k – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.. Từ các kiế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của luận văn 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3

CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 5

1.1 Độ cong tiết diện của đa tạp Rieman 5

1.2 Không gian có độ cong hằng 7

1.3 Một vài ví dụ về đa tạp Riemann có độ cong hằng 9

CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT 14

2.1 Phức Stiefel và đa tạp Grassman 14

2.2 Phạm trù Bund 15

2.3 Việc xây dựng trên các phân thớ vectơ 18

2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund( ) B 19

2.5 Nửa vành Vect( ) B 23

2.6 Nhóm thứ nhất của K – lý thuyết tôpô, K X ( ) 26

2.6.1 Định lý phân loại 26

2.6.2 Hàm tử K X( ) 26

2.6.3 Hàm tử ~ ( ) K X 27

2.6.4 Mô tả K X( ) 29

CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 33

3.1 Tôpô tổng quát và việc xây dựng các phân thớ vectơ 33

3.2 Phương pháp sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K – nhóm 36

3.2.1 Tích ngoài cho K X( ) 36

3.2.2 Ứng dụng tính ( ) ( )2 1 ; K S K CP ; ~ ( ) ( )~ 2 1 ; K S K CP 38

3.3 Phương pháp sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott 39

3.3.1 Các dãy khớp của K – nhóm 39

3.3.2 Tích ngoài rút gọn 42

3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott 42

3.3.4 Tính K – nhóm của một số không gian 43

3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều 45

3.4.1 Đối đồng điều 45

3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều 47

3.5 Một số phương pháp khác 48

3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương 48

3.5.2 Lũy linh của K X( ) 48

3.5.3 Sử dụng nhóm K X Y 49( , )

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thái Sơn, người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn nà

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy cô giảng viên trong

tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 10 năm 2011

Học viên

Trần Thị Bảo Trâm

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học tôpô, các kiến thức về

hình học vi phân, hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie, đại số Lie, K – lý thuyết, K – hàm tử đóng vai trò rất quan trọng Từ các kiến thức biệt lập từ các môn học nói trên, lý thuyết về không gian có độ cong hằng và K – lý thuyết của các không gian có độ

cong hằng như một sợi dây nối xâu chuỗi chúng thành một thể thống nhất Do đó để củng cố

kiến thức và phát triển khả năng nghiên cứu, chúng tôi chọn đề tài K – lý thuyết của một số

không gian có độ cong hằng

2 Mục đích nghiên cứu

Như trên đã trình bày chúng tôi muốn hệ thống hóa các kiến thức cơ bản trong

chương trình thạc sĩ như: hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie và đại số Lie, K

tử nhằm tính K – nhóm của các không gian có độ cong hằng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các không gian có độ cong hằng

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là hình học Rieman, hình học vi phân, độ cong Rieman Ngoài ra chúng tôi còn sử dụng các kiến thức về hình học vi phân hiện đại, lý

thuyết liên thông, các kiến thức về K – lý thuyết, K – hàm tử

4 Phương pháp nghiên cứu

Từ các kiến thức có sẵn trong chương trình đào tạo thạc sĩ, chúng tôi tìm hiểu các kiến thức nâng cao ngoài chương trình đào tạo, liên hệ các kết quả này với các kiến thức

trong chương trình để tính K – nhóm của các không gian có độ cong hằng bằng phương pháp K – hàm tử

5 Cấu trúc của luận văn

1 Chương 1: Sơ lược về các không gian có độ cong hằng

2 Chương 2: Tìm hiểu về K – lý thuyết

3 Chương 3: K – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG

Do đối tượng chính của luận văn này là các không gian có độ cong hằng nên trong chương 1, chúng tôi sẽ nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian có độ cong hằng cùng một số ví dụ về một số không gian có độ cong hằng sẽ được đề cập trong chương 3

1.1 Độ cong tiết diện của đa tạp Rieman

Cho đa tạp Rieman (M g, ) Với p M∈ và X Y Z, , ∈x M( ) xét ánh xạ:

Như vậy nếu ,X Y độc lập tuyến tính thì G X Y Z U ( , , , ) chính là diện tích hình bình

hành tạo bởi X và Y Vậy G X Y X Y( , , , )≠ Giả sử rằng ', '0 X Y ∈T M p sao cho không gian con hai chiềuπ sinh bởi ,X Y và X Y trùng nhau ', ' Khi đó:

Đẳng thức trên cho thấy: ( )

' ' ' ' ' ' ' ' '

là mặt phẳng tiết diện của T M p tại p

Định nghĩa 1.1.1 Cho đa tạp Riemann (M g, ) Với p M∈ , ta gọi π là mặt phẳng tiết diện của T M p tại p và , X Y∈ π là hai vectơ độc lập tuyến tính Khi đó

' ' ' ' ' '' ' ' '

được gọi là độ cong tiết diện của M tại (p,π) Đôi khi ta cũng gọi K p( )π là độ cong tiết

tiếp xúc không suy biến π

Định lý 1.1.1 Cho đa tạp Riemann (M g và , ) p∈M Khi đó, tenxơ cong của M tại p được xác định một cách duy nhất bởi độ cong tiết diện của tất cả các không gian tiếp xúc của

( , , , ) 0 ( , , , ) ( , , , ) 0

H X Y +U Z Y +U = ⇔H X Y Z U +H X U Z Y = Suy ra:

3H X Y Z U, , , = ⇔0 H X Y Z U, , , = 0

Ta có điều phải chứng minh 

Vì độ cong tiết diện K p( )π xác định hoàn toàn tenxơ cong R nên nếu K p( )π = 0

với mọi π ⊂T M p và mọi p M∈ thì ta phải có R X Y Z( , ) = với mọi 0 X Y Z, , ∈χ( )M ,

Định nghĩa 1.1.2 Cho đa tạp Rieman(M g và , ) p∈M Nếu độ cong tiết diện K p( )π tại p

không phụ thuộc vào π thì ta nói M di động tại p∈M

Khi M di động tại p, ta ký hiệu độ cong tiết diện của M tại (p,π) là K p ( ), tức là

1.2 Không gian có độ cong hằng

Định nghĩa 1.2.1 Cho đa tạp Rieman (M n,g) Nếu M di động tại mọi điểm p M∈ và

Như vậy, (M n,g ) được gọi là đa tạp có độ cong hằng nếu độ cong tiết diện

thường được gọi là dạng không gian Thông thường, trong văn nói, một dạng không gian được hiểu là một đa tạp Rieman đơn liên, đầy đủ, có độ cong tiết diện hằng

E có các độ cong

đa tạp Rieman có độ cong hằng đều đẳng cự địa phương

Định lý 1.2.1 (Định lý F Schur) Cho (M n,g là đa tạp Rieman liên thông với ) n≥3 Nếu

độ cong tiết diện K p( )π độc lập với π ⊂T M p thì M là đa tạp có độ cong hằng

(∇X R Y U Z)( , ) =(XK)( ) (p (g U Z Y, ) −g Y Z U( , ) ) (1.2.13) (∇Y R U X Z)( , ) =( )( ) (YK p (g X Z U, ) −g U Z X( , ) ) (1.2.14) Cộng (1.2.12),(1.2.13),(1.2.14) theo vế và sử dụng đồng nhất thức Bianchi thứ hai, ta có:

tức là K p( )=K =const. Vì p∈M tùy ý nên M là đa tạp có độ cong hằng 

Định lý Schur suy ra rằng nếu một đa tạp Rieman liên thông (M n,g ) với n≥ là di 3động khắp nơi thì nó là đa tạp có độ cong hằng Khi đó, với mọi , ,X Y Z∈T M p thì:

R X Y Z = K g Y Z X −g X Z Y (1.2.16)

Do đó trên đa tạp Rieman liên thông (M n,g ) với n≥ thì các điều sau là tương đương: 3

1 K p( )π =K p( )=const với mọi π ⊂T M p và với mọi p∈M

2 2

4

| |

j iji

R R

( )2 ( )2 1

2

2 2

14

n

ds

K u

trong đó K ∈  Khi đó M là một đa tạp có độ cong hằng K Mêtric có dạng này được đưa

ra bởi B Riemann trong diễn văn khai mạc tại Đại học Gottingen ở Đức năm 1854

K u

i j

i

ji j

| |

14

j j

1 4

j iji

K R

K u

ijij

K R

Ta tính được

4 2 '

2 2

14

14

4

| |

j iji

R R

−

=

CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT

Nội dung chủ yếu của phần này là trình bày các nét cơ bản về K – lý thuyết tôpô phức Do

đó ở đây chúng tôi trình bày sơ lược về các nội dung sau:

phân thớ này (chủ yếu là thừa hưởng một cách tự nhiên từ tích trực tiếp và tích tensor của các không gian vectơ)

vành

Các định nghĩa trình bày sau đây chủ yếu được tham khảo từ [8]

2.1 Phức Stiefel và đa tạp Grassman

Ta giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu trong phần này thừa hưởng tôpô thông thường của 

Định nghĩa 2.1.1 Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau:

Wn k = A∈M k n×  |A A =I n n, ≤k

A là ma trận chuyển vị liên hợp của A

Nói theo một cách khác, Wn( )k là tập của tất cả n hệ tọa độ (n phức của các vectơ trực

đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:

được xác định sao cho mỗi Wn( )k là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể chỉ ra rằng ( )k

Định nghĩa 2.2.1 Một phân thớ vectơ phức là một bộ ba ξ =(E p B, , ) trong đó E và B là các

(ii) Với mọi b∈B, không gian 1( )

(iii) Điều kiện tầm thường địa phương: với mọi b∈B, tồn tại một lân cận mở U b của b và

một đồng phôi

( )

1:

• Với bất kỳ phân thớ vectơ ξ =(E p B, , ), ta có E là không gian tổng thể, B là không gian đáy

và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;

p− b là thớ của phân thớ vectơ tại b∈B, ta sẽ ký hiệu là E b

Chú ý về số chiều: Cho ξ =(E p B, , ) là một phân thớ vectơ phức Nếu với mỗi b∈B, số chiều của thớ E b là giống nhau và bằng hằng số n≥0, ta nói rằng ξ là một phân thớ vectơ phức n - chiều và

Chú ý 2.2.1 Ta có thể định nghĩa phân thớ vectơ thực (quatenion) n - chiều theo cách tương tự

“phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì

Ta có một số ví dụ về phân thớ vectơ phức n - chiều

Ví dụ 2.2.1 Phân thớ tầm thường n - chiều trên B,

(B n, ,p B),

ε = ×  trong đó

( )

: ,

các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ với nhau, cụ thể là

Một đồng cấu phân thớ vectơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên mỗi thớ Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau:

đồ sau giao hoán,

là ánh xạ tuyến tính với mọi b∈B.

Chú ý 2.2.3 Trong định nghĩa trước ta có thể xét '

B=B Khi đó các phân thớ ξ và ξ' có

, B :

Định nghĩa 2.2.3 Hai phân thớ ξ và ξ' trên cùng một không gian đáy B được gọi là đẳng

Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vectơ phức, mà ta ký hiệu

là Bund Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong định nghĩa 2.2.1 và 2.2.2

Luật kết hợp và phần tử đơn vị của các xạ giống với phạm trù Top và ν

Chú ý rằng với mỗi B∈Top, Bund cho ta phạm trù con Bund( )B là phạm trù của

các phân thớ vectơ trên B

Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n≥ 0, các phân thớ vectơ phức n -

chiều cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là Bundn

2.3 Việc xây dựng trên các phân thớ vectơ

Định nghĩa 2.3.1 Cho ξ =(E p B, , ) là một phân thớ vectơ phức và f Y: →B là một ánh

xạ liên tục Phân thớ cảm sinh bởi f từ ξ, ký hiệu là *( )

Đặt Y×B E →Y và p E:Y×B E →E, khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán:

:

B

f ξ , chính xác hơn là cái kéo lùi của p Y

và p E

Mệnh đề 2.3.1 ([1], Mệnh đề 1.7) Các thu hẹp của một phân thớ vectơ p E: → ×B I trên

{ }0

B× và B×{ }1 là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian compact Hausdorff

Định lý 2.3.1 ([1], Định lý 1.6) Cho một phân thớ vectơ p E: →B và các ánh xạ đồng luân

duy nhất z= +x y trong đó x V∈ và y⊥x. Do sự phân tích này là liên tục trên V (tổng trực

do tính chất của cái kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và định nghĩa 2.3.2, ta có biểu đồ

2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund( ) B

Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vectơ trên không gian

đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec tơ, và là phép toán tích trong

phạm trù Bund( )B Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán khác: mọi phép

các phân thớ vectơ một cách tự nhiên Phần sau của mục này sẽ giải thích rõ hơn về khẳng định trên

Trong định nghĩa dưới đây, ta xét Κ là  hoặc  Nhắc lại rằng các vật của νK là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên Κ

Định nghĩa 2.4.1 Một hàm tử F v: Κ →vΚ được gọi là liên tục nếu với mọi cặp

là liên tục với tôpô thông thường của Κ

Tiếp theo ta tập trung xét Κ = , và mục tiêu của ta là kết hợp một hàm tử F bất kỳ

sao cho nếu B={ }x0 là một không gian một điểm, ta có:

vectơ Với mục đích như trên, ta cần sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 2.4.1 ([5], Bổ đề 4.4) Cho U và V là các tập con mở của B và cho

:

ϕ  ≈ → × và ϕV :E V  ≈ → ×V N lần lượt là các tầm thường địa phương của E trên

U và V, trong đó M, N là các không gian vectơ hữu hạn chiều Cho ' ' ( )

Tiếp theo ta có thể định nghĩa tôpô trên '

E Cho { }U i là một phủ mở của B, và cho

:

i

ánh xạ phân thớ song tuyến tính trên mỗi thớ ∀ ∈b B, khi đó f xác định một đồng cấu phân

thớ vectơ g:ξ η⊗ →ς được thành lập từ phép nhân tử hóa thông thường của các ánh xạ

song tuyến tính qua tích tenxơ (của các không gian vectơ) trên mỗi thớ

và ⊗ trong ν mở rộng cho Bund( )B

Mệnh đề 2.4.1 Cho F G v, : K  →v K là hai hàm tử liên tục, và cho τ : F⇒G là phép biến đổi tự nhiên, tức là,

Ta thấy τ được định nghĩa tốt, tuyến tính và có ánh xạ ngược Vì vậy nó là một đẳng cấu

tuyến tính của các không gian vectơ

Các hàm tử cảm sinh

' '

được cho bởi

tính tự nhiên và ta có sự kết hợp của tích tensor cho các phân thớ vectơ

2.5 Nửa vành Vect( ) B

chúng đẳng cấu với nhau (xem định nghĩa 2.2.3) Ta có thể kiểm ra rằng quan hệ này là

,

ξ ξ

tương đương, và dùng [ ]ξ để ký hiệu lớp tương đương của ξ Ta ký hiệu Vect( )B là tập

các lớp tương đương của tất cả các phân thớ vectơ trên B Khi xét ξ, một phân thớ vectơ n -

chiều, ta sẽ đồng nhất tất cả các thớ của ξ với n

 Do đó chỉ cần khảo sát trên ξ, ta sẽ thu được thông tin của lớp [ ]ξ

Bổ đề tiếp theo phát biểu rằng các phép toán ⊕ và ⊗ có thể được chuyển từ

là một hàm tử phản biến với mọi n∈ 

cái kéo lùi Thật vậy, ta phải kiểm tra với một phân thớ ξ∈Vect( )B bất kỳ , ta có:

Ta cần kiểm tra f x( )= p Zψ ( )x và (h h1, 2)( )x = α ψ ( )x với mọi x∈X, và ψ là ánh xạ

điểm { }b trong các biểu đồ trên, tất cả các tích thớ trở thành các tích và các lập luận đã đưa

2.6 Nhóm thứ nhất của K – lý thuyết tôpô, K X ( )

2.6.1 Định lý phân loại

Chú ý 2.6.1 Để thuận tiện, từ phần này trở đi ta sẽ làm việc với các phân thớ vectơ mà

không gian đáy là X (không phải B) Hơn nữa, X được giả sử là không gian compact

Hausdorff

Ở ví dụ 2.2.2, phân thớ tổng thể γn k, =(E n( )k , ,π G n( )k ) đã được định nghĩa Dưới đây ta sẽ phát biểu Định lý phân loại có liên quan đến γn k, Trong định lý này ta chủ yếu quan tâm đến trường hợp k = ∞ Trước khi phát biểu định lý, ta đặt:

loại bởi các lớp đồng luân của các ánh xạ đi từ X đến G n Vì vậy G n được gọi là không gian

phân lớp đối với các phân thớ vectơ n - chiều và phân thớ γn được gọi là phân thớ toàn thể Một cách khác để hiểu được phát biểu 2.6.1 là ta thấy rằng với phân thớ ξ ∈Vectn( )X bất

kỳ cho trước , ta có thể tìm một ánh xạ f :X  →G n sao cho lớp [ ]ξ trùng với lớp của ánh

xạ f với f là cái đẩy lùi của phân thớ toàn thể γn k, khi k đủ lớn