tóm tắt luận án k-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5-phân lá

Kirillov về việc “Đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ.. Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số Các

C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý Tuynhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rấtphức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở

Năm 1975, theo một gợi ý có tính khai phá của A A Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K- hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng

thực  Năm 1976, J Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc

trưng C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng

phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác Trong công trình này,

J Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng

các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method) Năm 1977, Đ N.

Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu Ibằng các mở rộng lặp nhiều tầng

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặctrưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn Từ đó, một cách tự nhiên, nảysinh hai vấn đề lớn như sau:

 Vấn đề 1 : Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có

thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.

 Vấn đề 2 : Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các

nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm

tử mở rộng.

Năm 1980, G G Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như một áp dụng

đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số

C*(H3) của nhóm Heisenberg H3.

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tửthường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớptương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpôJacobson) không quá phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồngnhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita củacác biểu diễn unita bất khả quy của nhóm)

Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằngtập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo(hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có khônggian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhómcủa chúng bằng phương pháp K-hàm tử

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại sốcủa các MD-nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạonên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương).

G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc

có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k n  thì G còn

được gọi là một MDn -nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng

MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp

MD là con của lớp MD Đến đây, một bài toán được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”.

Năm 1984, H H Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn-đại số Lớp nàychỉ gồm các đại số Lie giao hoán n, đại số Lie affine thực Lie(Aff  ) và đại số

3Lie affine phức Lie(Aff) Ngay sau đó, H H Việt đã dùng phương pháp K-hàm

tử để đặc trưng C*Aff   của phủ phổ dụng Aff  đối với nhóm affine phứcAff Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ N Diệp và J Rosenberg,việc nghiên cứu lớp con các MD-đại số và MD-nhóm xem như đã được giảiquyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn làbài toán mở

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp cácMD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo

chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã

xét

Đối với một phân lá V F,  tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của

“tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của

phân lá đó Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V F thường có tôpô không

Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các

lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân

lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay

70 của thế kỷ trước

thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những độnglực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầu tiên màchúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở choviệc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổngquát

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ.

2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là ““Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Cụ thể như sau:

1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoáncủa L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con cácMD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4chiều

2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân

lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi nhóm được xét

3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá vàđặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá đượctạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng Cụthể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông,đơn liên, bất khả phân

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các phân lá liên kết với các nhóm được xét

MD(5,4)-Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bàitoán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phươngpháp như sau:

 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương phápquỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được

L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm

 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá

 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đốivới C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng cácKK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A M Torpe và tài liệu [2] của L

A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử(Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá.Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh

6họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyếtđối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể Vì thế,các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học.

6 Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm

vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án.

Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã

được nêu vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp tục

Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, tuy nhiên bản luận

án khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý củacác phản biện và độc giả để chúng tôi có cơ hội chỉnh lý, sửa chữa và hoàn thiện

hơn công trình của mình Chúng tôi xin chân thành cám ơn

Chương 1 K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm Kết quả này được công

bố trong bài báo [3] Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phương pháp mô tả chúng trước khi đi vào kết quả chính của chương.

1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được Đ N Diệp đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)- nhóm.

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được với G là đại số Lie của G và G*

là không gian đối ngẫu của G

Định nghĩa 1.1.1 Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu

các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không vượt quá số chiều của nhóm) Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số

chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD -nhóm.

Đại số Lie thực, giải được G ứng với MD-nhóm G (tương ứng MD

MD-đại số có số chiều n được ký hiệu tương ứng là các MDn-nhóm và MDn-MD-đại số (hay MD n -nhóm và MD n -đại số) với n là số nguyên dương.

Sau đây là lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều được

L A Vũ và K P Shum đưa ra trong [24]

Mệnh đề 1.1.5 Cho G là một MD5-đại số bất khả phân và G1G G, 4

(đại số Lie giao hoán 4 chiều) Khi đó, ta luôn chọn được cơ sở thích hợp

X X X X X1, 2, 3, 4, 5 trong G sao cho G1 X X X X2, 3, 4, 5 4, ad X1

1 2

là các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.

Sau đây, ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A A Kirillov trình bàytrong [15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhómđược L A Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ đạo của cácMD(5,4)-nhóm

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G.

Thế thì K-biểu diễn K G : AutG* của G trong G* được cho bởi:

1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ đạo F

của G, với mỗi F  G* Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô tả F trong

trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc

đại số Lie G của G Khi đó, ánh xạ mũ exp :G G  G và tính chất tự nhiên của

nó rất có ích đối với ta

Ký hiệu exp :G G G là ánh xạ mũ của G và

Hơn nữa, nếu exp G là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra.

Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ expG là

toàn ánh

Mệnh đề 1.2.2 ([2, Hệ quả 1.7]) Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên

thông, hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó thoả: với mọi X  G , ad X không có giá trị riêng (trong ) thuần ảo nào Khi đó, ánh xạ mũ exp :G G G là toàn ánh.

Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh củaexpG cũng đủ để có đẳng thức FGF Cụ thể, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 1.2.3 Giả sử G liên thông Nếu họ các FG, FG* lập thành một

phân hoạch của G* và mọi F'G, 'F  F đều cùng mở hoặc cùng đóng

(tương đối) trong FG, FG* Khi đó: FGF, FG*.

Nhận xét 1.2.4 Từ các mệnh đề trên, để mô tả các K-quỹ đạo của mỗi

MD(5,4)-nhóm, trước hết ta xác định FG, với mỗi F  G* Sau đó, tuỳ vào từngtrường hợp cụ thể của mỗi nhóm Lie, ta sẽ dùng Bổ đề 1.2.1 hoặc Bổ đề 1.2.3 để

có đẳng thức FGF,  F G*.

Sau đây là mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Gọi G là một trong các MD(5,4)-nhóm, G là đại số Lie tương ứng của G và G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Mỗi X  G có toạ độ

( , , , , )a b c d f trong cơ sở  X X X X X1, 2, 3, 4, 5 , và F  G* có toạ độ

( , , , , )     trong cơ sở đối ngẫu  1 3 4 5

2

X X X X X F là K-quỹ đạo

của G trong G* chứa F.

Định lí 1.3.1 (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)

1 Giả sử G là một trong các nhóm lie G5,4,1( , , )  1 2 3 , G5,4,2( , ) 1 2 , G5,4,3( ), G5,4,4  ,

với    và F với   2  , i  , ,  Ta được:

(i) Nếu     thì    0  F  F (quỹ đạo 0-chiều).

(ii) Nếu 22220 thì F là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng trường hợp cụ thể như dưới đây:

G với      và F với  , i , i Ta được:

(i) Nếu     thì    0  F  F (quỹ đạo 0-chiều).

Mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu lớp các MD(5,4)-phân lá, tức làcác phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,4)-nhóm tương ứng Kết quả chính của chương này là Định lí 2.4.2 ở Mục 2.4 về phânloại tôpô và mô tả không gian các lá của các MD(5,4)-phân lá Kết quả này đượccông bố trong bài báo [26] Để độc giả tiện theo dõi, trước khi trình bày các kết quảchính, chúng tôi sẽ dành phần đầu của chương để giới thiệu về phân lá, tôpô phân

lá, phân lá đo được và một số khái niệm có liên quan

2.1 Phân lá

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm về phân lá và các tính chất của phân láđược A Connes đưa ra trong [8]

Định nghĩa 2.1.3 Một phân lá V F là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một, 

phân bố khả tích F trên nó Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân

bố xác định phân lá Số chiều (đối chiều) dimF (codimF) cũng được gọi là số

15chiều (đối chiều) của phân lá V F Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L, 

của F được gọi là một lá của phân lá V F Ta có dimL = dimF., 

Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây

Mệnh đề 2.1.4 ([8, Introduction]) Cho phân lá V F Khi đó:, 

(i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá V (ii) x V  , tồn tại hệ tọa độ địa phương U x x; , , ,1 1 x n n| dimV quanh

x sao cho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông trong L U (mà được gọi là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng:

• Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) :p V  B sao cho mỗi thớ của nó

là và chỉ là một lá của phân lá V F thì ta bảo rằng phân lá ,  V F được cho bởi, 

2.2.1 Không gian các lá của phân lá

16Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của

một phân lá Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của một phân

lá V F là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm., Nếu phân lá V F được cho bởi phân thớ :,  p V B thì không gian lá

V F chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi V F được cho bởi, 

tác động của nhóm Lie G thì V F lại là không gian V G các G-quỹ đạo.

2.2.2 Kiểu tôpô của phân lá

Hai phân lá V F và ,  V F được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng', '

kiểu tôpô nếu có một đồng phôi : h V V' sao cho h chuyển mỗi lá của F thành

mỗi lá của 'F

Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểutôpô (cả về mặt địa phương lẫn toàn cục)

2.3 Phân lá đo được

Định nghĩa 2.3.1 Một độ đo hoành Λ đối với phân lá V F là một ánh xạ ,   cộng tính B  B từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0,+∞] sao cho các

-tiên đề sau đây thỏa mãn:

(i) Nếu : B1 B2 là song ánh Borel và  x thuộc cùng lá chứa x

 x B1 thì  B1 B2 (tính đẳng biến Borel)

(ii)  K   nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.

Phân lá V F đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được., 

2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm

Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồngthời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, F G là họ các K-quỹ đạo

chiều cực đại của nó và VG       | FG Khi đó, V F G, G là một phân lá

đo được Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G.