội xạ có sự phân tích không phân tích được khi và chỉkhi R là vành Noetherian

Định lý 3.2.3 Cho R là một vành Các mệnh đề sau đây là tương đương

(a) R là vành Noetherian

(b) Mỗi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp của các R - môđun không phân tích được.(c) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp

(d) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp cực đại

Chứng minh (a) ⇒ (b) : Giả sử R là vành Noetherian và E là môđun nội xạ trên R.Đặt

Γ = {A ≤ E|A nội xạ, A không phân tích được}

G 6= ∅ vì ∅ ∈ G G được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự bao hàm

Giả sử H là một dây chuyền trong G và đặt Ω0 = S

Vì Ei nội xạ với mọi i và R là vành Noetherian nên E0 nội xạ Do đó, E0 là hạng tửtrực tiếp của E Giả sử E = E0⊕ B0 với B0 ≤ E.

Nếu B0 6= 0 Gọi A là môđun con hữu hạn sinh của B0 Vì R là R - môđun Noetheriannên A là môđun Noetherian (theo mệnh đề 2.1.4) Đặt Γ0 = {B ≤ A|B 6= A và với A0 ≤

A nào đó,B là môđun con tối đại có tính chất B ∩ A0 = 0}

Γ0 6= ∅ vì 0 ∈ Γ0 Vì A Noetherian nên trong Γ0 có phần tử tối đại B1

Gọi U là môđun con của A (vì thế cũng là môđun con của A) sao cho B1 là môđuncon tối đại có tính chất B1∩ U = 0 Lúc đó, hiển nhiên U 6= 0

Với mọi môđun con C 6= 0 của U , ta chứng minh C E U

Thật vậy, giả sử ngược lại C không cốt yếu trong U , tức là tồn tại môđun con L 6= 0sao cho C ∩ L = 0 Khi đó, C ∩ (B1 + L) = 0 Do tính tối đại của B1 và do C 6= 0 tasuy ra B1+ L = B1 Suy ra L ⊂ B1 Do đó L ⊂ U ∩ B1 = 0 Điều này chứng tỏ C E Uvới mọi 0 6= C ≤ U

Như thế ta vừa chứng minh trong B0 có chứa một môđun con U 6= 0 mà với mọi

0 6= C ≤ U , C E U

Giả sử E(U ) = X ⊕ Y, X 6= 0, Y 6= 0

Vì U E E(U ) nên U ∩X 6= 0, U ∩Y 6= 0 Theo chứng minh trên, ta có (U ∩X)∩(U ∩Y ) 6=

0 Suy ra X ∩ Y 6= 0 (mâu thuẫn với X ∩ Y = 0) Do đó E(U ) không phân tích được

Ta có B0 nội xạ, U ≤ B0 và E(U ) chứa U Suy ra E(U ) là hạng tử trực tiếp của

B0 Giả sử B0 = E(U ) ⊕ B2 Lúc đó E0+ E(U ) = E0⊕ E(U ) là tổng trực tiếp của cácmôđun nội xạ không phân tích được Điều này mâu thuẫn với với tính tối đại của tậpI

E(T ) là vật đối sinh cực tiểu Đặt E = E(CN

0) Lúc đó theo giả thiết, cómột sự phân tích

E =M

A

Eα

mà sự phân tích đó bù các hạng tử trực tiếp cực đại Với mỗi môđun đơn T ∈ S, đặt

A(T ) = {α ∈ A|Eα ∼= E(T )}

Bây giờ, với mỗi n > 0, môđun nội xạ con E(T )(n) đẳng cấu với một hạng tử trựctiếp của E Vì thế theo bổ đề 2.3.6, ta có card(A(T )) ≥ n và do đó, A(T ) là vô hạn.Đặt

B = [

T ∈S

A(T )