Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯU HỒNG PHONG

BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI

GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN

VÀ KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯU HỒNG PHONG

BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI

GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN

Mục lục

1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue 8

1.2 Định lí ánh xạ co 15

1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh 15

1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn 16

1.5 Biến đổi Fourier 16

Chương 2 Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 19 2.1 Các kết quả chỉnh hóa 19

2.2 Ví dụ minh họa 33

LỜI CÁM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Đại Học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Phạm Hoàng Quân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mìnhđến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập vànghiên cứu khoa học

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm phòng Sauđại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa toánứng dụng Trường Đại Học Sài Gòn

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán của hai TrườngĐại Học Vinh và Đại học Sài Gòn nói chung, tổ Giải tích nói riêng, đã nhiệt tình giảngdạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bètrong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tácgiả trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoànthiện hơn

Nghệ An, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Tác giả

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược đã được nêu ra từ lâu.Bài toán ngược được quan tâm vì ứng dụng thực tế trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử

lý ảnh Một trong những bài toán ngược được xét đến là bài toán ngược thời giancho phương trình parabolic Hơn nữa, khi xét sự truyền nhiệt trong vật thể một trongcác yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể Mỗi vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khácnhau và các vật liệu thì có sự biến đổi theo thời gian và môi trường do sự ăn mòn,oxy hóa Trong thực tế, dữ liệu thu nhập được do việc đo đạc và xử lý qua máy tínhhay một số thiết bị hỗ trợ nào đó, nên không tránh khỏi những sai số, dù sai số của

dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm Vì thế, chúng tacần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm chính xác củabài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa Do đó,trong luận văn này, chúng tôi xét

"BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤTHUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN."

Mục đích của luận văn là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toán parabolicngược, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan tớivấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minhhọa cho kết quả chỉnh hóa Với mục đích đó, luận văn này chia thành hai chương.Chương 1: Các kiến thức liên quan

Chương này trình bày các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán khôngchỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski-Schwarz,bất đẳng thức H¨older, không gian các hàm và tích phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa,nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R), L 2 (R),định lý Plancherel được sử dụng trong trình bày luận văn

Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số cho bài toán parabolic ngược thời gianphi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian.

Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau:

Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minhtính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác

và nghiệm chỉnh hóa

Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa

Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quantâm như Lattes và Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh NhoHào [2] Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giátrị cuối năm 1974 (trong [8]) Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toántruyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bàitoán (trong [9]) Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biếnđổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệmchính xác và nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với

hệ số hằng Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolicngược thời gian với hệ số không là hằng Gần đây, có vài bài báo xem xét về bài toántruyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng

Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ

số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn

a(t)ut(x, t) = uxx(x, t), (x, t) ∈R× [0, T ), u(x, T ) = g(x), x ∈R,

với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0.T )

Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm ban đầu

t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa

Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa chobài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian

(

ut+ A(t)u = 0, 0 < t < T, ku(T ) − f kH ≤ , f ∈ H,

trong đó H là một không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợpkhông bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước Trong [2], các tácgiả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8)

(

ω t + B(t)ω = 0, 0 < t < T, ω(T ) = f, α > 0,

trong đó

B(t) =

(

A(t), 0 ≤ t ≤ T, A(2T − t), T < t ≤ 2T.

Khi đó họ đặt ω(2T ) = g và đề nghị nghiệm chỉnh hóa của bài toán như sau

(

υt+ B(t)υ = 0, 0 < t < T, αυ(0) + υ(2T ) = g, α > 0.

Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp tốt và đưa rađược dạng H¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác(xem trong [2], định lý 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang7) của hàm A Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với

hệ số là hằng (xem [3]-[5],[9]) Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp

hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2],[7]) Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolicngược

u t (x, t) − a(x, t)u xx (x, t) = f (x, t, u, u x , u xx ), (x, t) ∈R× [0, T ) , (1.1)

u(x, T ) = g(x), x ∈R, (1.2)trong đó tồn tại các số p, q, L > 0 sao cho f (x, t, u, u x , u xx ) và a(x, t) thỏa mãn

0 < p ≤ a(x, t) ≤ q (1.3)

|f (x, t, u 1 , v 1 , ω 1 ) − f (x, t, u 2 , v 2 , ω 2 )| ≤ L(|u 1 − u 2 | + |v 1 − v 2 | + |ω 1 − ω 2 |),

với mọi (x, t, u 1 , v 1 , ω 1 ), (x, t, u 2 , v 2 , ω 2 ) ∈R× [0; T ] ×R3 Trong luận văn này, chúng tôixét nghiệm và dữ liệu của bài toán (1.1) và (1.2) lần lượt trong không gian H2(R) vàkhông gian L 2 (R) Chúng ta có thể thấy rằng hệ số truyền nhiệta(x, t) của (1.1) là mộthàm phụ thuộc vào không gian và thời gian

Trong suốt bài luận văn, chúng ta xác định phép biến đổi FourierF : L2(R) → L2(R)

ϕ(u, ux, uxx)(x, t) = b(x, t)uxx(x, t) + f (x, t, u, ux, uxx).

Sử dụng phép biến đổi Fourier, chúng ta có thể tìm ra được nghiệm của bài toán(1.1) và (1.2) như sau

u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u), (1.7)

eξ2(η(s)−η(t))F (ϕ(u, ux, uxx))(ξ, s)ds



eiξxdξ, (1.9)và

u  (x, t) = P  (x, t) − K  (x, t, u  ), (1.11)trong đó

eξ2(η(s)−η(t))F (ϕ(u, ux, uxx))(ξ, s)ds



χ[−a,a](ξ)eiξxdξ,

(1.13)trong đó, ta chọn hàm a  thỏa mãn a  → ∞ khi  → 0

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trongquá trình trình bày luận văn

1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue

Không gian Banach

1.1.1 Định nghĩa Cho (X, +, ·) là một không gian vectơ trên R Một ánh xạ

Không gian vectơ (X, +, ·) với chuẩn k · k được gọi là không gian định chuẩn (X, +, ·,

k · k), hay vắn tắt là (X, k · k), hay vắn tắt là X, khi các phép toán, hàm chuẩn đượcngầm hiểu và không nhầm lẫn

1.1.2 Định nghĩa Cho (x n ) là một dãy các phần tử của một không gian địnhchuẩn (X, k · k) Ta nói

Dãy (xn) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi  > 0,tồn tại n0 ∈N sao

1.1.5 Định nghĩa (Tích phân của hàm đơn giản)

Cho A là tập đo được, f : A → [−∞; +∞] là hàm đơn giản, đo được trên A Gọi

f 1 , f 2 , , f n là các giá trị khác nhau đôi một của f (x)

1.1.6 Định nghĩa (Tích phân của hàm không âm)

Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → [0; +∞] là hàm đo được không âm

Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được fn(x) ≥ 0 hội tụ hầu khắpnơi về f (x) trên A và tích phân của hàm f (x) trên A đối với độ đo µ là

1.1.7 Định nghĩa (Tích phân của hàm có dấu bất kỳ)

Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A →R là hàm đo được trên A Khi đó, tacó

f (x) = f+(x) − f−(x), với f+(x), f−(x) ≥ 0.

Các hàm số f+(x), f−(x)có các tích phân tương ứng trênAlàR

A f+(x)dµ,RAf−(x)dµ.

Nếu hiệu RAf+(x)dµ −RAf−(x)dµ có nghĩa trên R thì tích phân của hàm đo được f (x)

trên A với độ đo µ là

Trong phần này, ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong Rn

1.1.8 Định nghĩa Cho f đo được trên Ω, nếu |f | p (1 ≤ p ≤ ∞) khả tích trên Ω tađịnh nghĩa

Trong bài luận văn này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L 2 (R) là

1.1.10 Định lí VớiΩđo được trong Rn và1 ≤ p ≤ ∞thì không gian(Lp(Ω), k.kLp (Ω) )

là một không gian Banach

Không gian mêtric đầy đủ

1.1.11 Định nghĩa Cho tập X 6= ∅ Một ánh xạ

d : X × X →R(x, y) 7→ d(x, y)

được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X,

i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

ii) d(x, y) = d(y, x),

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Tập X với một mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric (X, d) hay vắn tắt là

X khi mêtric d được ngầm hiểu và không nhầm lẫn

1.1.12 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) Ta nói dãy phần tử (x n ) ⊂ X

hội tụ về phần tử x ∈ X nếu lim

n→∞ d(xn, x) = 0. Kí hiệu

x n d

−−−→ x

Nghĩa là, ứng với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ∈N sao cho d(xn, x) < ε, với mọi n ≥ n0.

1.1.13 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy

đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Không gian Hilbert

1.1.14 Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (K =

C hoặc K =R). Một ánh xạ

h·, ·i : X × X → K (x, y) 7→ hx, yi

được gọi là một tích vô hướng trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

∀x, x0, y, y0 ∈ X, ∀α, β ∈ K,

i) hαx + βx0, yi = αhx, yi + βhx0, yi,

ii) hx, αy + βy0i = αhx, yi + βhx, y0i,

iii) hx, yi = hy, xi,

là một chuẩn trên X, được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

1.1.17 Định nghĩa Cho h·, ·ilà một tích vô hướng trên không gian vectơ X thì cặp

(X, h·, ·i) gọi là một không gian tiền Hilbert Do Định lí 1.1.16, ta có X là một khônggian định chuẩn và là một không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn Nếu khônggian mêtric này đầy đủ, ta gọi (X, h·, ·i) là một không gian Hilbert

1.1.18 Định lí Cho Ω là tập con của Rn đo được, đặt

Không gian L2(Ω) là một không gian Hilbert

Không gian Sobolev Wm,p(Ω) (1 ≤ p ≤ ∞)

1.1.19 Định nghĩa Cho tập mở Ω ⊆Rk, k ∈N. Ta đặt

L1loc(Ω) = {f : Ω →R đo được : f ∈ L1(ω) với mọi ω ⊆Rk thỏa

ω là tập compăc chứa trong Ω}.

1.1.20 Định nghĩa Với Ω ⊆Rk, k ∈N. Ta kí hiệu Cd(Ω), d ∈ N là không gian các

số f liên tục trên Ω sao cho giá của f, tức là tập hợp

suppf = {x ∈ Ω; f (x) 6= 0}

là compact chứa trong Ω; kí hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp Đặt

CC∞(Ω) = C∞(Ω) ∩ CC(Ω).

1.1.21 Định nghĩa (Đạo hàm suy rộng)

Cho f ∈ L1loc(Ω), α = (α 1 , , αk) ∈ Zk, α i ≥ 0 (i = 1, , k). Hàm g α ∈ L1loc(Ω) gọi làđạo hàm riêng suy rộng cấp α của f nếu

|α|≤m

kDαf kpLp (Ω)

1p

.

Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu Hm(Ω) = Wm,2(Ω).

Trong luận văn này, chúng tôi xét nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên không gian

H2(R) = W2,2(R) là không gian các hàm f (x) ∈ L2(R) sao cho f có đạo hàm đến cấp 2

và f(n) ∈ L2(R), ∀n ∈ {1; 2} Khi đó, chuẩn trong H2(R) được định nghĩa là

1.1.24 Định nghĩa Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn k·kX Khônggian C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn

|||u||| = sup

t∈[0,T ]

ku(t)kX.

1.2 Định lí ánh xạ co

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một không gian Banach với chuẩn k · kX Một ánh

xạ f : X → X sao cho tồn tại số k thỏa 0 < k < 1 và

kf (x1) − f (x2)kX ≤ kkx1− x2kX, ∀x1, x2 ∈ X,

được gọi là một ánh xạ co

1.2.2 Định nghĩa Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X → X

nếu f (x) = x.

1.2.3 Định lí (Nguyên lí ánh xạ co Banach)

Cho X là một không gian Banach Khi đó mọi ánh xạ co f : X → X đều tồn tạiđiểm bất động duy nhất

1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh

1.3.1 Định nghĩa (Bài toán chỉnh)

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ Phương trình

Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau

i) Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y, có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y,

ii) Sự duy nhất: Với mỗi y ∈ Y, có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y,

iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy

(xn) ⊂ X sao cho Kxn → Kx suy ra xn → x

1.3.2 Định nghĩa (Bài toán không chỉnh)

Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa ít nhất một trong ba điều kiện củabài toán chỉnh.

1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn

1.4.1 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwarz)

, t0≤ t.

1.5 Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier trong L1(R)

1.5.1 Định nghĩa Cho f ∈ L1(R), hàm bf định bởi

với λ ∈R được gọi là phép biến đổi Fourier của f

1.5.2 Định lí Giả sử f ∈ L1(R), thì bf ∈ C0, với C0 là không gian các hàm số liêntục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa

Ta có kết quả rất quan trọng, đó là phép biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc khônggian L2(R).

F {f }(λ)eiλxdλ, thì φN hội tụ trong L 2 (R) đến f khi N → ∞.

iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L 2 (R) vào L 2 (R).

1.5.7 Định lí (Đẳng thức Plancherel)

Cho f ∈ L2(R) và F {f }(λ) là biến đổi Fourier của f trong L 2 (R). Khi đó, ta có

kF {f }k2= kf k2.

CHƯƠNG 2

CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLICNGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜIGIAN VÀ KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng minh tính duy nhất nghiệm củabài toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượngsai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác,ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo,một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa

Trong luận văn này, chúng tôi đặt , a là các số dương và R(x) = 1 + x2+ x4 Đểcho đơn giản hơn, chúng tôi định nghĩa

k K2kRk(a)e2ka2η(T )|||u − v|||2, (2.1)

trong đó K = √

3(L + 2q) và ||| · ||| là chuẩn sup trong C [0, T ] ; H2(R)

Chúng ta chứng minh (2.1) bằng phương pháp quy nạp

Z

t eξ2(η(s)−η(t))[F (ϕ(u))(ξ, s) − F (ϕ(v))(ξ, s)]ds

2 dξ.

 T

Z

t

eξ2(η(s)−η(t))[F (ϕ(u))(ξ, s) − F (ϕ(v))(ξ, s)]