Đặc trưng vành di truyền qua môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Khoá luận này tập trung nghiên cứu tính chất của lớp môđun nộixạ và xạ ảnh, nghiên cứu lớp vành di truyền và cho một đặc trng của vành ditruyền thông qua các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh..

Lời nói Đầu

Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh là những lớp môđun rất quan trọng trong

đại số hiện đại Khoá luận này tập trung nghiên cứu tính chất của lớp môđun nộixạ và xạ ảnh, nghiên cứu lớp vành di truyền và cho một đặc trng của vành ditruyền thông qua các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh

Khoá luận đợc trình bày trong hai chơng:

ở chơng I, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết nh:môđun, môđun con, môđun thơng, môđun sinh bởi một tập, đồng cấu môđun,tổng trực tiếp các môđun, môđun tự do, dãy khớp các môđun, môđun xạ ảnh vàmôđun nội xạ

ở chơng II, chúng tôi đã trình bày khái niệm vành di truyền Các kết quảchính của khoá luận cũng đợc trình bày trong chơng này, đó là:

* Định lý 2.2, nội dung của định lý là chứng minh mọi môđun con của môđun tự

do trên vành di truyền đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp các môđun mà mỗimột trong các môđun đó đẳng cấu với một iđêan trái nào đó của vành di truyền

* Bổ đề 2.3, ý nghĩa của bổ đề này là: Trong Định nghĩa 2.1 (ChơngI), không cầnvới mọi môđun A mà chỉ cần A là môđun nội xạ ta vẫn có X là môđun xạ ảnh

* Bổ đề 2.4, ý nghĩa của bổ đề này là: Trong Định nghĩa 2.2 (ChơngI), không cầnvới mọi môđun B mà chỉ cần B là môđun xạ ảnh ta vẫn có X là môđun nội xạ

* Định lý 2.5, nội dung của định lý là chứng minh ba mệnh đề sau tơng đơng:

(a) A là vành di truyền

(b) Mỗi một môđun con của A-môđun xạ ảnh là xạ ảnh

(c) Mỗi một môđun thơng của A-môđun nội xạ là nội xạ

Khoá luận này là sự tìm hiểu bớc đầu về lớp môđun nội xạ và xạ ảnh, lớpvành di truyền Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Ngô Sĩ Tùng đã hớng dẫnnhiệt tình và chu đáo để tác giả có thể hoàn thành khoá luận này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán đã tậntình giảng dạy, giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt bốn năm học tập tại trờng Đại họcVinh Tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạnsinh viên để khoá luận này đạt kết quả tốt hơn

Vinh, ngày 23 tháng 4 năm 2004

Tô Thị Hải Hà

chơng I môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

I Khái niệm môđun

Trong suốt chơng này R luôn đợc giả sử là một vành giao hoán có đơn vị 1 

0

1.1 Định nghĩa:

Ta gọi môđun trên R , hay R -môđun, là một nhóm Aben cộng X , cùng vớimột hàm  :RX  X

từ tích Đềcác R  X vào X thoả mãn ba điều kiện sau:

Giả sử X là một môđun bất kì trên R Ta gọi môđun con của X là một tập con

không rỗng A của X tự bản thân nó là một môđun trên R đối với phép cộng vàphép nhân vô hớng của môđun X

Nói cách khác, một tập con không rỗng A của X là một môđun con của X nếu

và chỉ nếu A là một nhóm con của nhóm Aben cộng X và là ổn định dới phép nhân

vô hớng của X, tức là xA xảy ra với mọi  R và mọi xA

1.2.2 Mệnh đề:

Giao của một họ bất kì những môđun con của một môđun X trên R là mộtmôđun con của X

1.2.3.Định nghĩa:

Giả sử S là một tập con tuỳ ý của một môđun X trên R Môđun con bé nhất A

chứa S đợc gọi là môđun con sinh bởi tập S.

Trong trờng hợp A = X, ta nói rằng S là tập hợp những phần tử sinh của X và X

đợc sinh ra bởi S

1.2.4.Định nghĩa:

Một phần tử x của một môđun X trên R gọi là một tổ hợp tuyến tính của

những phần tử trong một tập con S của X nếu và chỉ nếu tồn tại một số hữu hạnnhững phần tử x1,,x2, ,x n trong S sao cho

i x x

Chứng minh: Giả sử A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của những phần

tử trong S Khi đó, hiển nhiên A là một môđun con của X Với mỗi x  S, ta có

Giả sử X là một môđun trên R và A là một môđun con của X Khi đó nhóm

th-ơng Q  X A là môđun thơng của môđun X trên môđun con A của nó.

Với những môđun tuỳ ý X , Y và Z trên R cái hợp thành g o f :X  Z của hai

đồng cấu bất kì f :X  Y và g:Y  Z là một đồng cấu

Chứng minh:

Giả sử  R và u,vX là tuỳ ý cho trớc Vì f và g là những đồng cấu,

nên ta có:

u v gfu v  gf u f v  gf u  gf v  g f  u g f v f

* Chứng minh h ( A) là môđun con của Y

Giả sử  R và u,vh(A)là tuỳ ý cho trớc Theo định nghĩa của h ( A), tồn tạinhững phần tử c,dA với h(c) u và h(d) v Vì A là một môđun con của X ,suy ra cdA và c  A Vì h là một đồng cấu, nên điều này kéo theo

) ( ) ( ) ( ) (c h d h c d h A h

v

) ( ) ( ) (c h c h A h

 là tuỳ ý cho trớc Theo định nghĩa của h 1 (B), ta

có h(u) B và h(v) B Vì h là một đồng cấu và B là một môđun con của Y ,nên ta có

) ( ) (

, ) ( ) ( ) (

B u h u h

B v h u h v u h

Một đồng cấu h:X  Y của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R làmột đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker(h)  0.

Chứng minh:

* Điều kiện cần:

Giả thiết h:X  Y là một đơn cấu Vì h là một đồng cấu, nên nó chuyển phần

tử không của X vào phần tử không của Y Do đó phần tử không của X bị chứatrong hạt nhân ( )  1 ( 0 )

h h Ker của h Vì h là đơn ánh, nên ảnh ngợc h 1 ( 0 )

không thể chứa nhiều hơn một phần tử của X Điều này kéo theo Ker(h)  0

Giả sử X là một môđun trên R và A là một môđun con tuỳ ý của X, Q  X A là

môđun thơng của môđun X trên môđun con A Hàm

Q X

p: 

xác định bởi p x xAQ với mọi x  X , gọi là phép chiếu tự nhiên của môđun

X lên môđun thơng Q của nó

1.3.7 Mệnh đề:

Với một đồng cấu h:X Y của một môđun X trên R vào một môđun Y trên R,

1.4 Tổng trực tiếp các môđun.

1.4.1 Định nghĩa:

Cho M iiI là một họ các môđun con của một R-môđun M Khi đó ta nóirằng M phân tích đợc thành tổng trực tiếp của M i, nếu mỗi phần tử m  M đềubiểu diễn đợc duy nhất dới dạng

,

1 , ,

2

m m

k k

n i i i

A  :

xác định bởi  (a,b) ab với mọi (a,b) AB, là một đẳng cấu

Để chứng minh AB X , giả sử x là một phần tử bất kì của X Vì  làmột toàn cấu, nên tồn tại một phần tử (a,b) AB sao cho

b a b a

Để chứng minh AB 0 bằng phản chứng, ta hãy giả thiết rằng A  B chứa

một phần tử khác không x của X Vì A  B là một môđun con của X nên ta có

, ( x x  xx 

Để chứng minh  là một toàn cấu, giả sử x là một phần tử bất kì của X Vì

a, )    (

1.4.3 Định lý:

Nếu cái hợp thành hg o f của hai đồng cấu f :X  Y và g:Y  Z của cácmôđun X,Y,Z trên R là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng:

(i) f là một đơn cấu

(ii) g là một toàn cấu.

(iii) Môđun Y phân tích đợc thành tổng trực tiếp của Im( f) và Ker (g); bằng

kí hiệu Y  Im(f) Ker(g)

Chứng minh: (i) và (ii) là hiển nhiên đúng Ta còn phải thiết lập (iii) Muốn

vậy, giả sử A  Im( f) và B  Ker (g)

Để chứng minh ABY, giả sử y là một phần tử tuỳ ý của Y Đặt

g

Điều này kéo theo b  B Do đó ta có

B A b a

y     Vì y là tuỳ ý, nên điều này chứng minh ABY.

Để chứng minh AB 0, giả sử y là một phần tử bất kì trong A  B VìA

y  , nên tồn tại một phần tử x  X với f x y Vì y  B, nên ta có g(y)  0.Thế thì ta đợc

1.5 Môđun tự do.

1.5.1 Định nghĩa:

Ta gọi môđun tự do trên R lên một tập hợp S, là một môđun F trên R cùng với

một hàm f :S F sao cho, với mọi hàm g:S X từ tập S vào một môđun X trên R,tồn tại một đồng cấu duy nhất h:F X từ môđun F vào môđun X để cho ta cóquan hệ giao hoán

g f

Giả sử X là một môđun trên R tuỳ ý cho trớc Ta có thể lấy ra một tập con S

của X sinh ra X Chẳng hạn, ta có thể lấy S  X

Xét môđun tự do F trên R sinh ra bởi tập hợp S Thế thì hàm bao hàm

X

S

g:  mở rộng ra thành đồng cấu h:F X của môđun F vào môđun X

Vì S g S h F và vì S sinh ra X , nên ta có h F X Do đó h là một toàncấu Gọi K là hạt nhân của h Thế thì, theo mệnh đề 1.3.7, X đẳng cấu với

môđun thơng F K của môđun tự do F .

1.5.3 Định nghĩa:

Một tập con S của một môđun X trên R gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ

nếu, với mọi số hữu hạn những phần tử phân biệt x , ,1 x n của S,

kéo theo i  0 với mọi i 1 , ,n Ta gọi cơ sở của một môđun X trên R là một tập

con độc lập tuyến tính S của X sinh ra X

của môđun Y là một hạng tử trực tiếp của Y

Nói cách khác, dãy khớp chẻ ra tại môđun Y nếu và chỉ nếu Y phân tích đợcthành tổng trực tiếp của A và một môđun con khác của Y

Nếu dãy khớp chẻ ra tại mỗi môđun không nằm ở hai đầu của nó, thì ta nói

h |B:  Thế thì h là một đồng cấu của môđun B vào môđun Z Vì

 g  Im f A, AB 0

nên ta suy ra rằng h là một đơn cấu Ta còn phải thiết lập Im h  Im g

Giả sử z  Im(g) là tùy ý cho trớc Thế thì tồn tại một phần tử y  Y sao cho

 y z

g  Vì Y AB, nên tồn tại những phần tử a  A và b  B với yab Khi

đó ta có:

z g(y) g(ab) g(a) g(b) g(b) h(b) ( vì a  A và b  B) Điều nàykéo theo Im(h ) Im(g)

những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra tại môđun Y nếu tồn tại một

đồng cấu h:Y  X sao cho cái hợp thành h o f là một tự đẳng cấu của môđun X Trong trờng hợp này ta có

những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra tại môđun Y nếu tồn tại một

đồng cấu k:Z  Y sao cho cái hợp thành g o k là một tự đẳng cấu của môđun Z Trong trờng hợp này ta có

phải của f là một đồng cấu k:Y  X sao cho cái hợp thành f o k là tự đẳng cấu

đồng nhất của môđun Y

1.6.10 Mệnh đề:

Với mọi dãy khớp ngắn

0

0  A f B g C 

những đồng cấu của những môđun trên R, ba phát biểu sau là tơng đơng:

(a) Dãy khớp ngắn đó chẻ ra

(b) Đồng cấu f có một nghịch đảo trái

(c) Đồng cấu g có một nghịch đảo phải.

Im(f Ker g

Theo định nghĩa, môđun B phân tích đợc thành tích trực tiếp của môđun con D

đó và một môđun con khác E của B

Để thiết lập (b), trớc hết ta chú ý rằng f là một đơn cấu và do đó nó xác địnhmột đẳng cấu

) Im(

f g

g

f h

ii Môđun xạ ảnh

2.1 Định nghĩa:

Một môđun X trên R gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu, với mọi đồng cấu f :X  B

và mọi toàn cấu g:A B của những môđun trên R, tồn tại một đồng cấu h:X  A

X

A B 0

2.2 Định nghĩa:

f h

Một môđun P trên R gọi là xạ ảnh nếu mọi môđun M , mọi môđun thơng

A

M , mọi đồng cấu

A

M P

f :  , luôn tồn tại đồng cấu h:P M sao cho có quan hệgiao hoán p o hf trong biểu đồ sau

f :  là một đồng cấu và g:A B là một toàn cấu tùy ý cho trớc của những

môđun trên R Với s bất kì S, tồn tại một phần tử j (s) của A với gj s f s

vì g là một toàn cấu Sự tơng ứng s j (s) xác định một hàm j:S A Vì X làmôđun tự do trên R lên tập hợp S  X , nên j mở rộng ra thành một đồng cấu duynhất h:X  A Còn phải thử lại rằng g o hf

Muốn vậy, gọi x là một phần tử tùy ý của X Vì X đợc sinh ra bởi S , nên

i

i i n

i

n

i

i i i

V U

của hai môđun U và V trên R là xạ ảnh Để chứng minh rằng U là xạ ảnh, giả

sử f :U  B là một đồng cấu và g:A B là một toàn cấu tùy ý cho trớc Gọi

X

U

j:  là phép nhúng tự nhiên và p:X U là phép chiếu tự nhiên Vì X là xạ

ảnh, nên tồn tại một đồng cấu k:X  A thỏa mãn

p f k

g o  o Xét đồng cấu hợp thành

A U j k

h o :  Vì p o j là tự đồng cấu đồng nhất của U , nên ta đợc

f j p f j k g h

g o  o o  o o  Vậy U là môđun xạ ảnh

g o  Theo Mệnh đề 1.6.10, điều này kéo theo dãy khớp ngắn trong (b) chẻ ra

(b)  (c): Theo Định lý 1.5.2, X đẳng cấu với một môđun thơng của mộtmôđun tự do trên R Nói cách khác, tồn tại một môđun tự do F trên R và một toàncấu g:F X Gọi K là hạt nhân của g và f :K  F là đồng cấu bao hàm Thế thì

ta đợc một dãy khớp ngắn

0

0  K f F g X 

Theo (b), dãy khớp ngắn này chẻ ra Theo Mệnh đề 1.6.10, điều này kéo theo

sự tồn tại của một đồng cấu h:X  F sao cho g o h là tự đẳng cấu đồng nhất của X

Theo Định lý 1.3.4, h là một đơn cấu và

) ( )

Im(h Ker g

Do đó, X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Im(h) của môđun tự do F trên R (c)  (a): Giả thiết X đẳng cấu với A là một hạng tử trực tiếp của F trong đó F

là một môđun tự do trên R ( FA  B) Theo Mệnh đề 2.4, F là một môđun xạ

ảnh Do đó, theo Mệnh đề 2.5, A là một môđun xạ ảnh Vậy X là môđun xạ ảnh

iii Môđun nội xạ

3.1 Định nghĩa:

f h

Một môđun X trên R gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu f :A X

và mọi đơn cấu g:A B của những môđun trên R, tồn tại một đồng cấu h:B X

thoả mãn

f g

h o  Trong ngôn ngữ các biểu đồ, định nghĩa này có thể phát biểu lại nh sau: Mộtmôđun X trên R gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi biểu đồ

B

A g



 0

1 Khái niệm vành di truyền.

F := x |    M là một mụđun con tuỳ ý của F Khi đú tồn tại một toàn cấu

 từ M  F lờn một iđờan trỏi nào đú của vành A

Chứng minh:

Ta kớ hiệu F là mụđun co0n của mụđun F được sinh bởi cỏc phần tửsinh tự do x với    (F := x |    ) Khi đú, mỗi phần tử a M  F cúdạng: ab x  với b F ,   A Ta chứng minh tập I gồm cỏc  xác

định ở trờn là một iđờan trỏi của A Thật vậy :

Cho A là một vành di truyền Khi đó mọi môđun con của một A-môđun tự

do đều phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun mà mỗi một trong cácmôđun đó đẳng cấu với một iđêan trái nào đó của A

Ta có : ker  aM F |  a  0

b x |   0

M  F

Do A là vành di truyền nên I là A- môđun xạ ảnh Do  toàn cấu nên







 M F C F

M    ,aM F nên abc trong đó b M  F,c  C

Vì mọi môđun trên R đều đẳng cấu với một môđun con của R-môđun nội

xạ nên có thể xem M là môđun con của môđun nội xạ Q nào đó Khi đó M ''

M’ i M

Q f

*Điều kiện đủ: Xét biểu đồ

với M tuú ý và M ' M Do một môđun bất kì đều đẳng cấu với một môđunthương của một môđun xạ ảnh, nên có thể xem M  P K với P là môđun xạảnh Xét phép chiếu :P  P K và đặt P'  1M'

  Theo giả thiết g:P Q saocho g o j f o p

(b) Mỗi một môđun con của A-môđun xạ ảnh là xạ ảnh

(c) Mỗi một môđun thương của A-môđun nội xạ là nội xạ

Chứng minh:

0

io

0

0

Do A là vành di truyền nên I là A-môđun xạ ảnh, dẫn đến C là môđun

xạ ảnh   I Vậy M là môđun xạ ảnh

(b)  (c): Xét biểu đồ

những đồng cấu của những môđun trên A, trong đó P là môđun xạ ảnh, Q làmôđun nội xạ, dòng là khớp, Q ' Qker(h) là môđun thương của môđun Q Taphải chứng minh Q' nội xạ, nghĩa là   :P  Q' sao cho o k f

Thật vậy, do k đơn cấu nên P' Im k P, mà P là môđun xạ ảnh nên

 k

Im là môđun xạ ảnh (theo (b)), kéo theo P' là môđun xạ ảnh

Do h là toàn cấu, P' là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu g:P'  Q saocho h o gf

Lại có, Q là môđun nội xạ, k là đơn cấu nên tồn tại đồng cấu g:'P Q

h

k

f

h

Vậy, theo Mệnh đề 2.4, Q' là môđun nội xạ

(c)  (b): Giả sử P là A-môđun xạ ảnh và P ' P, ta sẽ chứng minh P'

Kết luận

Khoá luận đã giải quyết đợc các vấn đề sau:

* Hệ thống lại một cách cô đọng và khá đầy đủ các khái niệm và các tínhchất của lớp môđun nội xạ và xạ ảnh

* Đã nghiên cứu lớp vành di truyền và cho một đặc trng của vành ditruyền thông qua các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh

tài liệu tham khảo

[1] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules

Springer Verlag, New York, 1974

[2] A W Chatters and C R Hajarnavis, Rings with Chain Conditions, Pitman London, 1980

[3] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and Discrete Modules,

London, Math Soc Cambridge Univ Press 1990

[4] Nguyễn Tự Cờng, Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003

[5] S T Hu Nhập môn đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp, 1973