Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng

Luận văn Thạc sĩ Khoa học toán học: Các không gian có độ cong hằng bao gồm những nội dung về các khái niệm tôpô vi phân và hình học vi phân; các không gian có động cong hằng; các không gian riemanian có độ cong hằng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

*************

LÊ MINH HÒA

Chuyên ngành: Hình học Tô Pô Mã Số: 1.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Nguyễn Thái Sơn

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2004

§1 Đa tạp khả vi

§2 Không gian phân thớ

§3 Liên thông

3.1- Liên thông trên không gian phân thớ 27

3.2- Dạng cong và phương trình cấu trúc 29

3.6- Sự biểu diễn trong tọa độ địa phương 41

CHƯƠNG II:

2.5- Định lý 54

2.7- Định lý (Hệ quả Killing – Hopf) 56

MỞ ĐẦU

Hình học tô pô là một ngành học lâu đời và phát triển mạnh trong hơn nửa thế kỷ gần đây, với những kiến thức về lý thuyết đa tạp không gian phân thớ và lý thuyết liên thông Nó đã trang bị cho chúng ta những kiến thức cơ sở để áp dụng và nghiên cứu những vấn đề cơ bản của hình học vi phân, hình học cao cấp mà chúng ta đã biết trong giáo trình đại học

Kiến thức về “độ cong” trong hình học vi phân là một kiến thức hết sức

cơ bản Tuy nhiên, trong giáo trình đại học phạm vi giới hạn chỉ là độ cong của các tập trong En hoặc Rn

Trên cơ sở đã được nghiên cứu các lý thuyết cơ bản của hình học tô pô,

chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Các không gian có độ cong hằng” với nội

dung chủ yếu là nêu được quá trình xây dựng các không gian có độ cong hằng một cách tổng quát Từ đó, sẽ xây dựng các không gian hằng một cách cụ thể như không gian Riemanian có độ cong hằng…

Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính:

+ Giới thiệu quá trình xây dựng các không gian có độ cong hằng tổng quát thông qua các định lý từ các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở

+ Cụ thể hóa các không gian tổng quát bằng các không gian cụ thể

“Không gian Riemanian có độ cong hằng”

Trong luận văn chỉ nghiên cứu các không gian có độ cong hằng cơ bản và quen thuộc

Để thực hiện mục đích nghiên cứu nói trên chúng tôi nghiên cứu các lý thuyết cơ bản của hình học tô pô: lý thuyết đa tạp khả vi – Lý thuyết không gian phân thớ – Lý thuyết liên thông Ngoài ra cần nghiên cứu thêm các kiến thức đại số có liên quan như: “Đại số Lie – Nhóm Lie” để làm nền tảng cho các nghiên cứu các không gian có độ cong hằng

Để hoàn thành được luận văn tôi đặc biệt chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi cũng thành thật cảm ơn các thầy trong tổ hình học thuộc khoa Toán đã đọc và góp ý cho luận văn

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế, tôi nghĩ rằng trong nội dung của luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đóng góp của thầy cô và độc giả

§1 ĐA TẠP KHẢ VI

1.1- Đa tạp khả vi:

1.1.1- Đa tạp khả vi n-chiều:

Một đa tạp khả vi n-chiều là một không gian Hausdorff M cùng với họ

})

{(

A α

α

,

α

(a) { U α } α∈A là một phủ mở của M;

(b) ϕ α là phép đồng phôi của U α lên một tập con mở của nR ;

(c) Nếu α , β ∈ A, thì ánh xạ

) (

) (

, α

U

∈

ϕ là họ tối đại có ba tính chất trên

Các tập hợp Uα gọi là các lân cận tọa độ trong M Tọa độ địa phương

α

ϕ trên Uα được cho bằng n hàm thực:

αα

α

ϕ ( x ) = ( 1( x ), , n( x )), x ∈ U

Trong đó ϕα1( x ) là tọa độ địa phương của điểm x ∈ Uα

Cặp ( Uα, ϕα) được gọi là một hệ tọa độ địa phương

Từ đây về sau ta coi các ánh xạ là khả vi lớp C∞, tức là ánh xạ trơn và

đa tạp khả vi lớp C∞, gọi là đa tạp trơn

1.1.2- Ánh xạ khả vi:

Ánh xạ liên tục f : M → M '

( :

1

ββα

αα

là ánh xạ khả vi

Nếu u , ,1 un và v , ,1 vn là các hệ tọa độ địa phương ứng với

α

U

và Vβ thì f được biểu diễn thành các hàm khả vi:

) , , (

), , , ,

Cho f : M → M ' là một ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp: khi M là một khoảng mở trong R thì f gọi là một đường cong trơn (khả vi) trong M’ Khi M là tập con mở của đa tạp M’, còn M’ là đường thẳng thực R thì f gọi là hàm thực khả vi trên M ⊂ M '

1.2- Trường véctơ:

1.2.1- Véctơ tiếp xúc với M tại một điểm p ∈ M; không gian tiếp xúc:

Giả sử τ ( p )là đại số các hàm khả vi xác định trong lân cận của điểm

p, x(t) là đường cong trơn trên M, sao cho x ( to) = p

Véc tơ tiếp xúc với đường cong x(t) tại p là ánh xạ X: τ ( p ) → R được xác định như sau:

X khi t = t0 Véc tơ X thỏa mãn hai điều kiện:

(1) X là ánh xạ tuyến tính từ τ ( p ) vào R

(2) Ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các véctơ tại p là một không gian véctơ với

cơ sở là ( ∂ / ∂ u1)p, , ( ∂ / ∂ un)p

Giả sử đã cho đường cong bất kỳ x(t) và p = x ( t0) và giả sử

là phương trình của nó trong hệ tọa độ địa phương Khi đó:

n j

0 )

u

/

( ∂ ∂

Ngược lại, nếu đã cho tổ hợp tuyến tính , thì ta xét

đường cong được xác định như sau:

Khi đó vectơ tiếp xúc với đường cong đó tại t=0 là ∑ ∂ ∂

∑

Khi đó: j)p = ξk với k=1, ,n

Điều này suy ra {( ∂ / ∂ uj)p} độc lập tuyến tính

Tập hợp các vectơ tiếp xúc tại p ∈ M ta ký hiệu là Tp(M ), gọi là không gian tiếp xúc của đa tạp M tại p

Bộ n số thực gọi là bộ thành phần của vectơ

trong tọa độ địa phương

1.2.2- Trường vectơ trên đa tạp:

Trường vectơ X trên tập mở U ⊂ M là ánh xạ X: U → Tp(M ), đặt tương ứng mỗi điểm p ∈ U với vectơ Xp ∈ Tp(M )

Nếu f là hàm khả vi trên M, ta định nghĩa hàm Xf trên M như sau:

f X p

Khi X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là trường vec tơ song song

1.2.3- Trường mục tiêu:

Trường mục tiêu trên tập hợp mở U ⊂ M là hệ gồm n trường vectơ

} , ,

{ X1 Xn trên U sao cho với mỗi p ∈ U thì hệ là một cơ sở của

} , ,

1ϕ , ϕi là các hàm khả vi

1.2.4- Đạo hàm của trường vectơ dọc theo một trường vectơ

Giả sử χ (M ) là tập hợp các trường vectơ khả vi trên M, thì nó thành lập một không gian vectơ thực đối với phép cộng tự nhiên và phép nhân với một vô hướng

Nếu X , Y ∈ χ ( M ), ta định nghĩa các dấu móc [X,Y] là ánh xạ từ vành các hàm trên M vào chính nó như sau:

) ( )

( ]

,

[ X Y f = X Yf − Y Xf

Khi đó [X,Y] cũng là một trường vectơ

Thật vậy, trong tọa độ địa phương u , ,1 un ta có:

j k

j k

k j

f Y

X

] ,

k k

f ∈ τ và X , Y ∈ χ ( M )

Đạo hàm thuận biến trên đa tạp M là ánh xạ

Y Y

X M M

M ) × ( ) → ( ), ( , ) 6 ∇X

vectơ (X,Y) Với trường vectơ ∇XY thỏa mãn 4 điều kiện như sau:

Z Y

Z

Y + = ∇ + ∇

0 ('

Ánh xạ f* được đặt trưng như sau:

Với mọi X ∈ Tp(M ) và mọi hàm khả vi tại h f ( p ) ∈ M ', ta có

) ( )

( f*X h = X h f

Hàm h f khả vi tại p được xác định bởi đẳng thức:

)) ( ( ) )(

.

( h f x = h f x

Nếu M’ là không gian vectơ thì f* trùng với vi phân df

Nếu X là trường vectơ trên tập mở U ∈ M, và trên f ( U ) ∈ M ' đã cho trường vectơ Y, sao cho f*Xp = Yf(p) với mọi p , q ∈ U và

) ( )

Ánh xạ f : M → M ' được gọi là phép nhúng nếu f* là đơn ánh đối với p ∈ M, còn f (M ) là đa tạp con được nhúng trong M’

Nếu phép nhúng f là đơn ánh thì f được gọi là phép lồng từ M vào M’ còn f (M ) là đa tạp con được lồng trong M’

Vậy một đa tạp con của M’ có thể là tập con đóng hoặc mở của M’ Tất

cả các tập con mở của M’ đều là tạp con của M’

Giả sử f là hàm được xác định trên đa tạp M’, M là tập hợp các điểm

'

M

p ∈ , sao cho f ( = p ) 0 Nếu ( df )p ≠ 0 tại mỗi p ∈ M thì có thể

đưa cấu trúc đa tạp khả vi vào M, sao cho M là đa tạp con đóng trong M’, và gọi là siêu mặt tiếp xúc được xác định bởi phương trình f = 0

Tổng quát hơn nếu M là tập hợp các hàm không f , ,1 fr

r

df ) , , ( )

( 1 là không đổi, trong lân cận tập hợp M ⊂ M ', thì M là đa

tạp con đóng trong M' với số chiều là là không gian vectơ đối ngẫu của không gian tiếp xúc

)'

M

( T*

( ), ,' ( ) , ( ) ' ( u + u v − u v − u v u v + v − u v − u v

) , ( ) , ( ), , ( ) ,

( ru v − r u v u rv − r u v trong đó u ∈ , u ' U và

V

v

Ta đặt U ⊕ V = M ( U , V ) / N

Mỗi cặp (u,v) được xem là phần tử của M(U,V), ảnh của nó với phép

toán là phép chiếu tự nhiên M(U,V)ỈU ⊗ V gọi là u ⊗ v

Ánh xạ ϕ : U × V → U ⊗ V , ϕ ( u , v ) = u ⊗ v, với

V U

v

u , ) ∈ ×

( được gọi là ánh xạ song thuyến tính chính tắc

Với mỗi số nguyên dương r ta gọi Tr = V⊗V⊗… ⊗V (r tích tenxơ) là không gian vectơ phản biến bậc r Mỗi phần tử của Tr gọi là một tenxơ phản biến bậc r

Khi r=1 thì T 1 là V T 0 ta xem chính là trường cơ sở của R

Tương tự TS=V*⊗V*⊗…⊗V* (s lần tích tenxơ), V* là không gian vectơ

đối ngẫu của không gian vectơ V, gọi là không gian tecxơ hiệp biến (thuận

biến) bậc s các phần tử của nó gọi là tenxơ hiệp biến bậc s Ta cũng có T 1=V*

và T 0 = R

Giả sử e1,…,en là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu e1,…,en trong V*

thì { ei1 ⊗ ⊗ eir; 1 ≤ i1, , ir ≤ n } là cơ sở trong Tr

Mỗi tenxơ phản biến bậc r, K biểu diễn duy nhất là tổ hợp tuyến tính

Trong đó Ki1 i r là các thành phần của K đối với cơ sở e1,…,en trong V

Tương tự mỗi tenxơ thuận biến bậc s, L được biểu diễn:

s

j j

Trong đó là các thành phần của L đối với cơ sở e1,…,en trong V*

s

j j

L1, ,

Không gian tenxơ kiểu (r,s) hoặc là không gian tenxơ phản biến bậc r

và hiệp biến bậc s là tích tenxơ

s r

r

T = ⊗ ⊗ ⊗ * ⊗ ⊗ * = ⊗

(gồm r nhân tử V và s nhân tử V*) Phần tử của nó gọi là tenxơ kiểu

(r,s) hay tenxơ phản biến bậc r và hiệp biến bậc s

Trong cơ sở e1,…,en của V và e1,…,en là cơ sở đối ngẫu của nó trong

V*, thì tenxơ K kiểu (r,s) là:

ir i

ir i jr

k k

1

1

1 1

1

Trong đó i ir là thành phần của k đối với cơ sở e1,…,en

jr j

k 1

1

1.3.2- Trường tenxơ:

Giả sử T x = T x (M) là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại x và T(x) là

đại số tenxơ trên T x: T ( x ) = ∑ Ts r( x ), trong đó Ts r( x ) là các không gian tenxơ kiểu (r,s) trên T x

Trường tenxơ kiểu (r,s) trên tập con N của M là việc đặt tương ứng mỗi

điểm x ∈ N với tenxơ Kx ∈ Ts r( x )

Trong lân cận tọa độ U với tọa độ địa phương x1,…,xn ta chọn:

, i=1,…,n là cơ sở đối với không gian tiếp xúc T x , x∈U và

ω , i=1,…,n là cơ sở đối ngẫu trong Tx*

Trường tenxơ K kiểu (r,s), được xác định trên U, khi đó biểu diễn như

j j

i i

i i j

1 1

i i j j

K

1 1

1.3.1- Thí dụ:

Mêtric Riemanian trên M là một trường tenxơ g hiệp biến bậc 2, thỏa

mãn các điều kiện:

(1) g ( X , X ) ≥ 0 với mọi X ∈ χ ( M ) và g ( X , X ) = 0 ⇔ X = 0

, /

j i

ijdx dx g

ds

, 2

1.4- Nhóm Lie và Đại số Lie:

Nhóm Lie và đại số Lie là công cụ rất mạnh trong hình học vi phân và các lĩnh vực khác của toán học Trong luận văn này, do giới hạn nên ta không đề cập nhiều về nhóm Lie và đại số Lie, tuy nhiên để có một kiến thức vững chắc và cần thiết, trong chứng minh định lý 3.1 chương 2, ở đây ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về nhóm Lie và đại số Lie Đó là định nghĩa về nhóm Lie, trường vectơ bất biến trái, đại số Lie của một nhóm Lie, tác động của nhóm Lie trên một đa tạp và một vài ví dụ cần thiết

Đối với a∈G, ada là đồng cấu trong của G được xác định là

(ada)x=axa -1 với mọi x∈G

1.4.2- Trường vectơ bất biến trái (phải)

Trường vectơ X trên G được gọi là bất biến trái (phải) nếu nó bất biến

đối với mọi tác động La (Ra), a∈G Trường vectơ bất biến trái hoặc bất biến phải luôn luôn khả vi

Đại số Lie G của nhóm Lie G là tập hợp tất cả các trường vectơ bất

biến trái trên G với phép cộng thông thường và phép nhân với một vô hướng

và phép toán móc

Giống như không gian vectơ, G đẳng cấu với không gian tiếp xúc Te (G)

tại đơn vị e, phép đẳng cấu chính là ánh xạ đặt tương ứng trường vectơ X∈G

với vectơ Xe, là giá trị của X tại e

Như vậy G là đại số con Lie n-chiều của đại số Lie của các trường

vectơ của χ ( G )

Thí dụ 1.4.1: GL(n;R) và GL(n;R)

Giả sử GL(n;R) là nhóm tất cả các ma trận không suy biến cấp n x n

A=(aij), với phép nhân được cho như sau:

GL(n;R) được xem là một tập con mở và do đó cũng là một đa tạp con

mở trong Rn2

Đối với cấu trúc khả vi đó GL(n;R) là một nhóm Lie

Tập hợp GL(n;R) tất cả các ma trận thực n x n, tạo thành một đại số Lie

n2-chiều với phép toán móc [A,B]=AB-BA

Người ta thường đồng nhất đại số Lie của nhóm GL(n;R) với GL(n;R) Thí dụ 1.4.2 O(N) và O(n)

Nhóm O(n) tất cả các ma trận trực giao cấp n x n là một nhóm Lie

Thành phần đơn vị của nó gồm các ma trận với định thức bằng 1, ta ký hiệu là SO(n)

Tập hợp O(n) gồm các ma trận phản đối xứng cấp n x n là một đại số

Lie với phép toán móc kể trên Người ta cũng đồng nhất đại số Lie của nhóm O(n) với đại số Lie O(n)

1.4.3- Nhóm con Lie và đại số con Lie:

Nhóm con Lie của nhóm Lie G là nhóm con H, đồng thời cũng là đa tạp con trong G sao cho, chính H là nhóm Lie đối với cấu trúc khả vi đó

Trường vectơ bất biến trái trên H được xác định bằng giá trị của nó tại e

và vectơ tiếp xúc với H tại e này xác định trường vectơ trên G Từ đó suy ra rằng, đại số Lie H của H có thể đồng nhất với đại số con trong G Ngược lại mỗi đại số con H trong G là một đại số Lie của nhóm con duy nhất H trong G

1.4.4- Tác động của nhóm Lie trên một đa tạp

Nhóm Lie G là nhóm Lie của các phép biến đổi trên đa tạp M, hay nói rằng G tác động khả vi trên M, nếu các điều kiện sau được thực hiện:

(1) Mỗi phần tử a ∈ G cảm sinh ra phép biến đổi trong M, được ký hiệu xa

x 6 , trong đó x∈M

(2) G × M ∋ ( a , x ) 6 xa ∈ M là ánh xạ khả vi

(3) x(ab)=(xa)b với mọi a,b ∈ G và x ∈ M

Ta viết Rax thay cho xa và ta nói rằng G tác động bên phải trên M

Nếu ta viết xa và giả sử (ab)x=a(bx) thay cho (3) thì ta nói rằng G tác

động bên trái trên M và ta sử dụng ký hiệu Lax thay cho ax

Ta thấy rằng R ab =R a R b và L ab =L a L b

Từ (3) và từ Ra hoặc La là song ánh trên M, suy ra Re và Le là những

phép biến đổi đồng nhất trên M

Ta nói rằng G tác động hiệu quả (tương ứng tự do) trên M, nếu Rax=x,

với mọi x∈M (tương ứng một vài x∈M) kéo theo a=e

Nếu G tác động bên phải trên M, thì ta đặt mỗi A∈G tương ứng với

vectơ A* trên M như sau: tác động của nhóm con một tham số at = exp tA

cảm sinh ra trường vectơ trên M, được kí hiệu là A*

1.4.5- Mệnh đề:

Giả sử nhóm Lie G tác động bên phải trên M Ánh xạ

G là một đồng cấu của các đại số Lie Nếu G tác động

hiệu quả trên M, thì

) (

§2 KHÔNG GIAN PHÂN THỚ

Trong mục này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất về không gian phân thớ và đồng cấu phân thớ, một số không gian phân thớ có liên quan tới phần còn lại của chương 2 và chương 3 được trình bày bởi các thí dụ

2.1- Không gian phân thớ:

Giả sử M là một đa tạp, G là nhóm Lie Không gian phân thớ chính hay vắn tắt phân thớ chính (khả vi) trên M với nhóm G, gồm đa tạp P và tác động của nhóm G trên P thỏa mãn các điều kiện:

(1) G tác động tự do bên phải trên P:

, sao cho ψ(u)=(π(u),ϕ(u)), trong đó ϕ là ánh xạ từ

π-1(u) vào G, thỏa mãn điều kiện ϕ(ua)=(ϕ(u))a với mọi u∈π-1(U) và a∈G

G U

Ψ : π−1( )

Không gian phân thớ chính được ký hiệu là P(M,G,π) hoặc P(M,G) hay đơn giản là P

Ta gọi: P là cơ sở của không gian phân thớ

G là nhóm cấu trúc

π là phép chiếu

Với mỗi x∈M,π-1(x) là một đa tạp con đóng trong P, được gọi là một thớ

trên x

Nếu u là điểm thuộc π-1(x), thì π-1(x) là tập hợp các điểm ua, a∈G, được

gọi là thớ qua u Từ đó ta thấy rằng, mỗi thớ đều đồng phôi với G

Giả sử ta đã cho nhóm Lie G và đa tạp M, mà G tác động tự do bên trái trên P = M x G, như sau:

Mỗi b∈G, R b biến (x,a)∈M x G thành (x,ab)∈M x G, không gian phân thớ chính P(M,G) nhận được như vậy gọi là tầm thường

Nếu đã cho phân thớ chính P(M,G), thì theo mệnh đề 1.4.5, tác động của G lên P cảm sinh đồng cấu σ của đại số Lie G của nhóm G vào đại số

)

(P

χ của các trường vectơ trên P Với mỗi A∈G, A*=σ(A) được gọi là trường vectơ cơ sở (cơ bản) tương ứng với A Vì tác động của G biến mỗi thớ

thành chính nó, nên tiếp xúc với thớ tại mỗi u∈P Và vì G tác động tự do

trên P, nên A* không triệt tiêu trên P (nếu A#0), theo mệnh đề 1.4.5

*

a

A

Do số chiều của mỗi thớ bằng số chiều của G nên ánh xạ AỈ(A*)u từ G

vào Tu(P) là một đẳng cấu tuyến tính của G trên không gian tiếp xúc tại u với thớ qua u

2.2- Đồng cấu phân thớ:

Đồng cấu f của phân thớ chính P’(M',G’) vào một phân thớ chính khác

P(M,G) được tạo từ ánh xạ f': P’ Ỉ P và đồng cấu f'’: G’ Ỉ G, sao cho f(u’a’)=f'(u’)f'’(a’) với mọi u’∈P’ và a’∈G’

Để đơn giản ta ký hiệu f' và f'’ cũng là chữ cái f

Mỗi đồng cấu f: P’ Ỉ P biến mỗi thớ của P’ thành một thớ của P và cho nên sẽ cảm sinh một ánh xạ từ M' vào M, ta cũng ký hiện là f

Đồng cấu f: P’(M',G’) Ỉ P(M,G) được gọi là phép nhúng hay là một đơn ánh, nếu ánh xạ được cảm sinh: f: M' Ỉ M là một phép nhúng và f: G’ Ỉ

G là một đơn cấu

Khi đồng nhất P’ với f(P’), G’ với f(G’) và M' với f(M'), thì ta nói rằng

P’(M',G’) là phân thớ con của P(M,G)

Nếu M'=M, và f: M'ỈM là phép đồng nhất trên M, thì f: P’(M',G’) Ỉ

P(M,G) được gọi là phép thu hẹp của nhóm cấu trúc G của phân thớ P(M,G)

tới nhóm con G’, phân thớ con P’(M,G’) được gọi là phân thớ thu hẹp

Nếu đã cho P(M,G) và nhóm con Lie G’ của G thì ta nói rằng nhóm cấu trúc G được thu hẹp tới G’, nếu tồn tại phân thớ thu hẹp P’(M,G’)

2.1- Thí dụ: G(G/H,H)

Giả sử G là nhóm Lie, H là nhóm con của nó Ta định nghĩa tác động của H trên G bên phải như sau: mỗi a∈H, biến u∈G thành ua Khi đó ta được phân thớ chính khả vi G(G/H,H) trên đa tạp cơ sở G/H với nhóm cấu trúc H

Tính tầm thường địa phương được suy ra từ sự tồn tại của các thiết diện địa phương

Nếu π là phép chiếu của G lên G/H và e là đơn vị trong G, thì tồn tại các ánh xạ σ của lân cận của phần tử π(e) của G/H vào G, sao cho: π◦σ là

phép biến đổi đồng nhất của lân cận

2.2- Thí dụ: Phân thớ tuyến tính

Giả sử M là đa tạp n-chiều Mục tiêu tuyến tính u tại điểm x∈M là một

cơ sở được sắp xếp X1,…,Xn của không gian tiếp xúc Tx(M)

Giả sử L(M) là tập hợp các mục tiêu tuyến tính u tại mọi điểm của M, và giả sử π là ánh xạ từ L(M) lên M mà nó biến mục tiêu tuyến tính tại điểm

x thành x

Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n;R) tác động lên L(M) bên phải sao

cho: Nếu a=(aij)∈GL(n;R) và u=(X1,…,Xn) là mục tiêu tuyến tính tại x thì ua, theo định nghĩa, là mục tiêu tuyến tính (Y1,…,Yn) tại x được xác định như sau:

Để đưa cấu trúc khả vi vào L(M), ta giả thiết rằng (x1,…,xn) là tọa độ

9ịa phương trong lân cận tọa độ U trong M Mỗi mục tiêu u tại x∈M sẽ được

thiết lập một cách duy nhất dưới dạng:

u=(X1,…,Xn) với , trong đó (Xki) là các ma trận không suy biến

=

k

k ki

Điều đó chứng tỏ rằng giữa π-1(U) và U x GL(n;R) tồn tại một song ánh

Ta biến L(M) thành một đa tạp khả vi, khi lấy (xj) và (Xki) làm hệ tọa độ địaphương trong π-1(U) Khi đó L(M)(M,GL(n;R)) là một phân thớ chính: Được

gọi là phân thớ mục tiêu tuyến tính trên M

Nếu u là mục tiêu tuyến tính tại điểm x∈M, được cho bởi ánh xạ tuyến tính không suy biến từ Rn lên T x (M)

Giả sử e1,…,en là cơ sở tự nhiên trong Rn: e1=1,0,…,0),…,en(0,…,0,1) Mục tiêu tuyến tính u=(X1,…,Xn) tại x được cho bởi ánh xạ u: RnỈT x (M), sao

cho ue

Xem a=(aij)∈GL(n;R) là một phép biến đổi tuyến tính trong Rn, biến ej

thành Khi đó: ua:Rn T x (M) là hợp thành của hai ánh xạ sau:

i=Xi với i=1,…,n Tác động của GL(n;R) trên L(M) được minh họa như

Rn →a n→u x

2.3- Thí dụ: Phân thớ mục tiêu trực chuẩn O(M)

Giả sử L(M) là phân thớ mục tiêu tuyến tính trên đa tạp M n-chiều, giả sử (,) là tích vô hướng tự nhiên trong Rn đối với nó

e1=(1,

ếu ta xem mỗi u∈L(M) là một đẳng cấu tuyến tính từ Rn lên

T x (M), trong đó x∈π(u), thì mỗi ột tích vô hướng g trong

u∈Q xác định m

) , 1

−

( ) , ( X Y u

Tính bất biến của (,) đối với O(n), kéo theo sự độc lập của g(X,Y) đối

với việc chọn u∈Q

Ngược lại, giả sử trên M đã cho Mêtric Riemanian g, và Q là tập con

g mục tie nh trực giao đối với g Nếu xem

u∈L(M) là một đẳng cấu tuyến tính từ Rn lên T x (M

trong L(M), gồm nhữn âu tuyến tí

), thì u∈Q khi và chỉ khi

,

( ξ ξ )' = g ( u ξ , v ξ )' với mọi ξ , ξ ' ∈ Rn Khi đó Q tạo thành phân thớ con

thu hẹp trong L(M) trên M với nhóm cấu trúc O(n)

Phân thớ Q được gọi là phân thớ mục tiêu trực chuẩn trên M, được ký

hiệu l

2.4- Thí dụ: Phân thớ ke

hân thớ chính, F là đa tạp mà G tác động bên trái nó:

à O(M), Mỗi phần tử của O(M) là một mục tiêu trực chuẩn

át hợp

Giả sử P(M,G) là p

F

G × ∋ ( a , ξ ) → a ξ ∈ F Ta xây dựng phân thớ kết hợp F(M,F,G,P) với

P, với thớ tiêu chuẩn F

Trên tích các đa tạp P x F ta định nghĩa tác động bên phảicủa G như sau: Phần từ a∈G biến (u,ξ)∈P x F thành (ua,a-1ξ)∈ P x F Không gian thương của P

x F Ỉ M biến (u,ξ) thành π(u) cảm sinh ánh xạ πE được gọi là phép

x F đối với phép toán nhóm được ký hiệu E = P x aF Ta đưa cấu trúc

khả vi vào E

Ánh xạ P

chiếu từ E lên M Với mỗi x∈M tập hợp πE−1( x ) được gọi là một thớ trong E trên x

Mỗi x∈M có lân cận U sao cho π-1(u) đẳng cự với U x G Nếu đồng

x G, ta thấy rằng tác động của G trên π-1(U) x F bên phải,

được cho như sau: (x,a,ξ) 6(x,ab,b ξ) với (x,a,ξ)∈U x G x F và b ∈G

ra: Phép đẳng cự π (U)≈U x G cảm sinh phép

nhất π-1(U) với U

-1

UxF U

E−1( ) ≈

π Phép chiếu πE khi đó là ánh xạ khả vi từ E lên M

Ta gọi E(M,F,G,P) là phân thớ trên cơ sở M với thớ tiêu chuẩn F và nhóm cấu trúc G, kết hợp với phân thớ chính P

Thiết diện của phân thớ E(M,F,G,P) là ánh xã ξ: M Ỉ E sao cho πE.σ là

một phép biến đổi đồng nhất trong M Đối với P(M,G) thiết diện σ: M Ỉ P tồn tại khi và chỉ khi P là phân thớ tầm thường

§3 LIÊN THÔNG -

Không gian phân thớ và liên thông trên các không gian phân thớ – đó là những vấn đề cơ bản, rất quan trọng trong hình học vi phân Trong mục này,

ta sẽ trình bày lần lượt về dạng cong, dạng xoắn và phương trình cấu trúc, liên thông tiếp tuyến, tenxơ cong và tenxơ xoắn và cuối cùng là liên thông Riemanian

3.1- Liên thông trên không gian phân thớ:

3.1.1- Liên thông trên không gian phân thớ:

Giả sử P(M,G) là phân thớ chính trên đa tạp M với nhóm G Mỗi u∈P,

giả sử Tu(P) là không gian tiếp xúc với P tại u và G u là không gian con của

Tu (P), gồm các vectơ tiếp xúc với thớ qua u

Liên thông Γ trong P là sự tương ứng không gian con Q u của Tu (P) với mỗi điểm u ∈ P sao cho:

(a) Tu (P)=G u+Qu (tổng hợp trực tiếp)

(b) Qua=(Ra)*Qu , với mỗi u ∈ P và a ∈ G, trong đó Ra là phép biến đổi

trong P, được cảm sinh bởi phần tử a ∈ G, Rau=ua

(c) Qu phụ thuộc khả vi vào u

Điều kiện (b) nghĩa là tương ứng u Ỉ Q u bất biến đối với G

Ta gọi G u là không gian con thẳng đứng, Qu là không gian con nằm ngang trong Tu (P) Vectơ X ∈ T u (P) được gọi là thẳng đứng (nằm ngang) nếu nó thuộc vào G u (vào Qu ) Do (a), mỗi vectơ X ∈ T u (P) có thể viết duy nhất

X = Y + Z , trong đó Y ∈ G u , Z ∈ Qu

Ta gọi Y (tương ứng Z) là thành phần thẳng đứng (tương ứng nằm ngang) của X và ký hiệu là vX (tương ứng hX) Điều kiện (c) theo định nghĩa là: Nếu X là trường vectơ khả vi trên P, thì vX và hX cũng khả vi

3.1.2- Dạng liên thông:

Khi đã cho liên thông Γ trong P, ta định nghĩa 1 – dạng ω trên P với giá trị trong đại số Lie G của nhóm G như sau:

Trong 2.1 ta đã có: Mỗi A ∈ G cảm sinh trường vectơ A* trên P được

gọi là trường vectơ cơ bản tương ứng với A, và A Ỉ (A*)u là một đẳng cấu

tuyến tính từ g lên G u với mỗi u ∈ P

Với mỗi X ∈ T u (P) ta định nghĩa ωX là A ∈ G duy nhất sao cho: (A*) u

bằng thành phần thẳng đứng của X

Từ đó ta có ω(X)=0 khi và chỉ khi X nằm ngang Dạng ω được gọi là

dạng liên thông của liên thông Γ đã cho

3.1.3- Mệnh đề:

Dạng liên thông ω thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(a’) ω(A*)=A với mọi A ∈ G

(b’) (Ra)*ω=ad(a-1)ω

Nghĩa là (Ra*ω)(X)=ad(a-1)ω(X), với mỗi a ∈ G và mỗi trường vectơ X trên P, trong đó ad là phép biểu diễn kết hợp của G trong G

Ngược lại, nếu đã cho G giá trị 1 – dạng ω trên P thỏa mãn (a’) và (b’),

thì tồn tại duy nhất liên thông của nó là ω

Phép chiếu π: P Ỉ M cảm sinh ánh xạ tuyến tính π: T u (P) Ỉ T u (M) với mỗi u ∈ P, trong đó x=π(u) Khi đã cho một liên thông, π sẽ biến không gian

con nằm ngang Qn đẳng cự thành T x (M)

3.2- Dạng cong và phương trình cấu trúc:

Giả sử P(M,G) là phân thớ chính, còn ρ là phép biểu diễn của G trên không gian vectơ hữu hạn chiều V,ρ(a) là phép biến đổi tuyến tính trong V với mỗi a ∈ G và ρ(a,b)=ρ(a)ρ(b) với a,b ∈ G

Dạng giả tenxơ bậc r trên P kiểu (ρ,V) là V giá trị r dạng ϕ trên P sao

cho:

ϕ ρ

Nếu ρ0 là phép biểu diễn tầm thường của nhóm G trên V, nghĩa là ρ0(a)

là phép biến đổi đồng nhất trong V đối với mỗi a ∈ G, thì dạng tenxơ bậc r

kiểu (ρ0,V) là dạng ϕ trên P, có thể biểu diễn là ϕ=π*ϕ M, trong đó ϕM là V – giá trị r – dạng trên cơ sở của M

3.2.2- Thí dụ:

Giả sử ρ là phép biểu diễn của G trên V và E là phân thớ kết hợp với P với thớ tiêu chuẩn V, trên nó G tác động như ρ

Dạng tenxơ ϕ bậc r kiểu (ρ,V) được xét là việc đặt mỗi điểm x ∈ M với

ánh xạ đa tuyến tính phản đối xứng ϕx từ Tx(M) x…x T x (M) (r lần) vào không

gian vec tơ πE-1 (x), là một thớ trong E trên x cụ thể là ta xác định:

) ( )),

, , (

( ) , , (

Trong đó u là điểm tùy ý trong P với π(u)=x, còn Xi* là vectơ bất kỳ tại

u sao cho π(Xi*)=Xi với mỗi i

Khi đó ϕ(X1*,…,X r *) là phần tử của thớ tiêu chẩn V, còn u là ánh xạ tuyến tính từ V lên πE-1(x), sao cho u(ϕ(X1*,…,X r*)) là phần tử của πE-1(x),

phần tử này độc lập đối với việc chọn u và Xi*

Ngược lại, giả sử đã cho một ánh xạ đa tuyến tính phản đối xứng:

) ( )

(

) ( :

( ), , (

(

~ ( )

, ,

1 1

trong đó x=π(u)

Nói riêng, 0-dạng tenxơ kiểu (ρ,V) là hàm f: P Ỉ V sao cho

f(ua)=ρ(a -1 )f(u) là ánh xạ đồng nhất với thiết diện M Ỉ E

Giả sử Γ là liên thông trong P(M,G) G u và Qu là các không gian con thẳng đứng và nằm ngang tương ứng trong Tu (P) Giả thiết h: T u (P) Ỉ Q u là một phép chiếu

3.2.3- Mệnh đề:

Nếu ϕ là r-dạng giả tenxơ kiểu (ρ,V) trên P, thì:

(a) Dạng ϕh, được các định như sau:

(ϕh)(X 1 ,…,X r )=ϕ(hX 1 ,…,hX r ), X i∈ T u (P), là một dạng tenxơ kiểu (ρ,V)

(b) dϕ là (r+1)-dạng giả tenxơ kiểu (ρ,V);

(c) (r+1)-dạng Dϕ, được định nghĩa như sau: Dϕ=(dϕ)h là dạng tenxơ kiểu (ρ,V)

Chứng minh:

Từ Ra ◦ h = h ◦ Ra , a ∈ G Ỉ ϕh là dạng giả tenxơ kiểu (ρ,V), và ta có

(ϕh)(X1,…,X r )=0, nếu một trong các Xi thẳng đứng

(b) Suy ra từ Ra* d = d Ra*, a ∈ G;

(c) Suy ra từ (a) và (b)

Dạng Dϕ = (dϕ)h được gọi là đạo hàm hiệp biến ngoài của ϕ, còn D được gọi là vi phân hiệp biến ngoài

Nếu ρ là phép biểu diễn kết hợp của G trong đại số Lie G, thì người ta nói rằng, dạng giả tenxơ kiểu (ρ,G) là dạng ad G Dạng liên thông ω là 1-dạng giả tenxơ kiểu ad G

Theo mệnh đề 3.2.1 Dω là 2-dạng tenxơ kiểu ad G và được gọi là dạng

của độ cong đối với ω, kí hiệu Dω=Ω

3.2.4- Định lý (phương trình cấu trúc):

Giả sử ω là một dạng liên thông, còn Ω là dạng cong của nó Khi đó:

dω(X,Y)=-1/2[ω(X),ω(Y)]+Ω(X,Y)

Với X,Y ∈ T u (P), u ∈ P

Để đơn giả ta viết phương trình cấu trúc là dω=-1/2[ω,ω]+Ω Nếu

e1,…,en là cơ sở của đại số Lie G và , i,j,k=1,…,r là các hằng cấu trúc của

G đối với e1,…,er, nghĩa là:

i jk

i jk

Theo định nghĩa của D, chứng tỏ rằng DΩ(X,Y,Z)=0 nếu tất cả X,Y,Z là

nằm ngang Sử dụng vi phân ngoài d đối với phương trình cấu trúc ta có:

i k

j i jk k

i i

jk

i

d d

C d

1 0

Vì ωi(X)=0, nếu X nằm ngang nên ta có:

dΩ(X,Y,Z)=0 nếu tất cả X,Y,Z là nằm ngang

(2) Ngược lại, một liên thông bất kỳ trong G(G/H,H) bất biến dưới tác động của phép dịch chuyển trái của G, xác định một sự khai triển G=H+M nào

đó, và có thể nhận được như đã được trình bày trong (1)

3.3- Liên thông tuyến tính:

Trong mục này ta sẽ gọi phân thớ mục tiêu tuyến tính L(M) là P và nhóm tuyến tính GL(n;R) là G với n=dim M

Dạng chính tắc θ đối với P là Rn giá trị 1-dạng trên P, được xác định

như sau:

θ(X)=u-1(π(X)) với X ∈ T u (P)

Trong đó u được xét như là ánh xạ tuyến tính từ Rn lên T x(u) (M), (Thí dụ

2.2)

3.3.1- Mệnh đề:

Dạng chính tắc θ đối với P là một dạng tenxơ kiểu (GL(n;R), Rn) Nó

tương ứng với một phép biến đổi đồng nhất của không gian tiếp xúc T x (M) tại mỗi điểm x ∈ M trong ý nghĩa của thí dụ 3.2.2

( ) ( ) (

) )(

( Ea*θ X = θ RaX = ua −1 π RaX

)) ( ( ))

(

1 1

X a

X u

=

từ đó suy ra được khẳng định của mệnh đề

Liên thông trong phân thớ mục tiêu tuyến tính P trên M được gọi là liên thông tuyến tính trong M

Nếu đã có liên thông tuyến tính Γ trong M, thì chúng ta kết hợp mỗi ξ ∈

Rn với trường vectơ nằm ngang B(ξ) trên P bằng cách sau:

Với mỗi u ∈ P, (B(ξ)) u là vectơ nằm ngang duy nhất tại u sau cho

π((B(ξ))u )=u(ξ) Ta gọi B(ξ) là trường vectơ nằm ngang tiêu chuẩn tương ứng

với ξ

3.3.2- Mệnh đề:

Trường vectơ nằm ngang tiêu chuẩn có các tính chất:

(1) Nếu θ là dạng chính tắc đối với P, thì θ(B(ξ))=ξ với ξ ∈ Rn

(2) Ra(B,(ξ))=B(a-1ξ) với a ∈ G và ξ ∈ Rn

(3) Nếu ξ # 0, thì B(ξ) không bao giờ triệt tiêu

Chứng minh:

Mỗi ξ ∈ Rn, B(ξ) là trường vectơ nằm ngang tiêu chuẩn, sao cho:

π((B(ξ))u )=u(ξ) với u ∈ P

Từ đó:

θ((B(ξ))u )=u-1(π(B(ξ))u ))=u-1(u(ξ))=ξ, ta có (1)

(2) suy ra từ: Nếu X là vectơ nằm ngang tại u, thì R0(X) là vectơ nằm ngang tại ua và π(Ra(X))=π(X)

Để chứng minh (3) ta giả sử (B(ξ))u =0 tại u ∈ P nào đó Khi đó:

u(ξ)=π((B(ξ)) u)=0

Vì u: Rn Ỉ T π(u) (M) là một đẳng cấu tuyến tính, nên ta có ξ = 0

Dạng xoắn của liên thông tuyến tính Γ được định nghĩa là Θ=Dθ

3.3.3- Mệnh đề:

Giả sử ω, Θ và Ω tương ứng là dạng liên thông, dạng xoắn và dạng

cong của liên thông tuyến tính Γ trong M Khi đó ta có:

) , ( )

( ) ( )

( ) (

( 2

1 )

Đối với cơ sở tự nhiên e1,…,en trong Rn ta viết:

j i

i

jE

,Khi đó phương trình cấu trúc được viết là:

j

i i

k

k j

i k

3.3.4- Định lý (đồng nhất thức Bianki)

Đối với liên thông tuyến tính ta có:

Đồng nhất thức Bianki thứ I: DΘ==Ω^θ, nghĩa là:

3DΘ(X,Y,Z) = Ω(X,Y)θ(Z) +Ω(Y,Z)θ(X)+Ω(Z,X)θ(Y)

trong đó X,Y,Z ∈ T u (P)

Đồng nhất thức Bianki thứ X: DΩ=0

Chứng minh:

- II được chứng minh trong định lý 3.2.3

- Chứng minh I: Ứng dụng vi phân ngoài d với phương trình cấu trúc dθ=-ω^θ+Θ ta có:

0 = -dω^θ + ω^dθ + dΘ

Ký hiệu hX là thành phần nằm ngang của X, khi đó:

ω(hX)=0, θ(hX) = θ(X) và dω(hX,hY) = Ω(X,Y)

Từ đó ta có:

DΘ(X,Y,Z) = dΘ(hX,hY,hZ)

= (dω^θ)(hX,hY,hZ)=(Ω^θ)(X,Y,Z)

3.4 Tenxơ cong và tenxơ xoắn:

Trong mục 3.3 ta đã có Ω và Θ tương ứng là dạng cong và dạng xoắn

của liên thông tuyến tính Γ trên M Trong mục này ta tiếp tục trình bày định

nghĩa trường tenxơ xoắn (hay độ xoắn) T và trường tenxơ cong (hay độ cong)

R, một vài định lý và mệnh đề có liên quan trong việc chứng minh các mệnh

đề của §2, chương 3

Giả sử T(X,Y)=u(2Θ(X*,Y*)) với X,Y ∈ Tx(M) trong đó u là điểm bất kỳ của L(M) và π(u)=x, còn X* và Y* là các vectơ của L(M) tại u với π(X*)=X và π(Y*)=Y

Ta biết rằng T(X,Y) không phụ thuộc vào việc chọn u,X* và Y* (thí dụ 3.2.2) Như vậy, tại một điểm x ∈ M, T xác định ánh xạ song tuyến tính phản

đối xứng Tx(M) x T x (M) Ỉ Tx(M)