K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá

Lý do chọn đề tài Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*- đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.. Đối với hướng nghiên cứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

DƯƠNG QUANG HÒA

CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả Dương Quang Hòa

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 5

MỞ ĐẦU 7

1 Lý do chọn đề tài 7

2 Mục đích của đề tài 11

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 11

4 Phương pháp nghiên cứu 12

5 Ý ngh ĩa khoa học của đề tài 12

6 Bố cục và nội dung của luận án 13

CHƯƠNG 1: K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 15

1.1 Các MD-nhóm và MD- đại số 15

1.1.1 Các MD-nhóm và MD- đại số 15

1.1.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều 17

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 21

1.2.1 K- quỹ đạo của một nhóm Lie 21

1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 24

CHƯƠNG 2: LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 45

2.1 Phân lá 45

2.1.1 Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân 45

2.1.2 Phân lá 46

2.2 Tôpô phân lá 48

2.2.1 Kh ông gian các lá của phân lá 48

2.2.2 Kiểu tôpô của các phân lá 49

2.3 Phân lá đo được 49

2.4 Phâ n loại tôpô các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm 50

2.4.1 Các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm 51

2.4.2 Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá 52

CHƯƠNG 3: K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 59

3.1 C*- đại số Connes liên kết với phân lá 59

3.1.1 Holonomy của lá 59

3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy của phân lá 61

3.1.3 Không gian các nửa mật độ 62

3.1.4 C*- đại số Connes liên kết với một phân lá 64

3.1.5 Tích xiên 65

3.1.6 Các tính chất cơ bản của C V F∗( , ) 66

3.2 Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 69

3.2.1 K- lý thuyết và mở rộng các C*-đại số 69

3.2.2 KK-nhóm Kasparov 71

3.2.3 Bất biến chỉ số của C*-đại số 72

3.2.4 Đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của nó 74

3.2.5 Hệ bất biến chỉ số của C*-đại số 75

3.3 K−lý thuyết đối với phân lá 76

3.4 K- lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 78

3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá 78

3.4.2 Đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3 79

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

PHỤ LỤC A: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ LIE 104

PHỤ LỤC B: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN CĐẠI SỐ VÀ ∗-ĐỒNG CẤU 105

PHỤ LỤC C: MỘT VÀI KHÁI NIỆM KHÁC 108

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

⊕ : Tổng trực tiếp

,

⊗  : Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài

■ : Kết thúc một phép chứng minh

Ad : Biểu diễn phụ hợp

ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp

AutG : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

A A G= ρ : Tích xiên của A và G bởi tác động ρ

,

  : Trường số phức, trường số thực

( )

C X : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X

( )

0

C X : C*-đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng

( )

0

C  : Đơn vị hoá của C*-đại số ( )2

0

( )

c

C∞ H : Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức

( 1/ 2)

,

c

C∞ H Ω : Không gian các nửa mật độ trên H

( , )

C V F∗ : C*-đại số Connes liên kết với phân lá ( , )V F

( , )

c

End(G) : Không gian các đồng cấu trên G

exp : Ánh xạ mũ exp

( , )

( )

Lie G

=

G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G

( )

( 1 )

1

( )

2

2

exp Mat C S

= – thành phần liên thông đường của ma trận đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc ( )1

C S

( )

i

K A : K i −nhóm của C*-đại số A

K : C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn

chiều tách được ( )

2 1 2

,

x

L H Ω : Không gian các nửa mật độ trên H x bình phương khả tích

( )

n

Mat A : Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A

( )

2

2

= – tập các phần tử chiếu (projection) của C*-đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc ( )2

C S

n

S : Mặt cầu đơn vị n-chiều

TV : Phân thớ tiếp xúc của V

(V F, ) : Không gian phân lá

/

V F : Không gian các lá của phân lá (V F, )

F

Ω : Quỹ đạo Kirillov qua F

( )1/ 2

x x V∈

Ω : Phân thớ các nửa mật độ trên V

( )

F

Ω G : ={F X |X ∈G }

Λ : Độ đo hoành (đối với phân lá)

(δ δ0, 1) : Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp

các C*- đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số

Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở

Năm 1975, theo một gợi ý của A A Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc

toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng

C*-đại số C*(Aff) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực

 Năm 1976, J Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc

trưng C*-đại số C*(Aff) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác Trong công trình này, J Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số

bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method) Năm 1977,

Đ N Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:

• Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có

thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số

• Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp

các nhóm Lie mà C*- đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K- hàm tử mở rộng

Năm 1980, G G Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán

tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như một áp

dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công

C*-đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm)

Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại

số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại

số của các MD-nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm

tử

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương) G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k =n

thì G còn được gọi là một MDn -nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương

ứng MDn-nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn-đại số) Rõ ràng

lớp MD là con của lớp MD Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại

các MD- đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”

Năm 1984, H H Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn-đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n, đại số Lie affine thực Lie(Aff) và đại số Lie affine phức Lie(Aff) Ngay sau đó, H H Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C*(Aff) của phủ phổ dụng Aff đối với nhóm affine phức Aff Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ N Diệp và J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD-đại số và MD-nhóm xem như đã được giải quyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ

đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A

Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các phân lá liên kết với các

MD-nhóm đã xét

Đối với một phân lá (V F, ) tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V

F thường có tôpô

không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay C0( )V

,

( ) ( *( ) ) ( )

i

i

V

Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-đại số Connes *( )

,

lá) Kể từ công trình [8] của A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá

và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước

Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương

pháp K- hàm tử hay không?” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đã dùng

các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2

chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý

thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Năm 1990, L A Vũ ([2])

đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm

cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một

lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ

2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian “

lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Cụ thể như sau:

1 Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều

2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân

lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-nhóm được xét

3 Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và

đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương

ứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm được xét

Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm

tử

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp như sau:

 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm

 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá

 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân

lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A M Torpe

và tài liệu [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu

K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá

cụ thể Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học

6 Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần

kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm

vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án

Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã

được nêu vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp

tục nghiên cứu

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế:

- Hội nghị Toán học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động lực học và Tôpô vào tháng 4/2011 (GEDYTO 2011) tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1

- Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học Thái Nguyên

- Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 (ICMA-UEL 2011) tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM