Môđun con đóng m xyclic và môđun m cp nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

Người ta đã mở rộng lớp môđun nội xạ tới các lớp môđun Mnội xạ, môđun Mtựa nội xạ, môđun nội xạ chính, môđun Mnội xạ cốt yếu, môđun Mcp nội xạ… Theo hướng phát triển về mở rộng môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ THỊ THANH HOA

MÔĐUN CON ĐÓNG M-XYCLIC

VÀ MÔĐUN M-cp NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN2013

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC……… 3

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN……… 4

LỜI NÓI ĐẦU……… ……….….5

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun con cốt yếu……… 7

1.2 Môđun nội xạ……….11

Chương 2: Môđun con đóng Mxyclic và môđun Mcp nội xạ 2.1 Môđun con đóng Mxyclic 21

2.2 Môđun Mcp nội xạ……… ……… 25

KẾT LUẬN……… 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……… ……… 32

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

:

m

AM A là môđun con của môđun M.

* :

A M A là môđun con cốt yếu của môđun M.

: Quan hệ thứ tự bao hàm

:

AM A là tập hợp con của tập M :

 Tổng trực tiếp của các môđun

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển của Toán học, lí thuyết môđun được quan tâm nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả Trong lí thuyết môđun, môđun nội

xạ đóng vai trò quan trọng và được nhiều người nghiên cứu Người ta đã mở rộng lớp môđun nội xạ tới các lớp môđun Mnội xạ, môđun Mtựa nội xạ, môđun nội xạ chính, môđun Mnội xạ cốt yếu, môđun Mcp nội xạ…

Theo hướng phát triển về mở rộng môđun nội xạ chúng tôi đã dựa vào bài báo của các tác giả A K Chaturvedi, B M Pandeya, A J Gupta năm 2009: "Quasi-c-Principally Injective modules and Self-c-Principally Injective Rings" (xem  2 ) để nghiên cứu lớp môđun con đóng Mxyclic và môđun

Mcp nội xạ Vì vậy đề tài luận văn mà chúng tôi thực hiện là: "Môđun con đóng Mxyclic và môđun Mcp nội xạ"

Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun Mcp nội xạ, luận văn đã trình bày một cách hệ thống một số tính chất của môđun con đóng Mxyclic và môđun

Mcp nội xạ Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun con cốt yếu, môđun nội xạ

Chương 2: Trình bày một số khái niệm, tính chất của môđun con đóng

Mxyclic và môđun Mcp nội xạ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy Đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Vinh đã hỗ trợ giúp

đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do năng lực cá nhân còn hạn chế nên luận văn có thể gặp phải sai sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn vành luôn được giả thiết là vành có đơn vị kí

hiệu là 1, các môđun là môđun trái unita trên một vành R nào đó (nếu không

nói gì thêm)

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M và A

m

(iv) Cho A i,B i là các môđun con của M và *

Chứng minh (i) Điều kiện cần: Hiển nhiên theo định nghĩa

0  Điều này vô lý

Vậy trường hợp giao vô hạn là không đúng

1 2

M M nên lấy giao hai vế ta được *

A A  M1M2 Trường hợp 2: Với I bất kì Đầu tiên ta chứng minh tồn tại i

1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con

Khi đó

1

i i

C X





 là môđun con của M và là cận trên của dãy (*)

Lấy x A C suy ra có một số k nào đó sao cho xX k. Từ đây ta có

và a b 0. Như vậy ABY 0 suy ra B Y S. Do tính tối đại của B

nên Y  0.

.

A B M 

1.1.5 Bổ đề Cho : N M là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con

L N thì  X m M sao cho  L  X 0 suy

1.2 Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa Cho A là Rmôđun Một môđun N được gọi là Anội xạ

nếu mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu : X  N đều mở rộng được thành đồng cấu  :A N, tức là i  với i là phép nhúng đồng nhất

(i) Chứng minh N là B- nội xạ

Giả sử X B là môđun con của A B và : X B N là một đẳng cấu Gọi  là đồng cấu tự nhiên từ A vào A B,  '   X , ta xét biểu đồ sau:

Vậy  là mở rộng của  hay N là A Bnội xạ 

1.2.3 Mệnh đề Môđun N là Anội xạ khi và chỉ khi N là Ranội xạ,

   (do xT nên tồn tại i để xA i)

Do đó t là đồng cấu mở rộng của  nên T, tS và T, t là cận trên của

họ 

Vậy theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại, kí hiệu là B, .

Ta chứng minh B cốt yếu trong A Giả sử ngược lại B không cốt yếu trong A Khi đó tồn tại C là môđun con khác không của A sao cho B C 0. Xét đồng cấu

Với : Ka N sao cho  ka   ka (do KaB nên có  ka )

Do N là Ranội xạ nên  có thể mở rộng được thành  :Ra N.

Suy ra B,   BRa,  Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của B, .

Vậy BA và  : A N là mở rộng của  hay N là Anội xạ 

nhất và : X N là một đồng cấu với  I. Gọi : N  N là phép nhúng chính tắc Khi đó ta có : X N là một đồng cấu Do N nội xạ nên tồn tại đồng cấu : M N sao cho i  , tức là biểu đồ sau giao hoán

Bây giờ ta xét đồng cấu      , trong đó  : N N là phép chiếu chính tắc, ta có i  i   i      Điều này chứng tỏ N là nội xạ

Do đó    Điều này chứng tỏ N là nội xạ 

1.2.6 Định nghĩa Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là Anội xạ với mọi môđun A. Tức là với mọi môđun A, mọi môđun Xm A, mọi đồng cấu

1.2.7 Ví dụ (i) môđun là nội xạ

(ii) môđun không là nội xạ

1.2.8 Định lí Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi mọi iđêan trái I của R, mọi

f x  f x xf xa

mọi môđun N. Lấy X là môđun con tùy ý của N, g X:  M là đồng cấu bất kì Ta chứng minh tồn tại đồng cấu *

.

g  

Thật vậy nếu BN thì tồn tại nN\B Đặt H B Rn do nB nên

,

BH ta xác định đồng cấu h H:  M cho bởi h b rn    b ra trong

đó a được xác định như sau: gọi I  r R rnB. Dễ dàng kiểm tra được I

là iđêan trái của R. Xác địn đồng cấu g I:  M cho bởi g r   rn r, I.

Theo giả thiết tồn tại aM để g x xa,  x I. Như vậy, do BH và theo cách xác định của h nên h là mở rộng của  Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của B,  Do đó BN và *

.

g   Vậy *

g là mở rộng của g. 

1.2.9 Hệ quả Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là R Rnội xạ

1.2.10 Tính chất (i) Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ

(ii) Tổng trực tiếp hữu hạn của môđun nội xạ là nội xạ

1

n i



 là Anội xạ khi

và chỉ khi N i là Anội xạ, i 1, n Khi đó cho M  X Y,M là nội xạ suy ra

M là Anội xạ,A dẫn đến X là Anội xạ do đó X nội xạ

(ii) Cho M M1, 2, ,M k là nội xạ Khi đó M i là Anội xạ, A, i 1,k suy ra

1.2.13 Định lí (i) Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại với mọi môđun M.

(ii) E M  là lớn nhất trong mở rộng cốt yếu của M. Tức là nếu *

CHƯƠNG 2 MÔĐUN CON ĐÓNG MXYCLIC VÀ MÔĐUN Mcp NỘI XẠ

2.1 Môđun con đóng Mxyclic

2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M và A

m

 M được gọi là đóng trong M nếu

A không có mở rộng cốt yếu thật sự trong M.

Nói cách khác, A được gọi là đóng trong M nếu mọi môđun con X  0

2.1.2 Ví dụ Nếu A và B là hai môđun con của môđun M thỏa mãn

M  A B thì A và B là các môđun con đóng trong M.

2.1.3 Định nghĩa Cho môđun M và A

m

 M. Môđun con X của M được gọi

là bao đóng của môđun con A trong M nếu X là môđun con tối đại trong M

sao cho *

.

A X

2.1.4 Ví dụ Xét các môđun, môđun con 2 có bao đóng là

2.1.5 Mệnh đề Bao đóng của một môđun luôn tồn tại

 ta thấy A là cận trên của T, ta chứng minh AS

tức là N A Thật vậy, lấy xA, x 0 suy ra tồn tại n để xK n mà *

cận trên Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại K, ta chứng minh K là bao đóng của N

2.1.6 Định nghĩa Môđun con K của M được gọi là phần bù (hay phần bù

của M có giao với B bằng không và K được gọi là phần bù trong M nếu K

là phần bù của môđun con nào đó của M.

2.1.7 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì   *

2.1.8 Mệnh đề Cho ,

m

(ii) KB là môđun con cốt yếu của M.

.

K  N Khi đó nếu NK , do K B 0, K tối đại nên N B 0. Ta có KNB

K  N nên N B 0. Điều này vô lý

Vậy K đóng trong M.

(ii) Được suy ra từ Mệnh đề 1.1.4 

2.1.9 Mệnh đề Cho M là Rmôđun Khi đó

(i) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M.

(ii) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.

Gọi  : A B A là phép chiếu Do Ker B nên NKer  0 suy ra  N

là đơn cấu Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A mà *

A N nên AN hay

A là môđun con đóng trong M.

(ii) Trước hết ta chứng minh nếu môđun con A đóng trong M và mọi

Lấy K là phần bù giao của K trong L, L là phần bù giao của L trong

suy ra V K KK L K 0. Do đó V K hay K đóng trong M. 

2.1.10 Định nghĩa Cho M là Rmôđun trái Môđun M được gọi là xyclic

khi và chỉ khi tồn tại một phần tử sinh, nghĩa là tồn tại m M sao cho

 

M Rm  rm rR

2.1.11 Bổ đề Cho vành R, M là Rmôđun trái Nếu M là môđun xyclic thì

r rx

Rõ ràng f là một đồng cấu môđun Hơn nữa f là toàn cấu Vì vậy theo định

lí đồng cấu môđun ta có R Kerf M, trong đó Kerf r rx 0  

2.1.12 Định nghĩa Cho M là Rmôđun N là môđun con của M. Khi đó N

được gọi là môđun con Mxyclic của M nếu NM X, với X là môđun con nào đó của M.

Ví dụ: Xét vành số nguyên như môđun Khi đó mỗi môđun con của là một môđun con xyclic

2.1.13 Chú ý Môđun con đóng và môđun con Mxyclic của một môđun là khác nhau

0

F F F R

2.1.14 Mệnh đề Cho A là một môđun con đóng Bxyclic của B và B là

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.8 ii), nếu A là một môđun con đóng của B

và B là một môđun con đóng của M thì A là một môđun con đóng của M.

Tương tự nếu A là một môđun con Bxyclic của B và B là một môđun con

Mxyclic của M thì A là một môđun con Mxyclic của M. Kết hợp hai

điều kiện trên ta được kết quả cần tìm 

2.2 Môđun Mcp nội xạ

2.2.1 Định nghĩa (i) Cho M và N là hai Rmôđun Khi đó môđun N được gọi là Mnội xạ chính ( M p nội xạ) nếu mỗi đồng cấu  từ một môđun con Mxyclic X của M đến N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào

(ii) Cho M và N là hai Rmôđun Khi đó môđun N được gọi là Mc nội

rộng tới đồng cấu  từ M vào N.

(iii) Cho M và N là hai Rmôđun Khi đó môđun N được gọi là Mc nội

mọi đồng cấu f X:  N có thể được mở rộng từ M đến N.

N được gọi là cnội xạ chính nếu nó là R cp nội xạ

Ví dụ: Xét vành số nguyên Khi đó môđun là -cp nội xạ

Ta thấy, môđun M p nội xạ là Mcp nội xạ và Mc nội xạ là Mcp nội

xạ nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

2.2.2 Ví dụ (i) Cho là vành các số nguyên Khi đó môđun là cp

nội xạ nhưng không là p nội xạ Hay môđun Mcp nội xạ không là môđun Mp nội xạ

0

F F F R

của là một môđun con xyclic nhưng không là môđun con đóng Khi đó

2 là môđun con xyclic của Giả sử  : 2   là đồng cấu sao cho

 2a a,

    2a 2 Giả thiết rằng có một đồng cấu  :   sao cho biểu

đồ sau giao hoán

2 i

 

Khi đó ta có 1   2   i 2  2  1 Điều này vô lý Vì vậy  không thể

mở rộng thành đồng cấu  Do đó môđun không là nội xạ chính Theo chú ý 2.1.13 ii), mỗi môđun con của là một môđun con xyclic nhưng không là môđun con đóng Vì vậy môđun con đóng của chỉ có thể là 0 và

(ii) Cho X là một môđun con đóng Mxyclic của một Rmôđun M. Nếu X

(iii) Cho A B, và X là các Rmôđun có A đẳng cấu với B. Nếu A là

X cp nội xạ thì B là X cp nội xạ

(iv) Cho X Y, và M là các Rmôđun có X đẳng cấu với Y. Nếu M là

Chứng minh (i) Chứng minh tương tự như tài liệu [6, Mệnh đề 2.2]

(ii) Cho I X:  X là một đồng nhất thức và ghép thêm ánh xạ i X:  M.

Vì X là Mcp nội xạ, tồn tại một đồng cấu f M:  X để cho I  fi. Vì vậy X là một hạng tử trực tiếp của M.

(iii) Hiển nhiên Vì A là X cp nội xạ mà A đẳng cấu với B nên B là

X cp nội xạ

(iv) Cho f X:  Y là một đẳng cấu và C là một môđun con đóng

X xyclic của X. Chúng ta có thể thấy rằng, f C  là Yxyclic đóng trong

  được mở rộng bởi một đồng cấu h Y:  M.

Khi đó có một đồng cấu hf X:  M là mở rộng của 

Vậy M là X cp nội xạ 

2.2.4 Hệ quả Cho M và N i là các Rmôđun, iA và A là tập chỉ số hữu

1

n i



xạ

2.2.5 Mệnh đề Cho A và M là các Rmôđun Giả sử B là một môđun con

xạ thì ta có

(ii) N là A cp nội xạ

(iii) M là B cp nội xạ

theo Mệnh đề 2.1.14), X là một môđun con đóng Axyclic của A Giả sử

(ii) Ta có (ii) được suy ra từ Hệ quả 2.2.4

(iii) Ta có M là A cp nội xạ và N là hạng tử trực tiếp của M mà N là

B cp nội xạ nên M là B cp nội xạ 

2.2.6 Hệ quả Cho M và N là hai Rmôđun Khi đó N là Mcp nội xạ khi

2.2.7 Hệ quả Cho M, A là hai Rmôđun và M là A cp nội xạ Nếu N là

2.2.8 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương cho một Rmôđun M :

(ii) Mọi Rmôđun là Mcp nội xạ

(iii) Mọi môđun con đóng Mxyclic của M là Mcp nội xạ

2.2.9 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương cho một Rmôđun M :

(ii) M là Nc nội xạ với mọi Rmôđun N.

(iii) M là Ncp nội xạ với mọi Rmôđun N.

(ii)(iii): Hiển nhiên

(iii)(i): Giả sử M không nội xạ Khi đó M E, E là bao nội xạ của M. Xét tổng trực tiếp ngoài của M và E, kí hiệu ME. Do đó M là một môđun con đóng Mxyclic của ME.

Cho I M:  M là đồng nhất thức, i M:  E là một đơn cấu và

2 :

j E ME là phép nội xạ tự nhiên Từ giả thiết  iii M là M E cp

nội xạ Do đó ta có thể mở rộng đồng cấu f M:  E M sao cho I  fj i2 ,

tức là I gi, fj2 g là một đồng cấu từ E tới M. Vì thế M là một hạng tử trực tiếp của E.

(ii) Mỗi Rmôđun là Mc nội xạ

(iii) Mỗi Rmôđun là Mcp nội xạ và M đáp ứng tính chất CM.

2.2.11 Mệnh đề Các điều kiện sau đây tương đương với một môđun M xạ ảnh:

(i) Mỗi ảnh đồng cấu của Mcp nội xạ là Mcp nội xạ

(ii) Mỗi ảnh đồng cấu của Mc nội xạ Mcp nội xạ

(iii) Mỗi ảnh đồng cấu của Mnội xạ Mcp nội xạ

(iv) Mỗi ảnh đồng cấu của một Rmôđun nội xạ là Mcp nội xạ

(v) Mỗi môđun con đóng Mxyclic của M là xạ ảnh

KẾT LUẬN

Luận văn đã tìm hiểu và trình bày lại một phần các kết quả được đăng trên bài báo "Quasi-c-Principally Injective modules and Self-c-Principally Injective Rings" đăng trên Southeast Asian Bulletin of Mathemmatics năm

2009 (xem [2]) của các tác giả A K Chaturvedi, B M Pandeya, A J Gupta

Cụ thể luận văn đã thực hiện được các nội dung sau đây:

1 Trình bày các khái niệm và một số tính chất về môđun con cốt yếu, môđun nội xạ

2 Trình bày một số tính chất của môđun con đóng Mxyclic và môđun

Mcp nội xạ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] N V Dung, D V Huynh, P S Smith, R Wisbauer (1994), Extending

modules, Pitman London

[4] F Kasch (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (London) Ltd [5] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete

Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge

University Press, Cambridge

[6] D W Sharpe, P Vamos 1972, Injective Modules, Cambridge University

Press, Cambridge