K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thườngthích hợp với các C∗-đại số có cấu trúc phổ tức là không gian các lớp tương đươngunita của các biểu diễn bất k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

DƯƠNG QUANG HÒA

K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

DƯƠNG QUANG HÒA

K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Lê Anh Vũ Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trícủa đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả của luận án là mới và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giảDương Quang Hòa

Mục lục 2

1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số 12

1.1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số 12

1.1.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều 14

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 17

1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie 17

1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 18

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 20

2 Lớp MD(5,4)-phân lá 35 2.1 Phân lá 35

2.1.1 Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân 35

2.1.2 Phân lá 36

2.2 Tôpô Phân lá 37

2.2.1 Không gian các lá của phân lá 37

2.2.2 Kiểu tôpô của phân lá 38

2.3 Phân lá đo được 38

2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 39

2

2.4.1 Các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 39

2.4.2 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá 40

3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 46 3.1 C∗-đại số Connes liên kết với phân lá 46

3.1.1 Holonomy của lá 47

3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy của phân lá 48

3.1.3 Không gian các nửa mật độ 48

3.1.4 C∗-đại số Connes liên kết với một phân lá 50

3.1.5 Tích xiên 50

3.1.6 Các tính chất cơ bản của C∗(V, F ) 51

3.2 Phép đặc trưng các C∗-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 53

3.2.1 K-lý thuyết và mở rộng các C∗-đại số 54

3.2.2 KK-nhóm Kasparov 55

3.2.3 Bất biến chỉ số của C∗-đại số 56

3.2.4 Đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của nó 57

3.2.5 Hệ bất biến chỉ số của C∗-đại số 58

3.3 K-lý thuyết đối với phân lá 59

3.4 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 60

3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc các C∗-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá 60

3.4.2 Đặc trưng C∗-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3 61

• ⊕: Tổng trực tiếp

• ⊗, : Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài

• : Kết thúc một phép chứng minh

• Ad: Biểu diễn phụ hợp

• ad: Vi phân của biểu diễn phụ hợp

• Aut(G): Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

• bA = A oρG: Tích xiên của A và G bởi tác động ρ

• C, R: Trường số phức, trường số thực

• C (X): C∗-đại số các hàm phức liên tục trên X

• C0(X): C∗-đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng

• ^C0(R2): Đơn vị hoá của C∗-đại số C0(R2)

• C∞

c (H): Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức

• C∞

c H, Ω1/2
: Không gian các nửa mật độ trên H

• C∗(V, F ): C∗-đại số Connes liên kết với phân lá (V, F )

• Cc(G, A): Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A

• End(G): Không gian các tự đồng cấu trên G

• exp: Ánh xạ mũ

• Ext (B, J): KK-nhóm của Kasparov

• G = Lie (G): Đại số Lie của nhóm Lie G

4

• G∗: Không gian đối ngẫu của đại số Lie G

• GL1(C (S1)): Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc C(S1)

• GL0

2(C (S1)) := exp (Mat2(C (S1))) - thành phần liên thông đường của ma trậnđơn vị cấp 2 với phần tử thuộc C(S1)

• Index A: (Hệ) bất biến chỉ số của C∗-đại số A

• Ki(A): Ki-nhóm của C∗-đại số A

• K: C∗-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được

• L2 Hx, Ω1/2
: Không gian các nửa mật độ trên Hx bình phương khả tích

• Matn(A): Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A

• P2(C (S2)): Tập các phần tử chiếu của C∗-đại số các ma trận vuông cấp 2 vớiphần tử thuộc C(S2)

• Sn: Mặt cầu đơn vị n-chiều

• T V : Phân thớ tiếp xúc của V

• (V, F ): Không gian phân lá

• V /F : Không gian các lá của phân lá (V, F )

• ΩF: Quỹ đạo Kirillov (hay K-quỹ đạo) qua F

• Λ: Độ đo hoành (đối với phân lá)

• (δ0, δ1): Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các

C∗-đại số(1) có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử ”

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C∗-đại số Các C∗-đại

số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý Tuy nhiên, chínhvấn đề mô tả cấu trúc C∗-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và chođến nay vẫn còn là một bài toán mở

Năm 1975, theo một gợi ý của A A Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàncục) C∗-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ

N Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF ) để đặc trưng C∗-đại số C∗(Aff R) củanhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực R Năm 1976, J Rosenberg ([18])

Brown-đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C∗-đại số C∗(Aff C) của nhóm các phépbiến đổi affine trên đường thẳng phức C và C∗-đại số của một vài nhóm Lie giải đượckhác Trong công trình này, J Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàncục của C∗-đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method ).Năm 1978, Đ N Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C∗-đại

nhóm Lie mà C∗-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằngcác K-hàm tử mở rộng.

Năm 1980, G G Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành côngtrong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còngọi là các KK-hàm tử ) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như một áp dụng đầu tiên,Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C∗-đại số C∗(H3) củanhóm Heisenberg H3

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thườngthích hợp với các C∗-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đươngunita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) khôngquá phức tạp Đối với C∗-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unitacủa nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bấtkhả quy của nhóm)

Đặc biệt đối với nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đốingẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo của nó Do đó,việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo khá đơn giản cho phép tađặc trưng các C∗-đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đã đề nghị xét lớp C∗-đại số của cácMD-nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nóichung C∗-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được n chiều (n là một số nguyên dương) Gđược gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có sốchiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k = n thì G còn được gọi

là một MDn-nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng MDn-nhóm) đượcgọi là một MDn-đại số (tương ứngMDn-đại số ) Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD.Đến đây, một bài toán được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng

C∗-đại số của các MD-nhóm bằng phương pháp K-hàm tử ”

Năm 1984, H H Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MD-đại số Lớp này chỉ gồmcác đại số Lie giao hoán Rn, đại số Lie(Aff R) và đại số Lie(Aff C) Ngay sau đó, H

H Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C∗

]Aff C

của phủ phổ dụng

Aff C của nhóm Aff C Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ N Diệp và J.Rosenberg, bài toán đối với các MD-đại số và MD-nhóm xem như đã được giải quyếttriệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở.Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cựcđại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A Connes ([8]) Các phân

lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét

Đối với một phân lá (V, F ) tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpôphân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó.Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V /F thường có tôpô không Hausdorff, do đó

ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thôngthường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá Để khắc phục hạnchế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay C0(V /F ) bởi C∗(V, F ),

mà từ đó Connes định nghĩa:

Ki(V /F ) = Ki(C∗(V, F )) , (i = 0, 1) Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt

là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C∗-đại số Connes

C∗(V, F ) liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C∗-đại số của phân lá) Kể từ công trình[8] của A Connes, việc nghiên cứu C∗-đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân

lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình họckhông giao hoán do chính A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷtrước

Vấn đề đặt ra là: “Liệu các C∗-đại số Connes liên kết với phân lá có thích hợp vớiphương pháp K-hàm tử hay không? ” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đãdùng các KK-hàm tử để đặc trưng C∗-đại số của các phân lá Reeb trên xuyến T2 vàmột số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyếtđối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C∗-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử ” Năm 1990, L A Vũ ([2]) đã thành côngtrong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lựccần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúngtôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho việc pháttriển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của mộtlớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ

2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của mộtlớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớpcon các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C∗-đại số của các phân lá này bằng phươngpháp K-hàm tử ” Cụ thể như sau:

1 Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất(1) giao hoán của L

A Vũ và K P Shum ([24]), chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại sốtương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều

MD(5,4)-2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân lá đượctạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-nhóm được xét

3 Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặctrưng C∗-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạothành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng Cụ thể, chúngtôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bấtkhả phân

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhómđược xét

(1) Xem Phụ lục A

Cuối cùng, chúng tôi xét C∗-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toánđặc trưng C∗-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử.

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp nhưsau:

• Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹđạo của A A Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đãđược L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm

• Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá

• Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với

C∗-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C∗-đại số của phân lá bằng cácKK-hàm tử đã được nêu trong tài liệu [22] của A M Torpe và tài liệu [2] của L

A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C∗-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử (Vấn

đề 2), đó chính là lớp các C∗-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá Ngoài ra, cáckết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình họckhông giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lácủa phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể Vì thế, các kết quả của đề tài

là có ý nghĩa khoa học

6 Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận.Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiêncứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học của đề tài, bố cục và nội dung của luậnán

Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã được nêuvắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp tục nghiêncứu.

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước

và quốc tế:

– Hội nghị Toán học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động lực học vàTôpô vào tháng 4/2011 (GEDYTO 2011) tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1.– Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học TháiNguyên

– Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 (ICMA-UEL 2011)tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM

– Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp tháng 8/2012 (VFJC 2012) tại Đại họcHuế

– Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại Đại họcMahidol, Bangkok-Thailand 1/2013

K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh hình họccác K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm Kết quả này được công bố trong bài báo[3] Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số

và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phươngpháp mô tả chúng trước khi đi vào kết quả chính của chương

1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được Đ N Diệpđưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm

1.1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được với G là đại số Lie của G

Định nghĩa 1.1.1 Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu cácK-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không vượt quá sốchiều của nhóm) Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm

G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm

Đại số Lie thực, giải được G ứng với MD-nhóm G (tương ứng MD-nhóm) được gọi

là MD-đại số (tương ứng MD-đại số)

12

Các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều n được ký hiệu tương ứng là các MDn-nhóm

và MDn-đại số (hay M Dn-nhóm và M Dn-đại số) với n là số nguyên dương

Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD-nhóm, MD-đại số được dùng đầu tiên bởi Đ

N Diệp năm 1980 Ngay sau đó, lớp các MD-đại số và MD-đại số đã được V M Sơn

và H H Việt khảo sát năm 1984 ([35]) H H Việt đã phân loại triệt để lớp MD-đạisố: các MD-đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổiaffine trên đường thẳng thực hoặc phức V M Sơn đã đưa ra một điều kiện cần đểmột đại số Lie thực, giải được là MD-đại số như trong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử G là một MD-đại số Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại

số con giao hoán trong G

Toàn bộ lớp MD4-đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đ V Trà ([1]).Năm 1990, dựa trên liệt kê của Đ V Trà, L A Vũ đã phân loại triệt để (chính xácđến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số ([2]) Nói một cách vắn tắt, bài toán liệt kê

và phân loại các MD4-đại số đã được giải quyết trọn vẹn

Khi n = 5, các tính toán trở nên phức tạp hơn Trong quá trình giải quyết bài toánliệt kê và phân loại, để đơn giản, L A Vũ đề nghị xét từng lớp con các MD5-đại sốvới ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (1 ≤ k ≤ 4) Năm 2008, L A Vũ và K P Shum

đã hoàn thành việc liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giaohoán ([24]) Trên cơ sở đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán của mình đối với lớp cácMD5-đại số bất khả phân(1) có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều (như đã đề cập ở phần

Mở đầu)

Thật ra, nhờ mệnh đề và hệ quả ngay dưới đây, ta sẽ thấy rằng có thể xét lớp concác MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiều mà không cần chú ý đến tínhgiao hoán của ideal này

Mệnh đề 1.1.3 ([30, Theorem 2.1.5]) Cho G là một đại số Lie thực, giải được nchiều (n ≥ 5) sao cho dim G1 = n − 1 và G2 giao hoán Khi đó, G là một MD-đại sốkhi và chỉ khi G1 giao hoán

(1) Xem Phụ lục A

Kết hợp Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.3, ta có ngay hệ quả sau.

Hệ quả 1.1.4 Không tồn tại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiềukhông giao hoán

Do Hệ quả 1.1.4, nên ta chỉ cần xét bài toán trên lớp các MD5-đại số bất khả phân

có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều mà thôi Trong mục kế tiếp dưới đây, ta sẽ giớithiệu lại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều

1.1.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4

chiều

Suốt mục này, G luôn là ký hiệu để chỉ một MD5-đại số Ta chọn trước một cơ sở{X1, X2, X3, X4, X5} cố định trong G Khi đó, với tư cách là một không gian vectơ 5chiều, G ∼= R5 Về phân loại lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4chiều, ta có mệnh đề dưới đây của L A Vũ và K P Shum ([24])

Mệnh đề 1.1.5 Cho G là một MD5-đại số bất khả phân có G1 ∼= R4 (đại số Lie giaohoán 4 chiều) Khi đó, ta luôn chọn được cơ sở thích hợp {X1, X2, X3, X4, X5} trong Gsao cho G1 = hX2, X3, X4, X5i ∼= R4, adX1 ∈ End(G1), và G đẳng cấu với một và chỉmột trong các đại số Lie dưới đây:

Để thuận tiện về mặt ký hiệu, ta vẫn giữ nguyên các chỉ số đã dùng cho cácMD5-đại số bất khả phân được nêu trong Mệnh đề 1.1.5 Ví dụ: G5,4,1(λ1,λ2,λ3) là

MD5-nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với MD5-đại số G5,4,1(λ1,λ2,λ3) Họ cácMD5-nhóm này đều bất khả phân.

(ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất khảphân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơn liêntương ứng Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu lần lượt là cácMD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm

Sau đây, ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A A Kirillov trình bày trong[15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhóm được L A

Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó Giả sử G tác động lên Gbởi Ad : G → Aut(G) được định nghĩa như sau:

Ad(g) = (Lg ◦ Rg−1)∗ : G → G, ∀g ∈ G

Trong đó Lg (tương ứng Rg−1) là phép tịnh tiến trái (tương ứng phải) của G theophần tử g ∈ G (tương ứng g−1 ∈ G) Tác động Ad gọi là biểu diễn phụ hợp của Gtrong G Ký hiệu G∗ là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Khi đó, biểu diễn Adcảm sinh ra tác động K : G → Aut(G∗) của G lên G∗ như sau:

hK(g)F, Y i = hF, Ad(g−1)Y i , ∀g ∈ G, ∀Y ∈ G, ∀F ∈ G∗

Ở đây, với mỗi dạng tuyến tính F ∈ G∗, mỗi trường vectơ (bất biến trái) Y ∈ G,

ký hiệu hF, Y i chỉ giá trị của F tại Y Tác động K được gọi là K-biểu diễn hay biểudiễn đối phụ hợp của G trong G∗

Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của

G (trong G∗) Cụ thể, ứng với mỗi F ∈ G∗, K-quỹ đạo ΩF của G qua F được xác địnhbởi:

1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các

MD(5,4)-nhóm

Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ đạo ΩF của

G, với mỗi F ∈ G∗ Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô tả ΩF trong trườnghợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie

G của G Khi đó, ánh xạ mũ expG : G → G và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đốivới ta

Ký hiệu expG : G → G là ánh xạ mũ của G và exp : EndR(G) → AutR(G) là ánh xạ

mũ của nhóm Lie AutR(G) các tự đẳng cấu R-tuyến tính của G

Nhắc lại rằng, vi phân ad : G → EndR(G) của biểu diễn phụ hợp Ad được xác địnhbởi công thức:

adX(Y ) = [X, Y ] , ∀X, Y ∈ G

Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau:

G Ad //Aut

R(G)G

Tức là ta có đẳng thức: Ad ◦ expG = exp ◦ad

Với mỗi X ∈ G, mỗi F ∈ G∗, ta xác định phần tử FX ∈ G∗ như sau:

hFX, Y i = hF, exp (adX) Y i , ∀Y ∈ G

Bổ đề 1.2.1 Nếu gọi ΩF là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức:

Hơn nữa, nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Để tiện cho việc sử dụng trong các phần sau, ta sẽ ký hiệu tập {FX| X ∈ G} là

ΩF(G) Như thế, bao hàm thức (1.2) được viết lại là:

ΩF(G) ⊂ ΩF, ∀F ∈ G∗

Một điều kiện đủ để đẳng thức xảy ra là ánh xạ expG toàn ánh.

Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ expG là toànánh

Mệnh đề 1.2.2 ([2, Hệ quả 1.7]) Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông,hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó thoả: với mọi X ∈ G, adX không có giá trị riêng(trong C) thuần ảo nào Khi đó, ánh xạ mũ expG: G → G là toàn ánh

Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expGcũng đủ để có đẳng thức ΩF(G) = ΩF Cụ thể, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 1.2.3 Giả sử G liên thông Nếu họ các ΩF(G), F ∈ G∗ lập thành một phânhoạch của G∗ và mọi ΩF0(G), F0 ∈ ΩF đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong

ΩF, F ∈ G∗ Khi đó: ΩF(G) = ΩF, ∀F ∈ G∗

Nhận xét 1.2.4 Các mệnh đề trên, về cơ bản, đã phác thảo cho ta cách mô tả cácK-quỹ đạo của các MD-nhóm Cụ thể, trong trường hợp lớp con các MD(5,4)-nhóm,trước hết ta xác định ΩF(G), với mỗi F ∈ G∗ Sau đó, tuỳ vào từng trường hợp cụ thểcủa mỗi nhóm Lie, ta sẽ chỉ ra rằng: ánh xạ mũ của nó hoặc là toàn ánh hoặc tất cảcác ΩF0(G), F0 ∈ ΩF đều cùng đóng hoặc cùng mở (tương đối) trong ΩF Do đó, dùng

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các

MD(5,4)-nhóm

Với G là một trong các MD(5,4)-nhóm, gọi G là đại số Lie tương ứng của G và G∗

là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Giả sử X ∈ G có toạ độ (a, b, c, d, f ) trong

cơ sở {X1, X2, X3, X4, X5}, và F ∈ G∗ có toạ độ (α, β, γ, δ, σ) trong cơ sở đối ngẫu{X∗

1, X2∗, X3∗, X4∗, X5∗}, ΩF là K-quỹ đạo của G trong G∗ chứa F

Định lí 1.3.1 (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)

1 Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,1(λ1,λ2,λ3), G5,4,2(λ1,λ2), G5,4,3(λ), G5,4,4(λ),

G5,4,5, G5,4,6(λ1,λ2), G5,4,7(λ), G5,4,8(λ), G5,4,9(λ), G5,4,10 với λ, λ1, λ2, λ3 ∈ R\ {0, 1}.(a) Nếu β = γ = δ = σ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều)

(b) Nếu β2+ γ2+ δ2+ σ2 6= 0 thì ΩF là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từngtrường hợp cụ thể như dưới đây:

x, βeaλ, γea, δea, σea
, x, a ∈ R khi G = G5,4,4(λ),

• {(x, βea, γea, δea, σea) , x, a ∈ R} khi G = G5,4,5,

x, βeaλ, βaeaλ+ γeaλ, δea, δaea+ σea
, x, a ∈ R khi G = G5,4,8(λ),

• nx, βeaλ, γea, γaea+ δea, γa22ea + δaea+ σea, x, a ∈ Ro

khi G = G5,4,9(λ),

• nx, βea, βaea+ γea, βa22ea + γaea+ δea, βa36ea + γa22ea + δaea+ σea,

x, a ∈ R

okhi G = G5,4,10

2 Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,11(λ 1 ,λ 2 ,ϕ), G5,4,12(λ,ϕ), G5,4,13(λ,ϕ) với

λ1, λ2, λ ∈ R\ {0}, ϕ ∈ (0;π) Bằng cách đồng nhất G5,4,11(λ∗ 1,λ2,ϕ), G5,4,12(λ,ϕ)∗ ,

G∗

5,4,13(λ,ϕ) với R × C × R2 và F với (α, β + iγ, δ, σ) Ta được:

(a) Nếu β + iγ = δ = σ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều).

(b) Nếu |β + iγ|2+ δ2+ σ2 6= 0 thì ΩF là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từngtrường hợp cụ thể như dưới đây:

• nx, (β + iγ) e(ae−iϕ), δeaλ 1, σeaλ 2

, x, a ∈ Ro khi G = G5,4,11(λ 1 ,λ 2 ,ϕ),

• nx, (β + iγ) e(ae−iϕ), δeaλ, σeaλ, x, a ∈ Ro khi G = G5,4,12(λ,ϕ),

• nx, (β + iγ) e(ae−iϕ), δeaλ, δaeaλ+ σeaλ, x, a ∈ Rokhi G = G5,4,13(λ,ϕ)

3 Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,14(λ,µ,ϕ) với λ, µ ∈ R, µ > 0, ϕ ∈ (0; π).Bằng cách đồng nhất G5,4,14(λ,µ,ϕ)∗ với R × C × C và F với (α, β + iγ, δ + iσ) Tađược:

(a) Nếu β + iγ = δ + iσ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều)

(b) Nếu |β + iγ|2+ |δ + iσ|2 6= 0 thì:

ΩF =nx, (β + iγ) e(ae−iϕ), (δ + iσ) ea(λ−iµ)

, x, a ∈ Ro(quỹ đạo 2-chiều).Chứng minh:

Theo Nhận xét 1.2.4, trước tiên ta sẽ mô tả ΩF (G), với mỗi F ∈ G∗, trong từngtrường hợp của các MD(5,4)-nhóm Nhớ rằng:

ΩF (G) = {FX| X ∈ G}

với FX ∈ G∗ được xác định bởi hFX, Y i = hF, exp (adX) Y i, ∀X, Y ∈ G

Như vậy, để xác định FX, ∀X ∈ G, ta cần phải xác định exp (adX), tức là tính matrận biểu diễn của exp (adX) trong cơ sở {X1, X2, X3, X4, X5} Khi đó, FX được chobởi (x, y, z, t, s) ∈ G∗ ∼= R5, với:

Dưới đây là những kết quả nhận được bằng tính toán trực tiếp với X (a, b, c, d, f ) ∈

và adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, a, aλ1, aλ2, aλ3 Từ đó, ta được:

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ1, aλ2, a (bội 2).

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ (bội 2), a (bội 2)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ, a (bội 3)

Do vậy, toạ độ FX như sau:



x, βeaλ, γea, δea, σea
, x, a ∈ R khi β2+ γ2+ δ2+ σ2 6= 0

5 Với G = G5,4,5:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, a (bội 4).

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ1, aλ2, a (bội 2)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ (bội 2), a (bội 2)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ (bội 2), a (bội 2).

Do vậy, toạ độ FX như sau:

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ, a (bội 3).

Do vậy, toạ độ FX như sau:

x, βea, γea, γaea+ δea,

γa22ea + δaea+ σea, x, a ∈ Ro khi β2+ γ2 + δ2+ σ2 6= 0

2a 0 ea aea a 2 e a

2 d(1−e a )−af e a

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, a (bội 4)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

x, βea, βaea+ γea, βa22ea + γaea+ δea,

c sinϕ − b cosϕ a cosϕ −a sinϕ 0 0

−(b sinϕ + c cosϕ) a sinϕ a cosϕ 0 0

A1 ea cos ϕcos (a sin ϕ) −ea cos ϕsin (a sin ϕ) 0 0

B1 ea cos ϕsin (a sin ϕ) ea cos ϕcos (a sin ϕ) 0 0

ở đó:

A1 = b−bea cos ϕcos(a sin ϕ)+cea a cos ϕsin(a sin ϕ),

B1 = c−cea cos ϕcos(a sin ϕ)−bea a cos ϕsin(a sin ϕ)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

x = α + βb−bea cos ϕcos(a sin ϕ)+cea a cos ϕsin(a sin ϕ) + γc−cea cos ϕcos(a sin ϕ)−bea a cos ϕsin(a sin ϕ)+

δd(1−eaaλ1) + σf(1−eaaλ2)

y = βea cos ϕcos (a sin ϕ) + γea cos ϕsin (a sin ϕ)

z = −βea cos ϕsin (a sin ϕ) + γea cos ϕcos (a sin ϕ)

t = δeaλ1

s = σeaλ 2

Bằng cách đồng nhất G5,4,11(λ∗

1 ,λ 2 ,ϕ)với R × C × R2, F (α, β, γ, δ, σ) với (α, β + iγ, δ, σ),

và FX(x, y, z, t, s) với (x, y + iz, t, s), thì ΩF(G) được viết gọn lại như sau:

c sinϕ − b cosϕ a cosϕ −a sinϕ 0 0

−(b sinϕ + c cosϕ) a sinϕ a cosϕ 0 0

A2 ea cos ϕcos (a sin ϕ) −ea cos ϕsin (a sin ϕ) 0 0

B2 ea cos ϕsin (a sin ϕ) ea cos ϕcos (a sin ϕ) 0 0

ở đó:

A2 = b−bea cos ϕcos(a sin ϕ)+cea a cos ϕsin(a sin ϕ),

B2 = c−cea cos ϕcos(a sin ϕ)−bea a cos ϕsin(a sin ϕ)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

y = βea cos ϕcos (a sin ϕ) + γea cos ϕsin (a sin ϕ)

z = −βea cos ϕsin (a sin ϕ) + γea cos ϕcos (a sin ϕ)

t = δeaλ

s = σeaλ

Bằng cách đồng nhất G5,4,12(λ,ϕ)∗ với R × C × R2, F (α, β, γ, δ, σ) với (α, β + iγ, δ, σ), và

FX(x, y, z, t, s) với (x, y + iz, t, s), thì ΩF(G) được viết gọn lại như sau:

okhi β2+ γ2+ δ2+ σ2 6= 0

c sinϕ − b cosϕ a cosϕ −a sinϕ 0 0

−(b sinϕ + c cosϕ) a sinϕ a cosϕ 0 0

A3 12e(ae−iϕ) 1 + e2ia sin ϕ
1

2ie(ae−iϕ) −1 + e2ia sin ϕ

B3 12ie(ae−iϕ) 1 − e2ia sin ϕ
1

2e(ae−iϕ) 1 + e2ia sin ϕ

Do vậy, toạ độ FX như sau:

y = β12e(ae−iϕ) 1 + e2ia sin ϕ
+ γ1

2ie(ae−iϕ) 1 − e2ia sin ϕ

z = β12ie(ae−iϕ) −1 + e2ia sin ϕ
+ γ1

2e(ae−iϕ) 1 + e2ia sin ϕ

t = δeaλ

s = δaeaλ+ σeaλ

Bằng cách đồng nhất G5,4,13(λ,ϕ)∗ với R × C × R2, F (α, β, γ, δ, σ) với (α, β + iγ, δ, σ), và

FX(x, y, z, t, s) với (x, y + iz, t, s), thì ΩF(G) được viết gọn lại như sau:





{F (α, 0, 0, 0, 0)} khi β = γ = δ = σ = 0,n

x, (β + iγ) e(ae−iϕ), δeaλ, δaeaλ+ σeaλ, x, a ∈ Ro khi β2+ γ2+ δ2 + σ2 6= 0

c sinϕ − b cosϕ a cosϕ −a sinϕ 0 0

−(b sinϕ + c cosϕ) a sinϕ a cosϕ 0 0

A4 ea cos ϕcos (a sin ϕ) −ea cos ϕsin (a sin ϕ) 0 0

B4 ea cos ϕsin (a sin ϕ) ea cos ϕcos (a sin ϕ) 0 0

ở đó:

A4 = b−bea cos ϕcos(a sin ϕ)+cea a cos ϕsin(a sin ϕ),

B4 = c−cea cos ϕcos(a sin ϕ)−bea a cos ϕsin(a sin ϕ),

C4 = d−deaλcos(aµ)+f ea aλsin(aµ),

D4 = f −f eaλcos(aµ)−dea aλsin(aµ)

Do vậy, toạ độ FX như sau:

x = α + βb−bea cos ϕcos(a sin ϕ)+cea a cos ϕsin(a sin ϕ) + γc−cea cos ϕcos(a sin ϕ)−bea a cos ϕsin(a sin ϕ)+

δd−deaλcos(aµ)+f ea aλsin(aµ) + σf −f eaλcos(aµ)−dea aλsin(aµ)

y = βea cos ϕcos (a sin ϕ) + γea cos ϕsin (a sin ϕ)

z = −βea cos ϕsin (a sin ϕ) + γea cos ϕcos (a sin ϕ)

t = δeaλcos (aµ) + σeaλsin (aµ)

s = −δeaλsin (aµ) + σeaλcos (aµ)

Bằng cách đồng nhất G5,4,14(λ,µ,ϕ)∗ với R × C × C, F (α, β, γ, δ, σ) với (α, β + iγ, δ + iσ),

và FX(x, y, z, t, s) với (x, y + iz, t + is), thì ΩF (G) được viết gọn lại như sau:





{F (α, 0, 0, 0, 0)} khi β = γ = δ = σ = 0,n

x, (β + iγ) e(ae−iϕ), (δ + iσ) ea(λ−iµ), x, a ∈ Ro khi β2+ γ2+ δ2+ σ2 6= 0

Như vậy, ta đã mô tả xong ΩF (G), F ∈ G∗ của tất cả các MD(5,4)-nhóm Từ đó,dựa vào Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3 ta được:

(i) Đối với 10 họ đầu tiên của các MD(5,4)-nhóm, do các adX có các giá trị riêngkhông thuần ảo, nên ta luôn có đẳng thức ΩF(G) = ΩF

(ii) Đối với 4 họ cuối của các MD(5,4)-nhóm, ta nhận thấy {ΩF (G) |F ∈ G∗} lậpthành một phân hoạch của G∗ Hơn nữa:

• Nếu ΩF (G) = {F } thì nó đóng trong G∗ Do đó nó cũng đóng trong ΩF và

ta được ΩF (G) = ΩF (quỹ đạo 0-chiều)

• Nếu ΩF (G) 6= {F } thì nó cũng là các mặt 2 chiều đóng trong G∗ Do đó nócũng đóng trong ΩF và ta cũng được ΩF (G) = ΩF (quỹ đạo 2-chiều)

Đến đây, định lí được chứng minh hoàn toàn Nhận xét 1.3.2 Từ bức tranh các K-quỹ đạo, có thể kiểm chứng lại một cáchtrực tiếp về tính MD của các nhóm Lie G5,4,1(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ), G5,4,2(λ 1 ,λ 2 ), G5,4,3(λ), G5,4,4(λ),

G5,4,5, G5,4,6(λ1,λ2), G5,4,7(λ), G5,4,8(λ), G5,4,9(λ), G5,4,10, G5,4,11(λ1,λ2,ϕ), G5,4,12(λ,ϕ), G5,4,13(λ,ϕ),

G5,4,14(λ,µ,ϕ), cũng như các đại số Lie tương ứng của chúng

Lớp MD(5,4)-phân lá

Mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu lớp các MD(5,4)-phân lá, tức là cácphân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,4)-nhómtương ứng Kết quả chính của chương này là Định lí 2.4.2 ở Mục 2.4 về phân loại tôpô

và mô tả không gian các lá của các MD(5,4)-phân lá Kết quả này được công bố trongbài báo [26] Để độc giả tiện theo dõi, trước khi trình bày các kết quả chính, chúng tôi

sẽ dành phần đầu của chương để giới thiệu về phân lá, tôpô phân lá, phân lá đo được

và một số khái niệm có liên quan Một trình bày đầy đủ hơn có thể tìm thấy trong cáctài liệu tham khảo như [2], [8] và [22]

2.1 Phân lá

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm về phân lá và các tính chất của phân lá được

A Connes đưa ra trong [8]

2.1.1 Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân

Định nghĩa 2.1.1 Cho V là một đa tạp trơn và T V là phân thớ tiếp xúc của V Mộtphân thớ (trơn) con F của T V được gọi là phân bố khả tích (hay khả tích) trên V nếumỗi x ∈ V đều được chứa trong một đa tạp con W của V sao cho Ty(W ) = Fy, vớimọi y ∈ W

35

Ở đây, ký hiệu Ty(W ) chỉ không gian tiếp xúc của W tại y, Fy là thớ tại y của F

Đa tạp W như thế được gọi là đa tạp con tích phân của F

Mệnh đề 2.1.2 ([8, Introduction]) Các khẳng định sau đây là tương đương(i) F là phân bố khả tích của V

(ii) ∀x ∈ V , tồn tại đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập p : U → Rq

(q = co dim F = dim V − dim F ) sao cho Fy = ker(p∗)y, ∀y ∈ U

(iii) C∞(F ) = {X ∈ C∞(T V ) | Xx ∈ Fx, x ∈ V } là một đại số Lie

(iv) Ideal J (F ) các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F là ổn định đối với phép lấy

vi phân ngoài

Như vậy, mọi phân thớ con 1-chiều F của T V đều khả tích, nhưng khi dim F ≥ 2thì điều kiện khả tích là không tầm thường

2.1.2 Phân lá

Định nghĩa 2.1.3 Một phân lá (V, F ) là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân

bố khả tích F trên nó Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân bốxác định phân lá Số chiều (đối chiều) dim F (co dim F ) cũng được gọi là số chiều (đốichiều) của phân lá (V, F ) Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của F đượcgọi là một lá của phân lá (V, F ) Ta có dim L = dim F

Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây

Mệnh đề 2.1.4 ([8, Introduction]) Cho phân lá (V, F ) Khi đó:

(i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá V

(ii) ∀x ∈ V , tồn tại hệ tọa độ địa phương {U ; x1, x2, , xn| n = dim V } quanh x saocho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông trong L ∩ U (mà được gọi

là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng:

xk+1= c1, , xn = cn−k; k = dim Ftrong đó c1, c2, , cn−k là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm)

Như vậy, ở địa phương, đa tạp phân lá của mỗi phân lá k-chiều bị phân hoạchthành các tấm “rời” nhau, mỗi tấm đều vi phôi với một phẳng k-chiều trong Rn.Bản đồ địa phương (U, ϕ) ứng với hệ tọa độ địa phương nêu trong Mệnh đề 2.1.4được gọi là một bản đồ phân lá của phân lá (V, F ) Như vậy đa tạp phân lá V luôn cóthể được phủ bởi một tập bản đồ (atlat) gồm các bản đồ phân lá.

Giả sử có một họ C các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch của

V sao cho mỗi L ∈ C đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng mộtphân bố khả tích F trên V Khi đó, C chính là họ các lá của phân lá (V, F ) Ta thườngđồng nhất C với chính phân bố khả tích F và dùng cùng một ký hiệu F để chỉ họ C

Ta cũng bảo họ C (các đa tạp con như trên của V ) lập thành một phân lá trên V Sau đây là hai kiểu phân lá điển hình mà ta thường gặp trong luận án

• Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) p : V → B sao cho mỗi thớ của nó là

và chỉ là một lá của phân lá (V, F ) thì ta bảo rằng phân lá (V, F ) được cho bởiphân thớ p : V → B

• Tương tự, nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạocủa G là và chỉ là một lá của phân lá (V, F ) thì ta cũng bảo (V, F ) được cho bởitác động của nhóm Lie G (lên đa tạp phân lá V )

2.2 Tôpô Phân lá

Theo kết quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.4, tất cả các phân lá cùng chiều trên cùngmột đa tạp vi phân đều có cùng cấu trúc địa phương Tuy nhiên, nếu xét trên quanđiểm toàn cục thì có thể rất khác nhau Bởi thế, vấn đề của “tôpô phân lá” là nghiêncứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá Chẳng hạn: sự tồn tại lácompact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá,

2.2.1 Không gian các lá của phân lá

Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của mộtphân lá Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá ) V /F của một phân lá (V, F )

là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm.

Nếu phân lá (V, F ) được cho bởi phân thớ p : V → B thì không gian lá V /F chính

là đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi (V, F ) được cho bởi tác động củanhóm Lie G thì V /F lại là không gian V /G các G-quỹ đạo

2.2.2 Kiểu tôpô của phân lá

Hai phân lá (V, F ) và (V0, F0) được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng kiểu tôpônếu có một đồng phôi h : V → V0 sao cho h chuyển mỗi lá của F thành mỗi lá của F0

Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu tôpô(cả về mặt địa phương lẫn toàn cục)

2.3 Phân lá đo được

Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các

lá có thể compact hoặc không Do đó, khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của

lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác địnhphân lá Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phépchuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L([8, p 523]) Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quantâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân

lá Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thíchhợp Năm 1982, A Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợpvới không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu

Giả sử (V, F ) là một phân lá Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu ∀p ∈ N ,

Tp(V ) chẻ ra thành tổng trực tiếp Tp(N ) ⊕ Fp Khi đó hiển nhiên dim N = co dim F Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá (U, ϕ) quanh mỗi điểm p ∈ N sao cho cáctấm trong U tương ứng 1 – 1 với các điểm của N ∩ U , tức là mỗi tấm trong U cắt Ntại một điểm duy nhất

Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu B ∩ L đếm