K - lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 - phân lá

K - lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 - phân lá

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sựhướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ Các kết quả viết chung với tác giả khác đãđược sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả của luận án làmới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giảDương Quang Hòa

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 1.1.Các MD-nhóm và MD-đại số 13

1.2.Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 19

1.3.Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22

Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 2.1. Phân lá 26

2.2. Tôpô phân lá 29

2.3. Phân lá đo được 30

2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 31

Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá 40

3.2. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 50

3.3. K-lý thuyết đối với phân lá 57

3.4. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 59

KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 78

Danh mục các công trình của tác giả 80Tài liệu tham khảo 81Phụ lục .85

AutG : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

A A ã G : Tích xiên của A và G bởi tác động 

C G A : Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A

End(G) : Không gian các đồng cấu trên G

G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G

đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc C S 1

Index A : (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số A

C*-đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc C S 2

n

V F,  : Không gian phân lá.

 : Độ đo hoành (đối với phân lá)

 0, 1 : Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.

Năm 1943, I Gelfand và A Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số.

Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý.Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quátlại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở

Năm 1975, theo một gợi ý của A A Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực

 Năm 1976, J Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc

trưng C*-đại số C*(Aff) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳngphức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác Trong công trìnhnày, J Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số

bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method) Năm 1977,

Đ N Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại sốkiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việcđặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn Từ đó, một cách tự nhiên,nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:

 Vấn đề 1 : Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có

thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.

 Vấn đề 2 : Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp

các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng.

Năm 1980, G G Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán

tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như một áp

dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công

C*-đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tửthường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớptương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpôJacobson) không quá phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồngnhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unitacủa các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm)

Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấyrằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹđạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie cókhông gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại

số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại

số của các MD-nhóm Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹđạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàmtử

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương) G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n Khi k n

thì G còn được gọi là một MDn -nhóm Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương

ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng

lớp MD là con của lớp MD Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”.

Năm 1984, H H Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn-đại số Lớpnày chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n

 , đại số Lie affine thực Lie(Aff) vàđại số Lie affine phức Lie(Aff) Ngay sau đó, H H Việt đã dùng phương pháp

K-hàm tử để đặc trưng C*Aff  của phủ phổ dụng Aff đối với nhóm affinephức Aff Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ N Diệp và J.Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD-đại số và MD-nhóm xem như đãđược giải quyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhómvẫn còn là bài toán mở

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớpcác MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ

đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A.

Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các phân lá liên kết với các

MD-nhóm đã xét

Đối với một phân lá V F,  tùy ý, một trong những bài toán quan trọng

của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá)

của phân lá đó Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V F thường có tôpôkhông Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với khônggian các lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứutôpô phân lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý

đại số Connes C V F* ,  liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân

lá) Kể từ công trình [8] của A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá

và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quantrọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A Connes khởi xướngvào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước

Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đã dùng

các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2

chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Năm 1990, L A Vũ ([2])

đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên nhữngđộng lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn Trường hợp khả dĩ đầutiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm

cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trongtrường hợp tổng quát

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một

lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ.

2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian“

lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử” Cụ thể như sau:

1 Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoáncủa L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con cácMD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4chiều

2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân

lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi nhóm được xét

MD(5,4)-3 Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá vàđặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân láđược tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tươngứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhómliên thông, đơn liên, bất khả phân

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với cácMD(5,4)-nhóm được xét

Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sátbài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàmtử

4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phươngpháp như sau:

 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phươngpháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm

 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá

 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyếtđối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân

lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A M Torpe

và tài liệu [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thểhiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứuK-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá

K-cụ thể Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học

6 Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và

phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án.

Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã

được nêu vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp

- Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đạihọc Thái Nguyên

- Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 UEL 2011) tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM

(ICMA Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 tạiĐại học Huế

- Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tạiĐại học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013

Chương 1

K – quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm Kết quả này được công bố trong bài báo [3] Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phương pháp mô tả chúng trước khi đi vào kết quả chính của chương.

1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được

Đ N Diệp đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.

1.1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được với G là đại số Lie của G và

*

G là không gian đối ngẫu của G.

Định nghĩa 1.1.1 Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu

các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không vượt quá số chiều của nhóm) Trường hợp số chiều cực đại đúng

bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD

-nhóm

Đại số Lie thực, giải được G ứng với nhóm G (tương ứng,

MD-nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số).

Các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều n được ký hiệu tương ứng là các MDn-nhóm và MDn-đại số (hay MD n -nhóm và MD n -đại số) với n là số

nguyên dương.

Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD-nhóm, MD-đại số được dùng đầu tiên bởi Đ N Diệp năm 1980 Ngay sau đó, lớp các MD-đại số và MD- đại số đã được V M Sơn và H H Việt khảo sát năm 1984 ([35]) H H Việt

đã phân loại triệt để lớp MD-đại số: các MD-đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực hoặc phức V M Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực, giải được là MD-đại số như trong mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử G là một MD-đại số Khi đó G2  G G G G,  , ,   là

một đại số con giao hoán trong G

Toàn bộ lớp MD4-đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đ.

V Trà ([1]) Năm 1990, dựa trên liệt kê của Đ V Trà, L A Vũ đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số ([2]) Nói một cách vắn tắt, bài toán liệt kê và phân loại các MD4-đại số đã được giải quyết trọn vẹn.

Khi n 5, các tính toán trở nên phức tạp hơn Trong quá trình giải quyết bài toán liệt kê và phân loại, để đơn giản, L A Vũ đề nghị xét từng lớp

con các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (1 k 4) Năm

2008, L A Vũ và K P Shum đã hoàn thành việc liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán ([24]) Trên cơ sở đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán của mình đối với lớp các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều (như đã đề cập ở phần Mở đầu).

Thật ra, nhờ mệnh đề và hệ quả ngay dưới đây, ta sẽ thấy rằng có thể xét lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiều mà không cần chú ý đến tính giao hoán của ideal này.

Mệnh đề 1.1.3 ([30, Theorem 2.1.5]) Cho G là một đại số Lie thực, giải được

n chiều n 5 sao cho dimG1 n 1 và G2 giao hoán Khi đó, G là một đại số khi và chỉ khi G1 giao hoán

MD-Kết hợp Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.3, ta có ngay hệ quả sau

Hệ quả 1.1.4 Không tồn tại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4

chiều không giao hoán

Do Hệ quả 1.1.4, nên ta chỉ cần xét bài toán trên lớp các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều mà thôi Trong tiểu mục kế

tiếp dưới đây, ta sẽ giới thiệu lại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều.

1.1.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều

Suốt mục này, G luôn là ký hiệu để chỉ một MD5-đại số Ta chọn

trước một cơ sở  X X X X X cố định trong 1, 2, 3, 4, 5 G Lúc đó với tư cách là

một không gian vectơ 5 chiều, 5



G Về phân loại lớp con các MD5-đại số

có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có mệnh đề dưới đây của L A Vũ và

K P Shum [24].

Mệnh đề 1.1.5 Cho G là một MD5-đại số bất khả phân và 1   4

(đại số Lie giao hoán 4 chiều) Khi đó, ta luôn chọn được cơ sở thích hợp

cos sin 0 0 sin cos 0 0

dùng cho các MD5-đại số bất khả phân được nêu trong Mệnh đề 1.1.5 Ví dụ:

(ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất

khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơnliên tương ứng của chúng Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu

lần lượt là các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.

Sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A A Kirillov trìnhbày trong [15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của cácMD-nhóm được L A Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹđạo của các MD(5,4)-nhóm

1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó Giả sử G tác

động lên G bởi Ad G  :  AutG được định nghĩa như sau:

của G theo phần tử g G (tương ứng, g 1 G ) Tác động Ad gọi là biểu diễn

phụ hợp của G trong G.

Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Khi đó biểu diễn

Ad cảm sinh ra tác động K G  :  AutG* của G lên G* như sau:

Ở đây, với mỗi dạng tuyến tính  F G , mỗi trường vectơ (bất biến*

trái) Y  G , ký hiệu F Y, chỉ giá trị của F tại Y Tác động K được gọi là

K-biểu diễn hay K-biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*

Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo

Kirillov của G (trong G*) Cụ thể, ứng với mỗi F trong G*, K-quỹ đạo F

của G qua F được xác định bởi:

 

1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ

đạo F của G, với mỗi F  G* Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô

tả F trong trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh màchỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie G của G Khi đó ánh xạ mũ exp :G G   G

và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối với ta.

Ký hiệu exp :G G  G là ánh xạ mũ của G và

exp: EndG    AutG là ánh xạ mũ của nhóm Lie Aut

G các tự đẳng cấu -tuyến tính của G

Nhắc lại rằng, vi phân ad:G  EndG của biểu diễn phụ hợp Ad

được xác định bởi công thức:

Hơn nữa nếu exp G là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập  F X |X  G

là FG Như thế, bao hàm thức (1.2) được viết lại là:

Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ expG là toàn ánh.

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu hạn

chiều với đại số Lie G của nó thoả:  X G , ad X không có giá trị riêng (trong

) thuần ảo nào Khi đó ánh xạ mũ exp :G G    G là toàn ánh

Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức  F FG Cụ thể ta có bổ đề sau

đây.

Bổ đề 1.2.3 Giả sử G liên thông Nếu họ các F( ), G FG* lập thành một

( ),

 G G đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) tron F, FG* Khi đó:  F F( ), G  F G*

Nhận xét 1.2.4 Các mệnh đề trên, về cơ bản, đã phác thảo cho ta cách mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhóm Cụ thể, trong trường hợp lớp con các MD(5,4)- nhóm, trước hết ta xác định F G, với mỗi *



F G Sau đó, tuỳ vào từng

trường hợp cụ thể của mỗi nhóm Lie, ta sẽ chỉ ra rằng: ánh xạ mũ của nó hoặc làtoàn ánh hoặc tất cả các F'G, 'F  F đều cùng đóng hoặc cùng mở (tươngđối) trong F Do đó, dùng Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3, ta có đẳng thức

Sau đây là một kết quả khá tổng quát về số chiều của K-quỹ đạo F được

áp dụng cho trường hợp các MD(5,4)-nhóm được xét.

Mệnh đề 1.2.5 ([30, Lemma 2.1.6]) Nếu G là một MD-đại số có số chiều n 5

và dimG1  n 1 thì dim F 0, 2 ,   F G *

Theo Mệnh đề 1.2.5, đối với mỗi MD(5,4)-nhóm được xét, các K-quỹ đạo

chỉ hoặc 0-chiều hoặc là 2-chiều (chiều cực đại)

Sau đây là một mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm.

1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm

Với G là một trong các MD(5,4)-nhóm, gọi G là đại số Lie tương ứng

của G và G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Giả sử X  G có toạ

độ a b c d f, , , ,  trong cơ sở  X X X X X1 , 2 , 3 , 4 , 5 , F  G* có toạ độ      , , , , 

trong cơ sở đối ngẫu  * * * * *

1 , 2 , 3 , 4 , 5

X X X X X , F là K-quỹ đạo của G trong G*

chứa F

Định lí 1.3.1 (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)

1 Giả sử G là một trong các nhóm lie G5,4,1( ,  1 2 , ) 3 , G5,4,2( , 1 2 ), G5,4,3( ) , G5,4,4   ,

5,4,5

G , G5,4,6( , 1 2 ), G5,4,7   , G5,4,8( ) , G5,4,9( ) , G5,4,10 với   1 , , , 2  3    \ 0,1 

(i) Nếu         0 thì  F  F (quỹ đạo 0-chiều).

(ii) Nếu  2   2   2   2  0 thì F là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng trường hợp cụ thể như dưới đây:

5,4,12 ,

Ý tưởng chính cho phép chứng minh Định lí 1.3.1, về cơ bản, đã được nêu

rõ ràng trong Nhận xét 1.2.4 ở trên Tức là, ta sẽ mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm thông qua việc tính FG, với mỗi *



F G Tuy nhiên, docác tính toán cụ thể là khá dài dòng nên chúng tôi không tiện trình bày chi tiết ởđây Quý độc giả nào có quan tâm, xin vui lòng xem chứng minh chi tiết ở phầnPhụ lục của luận án

Nhận xét 1.3.2

(i) Từ bức tranh các K-quỹ đạo, ta có thể kiểm chứng lại một cách trực tiếp về tính MD của các nhóm Lie G5,4,1( , , )  1 2 3 , G5,4,2( , ) 1 2 , G5,4,3( ) , G5,4,4   ,

5,4,5

G , G5,3,6( , 1 2 ), G5,3,7   , G5,4,8( ) , G5,4,9( ) , G5,4,10, G5,4,11( ,  1 2 , ), G5,4,12( , )  , G5,4,13( , )  ,

5,4,14( , , )

(ii) Theo Bổ đề 1.2.1, Bổ đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.2, rõ ràng phương pháp

mô tả các K-quỹ đạo như vậy cũng đặc biệt thích hợp với các nhóm Lie thực,

giải được, liên thông, hữu hạn chiều và thoả mãn điều kiện của Mệnh đề 1.2.2

Chương 2

Lớp MD(5,4)-phân lá

Mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu lớp các MD(5,4)-phân

lá, tức là các phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,4)-nhóm tương ứng Kết quả chính của chương này là Định lí 2.4.2 ở Mục 2.4 về phân loại tôpô và mô tả không gian các lá của các MD(5,4)-phân lá Kết quả này được công bố trong bài báo [26] Để độc giả tiện theo dõi, trước khi trình bày các kết quả chính, chúng tôi sẽ dành phần đầu của chương để giới thiệu về phân lá, tôpô phân lá, phân lá đo được và một số khái niệm có liên quan Một trình bày chi tiết hơn có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo mà chủ yếu là [2], [8] và [22].

2.1 Phân lá

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm về phân lá và các tính chất của phân lá được A Connes đưa ra trong [8].

2.1.1 Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân

Định nghĩa 2.1.1 Cho V là một đa tạp trơn và TV là phân thớ tiếp xúc của V.

Một phân thớ (trơn) con F của TV được gọi là phân bố khả tích (hay khả tích)

trên V nếu mỗi xV đều được chứa trong một đa tạp con W của V sao cho

( )

y y

T W F , với mọi yW

Ở đây ký hiệu T W y( ) chỉ không gian tiếp xúc của W tại y, F y là thớ tại y của F Đa tạp W như thế được gọi là đa tạp con tích phân của F.

Mệnh đề 2.1.2 Các khẳng định sau đây là tương đương

(i) F là phân bố khả tích của V.

(ii)  x V , tồn tại đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập

p U    q F  V  F sao cho F y  ker( ) , p* y  y U (iii)  ( )   ( ) / , 

C F X C TV X F x V là một đại số Lie.

(iv) Ideal J F  các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F là ổn định đối với phép lấy vi phân ngoài

Như vậy, mọi phân thớ con 1-chiều F của TV đều khả tích, nhưng khi

dimF  thì điều kiện khả tích là không tầm thường.2

2.1.2 Phân lá

Định nghĩa 2.1.3 Một phân lá V F,  là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng

một phân bố khả tích F trên nó Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân bố xác định phân lá Số chiều (đối chiều) dim F (codim F) cũng

được gọi là số chiều (đối chiều) của phân lá V F,  Mỗi đa tạp con tích phân

liên thông tối đại L của F được gọi là một lá của phân lá V F, 

Ta có dim

L = dim F.

Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây.

trong đó c c1 , , , 2 c n k là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm)

Ở địa phương, đa tạp phân lá của mỗi phân lá k-chiều bị phân hoạch thành các tấm “rời” nhau, mỗi tấm đều vi phôi với một phẳng k-chiều trong

n

 .

Bản đồ địa phương U, ứng với hệ tọa độ địa phương nêu trong

Mệnh đề 2.1.4 được gọi là một bản đồ phân lá của phân lá V F,  Như vậy

đa tạp phân lá V luôn có thể được phủ bởi một tập bản đồ (atlat) gồm các

bản đồ phân lá.

Giả sử có một họ  các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch của V sao cho mỗi  L đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối

đại của cùng một phân bố khả tích F trên V Khi đó  chính là họ các lá của

phân lá V F Ta thường đồng nhất  với chính phân bố khả tích F và, 

dùng cùng một ký hiệu F để chỉ họ  Ta cũng bảo họ  (các đa tạp con như trên của V) lập thành một phân lá trên V.

Sau đây là 2 kiểu phân lá điển hình mà ta thường gặp trong luận án.

 Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) p V:  B sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá V F, 

thì ta bảo rằng phân lá V F, 

được cho bởi phân thớ p V:    B.

 Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo của G là và chỉ là một lá của phân lá V F, 

đề của “tôpô phân lá” là nghiên cứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá Chẳng hạn sự tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá, …

2.2.1 Không gian các lá của phân lá

Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các

lá của một phân lá Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của

một phân lá V F,  là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi

lá về một điểm.

Nếu phân lá V F, 

được cho bởi phân thớ p V:   B thì không gian

lá V F chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi V F,  được

cho bởi tác động của nhóm Lie G thì V F lại là không gian V G các G-quỹ

đạo.

2.2.2 Kiểu tôpô của các phân lá

Hai phân lá V F,  và V F', ' được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng

kiểu tôpô (phân lá) nếu có một đồng phôi h V: V' sao cho h chuyển mỗi lá

của F thành mỗi lá của F'

Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu tôpô (cả về mặt địa phương lẫn toàn cục)

2.3 Phân lá đo được

Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các lá có thể compact hoặc không Do đó, khó có thể nói gì về các

tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá Trong khi đó, nếu lá L compact,

nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương

của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p 523]) Vì

vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm

là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các

lá một độ đo thích hợp Năm 1982, A Connes đã đưa ra khái niệm độ đo

hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu.

2.3.1 Đa tạp con hoành – tập hoành Borel

Giả sử V F,  là một phân lá Đa tạp con N của V được gọi là hoành

nếu  p N T V, p  chẻ ra thành tổng trực tiếp T N p F p Khi đó hiển nhiên

dimN co dimF Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá U ,  quanh mỗi điểm p N sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của

N U , tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một điểm duy nhất.

Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu

B L đếm được, với mỗi lá L của phân lá.

Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được

của các tập hoành Borel B có kiểu như sau: tồn tại đơn ánh  : B   N từ B vào đa tạp con hoành N nào đó sao cho  x thuộc cùng lá chứa x, với mỗi

x B .

2.3.2 Độ đo hoành đối với phân lá – Phân lá đo được

Một độ đo hoành  đối với phân lá V F,  là một ánh xạ  -cộng tính

 

B  B từ họ các tập con hoành Borel của V đến 0,  sao cho các tiên

đề sau đây thỏa mãn:

( 1) Nếu  : B1    B2 là song ánh Borel và  x thuộc lá chứa x

 x B1 thì  B1 B2 (tính đẳng biến Borel).

( 2)  K   nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.

Phân lá V F,  đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.

2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm

Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân

lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét.

2.4.1 Các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm

Nhắc lại rằng, các MD-nhóm (không giao hoán) về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo là khá đơn giản Theo số chiều, mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K-quỹ đạo: tầng các K-quỹ đạo 0-chiều và tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại của một nhóm liên thông ta thấy: các quỹ đạo là các đa tạp liên thông, đôi một rời nhau và

có cùng số chiều Điều này gợi cho ta nghĩ đến một phân lá.

Trong [2], L A Vũ đã chứng minh được rằng, đối với các nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân thì họ các K-quỹ đạo chiều cực đại luôn tạo thành một phân lá đo được Trong [25], một khẳng định tương tự cũng được các tác giả chứng minh cho các MD5-nhóm liên thông, đơn liên với ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều Phép chứng minh các khẳng định này được tiến hành bởi những tính toán cụ thể theo 2 bước sau đây:

MD4- Bước 1 : Chỉ ra phân bố khả tích F G trên V G ( V G là hợp của tất cả các K-quỹ đạo chiều cực đại của G) sao cho mỗi K-quỹ đạo là một đa tạp liên thông tối đại của nó.

 Bước 2 : Trang bị cho V F G, G một độ đo hoành.

Đối với các MD(5,4)-nhóm, bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, F G là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó và V G     / F G Khi đó, V F G, G là một phân lá đo được Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G

Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với

14 họ các MD(5,4)-nhóm đã được chỉ ra trong Chương 1

Từ Định lí 1.3.1, dễ thấy rằng, tất cả các đa tạp phân lá của các MD(5,4)-phân lá đều vi phôi với nhau đồng thời vi phôi với đa tạp con mở

MD(5,4)-dụ, V F, 4,3   là một MD(5,4)-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo

chiều cực đại của MD(5,4)-nhóm G5,4,3  .

2.4.2 Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá đã xét

Sau đây, ta sẽ trình bày chi tiết định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá đã xét, đồng thời đưa ra một mô tả chi tiết không gian các

lá cho từng kiểu tôpô.

Định lí 2.4.2 (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân

lá)

1 Có đúng 3 kiểu tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét, mỗi kiểu gồm các MD(5,4)-phân lá thuộc một và chỉ một trong các tập hợp F 1 , F 2

, F 3 được liệt kê dưới đây:

Ta sẽ ký hiệu các kiểu này lần lượt bởi chính các ký hiệu F 1 , F 2 , F 3

2.(i) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F 1 đều được cho bởi phân thớ với

thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị S 3

(ii) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F 2 và F 3 đều là các phân lá được

cho bởi các tác động của 2 trên đa tạp phân lá V    4 *

.

Chứng minh

1 Để chứng minh phần đầu của Định lí 2.4.2, ta cần chỉ ra các đồng phôi của đa

tạp phân lá V, chuyển lá thành lá, cho tất cả các phân lá trong cùng một tập hợp

F1, F2 , F 3 đã liệt kê ở mục 1 của định lí Cụ thể,

,0,sign ,0, , 0, 0

ln , 0, 0,

.ln , 0, 0,

V F, 4,7  , V F, 4,8  , V F, 4,9  , V F, 4,10 ) thành mỗi lá của phân lá V F, 4,5

Do đó các phân lá thuộc F1 là cùng kiểu tôpô.

 Tương tự, để chứng minh sự tương đương tôpô của các phân lá trong cùngtập F 2, ta xét các đồng phôi đi từ V       2 vào chính nó được định nghĩanhư sau:

r i ie i

Các ánh xạ h4,11   1 , , 2  (tương ứng h4,12 ,   , h4,13 ,  ) là đồng phôi chuyển mỗi

lá của phân lá V F, 4,11   1 , , 2  (tương ứng của V F, 4,12 ,  , V F, 4,13 ,  ) thành mỗi lá

của phân lá

4,12 1, 2

Do vậy, các phân lá thuộc F2 là cùng kiểu tôpô

 Hoàn toàn tương tự cho các phân lá trong cùng tập F3, ta có các ánh xạ:

là đồng phôi chuyển mỗi lá của phân lá V F, 4,14 , ,   thành mỗi lá của phân lá

Do vậy các phân lá thuộc F3 là cùng kiểu tôpô

Dựa vào bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm, sự không tươngđương tôpô của các phân lá kiểu F1, F2, F3 là rõ ràng Do vậy, phần đầu củađịnh lí được chứng minh

2 Sau đây, ta chứng minh phần 2 của định lí bằng cách chỉ ra tường minh cácphân thớ hoặc các tác động mà từ đó chúng cảm sinh ra các phân lá thuộc kiểu

phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị S3

(ii) Xét các tác động của 2

 trên V xác định như dưới đây.

2 4,12 :

 trên đa tạpphân lá V

Định lí được chứng minh hoàn toàn ∎

Nhận xét 2.4.3 Các kết quả của Định lí 2.4.2 sẽ rất có ích trong việc mô tả giải

tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng nhưtrong việc đặc trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử trongchương cuối cùng của luận án