Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

13 2 Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 16 2.1 Các kết quả chỉnh hóa... Một trong những bài toán n

ứònh nghóa[subsection] ứònh lí [subsection] [dn]Meảnh ựeà [dn]Boă ựeà

Chuù yù [subsection]

Mục lục

1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue 7

1.2 Định lí ánh xạ co 12

1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh 12

1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn 13

1.5 Biến đổi Fourier 13

2 Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 16 2.1 Các kết quả chỉnh hóa 16

2.2 Ví dụ minh họa 30

Lời cám ơn

Tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy TS Lê Minh Triếtcùng thầy Trần Chí Hiếu vì đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy tôi rất nhiều điều trongthời gian qua để thực hiện khóa luận này Ngoài ra, tôi cũng xin chân thành bày tỏlòng biết ơn đến tất cả các thầy cô đã giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thứcquan trọng, bổ ích trong suốt thời gian tôi học tại khoa Toán- Ứng dụng, trường Đạihọc Sài Gòn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt các bạn cùng lớp đã giúp

đỡ, động viên, khích lệ tinh thần tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Ban giám hiệu, Banchủ nhiệm khoa Toán - Ứng dụng và các phòng ban khác của trường Đại học Sài Gòn,

đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa luận này

Lời nói đầu

Trong khoa học ứng dụng, bài toán ngược được quan tâm từ lâu vì ứng dụngtrong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử lí ảnh Một trong những bài toán ngược được xét đến

là bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic Hơn nữa, khi xét sự truyềnnhiệt trong vật thể, một trong những yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể Mỗivật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác nhau và có sự biến đổi theo thời gian và khônggian do sự ăn mòn, oxy hóa Trong thực tế, dữ liệu thu được xuất phát từ việc đođạc và xử lý qua máy tính hay một số thiết bị nào đó, nên không tránh khỏi những sai

số, dù sai số của dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm

Do đó, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán vật lí, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa chonghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác vànghiệm chỉnh hóa.Vì lí do đó, trong luận văn này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:

"BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐPHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN"

Mục đích của luận văn này là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toánparabolic ngược, trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quảliên quan tới vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo số 6 chứng minh còn vắn tắt vàđưa ra một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa Với mục đích đó, luận vănnày chia thành hai chương:

Chương 1: Các kiến thức liên quan

Chương này trình bày lại các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toánkhông chỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: các bất đẳng thức sơ cấp, bất đẳng thứcCauchy- Bunhiakovski- Schwarz, bất đẳng thức H¨older, không gian các hàm và tíchphân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa, nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổiFourier trong không gian L1

Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau:

Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minhtính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác

và nghiệm chỉnh hóa

Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa

Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quantâm như Lattes và Lions [10] , Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh NhoHào [2] Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giátrị cuối năm 1974 (trong [8]) Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toántruyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bàitoán (trong [9]) Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biếnđổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệmchính xác và nghiệm xấp xỉ Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với

hệ số hằng Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolicngược thời gian với hệ số không là hằng Gần đây, có vài báo xem xét về bài toántruyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng

Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với

hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x; t) thỏa mãn

a(t)ut(x; t) = uxx(x; t); (x; t)2 R [0; T );

u(x; T ) = g(x); x2 R;

vớia(t); g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0;8t 2 [0; T ):

Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm banđầu t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnhhóa Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóacho bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian

ut+ A(t)u = 0; 0 < t < T;

ku(T ) fkH ; f 2 H;

trong đóH là không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợpkhông bị chặn từ D(A(t)) H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước Trong [2], cáctác giả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8)

Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp chỉnh và đưa

ra được dạng H¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác(xem trong [2], định lí 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang7) của hàm A Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với

hệ số hằng (xem [3]- [5], [9]) Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp

hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2], [7]) Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolicngược

(R) Ở đây hệ số truyền nhiệt a(x; t) của (1) là một hàm phụ thuộc vào khônggian và thời gian

Trong suốt bài luận văn, chúng ta dùng phép biến đổi Fourier F : L2

(R) ! L2

(R)xác định bởi:

Từ (3), chúng ta có được 0 < p k(t) q

Từ đó, ta có được

jb(x; s)j = ja(x; s) k(s)j ja(x; s)j + jk(s)j 2q, (4)8(x; s) 2 R [0; T ]

Sau đó, chúng ta có được phương trình mới

ut(x; t) k(t)uxx(x; t) = '(u; ux; uxx)(x; t); (x; t)2 R [0; T ); (5)

trong đó

'(u; ux; uxx)(x; t) = b(x; t)uxx(x; t) + f (x; t; u; ux; uxx):

Dùng phép biến đổi Fourier, ta có thể tìm được nghiệm của bài toán (1) - (2) nhưsau:

Chương 1

Các kiến thức liên quan

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trongquá trình bày luận văn

1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian Banach) Cho (X; +; :) là một không gian vectơtrên R: Một ánh xạ

jj:jj : X ! R

x7! jjxjjđược gọi là một chuẩn trênX nếu các tính chất sau thỏa với mọi x; y 2 X; 2 R;i) jjxjj 0 và jjxjj = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;

ii) jj xjj = j j kxk ;

iii) jjx + yjj jjxjj + jjyjj:

Không gian vectơ(X; +; :) với chuẩnjj:jj được gọi là không gian định chuẩn (X; +; :; jj:jj),hay vắn tắt là (X;jj:jj); hay vắn tắt là X, khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầmhiểu và không nhầm lẫn

Định nghĩa 1.1.2 Cho(xn) là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn(X;jj:jj): Ta nói

Dãy (xn) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi > 0; tồn tại n0 2 Nsao cho

kxn xmk < ; 8n; m n0:Dãy(xn) trong X được gọi là hội tụ về x0 2 X; kí hiệu là xn ! x0 khin! 1, nếulim

n!1kxn x0k = 0; nghĩa là ứng với mỗi > 0, tồn tại n0 2 N sao cho

kxn x0k < ; 8n n0:

Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếumọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

Tích phân Lebesgue

Định nghĩa 1.1.4 Một tính chấtP (x), x thuộc không gian Rn gọi là đúng hầu khắpnơi nếu tồn tại một tập A có độ đo không, sao cho P (x) đúng với mọi x thuộc Rn

nA:Định nghĩa 1.1.5 (Tích phân của hàm đơn giản)

Cho A là tập đo được, f : A ! [ 1; +1] là hàm đơn giản, đo được trên A Gọi

f1; f2; :::; fn là các giá trị khác nhau đôi một của f (x)

Định nghĩa 1.1.7 (Tích phân của hàm có dấu bất kì)

Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A ! R là hàm đo được trên A Khi đó,

ta có

f (x) = f+(x) f (x),vớif+(x) = maxff(x); 0g 0 và f (x) = maxf f(x); 0g 0:

Các hàm số f+(x); f (x) có các tích phân tương ứng trên A là

Z

A

f+(x)d ,Z

Không gian Lp (1 p 1)

Trong phần này, ta kí hiệu là một tập đo được trong Rn

Định nghĩa 1.1.8 Cho f đo được trên , nếu jfjp (1 p 1) khả tích trên tađịnh nghĩa

kfkL p ( )=

0

@Z jfjp

1A

1p

Không gian chứa tất cả các hàm f thỏa jfjp (1 p 1) khả tích trên gọi làkhông gian Lp( )

Trong luận văn này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L2

12,

Định lí 1.1.1 Với đo được trongRn và1 p 1 thì không gian Lp( );k:kL p ( )

là một không gian Banach

Không gian mêtríc đầy đủ

Định nghĩa 1.1.10 Cho tậpX 6= ? Một ánh xạ

d : X X ! R(x; y)7! d(x; y)được gọi là một mêtríc trênX nếu các điều kiện sau được thỏa mãn 8x; y; z 2 X;i) d(x; y) 0 và d(x; y) = 0, x = y;

ii) d(x; y) = d(y; x);

iii) d(x; y) d(x; z) + d(z; y):

Tập X với mêtríc d trên X được gọi là không gian mêtríc (X; d) hay vắn tắt là Xkhi mêtríc d được ngầm hiểu và không nhầm lẫn.

Định nghĩa 1.1.11 Cho không gian mêtríc(X; d) Ta nói dãy phần tử (xn) X hội

tụ về phần tử x2 X nếu lim

n!1d(xn; x) = 0: Kí hiệu

xn ! xdNghĩa là ứng với mỗi > 0, tồn tại n0 2 N sao cho d(xn; x) < , với mọi n n0:Định nghĩa 1.1.12 Không gian mêtríc (X; d) được gọi là không gian mêtríc đầy đủnếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K ( K = C hoặc

K = R) Một ánh xạ

h ; i : X X ! K

(x; y)7! hx; yiđược gọi là một tích vô hướng trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa

hx + y; x + yi12 hx; xi12 +hy; yi12 :Định lí 1.1.2 Nếu h:; :i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ

h ; i : X ! R

x7! hx; xi1

là một chuẩn trênX, được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

Định nghĩa 1.1.14 Choh:; :i là một tích vô hướng trên không gian vectơ X thì cặp(X;h:; :i) gọi là một không gian tiền Hilbert Do Định lí 1.1.2, ta có X là một khônggian định chuẩn và là một không gian mêtríc với mêtríc sinh bởi chuẩn Nếu khônggian mêtríc này đầy đủ, ta gọi(X;h:; :i) là một không gian Hilbert

Định lí 1.1.3 Cho là tập con của Rn đo được, đặt

hf; gi =

Z

f (x)g(x)dx và kfk2 =

Zjf(x)j2

1 2

;8f; g 2 L2( )

Không gianL2( ) là một không gian Hilbert

Không gian Sobolev Wm;p( ) (1 p 1)

Định nghĩa 1.1.17 (Đạo hàm suy rộng) Chof 2 Lloc1 ( ), = ( 1; :::; k)2 Zk,

i 0 (i = 1; :::k) Hàm g 2 Lloc1 ( ) gọi là đạo hàm riêng suy rộng cấp của f nếu

Wm;p( ) =ff 2 Lp( ) : D f 2 Lp( );j j mg ;

1 p

Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu Hm( ) = Wm;2( )

Trong luận văn này, tôi xét nghiệm của bài toán(1) và (2) trên không gian H2(R) =

2+ f(2) 2

2

1

:Định lí 1.1.4 Không gian Hm( ) là không gian Hilbert với tích vô hướng

t2[0;T ]ku(t)kX Một ánh xạ f : X ! X sao cho tồn tại số k thỏa 0 < k < 1 và

kf (x1) f (x2)kX kkx1 x2kX ,8x1; x2 2 X ,được gọi là một ánh xạ co

Định nghĩa 1.2.2 Điểm x 2 X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X ! Xnếu f (x) = x

Định lí 1.2.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach) ChoX là một không gian Banach.Khi đó mọi ánh xạ co f : X ! X đều tồn tại điểm bất động duy nhất

1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh

Định nghĩa 1.3.1 (Bài toán chỉnh ) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn,

K : X ! X là một ánh xạ Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điềukiện sau

i) Sự tồn tại: Với mỗi y2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y,

ii) Sự duy nhất: Với mỗi y2 Y , có nhiều nhất một x 2 X với Kx = y,

iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy(xn) X sao cho Kxn ! Kx suy ra xn! x

Định nghĩa 1.3.2 (Bài toán không chỉnh ) Bài toán được gọi là không chỉnh nếukhông thỏa ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh

1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn

Định lí 1.4.1 (Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovski- Schwarz)

! nX

k=1

y2 k

!:

Định lí 1.4.2 (Bất đẳng thức H¨older)

Giả sử 1 p; q 1;1p + 1

q = 1: Khi đó, nếu f 2 Lp( ); g2 Lq( ) thì f g2 L1( )và

kfgk1 kfkpkgkq:Trong luận văn này, tôi áp dụng bất đẳng thứcH •older với trường hợp f; g 2 L2

(R)tức là ta có bất đẳng thức sau

1 2

1.5 Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier trong L1(R)

được gọi là phép biến đổi F ourier của f

Định lí 1.5.1 Giả sử f 2 L1

(R), thì bf 2 C0, với C0 là không gian các hàm số liêntục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa

bf

1

1p

2 kfk1.Định lí 1.5.2 Giả sử f 2 L1(R) và bf 2 L1(R) Đặt

Fffg( )ei xd , thì N hội tụ trongL2(R) đến f khi N ! 1.

iv) Toán tửF là một đẳng cấu từ L2(R) vào L2(R)

Định lí 1.5.4 (Đẳng thức Plancherel) Cho f 2 L2(R) và Fffg( ) là biến đổi

F ourier của f trong L2

(R) Khi đó, ta có

kFffgk2 =kfk2

Chương 2

Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng minh tính duy nhất nghiệm, tính ổnđịnh nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệmchỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác vànghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo

Trong luận văn này, chúng tôi đặt ; a là các số dương và R(x) = 1 + x2+ x4 Đểcho đơn giản, chúng tôi định nghĩa

Đặt

W (u)(x; t) = P (x; t) K (x; t; u) ;trong đó

kK2kRk(a )e2ka2 (T )jjju vjjj2; (2.1)trong đó K =p

3 (L + 2q) và jjj:jjj là chuẩn sup trong C ([0; T ] ; H2

(R)) :Chúng ta chứng minh(2:1) bằng phương pháp quy nạp

kRk2(a )eka2 (T )jjju vjjj:

Định lí sau nêu lên tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa.

Định lí 2.1.2 Cho a(:; t) là hàm thỏa điều kiện như Định lí 2.1.1, là một số dương,

g và g là các hàm thuộc L2

(R) sao cho kg g k2 Giả sử u và v lần lượt là hainghiệm chỉnh hóa(10) tương ứng với dữ liệu chính xác g và dữ liệu đo g trong L2

(R).Khi đó, ta được

ku (:; t) v (:; t)kH 2 (R)

p2ea2( (T ) (t))p

R(a )eK2T2R(a ) ;trong đó, a ! 1 khi ! 0:

Chứng minh Từ (10), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệuchính xác

2R(a )e2a2 (T ) 2e

T

Z

0 2T R(a )K 2 ds

= 2R(a )e2a2 (T ) 2e2T2R(a )K2:Suy ra

ku (:; t) v (:; t)kH 2 (R)

p2ea2( (T ) (t))p

R(a )eT2R(a )K2 :Kết thúc chứng minh

Các định lí sau, chúng tôi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệmchỉnh hóa

Định lí 2.1.3 Choa(:; t) là hàm thỏa điều kiện (3) và ; m là các số dương Cho u làmột nghiệm chỉnh hóa (10) tương ứng với dữ liệu chính xác g2 L2(R) và u là nghiệmchính xác của bài toán (1) (2) thỏa

3K2T 2 m 4+

; e 1

)

và a = ln 1

1 4+

Khi đó

ku (:; t) u(:; t)kH 2 (R)

p

C ;m0 (t)+m2 ;với mọi t2 [0; T )

ii) Nếu 0 < < min

Rn[ a ;a ]

R( )e2j j4+ ( (t)+m) 2j j4+ ( (t)+m)jF(u)( ; t)j2d :

Mặt khác

2 Rn [ a ; a ] thì j j a suy ra 2j j4+ ( (t) + m) < 2a4+ ( (t) + m) và(t) =

Ta có 8 2 Rn [ a ; a ] : j j a > 1 suy ra R( ) = 1 + 2+ 4 e3j j4 e3j j4+ ;với > 0:

Z

t

e2a4+ ( (s)+m)ku (:; s) u(:; s)k2H 2 (R)ds:Suy ra

nên ma > 3K2T2 và = e a4+

Định lí 2.1.4 Giả sử a(:; t) là một hàm thỏa điều kiện (3) ; ; m là các số dương, g,

g 2 L2

(R) sao cho kg g k2 và u , v là hai nghiệm chỉnh hóa (10) lần lượt tương

ứng với dữ liệu chính xác g và dữ liệu đo g Cho u là nghiệm chính xác của bài toán

+p

C ;m 0 ;trong đó, m1(t) = minn

; (t) +m

2

o:

ii) Nếu0 < < min

8

>

>e

3K2T 2 minf2(1 );m

2 4+ (t) +p

1 + a2+ a4eK2T2(1+a2+a4)+p

C ;m0 (t)+m2

p6ea2( (T ) (t))a2e3K2T2a4 +p

C ;m0 (t)+m2

p6ea2( (T ) (t))ea2e3K2T2a4 +p

C ;m0 (t)+m2:

Vì 0 < < e

3K2T 2 minf2(1 );m

g

! 4+

; 0 < < e (13T1)4+ và a = ln 1

1 4+

C ;m0 (t)+m2

p6e a2 (t)e(13 )a4+ e23 (1 )a4+ +p

nên a2 = ln 1

2 4+

và a4+ = ln 1

Ta có

kv (:; t) u(:; t)kH 2 (R)

p6e (ln(1))

2 4+ (t)

C ;m0 ;trong đó, m1(t) = minn

; (t) + m

2

o

Ta chứng minh ii)

Với a = ln ln 1

1 4+

và ea4+ = ln 1 :