nhập môn k – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

K-lý thuyết tôpô được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển một loạt các bài toán của giải tích và tôpô thành các bài toán đại số.. Bằng phép toán tổng Whitney các phân th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Hình h ọc và Tôpô

Mã s ố: 60 46 01 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN THÁI SƠN

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

Chương 2 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC

KHÔNG GIAN TÔPÔ 35

L ỜI CẢM ƠN

Thái Sơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học

Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như khi làm luận văn

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn sự động viên của bạn bè, gia đình đã luôn bên tôi, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như khi tôi hoàn thành

luận văn tốt nghiệp này

TP H ồ Chí Minh, ngày 05 tháng 12 năm 2013

H ọc viên: Trần Phong

Vect B Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ k

chiều trên trên B

M Ở ĐẦU

K-lý thuyết tôpô (còn gọi là K-lý thuyết hình học) là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng và là một công cụ mạnh của Tôpô đại số Công cụ này cho phép giải quyết nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô cũng như nhiều lĩnh vực khác của toán học Năm 1958, Grothendieck khi nghiên cứu về định lý Riemann – Roch trong Hình học đại số đã khởi xướng ý tưởng về K-lý thuyết tôpô Đến năm 1961, K-lý thuyết tôpô đã chính thức được hình thành bởi các công trình nghiên cứu độc lập của Atiyah và Hirzebruch

K-lý thuyết tôpô được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển

một loạt các bài toán của giải tích và tôpô thành các bài toán đại số K-lý thuyết tôpô

đã nảy sinh một cách tự nhiên ra K-lý thuyết đại số

K-lý thuyết tôpô xuất hiện trước và liên quan tới các phân thớ vec-tơ phức trên các đáy là các không gian tôpô Đối tượng cơ bản của K-lý thuyết tôpô là các lớp tương đương ổn định của các phân thớ vec-tơ (phức) Bằng phép toán tổng Whitney các phân thớ vec-tơ, ta xây dựng được một vị nhóm Abel, rồi thông qua nhóm Grothendieck, ta xây dựng được các nhóm K0 và K1 của một không gian tôpô

K-lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng hơn Năm 1962, Swan để ý

thấy rằng có sự tương ứng giữa phạm trù các không gian tôpô nào đó (như không gian compắc, Hausdorff) với phạm trù các đại số Banach hoặc C -đại số Ý tưởng là ở chỗ

tập các nhát cắt liên tục của mỗi một phân thớ vec-tơ trên không gian tôpô X là một

( )

C X -môđun Điều này dẫn tới việc nghiên cứu các môđun xạ ảnh, các K-nhóm đại

số và đó là xuất phát điểm của K-lý thuyết đại số

Điều đặc biệt là giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số có một mối liên

hệ mật thiết với nhau thông qua một định lý kinh điển Từ mối liên hệ này ta có thể

chuyển từ việc tính toán các K-nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi

việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại Thông qua việc tìm hiểu sơ bộ

những vấn đề trên, chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về K-lý thuyết mà

cụ thể là K-lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu về mối liên hệ mật thiết giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số Tuy nhiên, việc nghiên cứu K-lý thuyết ở tầm tổng quát là rất khó khăn vì phải dùng đến nhiều kiến thức của cả Đại số và Giải tích Vì

vậy, chúng tôi đã giới hạn việc tìm hiểu của mình trong phạm vi nhỏ hơn và đề tài của

chúng tôi mang tên là : “Nh ập môn K- lý thuy ết và liên quan tới lý thuyết đồng điều”

Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K-lý thuyết và K-lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên Đại số Banach

Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng những công cụ mạnh là Đại số đồng điều và Giải tích hàm, trong một chừng mực có thể, là cách trình bày theo tinh

thần của Toán học hiện đại – ngôn ngữ Phạm trù và Hàm tử

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về K-lý thuyết như: mô tả không gian phân thớ - đây là nền tảng xây dựng K-lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, các phép toán trên phân thớ vec-tơ như tổng Whitney và tích ten-xơ, sau đó là xây dựng K-lý thuyết

Chương 2: Trình bày một số phương pháp tính K-nhóm của một số các không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn

và tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K-nhóm

Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể hơn là mối

liên hệ giữa K-lý thuyết tôpô và K-lý thuyết đại số, nội dung trong chương này trình bày hai vấn đề sau: K-lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên đại số Banach và mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K-lý thuyết Nhờ định lý kinh điển nói về mối liên hệ

mật thiết giữa K-lý thuyết tô pô và K-lý thuyết đại số, ta có thể chuyển từ việc tính toán các K-nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại

Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc

sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu)

Để trích dẫn một kết quả, tác giả dùng những ký hiệu quan thuộc Chẳng hạn,

nếu ghi “1.2.1” có nghĩa là xin xem mục 1.2.1 ở Chương 1; nếu ghi “2.1.2” có nghĩa là xin xem mục 2.1.2 ở Chương 2; còn nếu ghi “[10, tr.110]” có nghĩa là xin xem trang

110 của Tài liệu tham khảo số 10

Chương 1

Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về

K-lý thuyết tô pô phức Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là

nền tảng xây dựng K-lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng

cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và tích ten-xơ Các định nghĩa về các nhóm đầu tiên không rút gọn được K X( ) và nhóm đầu tiên rút gọn được K X( ) của K-lý thuyết tô pô Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung

cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành

Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13]

Trước khi vào định nghĩa không gian phân thớ, ta xét các ví dụ sau để hình dung được về các khái niệm mới này

Nhận xét về đặc điểm chung của các không gian nêu trên

• Mỗi không gian đều được phân ra thành hợp của một họ các “thớ”

• Mỗi “thớ” đều đồng phôi với nhau (nếu xét về mặt topo thì chúng là một)

• Trên không gian toàn thể có thể là tích trực tiếp hoặc có thể không, nhưng khi xét ở địa phương thì chúng luôn luôn là tích trực tiếp

Từ đây ta có các khái niệm về không gian phân thớ sau

1.1.2 Không gian phân th ớ

Định nghĩa 1.1.1 Cho ba không gian topo B,F,E và ánh x ạ liên tục p : EB Khi

• E: được gọi là không gian toàn thể của phân thớ (ta thường đồng nhất x vớiE và

gọi E là không gian phân thớ)

• B: được gọi là đáy hay cơ sở của phân thớ

• F: được gọi là thớ mẫu

•  x B,p x- 1( )( )F : được gọi là thớ tại x và ta có 1( )

• j: U F  p U- 1( ) được gọi là đồng phôi theo thớ và cặp ( )U,j được gọi là

bản đồ địa phương xung quanh x của phân thớ

• Đặc biệt khi ta chọn EBF thì E chắn chắn thỏa mãn các định nghĩa ở trên (đồng phôi j Id), và E khi đó được gọi là phân thớ tầm thường

1.1.3 Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ

Định nghĩa 1.1.2 Cho hai phân thớ x1(E ,p ,B ,1 1 ) x2(E ,p ,B2 2 ) trên cùng đáy B

sau giao hoán

Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù các phân thớ) Đặt Bund B( ) là ph ạm trù các phân thớ

( )( 1 2)

Bund B

Giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu ở phần này thừa hưởng tôpô thông thường của 

Định nghĩa 1.2.1 Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau:

Ví d ụ 1.2.3 Ma trận G 1( )k là tập tất cả các đường thẳng trong k đi qua gốc tọa độ

Để hiểu rõ hơn về đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:

cho phép ta xem ( )k

n

trúc cũng được xác định sao cho mỗi ( )k

n

W  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể

chỉ ra rằng ( )k

n

G  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k k n( - )

Ta có k k1  Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel

Định nghĩa 1.3.1 Một phân thớ vec-tơ phức là một bộ ba x (E,p,B) trong đó E và B

Một số thuật ngữ:

 Với bất kỳ phân thớ vec-tơ x(E,p,B), ta gọi E là không gian tổng thể, B là

không gian đáy, và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;

 Với mọi b, không gian p b- 1( ) là thớ của phân thớ vec-tơ tại b B , ta sẽ ký hiệu

lại là E b

Chú ý về số chiều: Cho x(E,p,B) là một phân thớ vec-tơ phức Nếu với mỗi

b B , số chiều của thớ E b là giống nhau và bằng hằng số n 0, ta nói rằng x là một phân thớ vec-tơ phức n-chiều và ta có thể thay không gian vec-tơ phức V bằng n

trong định nghĩa trên

Chú ý 1.3.2 Ta có thể định nghĩa phân thớ vec-tơ thực n-chiều theo cách tương tự (thay n bằng n) Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào các phân thớ vec-tơ

phức, do đó “phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì

Một số ví dụ về phân thớ vec-tơ n-chiều

Ví d ụ 1.3.3 Phân thớ tầm thường n-chiều trên B

n,k E' n , ,G n là phân thớ phức (k n- -) chiều Khi phép toán tổng

trực tiếp trên các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ

với nhau, cụ thể là hn,k gn,k là phân thớ tầm thường k-chiều trên ( )k

n

Chú ý 1.3.6 Hai ví dụ trên vẫn đúng nếu ta xét k  

Một đồng cấu phân thớ vec-tơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên mỗi thớ Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau:

Định nghĩa 1.3.7 Cho x(E,p,B) và x'(E',p',B') là hai phân th ớ vec-tơ Một

f : E E' và g : B B' sao cho bi ểu đồ sau giao hoán:

Chú ý 1.3.8 Trong định nghĩa trước ta có thể xét B B' Khi đó các phân thớ x và

x' có cùng đáy B và đồng cấu (f ,id : B) xx' thỏa tam giác giao hoán sau:

Định nghĩa 1.3.9 Hai phân thớ x và x' trên cùng m ột không gian đáy B được gọi là

f : EE' là m ột đồng phôi và thu hẹp f : p b- 1( )p- 1( )f b( ) là m ột đẳng cấu tuyến

Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vec-tơ phức, mà ta

ký hiệu là Bund Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong Định nghĩa

1.3.1 và Định nghĩa 1.3.7 Luật kết hợp và phần tử đơn vị của các xạ giống với phạm

trù Top và n

Chú ý rằng với mỗi B Top , Bund cho phạm trù con Bund B( ) là phạm trù

của các phân thớ vec-tơ trên B

Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n 0, các phân thớ vec-tơ

phức n-chiều cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là Bund

1.4 Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ

Định nghĩa 1.4.1 Cho x (E,p,B) là m ột phân thớ vec-tơ phức và f : YB là m ột

Đặt p : Y Y B E Y và p : Y E B E E , khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán

E Y

p B

Chú ý rằng YB E: f * E( ) là không gian tổng thể của f * x( ), chính xác hơn là cái kéo lùi của p Y và p E

Mệnh đề 1.4.2 Các thu hẹp của một phân thớ vec-tơ p : E B I trên B 0 và

 1

Định lý 1.4.3 Cho một phân thớ vec-tơ p : EB và các ánh x ạ đồng luân

0 1

f , f : AB Khi đó các phân thớ cảm sinh f * E0 ( ) và f * E1 ( ) là đẳng cấu với nhau

Định nghĩa 1.4.4 Cho x (E,p,B) và x ' (E',p',B' Bund)  Ta định nghĩa phân thớ như sau:

trong đó ( )k ( ) ( )k ( ) ( )k

V G  , V ,x E  , V ,y E'  Vì với mọi z   k, có một sự phân tích duy nhất z x y  trong đó x V và y x Do sự phân tích này là liên tục trên V (tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ), ánh xạ f là một đẳng cấu trên

do tính chất của các kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và Định nghĩa 1.4.4, ta có biểu đồ:

1.5 Các hàm t ử liên tục và các phép toán trên Bund B( )

Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vec-tơ trên không gian đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ, và là phép toán tích trong phạm trù Bund B( ) Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán khác: mọi phép toán liên tục trên các không gian vec-tơ cho phép ta xác định một phép toán tương ứng trên các phân thớ vec-tơ một cách tự nhiên Phần tiếp theo của mục này

sẽ giải thích rõ về khẳng định trên đây

Trong định nghĩa dưới đây, ta xét  là  hoặc  Nhắc lại rằng các vật của

n là các không gian vec-tơ hữu hạn chiều trên 

Định nghĩa 1.5.1 Một hàm tử F : n  n được gọi là liên tục nếu với mọi cặp

M ,N

F :n M,N   n F M ,F N

Tiếp theo ta tập trung xét  , và mục tiêu của ta là kết hợp một hàm tử F

Tiếp theo ta cần cung cấp cho E' một tôpô sao cho F' x( ) trở thành một phân

thớ vec-tơ Với mục đích như trên, ta cần sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 1.5.2 Cho U và V là các tập con mở của B và cho j: E U    U M và

V

c ấp cho E' U và E' V các tôpô được cảm sinh bởi các song ánh này thì hai tôpô phù hợp

j   là một tầm thường củaE trên U i với mọi i I Do tính hàm tử

của F, các đẳng cấu ji cảm sinh các song ánh

Chú ý rằng nếu B b thì S' E,G b( )   ( )F E ,G( b b) E G b b Nói theo cách khác, thớ

của x h  trên blà tổng trực tiếp của các thớ của x và h trên b, sao cho điều kiện ( )1

Hơn nữa, tất cả các tính chất thông thường của phép giao hoán và phân phối của

 và  trong n mở rộng cho Bund B( )

Mệnh đề 1.5.3 Cho F,G : n   n là hai hàm t ử liên tục, và cho : Ft  là phép G

Tiếp theo ta chứng minh tích ten-xơ có tính kết hợp trong Bund B( ) Xét

F',G' : Bund B Bund B Bund B  Bund B

được cho bởi

F' , , G' , ,

Hai phân thớ x(E,p,B ,) h(G,q,B) được gọi là tương đương với nhau nếu

chúng đẳng cấu với nhau (xem Định nghĩa 1.3.9) Ta có thể kiểm tra rằng quan hệ này

là quan hệ tương đương trên tập tất cả các phân thớ vec-tơ phức trên B Ta viết x x  '

nếu x x, ' tương đương và dùng  x để ký hiệu lớp tương đương của x Ta ký hiệu

( )



Vect B là tập các lớp tương đương của tất cả các phân thớ vec-tơ trên B Khi xét x,

một phân thớ vec-tơ n-chiều, ta sẽ đồng nhất tất cả các thớ của x, ta sẽ thu được thông tin của lớp  x

Bổ đề tiếp theo phát biểu rằng các phép toán  và có thể được chuyển từ

Ch ứng minh Vect Bn( ) được “định nghĩa tốt” Cho f : YB, x (E,p,B) và

Vect f g Vect g Vect   f Về cơ bản, đẳng thức này được suy ra từ tính

chất của các kéo lùi Thật vậy, ta phải kiểm tra với một phân thớ x Vect B( ) bất kỳ, ta có:

(f g *) x g * f *( )x

Xét hai biểu đồ cái kéo lại tương ứng, ta cần tìm đồng phôi y sao cho tam giác giao hoán

Ta cần kiểm tra f x( ) p Z y( )x và (h ,h x1 2)( ) a y( )x với mọi x X , và y là ánh

xạ duy nhất (sai khác một đẳng cấu) Vì vậy, ta lấy X Z: Y(YB E) với

( 1 2)( ) ( )

f pr , h ,h x  g pr ,pr mọi x X , ta thu được đồng phôi cần xây dựng

( ) ( )

Cuối cùng thu hẹp của y trên mỗi thớ với mọi b B là một đẳng cấu Thay B bằng

tập một điểm  b trong các biểu đồ trên, tất cả các tích thớ trở thành các tích và các lập

luận đưa ra vẫn đúng

Chú ý 1.6.2 Theo Định lý 1.4.3, hàm tử phản biến Vect B( ) là một bất biến tôpô Ta

có kết luận sau: (Vect B , ,( )  ) cho ta cấu trúc nửa vành với phân thớ tầm thường chiều e 0: B    B là phần tử đơn vị của phép toán  và phân thớ tầm thường 1-

0-chiều e 1: B   B là phần tử đơn vị của phép toán 

1.7.1 Định lý phân loại

Chú ý 1.7.1 Để thuận tiện, từ phần này trở đi ta sẽ làm việc với các phân thớ vec-tơ

mà không gian đáy là X (không phải B) Hơn nữa, X được giả sử là không gian compắc Hausdorff

n,k E n , ,G n

ta sẽ phát biểu Định lý phân loại có liên quan đến Trong định lý này ta chủ yếu quan tâm đến trường hợp gn,k Trước khi phát biểu định lý, ta đặt

( ) ( )

( )

n

Vect X

e   bất kỳ cho trước, ta có thể tìm một ánh xạ f : XG n sao cho lớp  x

trùng với lớp ánh xạ f với f là cái đẩy lùi của phân thớ tổng thể gn,k khi k đủ lớn

 K phản biến vì Vect X( ) phản biến

 K là một bất biến đồng luân theo Chú ý 1.6.2

1.7.3 Hàm t ử K X ( )

Định nghĩa K X( )b ằng một dãy khớp ngắn

Định nghĩa K X( ) thông qua phân th ớ vec-tơ

Mục đích của định nghĩa này là cho ta cái nhìn hình học của K X( ) và đưa ra

khẳng định Vect Xs( )K X( ) với ( )

s

Vect X là tập hợp các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ với quan hệ tương đương ổn định mà ta sẽ định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.7.5 Hai phân thớ x(E,p,B , ') x (E',p',B) trên X được gọi là tương



m : X m X

Lớp ổn định của x được ký hiệu là  xs và tổng Whitney xác định trên các lớp ổn định theo công thức sau

x h e    e x   h e  e và vì vậy x h s x h' 's Phần tử 0 của phép toán 

là lớp ổn định của phân thớ tầm thường 0-chiều e 0

Ch ứng minh Giả sử X là một không gian liên thông r chiều Tổng Whitney cung

s

Vect X một cấu trúc monoit Ta cần chứng minh với một phân thớ vec-tơ

n-chiều x trên X, ta cần tìm phần tử nghịch đảo của x0, tức là tìm phân thớ vec-tơ phức

h (k n- -) chiều sao cho  k

s

x  h e , trong đó ek là một phân thớ tầm thường k-chiều

trên X Áp dụng Định lý 1.7.2 với k đủ lớn để thu được ánh xạ f : XG n, sao cho

Áp dụng việc xây dựng nhóm Grothendieck đối với vành giao hoán có đơn vị

đồ trên giao hoán, tức là j G j

Ta định nghĩa j như sau: Cho   ( )x h , K X và cho h' là một phân thớ vec-tơ trên

X sao cho h h  ' e với e là một phân thớ tầm thường Khi đó ta có

Cuối cùng ta có mô tả hình học của K X( )

Mệnh đề 1.7.7 Với mọi không gian X , ta có đẳng cấu nhóm: Vect Xs( )K X( )

Lấy  x h , K X( ) sao cho j x h (  , ) 0, ta chứng minh được x  en, do đó j là đơn ánh

1.7.4 Mô t ả K X ( )

Ta biết rằng vành K X( ) gồm các lớp của các cặp phân thớ vec-tơ x h,  trên X Các phần tử của K X( ) có thể được xem như là hiệu E E'- thông thường của các phân

thớ vec-tơ E,E' trên X

Xét cặp   ( )x h , K X Vì theo định nghĩa, phần tử nghịch đảo của x h,  là

h x,  nên ta có thể viết

 x h,        x e, 0  e h 0,  x e, 0 - h e, 0 G( ) ( )x -G h  - :E E'

Quan hệ tương đương

x h,   x h', 'tồn tại u sao cho x h     ' u x' h u

trong đó  là tích ten-xơ trên các phân thớ vec-tơ

Hơn nữa, mỗi phần tử E E'- của K X( ) có thể được viết dưới dạng hiệu H e- n

với en là phân thớ tầm thường Chọn một phân thớ G sao cho E' G e  n Khi đó

n k n

E a,b,s,t : E

k,l,m,n : E k,l,m,n : E E

-Hiển nhiên Ker :f E e- n là một nhóm con của K X( ) đẳng cấu với , vì

vậy đẳng cấu với K x( )0 và dãy khớp đã cho trong mục 1.7.3 có thể đổi lại trật tự

với f * E E'( - ): f * E( )-f * E'( )và f * là cái kéo lùi của f

Các tính chất của các kéo lùi cho ta các đẳng cấu của các phân thớ vec-tơ

Do đó ta có f * là một đồng cấu vành Ta sẽ chứng minh đẳng cấu cuối

Xét các phân thớ vec-tơ p : E1 1X, p : E2 2X và p: E1E2 X trên X, và cho

Trong biểu đồ

ta định nghĩa f như sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) (2 2( ) ( ) )





E E Y

pr : f * E E Y : e e ,y y

j y

Chương 2

Trong chương này, tác giả trình bày một số phương pháp tính K-nhóm của một số các không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản – đây là một định lý nổi

tiếng trong K-lý thuyết; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott;

Sử dụng đối đồng điều để tính K-nhóm Qua các ví dụ khá kinh điển trong chương này, quý độc giả sẽ có một hình dung tổng quan và sâu sắc hơn về K-lý thuyết

Các phương pháp và ví dụ trong chương này tác giả chủ yếu tham khảo từ [9], [11]

2.1.1 Tích ngoài cho K X( )

Định nghĩa 2.1.1 Cho A, p ,X a  và B, p ,Y b  là hai phân th ớ vec-tơ phức trên các

tương ứng với một phân thớ vec-tơ A, p ,X a 

Phép nhân trên vành K X( )K Y( ) được xác định bởi

trong đó đẳng cấu ( )1 suy ra từ tính chất của cái kéo lại mà ta đã chỉ ra ở phần cuối của

mục trước Để có ( )2 ta cần tìm một đẳng cấu phân thớ f giữa các phân thớ

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Y ( ) ( )Y X