K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)a

K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)a

1

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả Dương Quang Hòa

2

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số 13

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 19

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22

Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 2.1 Phân lá 26

2.2 Tôpô phân lá 29

2.3 Phân lá đo được 30

2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 31

Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân lá 40

3.2 Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 50

3.3 K-lý thuyết đối với phân lá 57

3.4 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 59

KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 78

Danh mục các công trình của tác giả 80

Tài liệu tham khảo 81

Phụ lục 85

ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp

AutG : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

A A Gã : Tích xiên của A và G bởi tác động

C G A : Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A

End(G) : Không gian các đồng cấu trên G

đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc 1

C S Index A : (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số A

P C S : P M C S2 2 – tập các phần tử chiếu (projection) của

C*-đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc 2

C S

n

S : Mặt cầu đơn vị n-chiều

TV : Phân thớ tiếp xúc của V

,

V F : Không gian phân lá

/

V F : Không gian các lá của phân lá V F,

F : Quỹ đạo Kirillov qua F

1/ 2

x x V : Phân thớ các nửa mật độ trên V

: Độ đo hoành (đối với phân lá)

0, 1 : Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số

Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở

Năm 1975, theo một gợi ý của A A Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực

 Năm 1976, J Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc

trưng C*-đại số C*(Aff ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác Trong công trình này, J Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số

bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method) Năm 1977,

Đ N Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:

6

Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có

thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số

Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp

các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng

Năm 1980, G G Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán

tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như một áp

dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công

C*-đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm)

Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại

số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại

số của các MD-nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm

tử

7

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương) G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k n thì G còn được gọi là một MDn -nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương

ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng

lớp MD là con của lớp MD Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”

Năm 1984, H H Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn-đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán  n, đại số Lie affine thực Lie(Aff ) và đại số Lie affine phức Lie(Aff ) Ngay sau đó, H H Việt đã dùng phương pháp

K-hàm tử để đặc trưng C* Aff của phủ phổ dụng Aff đối với nhóm affine phức Aff Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ N Diệp và J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD-đại số và MD-nhóm xem như đã được giải quyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ

đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-

8

không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay C0 V

,

C V F liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân

lá) Kể từ công trình [8] của A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá

và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước

Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đã dùng

các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2

chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Năm 1990, L A Vũ ([2])

đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm

9

cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một

lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ

2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian “

lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Cụ thể như sau:

1 Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều

2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân

lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi nhóm được xét

MD(5,4)-3 Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và

đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp như sau:

 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm

 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá

 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân

lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A M Torpe

và tài liệu [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá

K-cụ thể Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học

11

6 Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần

kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm

vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án

Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã

được nêu vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp

- Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học Thái Nguyên

- Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 UEL 2011) tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM

(ICMA Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 tại Đại học Huế

- Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại Đại học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013

Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full