Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI GIÁP TÝ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012... MAI GIÁP TÝVÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2012

MỤC LỤC

1.1 Môđun con cốt yếu 5

1.2 Phần bù 6

1.3 Môđun đều 6

1.4 Môđun A - nội xạ 9

1.5 Môđun tự nội xạ 10

1.6 Môđun nội xạ 11

1.7 Bao nội xạ 12

1.8 Môđun nội xạ không phân tích được 13

2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ 15 2.1 Vành các tự đồng cấu địa phương 15

2.2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ 21

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được cácnhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm Đặc biệt môđunnội xạ là một trong những trụ cột chính của lý thuyết môđun, từ đó ứngdụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện nội xạ quá mạnh, vì thế một sốlớp vành khó có thể đặc trưng Vì vậy người ta mới nghiên cứu mở rộnglớp môđun này Trong thập kỷ 80 và 90 các nhà toán học đạt được nhiềukết quả tốt trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nộixạ.

Năm 1989, Yoshitomo Baba và Manabu Harada đưa ra khái niệm mới

là môđun hầu nội xạ, cùng với các tính chất cơ bản của chúng Mặc dùlớp môđun này đã được đã được nghiên cứu trong hơn thập kỷ qua nhưngnhiều tính chất thú vị và hữu ích vẫn không được chú ý

Năm 2009 Adel Alahmadi và S K Jain tiếp tục nghiên cứu và mở rộnglớp môđun này và đã thu được nhiều kết quả Đó là một số tính chất củamôđun hầu tự nội xạ Kết quả đã được đăng trên trên tạp chí Mah J.Okayama Univ năm 2009

Dựa trên kết quả chính của bài báo "A note on almost injective modules"của Adel Alahmadi và S K Jain (xem [3]) luận văn nhằm tìm hiểu về vànhcác tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ Vì vậy chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu của luận văn là "Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nộixạ"

Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành hai

chương nội dung:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về môđunđều, môđun nội xạ, môđun không phân tích được

Chương 2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về vànhđịa phương và tìm hiểu về môđun hầu tự nội xạ và tính chất địa phươngcủa vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ

Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự làm việc nghiêm túc của bảnthân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS TS Ngô SỹTùng Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Ngô SỹTùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán,Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng các thầy cô giáophản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quýbáu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè

đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cốgắng nỗ lực, song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể cònnhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản luậnvăn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả đãbiết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu, Ta quy ước viếtmôđun M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M Trên vành

cố định R nào đó, các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều

là unita (nghĩa là x.1R = x với mọi x ∈ MR)

1.1 Môđun con cốt yếu

Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng nhiều trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa 1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun concốt yếu của M nếu với mọi môđun B ⊂ M thoả mãn A ∩ B = 0 thì B = 0

Kí hiệu A⊂∗M

Ta còn gọi A là môđun con lớn của M

2) Đồng cấu α được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im α⊂∗M

1.1.2 Mệnh đề M là R môđun, A ⊂ B ⊂ M Khi đó, A⊂∗M khi và chỉkhi A⊂∗B và B⊂∗M

1.1.3 Mệnh đề Giả sử A là môđun con của M Khi đó A⊂∗M khi và chỉkhi ∀m ∈ M, m 6= 0, ∃r ∈ R, mr 6= 0 mà mr ∈ A

1.1.4 Mệnh đề Cho họ Ai các môđun con của M

1) Ai⊂∗M, ∀i = 1, , n ⇒ ∩n

1 Ai⊂∗M

1.2.1 Định nghĩa Giả sử A là môđun con của M

1) Môđun con A∗ của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong

M nếu và chỉ nếu A + A∗ = M và A∗ là môđun con tối tiểu có tính chất

A + A∗ = M

2) Môđun con A0 của M được gọi là phần bù theo giao (hay ∩-bù ) nếu

A ∩ A0 = 0 và A0 là môđun con tối đại có tính chất A ∩ A0 = 0

1.2.2 Mệnh đề Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao

1.3.2 Ví dụ a) Mỗi R môđun đơn là môđun đều

b) Mỗi môđun con khác không của một môđun đều là môđun đều Thật vậy, giả sử N ⊂ M, N 6= 0 Mọi B ⊂ M mà N ∩ B = 0 nên B = 0

Vì nếu B 6= 0 thì do giả thiết M là đều ta sẽ có:N ∩ B 6= 0 (mâu thuẫn vớigiả thiết N ∩ B = 0)

Vậy M là môđun đều

1.3.4 Mệnh đề M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trựctiếp vô hạn các môđun con khác không Khi đó M chứa một môđun conđều

1.3.5 Mệnh đề Giả sử N ⊂∗M , với

N = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un,trong đó Ui là đều trong M , ∀i = 1, n Thế thì mỗi môđun con K 6= 0 của

M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi K ∩ Ui 6= 0 ∀i = 1, n

1.3.6 Mệnh đề Giả sử M là một R - môđun và ⊕n

i=1

Ui⊂∗M , trong đó mọi

Ui là môđun đều Khi đó:

1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất nhạng tử

2) Nếu ⊕k

i=1

Vi⊂∗M , với Vi là những môđun đều thì k = n

Chứng minh 1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp:

K1 ⊕ K2 ⊕ ⊕ Kn+1, Ki 6= 0, (i = 1, , n + 1), Ki ⊂ M

Thế thì

K2 ⊕ ⊕ Kn+16⊂∗M(vì có K1 6= 0, sao cho K1 ∩ (K2 ⊕ ⊕ Kn+1) = 0)

Theo Mệnh đề 1.3.5 tồn tại Ui(i = 1, , n) sao cho

Do đó tồn tại Uj sao cho

Uj ∩ (U1 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1) = 0 với (j 6= 1)Chẳng hạn Uj = U2, khi đó ta có tổng trực tiếp

U1 ⊕ U2 ⊕ K3 ⊕ Kn+1

Sau n bước như vậy ta có tổng trực tiếp

U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un⊕ Kn+1.Suy ra (U1 ⊕ ⊕ Un) ∩ Kn+1 = 0

Vì U1 ⊕ ⊕ Un⊂∗M nên Kn+1 6= 0 (Trái với giả thiết Kn+1 6= 0)

2) Nếu V1 ⊕ ⊕ Vk⊂∗M Theo 1) k ≤ n Mặt khác thay đổi vai trò của

Vi thành Ui và lại áp dụng 1) ta có n ≤ k Vậy n = k

Như vậy với môđun M 6= 0 ta có môđun M không chứa một tổng trựctiếp vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyêndương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng

U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un,trong đó Ui đều (i=1, ,n)

1.3.7 Định nghĩa Số n bất biến với môđun M trong Mệnh đề 1.3.6 gọi

là chiều đều của môđun M Kí hiệu UdimM

1.3.8 Mệnh đề Cho M và N là các R – môđun,N là môđun con của M1) N ⊂∗M khi đó UdimM hữu hạn khi và chỉ khi UdimN hữu hạn và trongtrường hợp này UdimM = UdimN

2) Giả sử N và M/N có chiều đều hữu hạn thì M cũng có chiều đềuhữu hạn và UdimM = UdimN + UdimM/N

1.4 Môđun A - nội xạ

1.4.1 Định nghĩa Cho A và M là các R - môđun Môđun M được gọi

là A - nội xạ nếu và chỉ nếu với môđun con X của A và với mỗi đồng cấu

1.4.2 Mệnh đề Giả sử 0 → A −→ Bα −→ C → 0 là một dãy khớp ngắn.βNếu M là B - nội xạ thì M cũng là A - nội xạ và C - nội xạ.

1.4.3 Mệnh đề M là môđun A - nội xạ và B ⊂ A Khi đó M là B - nội

Ai - nội xạ khi và chỉ khi M

là Ai - nội xạ, với mọi i ∈ I

1.4.6 Mệnh đề Giả sử môđun M là A - nội xạ, N ⊂∗M Khi đó cácđiều kiện sau tương đương:

(ii) f (A) ⊂ M, ∀f ∈ Hom (E (A) , E (M ))

(iii) Nếu dãy 0 → K → A → B → 0 là dãy khớp ngắn thì dãy 0 →Hom (B, M ) → Hom (A, M ) → Hom (K, M ) → 0 cũng là dãy khớp ngắn;(iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic K ⊂ A

1.5 Môđun tự nội xạ

Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra

1.5.1 Định nghĩa Một môđun M được gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu

M là M - nội xạ

1.5.2 Hệ quả Mọi môđun nội xạ đều là môđun tự nội xạ

1.5.3 Hệ quả M là tự nội xạ ⇔ f (M ) ⊂ M với mọi f ∈ End (E (M ))

1.5.4 Mệnh đề Cho các môđun M1và M2 Khi đó M1 ⊕ M2 là tự nội xạkhi và chỉ khi Mi là Mj - nội xạ (i, j = 1, 2)

Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất phát

đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn Mặc dù không là đối tượngnghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ có ý nghĩa quan trọng trong cácnghiên cứu của chúng tôi

1.6.1 Định nghĩa Môđun Q được gọi là môđun nội xạ nếu và chỉ nếuvới mọi đơn cấu α : A → B và mọi đồng cấu β : A → Q, tồn tại đồng cấu

1.6.2 Định lý Đối với môđun Q các mệnh đề sau tương đương:

i) Q là môđun nội xạ;

ii) Mỗi đơn cấu α : A → Bđều cảm sinh một toàn cấu:

α∗ : Hom(B, Q) → Hom(A, Q)

xác định bởi α ∗ (f ) = f α, với f ∈ Hom (B, Q)

iii) Mỗi đơn cấu α : Q → M đều chẻ ra

1.6.3 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉkhi mỗi R đồng cấu I → E từ một iđêal I của R (xem như R - môđun) vào

E luôn mở rộng được thành một đồng cấu R → E

1.6.4 Định lý Giả sử E là R môđun Các điều kiện sau là tương đương:(i) E là nội xạ

(ii ) Mỗi dãy khớp Im α = Kerβ các R - môđun đều chẻ ra

(iii) Mỗi dãy khớp 0 → E −→ M → Mϕ 0 → 0 các R - môđun, với M0 làmôđun xyclic đều chẻ ra

(iv) Nếu dãy các R - môđun 0 → N0 α−→ N → N00 → 0 là khớp thì dãy

0 → Hom (N00, E) → Hom (E, N ) → Hom (N0, E) → 0

là khớp

1.7 Bao nội xạ

Khái niệm bao nội xạ có liên quan chặt chẽ với môđun nội xạ và mởrộng cốt yếu của nó

1.7.1 Định nghĩa Cho M là một R - môđun Một R - môđun E được gọi

là bao nội xạ của M và kí hiệu là E (M ) nếu và chỉ nếu E là R - môđunnội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M

1.7.2 Định lý Cho E là một R - môđun Khi đó các mệnh đề sau tươngđương:

(i) E là R - môđun nội xạ;

(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E0 là một mởrộng cốt yếu của E thì E ∼= E0

1.7.3 Hệ quả Cho E là một mở rộng của R - môđun M Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

(i) E là một bao nội xạ của M ;

(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M

1.7.4 Định lý Mỗi R - môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ Hơnnữa, giả sử E và E0 là những bao nội xạ của M thì tồn tại một R đẳng cấu

f : E → E0 sao cho f (x) = x với mọi x ∈ M

1.8 Môđun nội xạ không phân tích được

Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phântích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con

1.8.1 Định nghĩa 1) Một R môđun khác không M được gọi là khôngphân tích được nếu và chỉ nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là

(i) E là không phân tích được;

(ii) E là bao nội xạ của mọi R - môđun con khác không của E;

(iii) Môđun không của E là bất khả quy;

(iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất;

(v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó

1.8.3 Hệ quả .Cho R - môđun M và N là một R - môđun con của M Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun conbất khả quy của M

1.8.4 Hệ quả Bao nội xạ của một R - môđun đơn là môđun không phântích được

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU

TỰ NỘI XẠ

2.1 Vành các tự đồng cấu địa phương

2.1.1 Định nghĩa Cho vành R và một phần tử r của R

(i) Phần tử r được gọi là khả nghịch phải nếu và chỉ nếu tồn tại phần

tử r0của R sao cho rr0 = 1 Phần tử r0được gọi là nghịch đảo phải của r.(ii) Phần tử r được gọi là khả nghịch trái nếu và chỉ nếu tồn tại phần

tử r00của R sao cho r00r = 1 Phần tử r00được gọi là nghịch đảo trái của r.(iii) Phần tử r được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử ucủa R sao cho ru = ur = 1 Phần tử u được gọi là nghịch đảo của r

2.1.2 Hệ quả Nếu r có nghịch đảo phải và trái thì chúng bằng nhau và lànghịch đảo của r

2.1.3 Định lý Cho vành R, gọi A là tập hợp tất cả các phần tử không khảnghịch của R Khi đó các điều kiện sau là tương đương

(i) A đóng kín đối với phép cộng;

(ii) A là iđêan hai phía của R;

(iii) A là iđêan trái thực sự lớn nhất;

(iv) A là iđêan phải thực sự lớn nhất;

(v) Trong R tồn tại iđêan trái lớn nhất;

(vi) Trong R tồn tại iđêan phải lớn nhất;

(vii) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch trái;

(viii) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch phải;

(ix) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch

2.1.4 Định nghĩa Một vành được gọi là vành địa phương nếu và chỉ nếutập hợp các phần tử không khả nghịch của nó đóng kín đối với phép cộng

2.1.5 Hệ quả Một vành nếu thoã mãn một trong các mệnh đề của Định

Chứng minh a) Do 1 ∈ R nên từ giả thiết R = ⊕

Từ (**) ta có ei = eie1 + eie2 + eiei + + eien Lý luận tương tự nhưtrên suy ra

rieiek = 0

⇒ a = 0

Do đó R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren

Nếu ei thuộc tâm: eix = xei, ∀x ∈ R, i = 1, n

⇒ reix = rxei ∈ Rei, ∀r, x ∈ R

⇒ Rei M RR ⇒ Rei M R

2.1.7 Hệ quả Cho vành R các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) R không phân tích được bên trái;

(ii) R không phân tích được bên phải;

(iii) R chỉ có hai luỹ đẳng 0 và 1

Chứng minh (i) ⇒ (ii): Điều này tương đương với Mệnh đề: Nếu R phântích được bên trái suy ra R phân tích được bên phải Ta chứng minh Mệnh

đề trên như sau:

Giả sử R phân tích được bên trái:

R = A1 ⊕ A2, (0 6= A1, A2 M RR),khi đó theo phần (a) của Định lý thì

A1 = Re1, A2 = Re2,

là iđêan hai phía của R suy ra R phân tích được bên phải

Tương tự (ii) ⇒ (i)

(i) ⇒ (iii): Giả sử R có luỹ đẳng e /∈ {0, 1} khi đó 1 − e cũng là luỹđẳng và 1 − e /∈ {0, 1}

(iii) ⇒ (i): Giả sử R có sự phân tích bên trái

R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren,trong đó ei là các luỹ đẳng và eiej = 0, i 6= j Vì R chỉ có hai luỹ đẳng là

0,1 nên ei = 0 hoặc ei = 1 Suy ra Rei = 0 hoặc Rei = R Vậy không tồn

tại sự phân tích bên trái

2.1.8 Bổ đề End(M ) tập tất cả các tự đồng cấu của môđun M là một

vành Vành này được gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M

2.1.9 Định lý Môđun M không phân tích được khi và chỉ khi S = End(M )

chỉ có hai luỹ đẳng là 0 và 1

Chứng minh Điều kiện cần: Gọi e là phần tử luỹ đẳng của S Ta có:M =

e(M ) ⊕ (1 − e)M

Thật vậy: + M = e(M ) + (1 − e)M + e(M ) ∩ (1 − e)M = 0 do

ker(e) = (1 − e)M , ta sẽ chứng ming điều này:

.x ∈ ker(e) ⇒ e(x) = 0 ⇒ x − e(x) = x ⇒ (1 − e)x = x ⇒ x ∈ (1 − e)M

.x ∈ (1 − e)M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e)y ⇒ x = y − e(y) ⇒ e(x) = e(y) − e2(y) = o ⇒ x ∈ ker(e)

Do M không phân tích được nên:

Thật vậy: ∀x ∈ M, x = a + b(a ∈ A), e2(x) = e(e(x)) = e(a) = a = e(x)Theo giả thiết điều kiện đủ ta có: + Hoặc e = 1 ⇒ A = M ⇒ B = 0+ Hoặc e = 0 ⇒ A = 0

Từ đó M không phân tích được

2.1.10 Định lý Cho môđun M khác không Nếu M không phân tích được

và có độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu của M là vành địa phương

và các phần tử không khả nghịch của nó là luỹ linh

Chứng minh Để chứng minh Định lý này ta sẽ sử dụng Mệnh đề nêu dướiđây

Mệnh đề Cho môđun M có độ dài hữu hạn và ϕ là tự đồng cấu của MKhi đó ta có: ∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn) ⊕ ker(ϕn)

Theo giả thiết của Định lý, M có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề trên

∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn) ⊕ ker(ϕn)(ϕ ∈ End(M ))

Do M không phân tích được nên:

+ Hoặc Im(ϕn) = 0 ⇒ ϕn = 0 ⇒ ϕ luỹ linh suy ra 1 − ϕ khả nghịch+ Hoặc ker(ϕn) = 0 ⇒ kerϕ = 0 ⇒ ϕ là đơn cấu và M actin (do M có

độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu suy ra ϕ khả nghịch

Vậy End(M ) là vành địa phương

Nếu ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch suy ra Im(ϕn) = 0 ⇒ ϕn = 0 ⇒ ϕluỹ linh

2.1.11 Định lý Cho M là môđun nội xạ không phân tích được Khi đóvành các tự đồng cấu M là địa phương

Chứng minh Cho ϕ ∈ End(M )và ϕ là đơn cấu Do M nội xạ, ϕ ∈ End(M ) ⇒Im(ϕ) nội xạ ⇒ Im(ϕ)⊂⊕M , M không phân tích được nên Im(ϕ) = M ⇒ ϕ

là đẳng cấu⇒ ϕ khả nghịch Từ đó ta có nhận xét: Với môđun M như giảthiết ở Địnhlý, ϕ ∈ End(M ) khả nghịch khi và chỉ khi ϕ là đơn cấu hayker(ϕ) = 0, suy ra ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch khi và chỉ khi ker(ϕ) 6= 0