Một số kết quả về môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh

Các kết quả về chúngkhông những đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và môđun mà còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Vì vai tr

Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ

ảnh đợc xem nh là hai trụ cột chính trong nghiên cứu lýthuyết môđun và lý thuyết vành Các kết quả về chúngkhông những đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vành

và môđun mà còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại

số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Vì vai trò

đặc biệt quan trọng của chúng nên vấn đề mở rộng các lớpmôđun này đợc rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu Trong khoảng 30 năm qua lớp môđun nội xạ đợc mởrộng theo nhiều hớng khác nhau và một hớng quan trọng là

đa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, môđun và (1 - C1)- môđun Các kết quả theo hớng này đã

CS-đợc N.V Dung - D.V Huynh - Smith - Wisbauer tổng kết lại

trong quyển sách “Extending modules” (xem [4]) Theo

hớng này các nhà toán học tiếp tục đa ra lớp môđun giả nộixạ và đợc nghiên cứu bởi Bharadwai - Tiwary (1982), Jain -Singh (1975), Tiwary - Pandeya (1978), … và gần đây làDinh, López - Permouth

Khoá luận nghiên cứu các tính chất của môđun giả nộixạ và giả xạ ảnh là hai lớp môđun mở rộng của môđun tựanội xạ và tựa xạ ảnh nhằm giải quyết bài toán đặt ra:Những tính chất nào còn đúng trong hai lớp môđun mởrộng và xem xét đặc điểm của căn Jacobson vành tự

đồng cấu của môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh, mối liên hệgiữa hai lớp môđun này với các điều kiện (C2), (D2)

Khoá luận đợc trình bày thành 3 chơng: Trong chơng

I, chúng tôi hệ thống khái niệm cơ bản thờng gặp trong

khoá luận Trong chơng II, chúng tôi trình bày một cách hệthống khái niệm và tính chất của môđun nội xạ và môđunxạ ảnh Trong chơng III, chúng tôi tập trung nghiên cứu cáctính chất của hai lớp môđun mở rộng nhằm giải quyết bàitoán đã đặt ra

Khi nghiên cứu về lớp môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh,chúng tôi nhận thấy hệ thống kiến thức của nó cha thực sựhoàn thiện nên còn đặt ra nhiều bài toán sẽ hấp dẫn chúngtôi nghiên cứu trong thời gian tới nh:

Bài toán 1: Môđun giả nội xạ cần thoả mãn điều kiện

gì để trở thành môđun tựa nội xạ, nội xạ

Bài toán 2: Môđun giả xạ ảnh cần thoả mãn điều kiện

gì để trở thành môđun tựa xạ ảnh, xạ ảnh

Bài toán 3: Đặc điểm của môđun giả nội xạ và giả xạ

ảnh trên các vành đặc biệt nh: vành Noether, vành Artin,vành chuỗi…

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo

Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắcchắn còn nhiều thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến củabạn đọc để khoá luận này đợc hoàn thiện hơn.

Tác giả

Trong chơng này, chúng tôi đa ra những định nghĩa,các tính chất cơ bản liên quan đến công trình Các kháiniệm, tính chất và ký hiệu cơ bản chúng tôi dựa chủ yếuvào các tài liệu: F.W Anderson and K.R Fuller [2]; S.H.Mohamed and B.J Muller [6]

Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị

và các môđun trên một vành luôn đợc hiểu là môđun phảiunita

1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con đóng

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành và M là một

R-môđun phải Xét N là R-môđun con của M.

a) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M

và ký hiệu , nếu với mọi môđun con ,

thì Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N

b) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu

d) Môđun con B của M đợc gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B << M, nếu với

mọi môđun con L của M, L  M thì B + L  M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M.

Tính chất 1.1.2 Cho M, N là các R-môđun phải với

a) Bao đóng của một môđun con N trong môđun M

luôn tồn tại (xem [6 tr.19])

b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (xem [6 tr.20]).

Tính chất 1.1.3

a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con

b) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con

và B << C thì A << M.

Chứng minh

a) Giả sử Suy ra Do nên ta có Mặt khác Suy ra Vậy ta có b) Giả sử sao cho Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, từ Theo luật modula ta có:

Theo giả thiết B << Cnên suy ra



1.2 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai môđun M và N Một đồng

cấu R- môđun hay một ánh xạ tuyến tính là ánh xạthoả mãn các điều kiện:

với mọi và với mọi

- Nếu thì đồng cấu đợc gọi là tự đồng cấu

- Nếu là đơn ánh (tơng ứng toàn ánh và song ánh)thì đợc gọi là đơn cấu (tơng ứng toàn cấu và đẳngcấu)

Ký hiệu:

Im = (M) Ker =

Định lý 1.2.2 Mỗi đồng cấu môđun có sự

Kerf A/

f

  '

Trong đó là toàn cấu tự nhiên; là một đơncấu.

Định nghĩa 1.2.3 Cho hai môđun M và N.

a) Đơn cấu : M  N đợc gọi là chẻ ra (split) nếu Im là

hạng tử trực tiếp của môđun N.

b) Toàn cấu : M  N đợc gọi là chẻ ra nếu Ker là hạng tử trực tiếp của môđun M.

Tính chất 1.2.4 Cho hai môđun M và N Khi đó:

a) Đồng cấu : A  B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi

tồn tại đồng cấu : B  A sao cho Khi đó B = Im 

Ker

b) Đồng cấu  : B  C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi

tồn tại đồng cấu : C  B sao cho Khi đó B = Ker  

Im

Chứng minh

a) Giả sử : A  B là đơn cấu chẻ ra Khi đó

Do mỗi phần tử viết đợc duy nhất dới dạng

Ngợc lại, giả sử tồn tại đồng cấu : B  A sao cho

Khi đó là đơn cấu Lấy tuỳ ý Suy ra ,nghĩa là Vậy B = Im + Ker

Lấy phần tử Suy ra tồn tại sao cho

và

Vậy B = Im  Ker

ab) Giả sử đồng cấu  : B  C là toàn cấu chẻ ra thì

Xét đồng cấu và phép nhúng chínhtắc ta có:

thoả mãn

Ngợc lại, nếu tồn tại đồng cấu : C  B sao cho

thì là đơn cấu và là toàn cấu Từ đó ta có B = Ker  

Im 

1.3 CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun đều, môđun không suy biến

Cho M là một R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng

tử trực tiếp của M Nói cách khác mọi môđun con đóng trong

M đều là hạng tử trực tiếp của M.

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu

với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và thì cũng là hạng tử trực tiếp của M.

Định nghĩa 1.3.1

a) Một môđun M đợc gọi là CS-môđun (hay extending), nếu M thỏa mãn điều kiện (C1).

b) Một môđun M đợc gọi là liên tục (continuous), nếu M

thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2)

c) Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục

Tính chất 1.3.2 [6 Proposition 2.2] Một môđun thỏa

mãn điều kiện (C2) thì cũng thỏa mãn điều kiện (C3)

Định nghĩa 1.3.3

a) Môđun U đợc gọi là môđun đều (uniform) nếu và

đối với mọi môđun con khác không A, B của U.

con suy biến của U.

Nếu ta nói rằng U là môđun không suy biến.

1.4 Căn của vành

Định nghĩa 1.4.1 Cho vành R và môđun M

a) Căn của môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M và ký hiệu Rad (M).

b) Cho vành R ta gọi căn Jacobson của R là căn của môđun R R và ký hiệu J(R) Tức là J(R) = Rad (R R ).

Tính chất 1.4.2 Cho vành R và A là một iđêan phải

của vành R Khi đó, các mệnh đề sau là tơng đơng:

a) A  Rad(R R ).

b) Với mỗi r  A, 1-r khả nghịch bên phải.

c) Với mỗi r  A, 1- r khả nghịch.

Chơng II: Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Đ1 Môđun nội xạ

1.1 Định nghĩa

Cho vành R và A là R-môđun phải

a) Môđun M đợc gọi là A-nội xạ (A-injective) nếu

với mọi môđun con X của A, mỗi đồng cấu  : X  M đều

tồn tại đồng cấu  : A  M sao cho  =

b) Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M

Do M là môđun A-nội xạ nên tồn tại đồng cấu sao cho

Vậy đơn cấu f : M  A là chẻ ra.



1.3 Bổ đề: [6 Proposition 1.3] Nếu M là môđun

A-nội xạ, B là môđun con của A thì M là môđun B-A-nội xạ và

A/B-nội xạ.

1.4 Bổ đề: [6 Proposition 1.5] Môđun M là -nội

xạ nếu và chỉ nếu M là A i -nội xạ với mọi i  I.

1.5 Định lý: Cho họ môđun Khi đó cácmệnh đề sau là tơng đơng:

b) Các môđun phải M và N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau

(relatively injective) nếu M là N-nội xạ và N là M-nội xạ.

1.7 Tính chất: Bao nội xạ E(N) luôn luôn tồn tại với mọi

môđun N.

1.8 Bổ đề: [6 Lemma 1.13] Môđun M là A-nội xạ

nếu và chỉ nếu  (A)  M với mọi   Hom (E(A); E(M))

1.9 Bổ đề: [6 Corollary 1.16] Cho 2 môđun A và B

nội xạ lẫn nhau Nếu E(A)  E(B) thì với mỗi đẳng cấu E(A)

 E(B) cảm sinh một đẳng cấu A  B Hơn nữa, A và B

là môđun tựa nội xạ

1.10 Mệnh đề: [6 Proposition 1.17] Môđun M 1  M 2

là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M 1 , M 2 nội xạ lẫn nhau

1.11 Mệnh đề: [6 Proposition 2.1] Một môđun tựa

nội xạ thì thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2)

Từ Định nghĩa 1.5.1, Mệnh đề 1.5.11, Tính chất 1.3.2

ta có phép kéo theo sau đây:

Nội xạ => Tựa nội xạ => Liên tục => Tựa liên tục =>

Xét đồng cấu   S bất kỳ và đặt K = Ker Giả sử L

là môđun con tối đại trong M thỏa mãn K  L = 0 Do M thỏa

mãn điều kiện (C1) nên L là hạng tử trực tiếp của M Từ đó,

ta có là một đơn cấu Môđun M liên tục nên M thỏa mãn

điều kiện (C2), suy ra Từ đó tồn tại   S sao cho

 = id L

a) Môđun N đợc gọi là A-xạ ảnh (A-projective)

nếu với mọi môđun con X của A, mỗi đồng cấu

 : N  A/X đều có thể nâng tới đồng cấu  : N  A.

b) Môđun N đợc gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu N là N-xạ ảnh.

c) Môđun N đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là A-xạ

ảnh với mọi môđun A.

(D1) Với mọi môđun con bất kỳ A của M có một sự phân

tích M = M 1  M 2 sao cho M 1 A và A  M 2 << M.

(D2) Nếu A là môđun con của M sao cho đẳng

cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là một hạng

tử trực tiếp của M.

(D3) Nếu M1 và M 2 là các hạng tử trực tiếp của M tức là

M=M 1 +M 2 thì M 1 M 2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.

2.3 Tính chất: [6 Lemma 4.6] Một môđun thỏa mãn

điều kiện (D2) thì cũng thỏa mãn điều kiện (D3)

2.4 Bổ đề: [6 Lemma 4.30] Nếu N là môđun A-xạ

ảnh thì mọi toàn cấu f : A  N là chẻ ra Trong trờng hợp

đặc biệt, A không phân tích đợc thì f là đẳng cấu.

2.5 Mệnh đề: [6 Proposition 4.31] Cho môđun N là

A-xạ ảnh Nếu B là môđun con của A thì N là B-xạ ảnh và A/B-xạ ảnh.

2.8 Hệ quả: [6 Crollary 4.36] Hạng tử trực tiếp của

môđun xạ ảnh cũng là một môđun xạ ảnh

Chứng minh Đợc suy ra từ Định nghĩa 2.1 và Mệnh đề

2.6 

2.9 Mệnh đề: [6 Proposition 4.38] Một môđun tựa

xạ ảnh thì thỏa mãn điều kiện (D2)

Chứng minh Đợc suy ra từ Hệ quả 2.5



Từ Định nghĩa 2.1, Tính chất 2.2, Mệnh đề 2.9 ta cóphép kéo theo sau đây:

Xạ ảnh Tựa xạ ảnh (D2) (D3)

Chơng III: Môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh

Đ1 Môđun giả nội xạ

1.1 Định nghĩa

Môđun N đợc gọi là M - giả nội xạ (M-pseudo

-injective) nếu mọi môđun con A của M, mọi đơn cấu

N





 : A  N đều có thể mở rộng tới đồng cấu  : M  N.

Môđun N đợc gọi là giả nội xạ (pseudo injective)

nếu N là N-giả nội xạ.

Các môđun M và N đợc gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu M

là N-giả nội xạ và N là M-giả nội xạ.

Nhận xét: Môđun giả nội xạ là lớp môđun mở rộng

thực sự của môđun tựa nội xạ

-(4) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun M - giả nội xạ cũng

là môđun M - giả nội xạ.

(6) Nếu A và B là các môđun giả nội xạ lẫn nhau và

i

f’

đồng cấu f’ sao cho Do cách xác định g nên ta có

f’f=f’(if)=gf=id N Theo Tính chất 1.2.2 ta có đơn cấu f là

chẻ ra

(2) Chiều thuận đợc suy ra từ Định nghĩa

Chiều nghịch: Giả sử N là M-giả nội xạ với mọi môđun M Theo chứng minh trên ta có mọi đơn cấu

là chẻ ra, suy ra N là môđun nội xạ.

(3) Giả sử X là môđun con của môđun A

và là một đơn cấu Do N là M-nội xạ

nên tồn tại đồng cấu là mở rộng của f

Xét đồng cấu : Dễ thấy f’ là

đồng cấu mở rộng của f, suy ra N là A-giả nội xạ.

(4) Giả sử N là M-giả nội xạ và ta

sẽ chứng minh A là môđun M-giả nội xạ Giả sử X là

một môđun con của M và đơn cấu Ta xây

dựng đồng cấu g nh sau:

Dễ thấy g là đơn cấu Do N là M-giả nội xạ

nên tồn tại đồng cấu là mở rộng của đơn cấu g.

Xét trong đó là phép chiếu lênmôđun A Từ cách xây dựng ta có chính là đồng cấu mở

rộng của đơn cấu f

Vậy môđun A là M-giả nội xạ.

(5) Xét N là môđun M-giả nội xạ và đơn cấu

Dễ dàng kiểm tra đợc X là môđun con của môđun M

Từ cách xây dựng X ta có đồng cấu là đơn cấu mà

của

Ta sẽ chứng minh Thật vậy, ta lấy

.(6) Xét đẳng cấu Khi đó theo (5) thì

Do là môđun giả nội xạ nên theo (3) là

M 2 -giả nội xạ Giả sử A là môđun con của M 2 và đồng cấu

từ lên , ta có mở rộng của đồng cấu f Vậy M 1 là

M 2 -nội xạ, suy ra M 1 và M 2 là nội xạ lẫn nhau

M Ta sẽ chứng minh B cũng là một hạng tử trực tiếp của M.

Xét đẳng cấu Ta có M là giả nội xạ nên A là M-giả nội xạ Do f là đẳng cấu nên f là đơn cấu từ

Theo Mệnh đề 1.2 ta có f là đơn cấu chẻ ra hay f(A)=B là hạng tử trực tiếp của M

Vậy M thoả mãn điều kiện (C2) Định lý đợc chứng

minh 

1.5 Hệ quả: Một môđun giả nội xạ và CS thì liên tục.

Chứng minh Đợc suy ra từ Định nghĩa 1.3.1 và Định lý

1.4 

Từ Tính chất 1.3.2, Định nghĩa 1.5.1, Định nghĩa 1.1

và Định lý 1.3 ta có phép kéo theo sau đây:

1.6 Định lý Cho M là môđun giả nội xạ và E = End

f trên môđun con K của M

Dễ thấy f’ là đơn cấu Do M là môđun giả nội xạ nên

(ii) Từ kết quả trên ta dễ dàng chứng minh đợc là

một iđêan của vành E Xét là một phần tử bất kỳ

của vành ta cần chứng minh tồn tại

Đặt và L là môđun con tối đại của M sao cho Xét đồng cấu f đợc xây dựng nh sau:

Dễ thấy f là đơn cấu.

1.7 Mệnh đề Một môđun đều, không suy biến và giả

nội xạ là môđun tựa nội xạ.

Chứng minh

Giả sử U là môđun giả nội xạ, không suy biến, đều và

môđun không suy biến và đều nên Ker(f) chỉ có thể bằng không hoặc Ker(f)=V Nếu Ker(f) = V thì hiển nhiên f có

thể mở rộng thành một đồng cấu từ Nếu Ker(f)=0 thì f là đơn cấu mà U là môđun giả nội xạ nên có thể mở rộng f thành một đồng cấu từ

Vậy U là môđun tựa nội xạ Định lý đợc chứng minh.



M i

Đ2 Môđun giả xạ ảnh

2.1 Định nghĩa

Môđun N đợc gọi là A - giả xạ ảnh (A-pseudo

-projective) nếu với mọi môđun con X của A, mỗi toàn

cấu có thể đợc nâng lên thành đồng cấu

Môđun N đợc gọi là giả xạ ảnh (pseudo-projective) nếu

N là N-giả xạ ảnh.

Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh lẫn nhau nếu M là

N-xạ ảnh và N là M-xạ ảnh.

Nhận xét: Môđun giả xạ ảnh là lớp môđun mở rộng

thực sự của môđun tựa xạ ảnh

(3) Nếu N là M - giả xạ ảnh thì N là M/X - giả xạ ảnh với

X là môđun con của M.

(4) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun M - giả xạ ảnh cũng là môđun

M - giả xạ ảnh.

(5) Môđun N là M - giả xạ ảnh thì N cũng là A - giả xạ

ảnh với A là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh

(1) Giả sử là một toàn cấu

Ta xây dựng đồng cấu  nh sau:

Từ cách xây dựng trên dễ thấy  là toàn cấu Do N là M-giả

xạ ảnh nên có thể nâng tới đồng cấu sao cho

Ta chứng minh

Vậy ta có là chẻ ra

(2) Chiều thuận: Đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Chiều nghịch: Do N là môđun M-giả xạ ảnh nên

theo chứng minh trên, mọi toàn cấu là chẻ ra Từ

đó suy ra N là môđun xạ ảnh

(3) Gọi là một toàn cấu

Rõ ràng, tồn tại một đẳng cấu

Dễ thấy là toàn cấu Do N là M-giả xạ ảnh nên tồn tại

đồng cấu h sao cho Đặt Ta có: Với

cấu h* Suy ra A là M-giả xạ ảnh.

(5) Giả sử N là M-giả xạ ảnh và Ta sẽ chứng

minh N là A-giả xạ ảnh.

Gọi g là một đẳng cấu từ A lên M/B và là

đẳng cấu cảm sinh từ A/X lên M/B/g(X).

Dễ thấy là toàn cấu Do N là M/B-giả

xạ ảnh (theo 3) nên tồn tại đồng cấu