Lớp CS môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ

27 Lời nói đầu Khái niệm CS - môđun đã đợc Chatters và Hajarnavis đa ra vào năm 1977 : Cho R một vành có đơn vị, một môđun phải M đợc gọi là CS - môđun Extending modunle nếu mọi môđun co

Mục lục

Trang

Mục lục ……… 1

Lời nói đầu 2

Danh mục ký hiệu ……… 4

Chơng 1: Kiến thức cơ sở ……… 5

1.1 Môđuncon cốt yếu, môđun con đóng 5

1.2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ 6

1.3 CS - môđun, 1- C1môđun 9

Chơng 2: CS - môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ 11

2.1 Tính chất của môđun M- nội xạ 11

2.2 CS – môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ

18 Kết luận 26

Tài liệu tham khảo 27

Lời nói đầu

Khái niệm CS - môđun đã đợc Chatters và Hajarnavis đa ra vào năm

1977 : Cho R một vành có đơn vị, một môđun phải M đợc gọi là CS - môđun (Extending modunle) nếu mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng trực tiếp của M

Kể từ khi khái niệm CS - môđun ra đời đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về lớp môđun này Đặc biệt trong những thập niên gần đây thì lớp CS- môđun đợc rất nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu rộng rãi theo nhiều hớng khác nhau Kết quả là một số lợng lớn các công trình, bài báo đã đợc

công bố Trong các kết quả đó chúng tôi đặc biệt quan tâm đến một bài báocủa C.Santa- Clara có tên là “Extending modun with injective or semisiplesummands”, bài báo đợc đăng trên “Journal of Pure and Applied Algebra127(1998)”.Dựa trên bài báo này chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu với nhữngmục đích sau:

Thứ nhất trình bày một cách chặt chẽ và chi tiết một số phép chứngminh và kết quả của lớp CS- môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ đợc nêu lêntrong bài báo

Thứ hai tìm hiểu và đa thêm một số tính chất của lớp CS - môđun cóhạng tử trực tiếp nội xạ

Với nội dung trên luận văn đợc chia thành hai chơng

Chơng 1 Kiến thức cơ sở

Dựa vào các tài liệu tham khảo, trong chơng này chúng tôi đa ra một sốkiến thức cơ sở bao gồm: các định nghĩa và một số tính chất của môđun concốt yếu, môđun nội xạ, môđun đơn, môđun nửa đơn, CS - môđun, 1- C1môđun

Chơng 2: CS - Môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ.

Trong chơng này chúng tôi đa ra một số tính chất của môđun M- nội xạ,

CS - môđun, 1- C1 môđun đồng thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽmột số kết quả về lớp CS-môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ trong bài báo củaC.Santa- Clara

Luận văn đợc thực hiện từ tháng 3 năm 2008 và hoàn thành tại Đại họcVinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS - Ngô Sỹ Tùng

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã

đặt ra vấn đề và thờng xuyên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo thuộc khoa Toán trờng Đại học Vinh đãtrang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, đã tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoànthành luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn đến các bạn học viên cao học khoá 14, chuyênngành Đại số, khoa sau Đại học, Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trìnhhoàn thành luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, chúng tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy cô giáo vàcác bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Danh mục ký hiệu

Trong luận văn ngoại trừ các trờng hợp đặc biệt đã đợc nói rõ ở từngmục còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau:

R luôn phát biểu là một vành tổng quát có đơn vị và M là R- môđunphải

N ≤ M : N là môđun con của M

N ≤e M : N là môđun con cốt yếu của M

N ≤C M : N là môđun con đóng của M

N ≤d M : N là hạng tử trực tiếp của M

⊕M i : Tổng trực tiếp của các môđun M i (i ∈ I)

E (M) : Bao nội xạ của M

Soc(M) : Socle của M

Chơng I KIếN THứC CƠ Sở 1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng

Cho R là vành có đơn vị và M là R- môđun phải, N là môđun con của M

1.1.1 Định nghĩa Môđun con N đợc gọi cốt yếu trong M và kí hiệu là N≤e M nếu

1.1.3 Định nghĩa Môđun con N đợc gọi là đóng trong M Kí hiệu N ≤C M

nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

Hay nói cách khác, N đợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K

của M mà N cốt yếu trong K thì N = K

1.1.4 Định nghĩa Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng của môđun con

N trong M nếu K đóng M và N cốt yếu trong K

Hay nói cách khác, môđun K đợc gọi là bao đóng của N trong M nếu K

là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K

1.1.5 Nhận xét Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại

1.1.6 Mệnh đề.Giả sử M là R-môđun phải và A≤ M Khi đó luôn tồn tại B≤

M sao cho A ⊕ B ≤ e M Tức là mọi môđun con luôn tồn tại phần bù cốt yếu.

1.2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ

1.2.1 Định nghĩa Cho A, N là R - môđun phải môđun N đợc gọi là A - nội xạ

nếu với mọi môđun con X của A Với mỗi đồng cấu ϕ : X→ N có thể mở rộng

thành đồng cấu ψ : A→ N của ϕ tức là ψ i = ϕ, với i là phép nhúng đồng nhất

1.2.2 Mệnh đề Cho N là A - nội xạ, khi đó mọi đơn cấu f: N→ A là chẻ ra.

1.2.3 Mệnh đề Cho môđun N là A nội xạ và B là môđun con của A thì: –

(ii) N là A- nội xạ, ta chứng minh N là A/B - nội xạ.

Gọi X/B là môđun con củaA/B và ϕ: X/B →N là đồng cấu

Điều kiện cần: Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử N là Ai – nội xạ với ∀i∈I Đặt A = ⊕∈I Ai, gọi X làmôđun con bất kỳ của A và ϕ: X → N là đồng cấu Theo bổ đề Zooc tồn tạicặp tối đại (X’; ϕ’) mà X ≤ X’ ≤ A và ϕ’ là mở rộng của ϕ Suy ra X’ ≤ e A.

Ta sẽ chứng minh X’ = A

Giả sử X’ ≠ A ⇒ ∃ a ≠ 0; a ∈ A – X’,do A = i⊕∈I Ai ⇒ ∃j ∈ I để a ∈ AjTheo giả thiết N là Aj – nội xạ ⇒ N là Ra – nội xạ,chọn K = {r R ra X∈ ∈ '}

Lấy α: Ka → N với α (ra) = ϕ’ (ra)

Do N là Ra – nội xạ nên tồn tại β : Ra → N là mở rộng của α

Lấy môđun X’ + Ra thì X là môđun con thực sự của X’ + Ra

Thì f* là mở rộng của f hay A là M – nội xạ với mọi M nên A là nội xạ

1.2.8 Định lý Mọi môđun M luôn nhúng vào đợc một môđun nội xạ.

1.2.9 Định lý Một môđun Q nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực tiếp–

của các môđun chứa nó.

1.2.10 Định lý i

I Q

∏ nội xạ khi và chỉ khi Q i nội xạ với mọi i∈I

1.2.11 Định nghĩa Cho M là môđun, ta gọi bao nội xạ của môđun M là một

môđun kí hiệu là E(M) thoã mãn tồn tại đơn cấu f: M → E(M) và f(M) ≤ e

E(M), E(M) nội xạ.

1.2.12 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ nếu M là M - nội xạ.

1.2.13 Định lý M1 ⊕ M 2 là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là M j nội xạ với–

mọi i, j ∈{ }1 ; 2 i ≠j

1.2.15 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là nửa đơn nếu mỗi môđun con của M

đều là hạng trực tiếp của M

1.2.16 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu nó không có môđun

con không tầm thờng nào Hay nói cách khác M chỉ có hai môđun con là 0 vàM

1.2.17 Định nghĩa Môđun U đợc gọi là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con

khác không đều cốt yếu trong U

1.2.18 Định nghĩa Cho M là môđun ta gọi tổng tất cả các môđun con đơn

của M là đế của môđun M, và kí hiệu là Soc(M).

Nếu M không có môđun con đơn thì quy ớc Soc(M) = 0

1.2.19 Nhận xét Soc(M) = ∩ E, trong đó E chạy khắp các môđun con cốt

yếu của M.

1.3.1 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là CS-môđun (extending modunle) nếu

với mọi môđun con A của M, luôn tồn tại môđun con X sao cho A cốt yếutrong X và X là hạng tử trực tiếp của M.

Tức là mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

1.3.2 Mệnh đề Một môđun M là CS-môđun khi và chỉ khi mọi môđun con

đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

1.3.3 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của CS - môđun là CS - môđun.

Chứng minh.

Giả sử M là CS - môđun và N ≤d M Ta chứng minh N là CS - môđun.

Thật vậy, xét K là môđun con đóng của N, khi đó K đóng trong M Vì M là

A cốt yếu trong X và X là hạng tử trực tiếp của M

Hay nói cách khác, M đợc gọi là 1 - C 1 nếu mọi môđun con đều là cốt

yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

1.3.5 Mệnh đề: Một môđun M là 1 C– 1 môđun khi và chỉ khi mọi môđun con đóng đều trong M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh

Giả sử M là 1 – C1 môđun và A là môđun con đóng đều của M theo địnhnghĩa tồn tại môđun con X của M sao cho A ≤e M và X ≤d M Do A đóng nên

A không có mở rộng cốt yếu do đó A = X Vậy A ≤d M.

Ngợc lại giả sử A là môđun con đóng đều bất kỳ trong M Gọi L là bao

đóng của A Do A đều nên L đều

Suy ra L ≤d M, nên M là 1 – C1 môđun.

1.3.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của 1 - C1 môđun là 1 - C 1 môđun.

Chứng minh.

Giả sử M là 1 – C1 môđun và N là hạng tử trực tiếp của M

Gọi X là môđun con đóng đều trong N, theo mệnh đề 1.3.5 thì X ≤dM Suy ra

M = X⊕Y

Theo luật môđular ta có:

N = NM = N (X ⊕Y) = X⊕ (NY)Hay X ≤dN nên N là 1 – C1 môđun

Chơng II

CS - Mô Đun có hạng tử trực tiếp nội xạ

2.1 Tính chất của môđun M- nội xạ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm đợc đa ra trên cơ sởkhái niệm môđun M - nội xạ đã đợc các nhà lý thuyết vành nghiên cứu, đồngthời chúng tôi cũng trình bày tờng minh các tính chất cho những khái niệm đ-

ợc đa ra

2.1.1 Định nghĩa Môđun M2 là gần nh M 1 nội xạ– nếu với mọi môđun con

A của M1, với mọi đồng cấu α : A → M2 sao cho kerα ≠ 0 có thể mở rộngthành đồng cấu β : M1 → M2

2.1.2 Định nghĩa Môđun M2 là cốt yếu M 1 nội xạ– nếu với mọi môđun con

A của M1, với mọi đồng cấu α : A → M2 sao cho kerα ≤eA đều có thể mởrộng thành đồng cấu β: M1 → M2

2.1.3 Mệnh đề Nếu M2 là gần nh M 1 nội xạ thì M– 2 là cốt yếu M 1 nội–

xạ Nếu M 1 là môđun đều thì hai khái niệm trên trùng nhau.

Chứng minh

Giả sử M2 là gần nh M1- nội xạ, với mọi đồng cấu α : A →M2 sao chokerα ≤ e A Khi đó, theo giả thiết ta có thể mở rộng thành β: M1 →M2 Ta thấy

kerα ≠0 (vì kerα ≤ e A) VậyM 2 là cốt yếu M 1 – nội xạ.

Nếu M1 là môđun đều mà A≤M1 nên A đều nên mọi môđun con kháckhông đều cốt yếu trong A Vì vậy kerα ≠0 thì kerα ≤ eA

Do đó M1 đều thì hai khái niệm trùng nhau

2.1.4 Định nghĩa M1 và M2 là cốt yếu nội xạ lẫn nhau nếu Mi là gần nh cốtyếu Mj – nội xạ với mọi i, j ∈{ }1 ; 2 , i ≠j

2.1.5 Bổ đề Cho M1 , M 2 là các môđun, X là mô đun con của M 1 , M= M 1⊕M 2 Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng:

(i) M 2 là (M 1 / X) - nội xạ.

(ii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho N I M 2 = 0 và π1 (N) I X ≤

N tồn tại môđun con N của M sao cho ’ N≤N' và M = N'⊕M 2.

(iii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho N I M 2 = 0 và X ≤ N tồn tại một môđun con N của M sao cho ’ N≤N' và M= N'⊕ M 2

Chứng minh.

(ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên.

(i) ⇒ (ii) Giả sử M2 là (M 1 / X) nội xạ và N là môđun con của M sao

cho N I M 2 = 0 và (π1 (N) I X) ≤ N Xét ánh xạ α0 : N→ M 2 với aa π 2 ( )a ,

và β0 : N→M 1 / X thỏa mãn aa π 1 ( )a +X.

Do π1 (N) I X ≤ M1 và π1 (N) I X ≤ N nên π1 (N) I X ≤ N I M1 =kerα0 Ta có đồng cấu môđun α : N/(π1 (N) I X ) →M2 đợc xác định nh sau

Thật vậy, với mọi a∈ kerβ0 , ta có π1 (a)∈ X Suy ra π1 (a) ∈ π1(N) I X

Do N I M2 = 0, với mọi a ∈ kerβ0 ≤ N, ta có a = π1 (a) + π2 a)∈ N ⊕M 2

⇒ a -π1 (a) = π2 (a) = 0 (do a∈ N) Do đó a = π1 (a) ∈ π1 (N) I X, hay a ∈ π1(N) I X Vì vậy π1 (N) I X = kerβ0

Ta thấy ánh xạ β : N /(π1 (N)I X ) → M 1 / X, với a + π1(N) I Xa π1 (a)+ Xthì β là đơn cấu

Theo giả thiết M2 là M1/X nội xạ nên tồn tại ánh xạ ϕ : M1 / X → M2 saocho ϕβ = α Ta có sơ đồ sau:

Do đó a = [π1 (a) + ϕ (π1 (a) + X ) ] + [π2 (a) - ϕ (π1 (a) + X ) ]∈ N'+ M2 Vì vậy

M = N'⊕ M2 Nếu a ∈ N thì π2 (a) = α (a + π1(N) I X ) = ϕβ (a+ π1 (N) I X)

= ϕ (π1 (a) + X ) và a = π1 (a) + π2 (a) = π1 (a) +ϕ (π1 (a)+ ϕ (π1 (a)+X ∈ N' Nh vậy N

≤ N'

(iii) ⇒ (i) Giả sử có điều kiện (iii), ta sẽ chứng minh M2 là (M 1 / X) - nội

xạ Gọi L là môđun con của M1 sao cho X ≤ L và gọi α : L / X → M 2 là một

đồng cấu bất kỳ

Đặt N = { a - α (a + X ) a ∈ L } Dễ thấy N là môđun con của M,

N I M2 = 0 và X ≤ N Khi đó theo giả thiết tồn tại môđun con N’ của M saocho N≤ N' và M=N'⊕ M2

Gọi π : M → M 2 là phép chiếu chính tắc với hạt nhân là N’ thì X ≤ N' = kerπ Ta có đồng cấu ϕ : M 1 / X → M 2 với a + X a π (a) Với mọi a∈ L ta

(i) M 2 là (M 1 /Soc(M 1 )) - nội xạ.

(ii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho N I M 2 = 0 và Soc (π1 (N)) ≤ N, tồn tại môđun con N ’của M, sao cho N≤ N' và M=N'⊕M 2

(iii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho NI M 2 = 0 và Soc(N)= Soc(M 1 ), tồn tại môđun con N của M, sao cho ’ N≤ N' và M=N'⊕M 2

2.1.7 Bổ đề

Cho M 1 , M 2 , là các môđun và M= M 1 ⊕M 2 Khi đó các mệnh đề sau là

t-ơng đt-ơng :

(i) M 2 gần nh M 1 - nội xạ.

(ii) M 2 là (M 1 / X) nội xạ với mọi môđun con X – ≠ 0 của M 1

(iii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho NI M 1 ≠ 0 và NI M 2 =

0, tồn tại môđun con N của’ M, sao cho N≤ N' và M=N’⊕M 2

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii) Giả sử M2 gần nh M1 - nội xạ, ta phải chứng minh M2 là M 1 /X

-nội xạ Thật vậy, gọi N/X là môđun con của M1/X và gọi ϕ : N/X → M2

đồng cấu bất kỳ Gọi π : M1 → M1 /X và π' = π N

Do M2 là gần nh M1 - nội xạ nên tồn tại đồng cấu θ : M 1→ M 2 sao cho θ

(ii) ⇒ (i) Giả sử có (ii), gọi A là môđun con của M1 Gọi α : A→ M2 là

đồng cấu Ta có đồng cấu α: A/ kerα → M2 với a + kerα a α(a). Gọi B là

phần bù của A trong M1 thì ta có X= kerα⊕B

Xét đồng cấu ϕ : A/ kerα→M1/X với a+ kerα a a+X

M 1 N

Vì AI X = A I (kerα ⊕ B) = kerα ⊕ (A I B) = kerα Suy ra ker ϕ = kerα

Theo Bổ đề 2.1.5 ta có (ii) tơng đơng với (iii)

2.1.8 Bổ đề Cho M1 , M 2 , là các môđun và M = M 1 ⊕M 2 Khi đó các mệnh

đề sau là tơng đơng:

(i) M 2 là cốt yếu M 1 - nội xạ.

(ii) M 2 là (M 1 /X) - nội xạ với mọi môđun con cốt yếu X ≠ 0 của M 1

(iii) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho NI M 1 ≤e M 1 và NI M 2 =

0, tồn tại môđun con N' của M, sao cho N≤ N' và M=N'⊕M 2

(iv) Với mọi môđun con (đóng) N của M sao cho NI M 1 ≤e M 1 và NI

(ii) ⇒ (i) Giả sử có (ii), gọi A là môđun con của M1 Gọi α : A→ M 2 là

đồng cấu sao cho kerα≤e A

Ta có α: A/ kerα → M2 với a + kerα a α(a) Gọi B là phần bù của Atrong M1, ta có X= kerα⊕B≤e M1

Xét đồng cấu ϕ : A/ kerα→M1/X , với ϕ(a+ kerα) = a+X

Mặt khác, ta có: A I X = A I (kerα⊕ B) = kerα ⊕ (A I B) = kerα

Suy ra kerϕ = kerα. Do đó ϕ là đơn cấu

M 1 A

βϕ

M 2

Hơn nữa theo giả thiết, M2 là (M 1 /X) - nội xạ, nên tồn tạiβ : M1/X→M2 sao cho

α (a + kerα) = β α (a + kerα) = β (a+X)

Với mọi a∈ A, ta xét đồng cấu β : M1→M2, a→β (a+X) thì β(a)= α(a)với mọi a∈ A Vì vậy M2 là cốt yếu M1- nội xạ

Từ Bổ đề 2.1.5 ta có (ii) tơng đơng với (iii).

(iii) ⇒(v) Giả sử có điều kiện (iii) gọi N là môđun con của M, sao cho

N I M 1 ≤e N Gọi L là phần bù của N I M 1 trong M1 Khi đó ta có:

(N⊕L) I M 1 = (NI M 1 ) ⊕L ≤e M 1

Vì vậy: (NI M 1 ) I [ NI (L⊕M 2 )] =NI [ L⊕(M 1I M 2 )] =NI L =0.

Mặt khác, vì NI M 1≤e N nên NI (L⊕ M 2 ) = 0 Suy ra NI (L⊕ M 2 ) = 0.

Theo giả thiết, tồn tại một môđun con N’ của M sao cho N⊕L ≤ N' và M=N'⊕

M 2 Tiếp đến, nếu N là một môđun con của M sao cho NI M 1≤e M 1 và NI M 2 = 0,

thì với mọi môđun con của L của M sao cho N I M 1 ≤ L và L I M 2 = 0, N I M 1

= (N I M 1 ) ⊕ ( LI M 2 ) = [(N I M 1 )⊕M 2 ] I L≤ e L.

(v) ⇒ (iii) và (iv) ⇒ (iii) Hiển nhiên.

(iii) ⇒ (iv) Giả sử có điều kiện (iii) ta chứng minh (iv)

Gọi K là môđun con đóng của M sao cho KI M 1 ≤ e M 1 và KI M 2 =0 Theo

giả thiết tồn tại một môđun con K’ của M sao cho K ≤ K' và M =K' ⊕M 2

Vì K ≤ e K' và K đóng trong M nên K = K' Do đó M = K ⊕M 2

2.1.9 Định nghĩa Cho M1 , M 2 là các môđun và M = M 1 ⊕ M 2 , M2 đợc gọi là

u cốt yếu M– 1 nội xạ– nếu với mọi môđun con đều (đóng) N của M sao cho

N M 1 ≠0 tồn tại môđun con N’ của M sao cho N ≤ N’ và M = N ’⊕ M 2