tính chất thứ tự của một số không gian hàm

Tính chất của những đoạn và quả cầu có thứ tự trong những không gian hàm có thứ tự .... Lí thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các phương trình vi phân, tích phâ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

L ỜI CÁM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bích Huy, PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy đã tạo cho tôi ý thức ham học hỏi và lòng say

mê nghiên cứu khoa học Thầy đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Ban lãnh đạo khoa Khoa Toán Tin, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tập thể quí thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán giải tích khóa 22, các thầy, cô giáo

đã trang bị kiến thức, tạo đều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 9 năm 2013

Học viên

TÔ HOÀNG THẬT

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: luận văn do cá nhân tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

Các kết quả giới thiệu trong luận văn được chúng tôi tìm hiểu từ các bài giảng, các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học và được trình bày lại theo cách hiểu của chúng tôi với các chứng minh chi tiết

Học viên

TÔ HOÀNG THẬT

M ỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 5

1.1 Thứ tự sinh bởi nón 5

1.2 Một số dạng nón và tính chất của chúng 6

1.2.1 Nón chuẩn 6

1.2.2 Nón chính qui 7

1.2.3 Nón hoàn toàn chính qui 8

1.2.4 Nón sinh 9

1.2.5 Nón liên hợp 10

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH 13

2.1 Tính chất của nón các hàm dương 13

2.1.1 Trường hợp không gian L p(Ω,E) 13

2.1.2 Không gian các hàm khả tích HL 17

2.2 Tính chất thứ tự của một xích 20

2.2.1 Xích trong không gian L p(Ω,E) 20

2.2.2 Xích của những hàm khả tích Bochner địa phương 29

2.2.3 Xích của những hàm khả tích HL và khả tích HL địa phương 32

2.3 Tính chất của những đoạn và quả cầu có thứ tự trong những không gian hàm có thứ tự 35

CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC 38

3.1 Tính chất thứ tự của một xích 38

3.2 Tính chất thứ tự của đoạn và quả cầu 49

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

M Ở ĐẦU

Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập niên

1940, phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950-1970 và được tiếp tục hoàn thiện cho đến ngày nay Lí thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên, trong nghiên cứu các mô hình kinh tế-xã hội, trong Lí thuyết điều khiển, tối ưu …Trong Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, các tính chất tôpô của không gian và ánh xạ

đã được kết hợp với các tính chất thứ tự của chúng để đưa đến các định lý sâu sắc về tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng nghiệm xấp xỉ cho các lớp phương trình

Không gian các hàm liên tục và không gian P

L là các không gian được sử dụng trong các nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân Do đó để ứng dụng có hiệu quả Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự vào nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân ta cần nghiên cứu các tính chất thứ tự của các không gian này, bao gồm việc ứng dụng các kết quả tổng quát trong không gian có thứ tự vào các không gian này cũng như tìm các tính chất thứ tự đặc thù của chúng Luận văn trình bày một cách có hệ thống và chi tiết các tính chất thứ tự của các không gian hàm liên tục, P

L bao gồm ứng dụng các kết quả tổng quát của không gian

có thứ tự vào các không gian này như trường hợp riêng cũng như nêu các tính chất thứ tự đặc thù của chúng Luận văn gồm ba chương Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả chuẩn bị về không gian Banach có thứ tự Chương 2 trình bày các tính chất thứ tự của các không gian hàm khả tích như không gian p

L , không gian hàm

khả tích địa phương, không gian hàm khả tích HL Chương 3 trình bày các tính chất thứ tự của không gian hàm liên tục

CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ

Giả sử " "≤ là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó:

a) Nếu u≤v thì đoạn u v, ={x∈X u: ≤ ≤ bx v} ị chặn theo chuẩn

0,1 ,

n n

a) Giả sử ( )f n là dãy tăng, bị chặn trên bởi g trong L[ ]0,1

Ta có thể coi f t n( ) ( ), g t hữu hạn tại mọi t∈[ ]0,1

Bằng cách xét dãy f n − f1 nếu cần, ta có thể coi f n ≥0 Lấy t∈[ ]0,1 tùy ý

Ta có f t n( )− f t( ) → trên 0 L[ ]0,1 và f t n( )− f t( ) ≤2g t( )

Do đó theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có

Vậy nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L[ ]0,1 là nón chính qui

b) Xét dãy ( )f n trong C( [ ]0,1 , , với ) f t n( )= −1 t n, ∀ ∈t [ ]0,1

Ta có ( )f n là dãy hàm tăng, bị chặn trên bởi 1 trong C( [ ]0,1 , và )

Ta có f0∉C( [ ]0,1 , nên dãy ) ( )f n không hội tụ trong C( [ ]0,1 , )

Vậy nón các hàm không âm trong C( [ ]0,1 , không là nón chính qui ) 

∞

=

=∑ Dãy s n = + +u1 u n tăng, bị chặn trên (bởi v) nên hội tụ

Suy ra limu n =θ, điều này dẫn đến mâu thuẫn 

1.2.3 Nón hoàn toàn chính qui

Định nghĩa 1.2.7

Nón K gọi là hoàn toàn chính qui nếu mỗi dãy tăng trong E mà bị chặn theo chuẩn thì hội tụ

Mệnh đề 1.2.8

Nón hoàn toàn chính qui là nón chính qui

Nhưng g x( )0 <g( )0 = 0 Điều này mâu thuẫn

k

i n n i

Chứng minh:

Xét dãy ( )x n tăng, bị chặn trên Ta chứng minh ( )x n hội tụ

Thật vậy, do K là nón chuẩn và dãy ( )x n tăng, bị chặn trên nên ( )x n là dãy bị chặn (theo chuẩn)

Do X là không gian Banach phản xạ nên tồn tại dãy con ( )x n k hội tụ yếu về x nào

đó Do ( )x n tăng nên ( )x n k tăng Do K là nón chuẩn nên theo mệnh đề 18 thì ( )x n k

hội tụ về x Ta có ( )x n là dãy tăng, có dãy con ( )x n k hội tụ về x nên theo mệnh đề 1.2.2 ( )x n hội tụ về x 

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH

Các kết quả ở mục 2.1 sau đây được tham khảo trong [1, tr.419-421] và [3, 469]

tr.465-2.1 Tính ch ất của nón các hàm dương

2.1.1 Trường hợp không gian L p(Ω,E)

Cho (Ω, ,A µ) là không gian độ đo, E=(E, ) là không gian Banach và 1≤ < ∞ p

Định nghĩa L p(Ω,E) là không gian những hàm µ -đo được :x Ω → sao cho E

( ) p

t  x t là µ-khả tích , nghĩa là p( )

x ∈L Ω L p(Ω,E) là không gian vectơ với phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số và là không gian Banach với chuẩn

1

p p p

Nếu dãy ( )x n n∞=0 hội tụ tới x trong L p(Ω,E) thì có dãy con của dãy ( )x n n∞=0 mà hội

tụ từng điểm hầu khắp nơi tới x

Kế tiếp ta xét L p(Ω,E) là không gian Banach có thứ tự

( ) ( )

x≤ ⇔y x t ≤ y t với hầu khắp nơi t∈Ω

Mệnh đề 2.1.3

Cho E là không gian Banach có thứ tự, K là nón của E và p∈ ∞[1, ) Nếu K

là nón chuẩn, chính qui hoặc hoàn toàn chính qui thì L p(Ω,K) là nón chuẩn,

chính qui hoặc hoàn toàn chính qui

Chứng minh:

Giả sử K là nón chuẩn Cho x y, ∈L p(Ω,K) và x≤ y

Vì K là chuẩn nên có M > 0 sao cho

suy ra x p ≤M y p Vậy L p(Ω,K) là nón chuẩn

Giả sử K là chính qui và cho ( )x n n∞=0 là dãy tăng và bị chặn trên trong L p(Ω,K) Theo định nghĩa có b∈L p(Ω,K) sao cho với mọi n∈,

( ) ( )

0≤x t n ≤b t với hầu khắp nơi t ∈Ω

Do đó có tập có độ đo không Ζ ⊂ Ω sao cho (x t n( ) )n∞=0 là dãy tăng và bị chặn trên trong K với mọi t∈Ω Ζ Vì K là chính qui , nên dãy \ (x t n( ) )n∞=0 có giới hạn x t ( ) với mọi t∈Ω Ζ\ và x t( )= 0 với mọi t∈ Ζ

Khi đó ( )x n n∞=0 hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới x Vì K là chuẩn nên có M

> 0 sao cho x n ≤M b với mọi n∈ Vì p( )

M b∈L+ Ω nên theo định lý tính hội tụ

n n

x t n( ) ≤v t( ) với hầu khắp nơi t∈Ω ( )a

Vậy (x t n( ) )n∞=0 là dãy tăng và bị chặn trong K với hầu khắp nơi t ∈Ω Do đó có tập

có độ đo không Ζ ⊂ Ω sao cho (x t n( ) )n∞=0 là dãy tăng và bị chặn trong K với mọi

L thì x∈L p(Ω,E) và ( )x n n∞=0 hội tụ trong L p(Ω,E) tới x

Vậy L p(Ω,K) là hoàn toàn chính qui 

Ví dụ 2.1.4

Cho (Ωj,A j,µj) là không gian độ đo , E0 =(E0, ⋅ 0) là không gian

Banach và K0 là nón trong E0 Cho dãy ( )p j ∞j=0 ⊂[1,∞ )

x ∞ = c≥ x t ≤ c với hầu khắp nơi t∈Ω}

Mệnh đề 2.1.5

Nếu K là nón trong E thì L∞(Ω,K)= ∈{x L∞(Ω,E) ( )|x t ∈K với hầu khắp nơi t ∈Ω

} là nón trong L∞(Ω,E) Nếu K là nón chuẩn thì L∞(Ω,K) là nón chuẩn

− ≤ − hầu khắp nơi trên Ω

Do đó có tập có độ đo không Z ⊂ Ω sao cho x t n( ) ( )x t x n x

Với mọi x y, ∈L∞(Ω,K), x≤ y, ta có 0≤x t( ) ( )≤ y t hầu khắp nơi trên Ω

Do K là nón chuẩn nên tồn tại N >0 sao cho x t( ) ≤ N y t( ) hầu khắp nơi trên Ω

Ta có y t( ) ≤ y ∞ hầu khắp nơi, suy ra x t( ) ≤N y t( ) ≤N y ∞ Khi đó

Cho E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K

Cho E là không gian Banach có thứ tự và K là nón thứ tự của E

a) Nếu K là nón chuẩn thì HL a b K ( [ ], , ) là nón chuẩn

b) Nếu K là nón chính qui thì HL a b K là nón chính qui ( [ ], , )

Chứng minh:

a) Giả sử K là nón chuẩn, với mọi u v, ∈HL a b K( [ ], , ) và u ≤v Khi đó

c d K

A c

b) Giả sử ( )u n n∞=1 là dãy tăng trong HL a b K ( [ ], , ) và có cận trên u+ trong

0≤u n s ≤u n+ s ≤u+ s với hầu khắp nơi s∈[ ]a b,

Vì K là nón chính qui nên tồn tại hàm khả tích HL u:[ ]a b, → sao cho E

n a

c b

K

n a

Cho x∈L∞(Ω,E) Vì x t( ) ≤ x ∞ với hầu khắp nơi t ∈Ω nên

( )1

p p

x ≤µ Ω x ∞ ( )2 với mọi p∈ ∞[1, ), do đó L∞(Ω,E)⊂L p(Ω,E)

Theo định nghĩa của chuẩn x ∞ thì với mọi ε >0, có tập con B⊂ Ω với µ( )B > 0sao cho x t( ) ≥ x ∞ − ε với mọi t B∈ Do đó

điểm hầu khắp nơi trong Ω tới *

x Vì dãy (x t n( ) )n∞=0 tăng với hầu khắp nơi t ∈Ω

nên giả sử ( )x n n∞=0 hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới *

x Hơn nữa, tồn tại M

> 0 sao cho x t n( ) ≤M với hầu khắp nơi t ∈Ω

Chứng minh:

Vì Ω là σ-hữu hạn nên

0

n n A

L∞ A K Theo bổ đề 2.2.1 suy ra tồn tại x n =sup(C A| n) trong L∞(A K n, ) và

với hầu khắp nơi t ∈Ω Theo định nghĩa tồn tại t ∈Ω sao cho *( )

x t ≤ y t với hầu khắp nơi t ∈Ω và với mọi x∈C

Do đó x A| n ≤ y A| n với mọi n∈ và x∈C, khi đó

xích trong L∞(Ω,K), do đó tồn tại supC0 trong L∞(Ω,K) Nhưng

x + C là cận trên nhỏ nhất của C trong L∞(Ω,E)

Chứng minh trên suy ra tồn tại infC = −sup( )− trong C L∞(Ω,E) 

với mọi w∈Ω và a w( ) ( ) ( ) ( )≤ y w ≤z w ≤b w với mọi w∈Ω Điều này và tính

chuẩn của K suy ra y z, ∈B(Ω,E)

Theo (a) thì y =infC z, =supC

b) Cho C là xích bị chặn trong B(Ω,E) Khi đó tồn tại số M > sao cho 0

x w( ) ≤M, ∀ ∈x C w, ∈Ω (b)

Nếu K là hoàn toàn chính qui thì tồn tại ánh xạ , :y z Ω → được định nghĩa bởi (a) E

và với mọi w∈Ω cố định, tồn tại dãy giảm ( )y và n dãy tăng ( )z n trong C sao cho

tồn tại dãy giảm ( )y và n dãy tăng ( )z n trong C sao cho y n( )w hội tụ yếu tới y w ( )

và z n( )w hội tụ yếu tới z w Theo (b) ta có: ( )

Bồ đề 2.2.5

Cho không gian Banach có thứ tự E mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu và

wlim n sup n sup

với hầu khắp nơi t ∈Ω

Hàm u là đo được và ( ) p liminf n( ) p

w=u , với mỗi w C∈ và u n ≤w với mọi n∈

Nếu w≤u n với mọi n∈ thì theo ( )2 w≤u Vậy w≤u với mọi w C∈

Ta chứng minh u =supC Cho v∈L p(Ω,E) là cận trên của C Khi đó

Do đó ( )u n n∞=1 cũng bị chặn từng điểm hầu khắp nơi Theo bổ đề 2.2.5 C có cận trên

≤ ≤ với hầu khắp nơi t ∈Ω

Vậy u∈L∞(Ω,E) và u =supC trong L∞(Ω,E) 

Kết quả kế tiếp là mở rộng của bổ đề 2.2.5 trong trường hợp µ là σ-hữu hạn

Mệnh đề 2.2.7

Cho (Ω , ,A µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và E là không gian Banach có thứ tự

mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu Giả sử C là xích bị chặn và được sắp thứ

tự tốt trong L p(Ω,E), 1≤ < ∞p Khi đó C chứa dãy tăng mà hội tụ yếu từng điểm hầu khắp nơi tới supC

=

= , do đó tồn tại

u= và u u t n( ) hội tụ yếu tới *( )

u t với hầu khắp nơi t∈Ω

2.2.2 Xích c ủa những hàm khả tích Bochner địa phương

Ta nói tập con khác rỗng Ω của không gian  là nửa compact nếu m Ω là hợp đếm được của những tập con compact của  Một ánh xạ đo được mạnh u từ tập nửa m

compact tới không gian Banach E được gọi là khả tích Bochner địa phương trên Ω

và kí hiệu 1 ( )

,

loc

u∈L Ω E , nếu u khả tích Bochner trên mỗi tập con compact K của Ω

Kế tiếp, ta nghiên cứu những xích trong không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi

Giả sử C là tập con khác rỗng của L p(Ω,E), 1≤ < ∞p , với Ω là không gian độ đo

và E là không gian Banach có thứ tự với nón chính qui Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi và nếu tồn tại hàm u±∈L p(Ω,E) sao cho u t−( ) ( )≤u t ≤u t+( ) với mọi u∈C và với hầu khắp nơi t ∈Ω thì C chứa dãy

tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC

Áp dụng bổ đề 2.2.8 ta thu được mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2.9

Cho Ω là tập con nửa compact của m

 Giả sử C là tập con khác rỗng của 1 ( )

Chứng minh:

Giả sử C là được sắp thứ tự tốt và thỏa (1) Chọn dãy những tập con compact

( ) ( ) *( )

v t ≤u t ≤u t ∀ ∈Ωt Z Vậy

u t →u t với hầu khắp nơi t ∈Ω Vì

( )u n là dãy của C nên theo (1) ta có

u t− ≤u t ≤u t+

với hầu khắp nơi t ∈Ω

Kết quả này và tính đo được mạnh của *

w≤ với mọi w Cu ∈ nên *

u là cận trên của C Nếu 1 ( )

,

loc

v∈L Ω E là cận trên khác của C thì w t( ) ( )≤v t với hầu khắp nơi t ∈Ω và với mọi w C∈ Khi đó

| n | n

w Ω ≤ Ω v với mọi n∈ và w C∈ , do đó v t n( ) ( )≤v t với hầu khắp nơi t ∈Ω và

với mọi n∈ Kết quả này và định nghĩa của *

L Ω E là đảo được sắp thứ tự tốt nên theo mệnh đề 2.2.9 và đối ngẫu của nó, ta

thu được kết quả sau:

w±∈L Ω E sao cho u n∈ w w−, + với mọi n

a) Nếu ( )u n là dãy tăng thì nó hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới sup n

b) Nếu ( )u n là dãy giảm thì nó hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới * inf n

2.2.3 Xích c ủa những hàm khả tích HL và khả tích HL địa phương

Trước tiên ta nghiên cứu những không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi

Cho C là tập khác rỗng của những hàm đo được mạnh từ [ ]a b , tới không

gian Banach có thứ tự E với nón chính qui Giả sử tồn tại u±∈HL a b E( [ ], , ) sao cho

c) Nếu C là đảo được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì

C chứa dãy giảm mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới infC trong HL a b E ( [ ], , )

Chứng minh:

a) Giả sử u là hàm đo được mạnh và tồn tại u±∈HL a b E( [ ], , ) sao cho

u− s ≤u s ≤u+ s với mọi u∈C và với hầu khắp nơi s∈[ ]a b,

Khi đó u+ − là khả tích HL, u uu− − là đo được mạnh và −

0≤u s −u− s ≤u+ s −u− s với hầu khắp nơi s∈[ ]a b,

Khi đó u u− − là khả tích HL, do đó u=u−+(u−u−) là khả tích HL

Vậy u∈HL a b E( [ ], , ) với mọi u∈C

b) Theo giả thiết C là xích bị chặn thứ tự và được sắp thứ tự tốt trong không gian định chuẩn (HL a b E( [ ], , ), A), có thứ tự sinh bởi nón chính qui HL a b K Do ( [ ], , )

đó mỗi dãy tăng của C hội tụ trong ( ( [ ], , ), )

A

HL a b E Theo bổ đề 2.2.4 thì C chứa dãy tăng ( )u n hội tụ tới supC trong

c) Chứng minh c) tương tự như b) 

Ta nói hàm u từ khoảng thực J tới không gian Banach E là khả tích HL địa phương trên J, nếu u là khả tích HL trên mỗi con compact của J, tập những hàm đó kí hiệu là ( , )

u− s ≤u s ≤u+ s với mọi u C∈ và với hầu khắp nơi s J∈ Khi đó ta có:

a) u∈HL loc(J E, ) với mọi u∈C

b) Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì C chứa dãy tăng mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới supC trong HL loc(J E, )

c) Nếu C là đảo được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi thì

C chứa dãy giảm mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới inf C trong HL loc(J E, )

Chứng minh:

a) Theo định nghĩa của HL loc(J E, ) và áp dụng mệnh đề 2.2.11

b) Giả sử C là được sắp thứ tự tốt Chọn dãy những tập con compact J n của J, n∈

sao cho

0

n n