Về một số không gian hàm thường gặp

Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian này chưa được mô tả chi

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương I Các kiến thức cơ sở   3 

1.1  Không gian metric   3 

1.2  Không gian đo và Độ đo   4 

1.3  Độ đo Lebesgue   5 

1.3.1     Độ đo Lebesgue trên    5 

1.3.2     Độ đo Lebesgue trên k    6 

1.4  Hàm số đo được   6 

1.4.1    Cấu trúc của hàm số đo được   6 

1.4.2   Các dạng hội tụ   7 

1.5       Không gian định chuẩn   7 

1.6       Tích phân Lebesgue   9 

1.7  Không gian tô pô   10 

Chương II Các không gian hàm   12 

2.1       Không gian ℒ và L    12 

2.1.1    Không gian ℒ    12 

2.1.2    Tính chất cơ bản   12 

2.1.3    Không gian L    13 

2.1.4    Cấu trúc tuyến tính của L    13 

2.1.5    Cấu trúc thứ tự của L    14 

2.1.6    Các tính chất quan trọng của L    15 

2.1.7    Cấu trúc nhân của L    18 

2.1.8    Hoạt động của các hàm Borel trên L    19 

2.1.9    Không gian L  phức   19 

2.2       Không gian L  20 

2.2.1    Không gian L    20 

2.2.2    Cấu trúc thứ tự của L    21 

2.2.3    Chuẩn của L    21 

2.2.4.  L  là một không gian Riesz   24 

2.2.5    Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện   26 

2.2.6   L như là một sự hoàn chỉnh   28 

2.2.7    Không gian L  phức   32 

2.3       Không gian L∞   33 

2.3.1    Cấu trúc thứ tự của L∞   34 

2.3.2    Chuẩn của L∞   35 

2.3.3    Tính đối ngẫu giữa L∞ và L    37 

2.3.4    Một không gian con trù mật của L∞   41 

2.3.5    Kỳ vọng có điều kiện   42 

2.3.6    Không gian L∞ phức   43 

2.4      Không gian L    43 

2.4.1    Cấu trúc thứ tự của L    44 

2.4.2    Chuẩn của L    44 

2.4.3    Một số không gian con trù mật của L    48 

2.4.4    Tính đối ngẫu của các không gian L    50 

2.4.5    Thứ tự - đầy đủ của L  54 

2.4.6    Kỳ vọng có điều kiện   54 

2.4.7    Không gian L    55 

2.4.8    Không gian L phức   56 

Chương III Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều   57 

3.1      Hội tụ theo độ đo   57 

3.1.1    Các định nghĩa   57 

3.1.2    Các nhận xét   58 

3.1.4    Tính chất của không gian tôpô tuyến tính  ( ) đối với lớp các  không gian đo   61 

3.1.5    Một mô tả tương tự của tôpô của sự hội tụ theo độ đo   65 

3.1.6    Nhúng L vào L    66 

3.1.7    Không gian L  phức   70 

3.2   Khả tích đều   70 

3.2.1    Định nghĩa   70 

3.2.2    Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp của các tập khả  tích đều trong ℒ hay L    71 

3.2.3  Một số mô tả tương tự của tính khả tích đều.   74 

3.2.4    Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tôpô của sự hội tụ theo độ  đo.   78 

3.2.5      Không gian ℒ và L  phức   80 

3.3      Hội tụ yếu trong L    80 

KẾT LUẬN 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

LỜI CẢM ƠN

  Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết 

ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã tận  tình  giúp  đỡ,  hướng  dẫn  và  đóng  góp  nhiều  ý  kiến  quý  báu.  Tác  giả  cũng  xin chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.   Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của  các  thầy  cô  giáo  và  bản  thân  cũng  hết  sức  cố  gắng,  song  không  tránh  khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các  thầy  cô,  các  bạn  để  bản  luận  văn  này  được  hoàn  chỉnh  hơn.  Tác  giả  xin  chân thành cảm ơn! 

LỜI NÓI ĐẦU

    Bản  luận  văn  giới  thiệu  về  các  không  gian  hàm  L p.  Các  không  gian  L plà  các không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary). Các không gian  p

L lập nên một lớp quan trọng của các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng  có  ứng  dụng  quan  trọng  trong  vật  lí,  xác  suất  thống  kê,  toán  tài  chính,  kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác. 

     Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo  trình  giải  tích  hàm  cũng  như  lí  thuyết  độ  đo  và  tích  phân  cơ  bản,  các  không gian  này  chưa  được  mô  tả  chi  tiết.  Với  mong  muốn  trình  bày  các  ý  tưởng  chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian  , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là:  

“Về một số không gian hàm thường gặp”

         Mục  đích  chính  của  chương  II  là  thảo  luận  về  các  không  gian  hàm ,1

p

L  p   và  các  tính  chất.  Điều  đặc  biệt  là  ta  coi  các  không  gian  đó  là  không gian  con  của  một  không  gian  lớn  hơn    gồm  các  lớp  tương  đương  của  các  hàm (hầu  như)  đo  được.  Chính  vì  vậy,  các  không  gian  hàm  lần  lượt  được  trình  bày  là không  gian  ,  không  gian  (không  gian  các  hàm  đo  được  khả  tích),  không  gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian  (không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật quan trọng, 

áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là mở rộng cho không gian  phức.  

        Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không gian L  Đó là sự hội tụ theo độ đo trong L  và hội tụ yếu trong L  Ngoài ra trong chương  này, tác  giả cũng  chỉ ra  các tính  chất  ổn  định trong  phạm  vi  rộng của  lớp các tập khả tích đều trong ℒ hay L  

     Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và sự góp ý chân thành của các bạn đọc. 

Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014        Học viên 

      Vũ Thị Tuyển  

Chương I Các kiến thức cơ sở

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ :

Định nghĩa 1.2

a) Dãy  x n ntrong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu: 

b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của không gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này. 

  Chẳng hạn, không gian Euclide   là không gian đầy đủ. Không gian   là không gian đầy đủ. 

1.2 Không gian đo và Độ đo

2) Nếu    là σ - đại số các tập con của X thì cặp ( , )X   gọi là một không gian đo 

được (đo được với   hoặc   - đo được) 

Định nghĩa 1.6 Cho một không gian đo được ( , )X   

1) Một ánh xạ : 0, được gọi là một độ đo nếu: 

i) ( ) 0  

ii)  có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa: 

1 1

n n





 , (A )n    , n *      e)   là độ đo nửa hữu hạn, hay (X, , )    là một không gian đo nửa hữu hạn 

nếu với mọi E   và ( )E   thì tồn tạiF  Ethỏa mãn F    và 

0( )F  

f)  là độ đo khả địa phương hóa, hay (X, , )    là một không gian đo khả địa 

phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi E  , tồn tại một H    thỏa 

mãn:

(ii) Nếu G và E G là bỏ qua được với mọi \ E  E thì  H G  là bỏ qua \được

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của  E  trên   

g) Một tập E    gọi là một nguyên tử đối với  hay - nguyên tử nếu 

( )E 0

   và với mỗi tập F thỏa mãn  F   ,  F  Ethì E F là bỏ qua \được.    

1.3.1 Độ đo Lebesgue trên

       Tồn tại một σ - đại số   các tập con của   mà mỗi A   gọi là một tập đo 

được theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo  xác định trên   (gọi là 

iii) Tập A là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi  0 tồn tại tập đóng 

1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.10  Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là hàm số A(x) xác định  như sau: 

A

khi x A khi x A





       Nếu f(x)  0 x A thì có thể chọn các  f  sao cho  n  và 

 với mọi n và   1.4.2 Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.12  Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số    và  một độ đo μ

Định lí 1.4 Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm 

số đo được  f(x) cũng đều đo được. 

Định nghĩa 1.13  Dãy hàm  f  gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số  f(x) trên  n

Định nghĩa 1.14  Cho những hàm số  f n(x)(n1, 2, ) và f(x) đo được trên một tập 

A. Ta nói dãy  f n(x)hội tụ theo độ đo μ tới  f(x) và viết   f n(x) f(x),

Định nghĩa 1.17  Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm được trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy  x n Esao cho với mọi xEtồn tại một dãy con x n k x

Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập 

thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian  đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*. 

      Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra,  với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt  

Định nghĩa 1.20 Cho (X, , )    là một không gian đo và  :   là một phiếm hàm cộng tính hữu hạn  

a)  được gọi là liên tục tuyệt đối đối với  (thường viết  ) nếu   0, tồn tại  0 thỏa mãn  E   với mọi  F    và  (EF).    

b)  được gọi là thực sự liên tục đối với  nếu   0, tồn tại  E   ,  0 thỏa mãn E  là hữu hạn và  F   với E.  



 Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo  là số 

1

n

k k k

A



 

Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi) Nếu  f n(x)0 và  f n(x)đơn điệu tăng đến f(x) trên A thì 

1.7 Không gian tô pô

Định nghĩa 1.24 Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ  G những tập con của X là  một tô pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu: 

    Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác

đó là 

tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh xạ  f. 

     Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ. 

( ) ( ).

Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm x x1, 2Xđều có hai lân cận V V1, 2 của x x1, 2sao cho V1V2  .Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không gian Housdorff  (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff  (tô pô tách). 

Định lí 1.13 Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất một điểm

Định nghĩa 1.26.    Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều 

có một lọc mạnh hơn hội tụ.  

Chương II Các không gian hàm

      Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian L1, Lvà L p trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian con của một không gian lớn hơn  0

L  gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. 

       Nguyên  tắc  gần  như  đầu  tiên  của  lý  thuyết  độ  đo  chính  là  các  tập  có  độ  đo không  thường  được  bỏ  qua.  Tương  tự,  hai  hàm  trùng  nhau  hầu  khắp  nơi  có  thể thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được.  

     Nếu E X , E Clà tập   - không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu  f E là   - đo được ( đo được đối với  - đại số bổ sung theo  ) 

2.1.2 Tính chất cơ bản

      Nếu (X, , )    là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc.  

(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong X  thuộc vào  0

L   (b)f  Lg 0 với mọi 0

(g) Nếu ( )f n n    là một dãy trong L   và  sup n

n



  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong X , thì  0

(k)  0

L  thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của X,bằng nhau hầu khắp nơi đối với một hàm  - đo được từ X  vào   nào đó.  

L   dưới quan hệ “h k n .  “. Với  0

,

f L  viết f là lớp tương đương trong  0

L  bằng cách nói rằng  fg nếu và chỉ nếu  f h k n . g.  

0

Chứng minh:  

         Lấy  f g  L,   sao cho  f u g, v. Khi đó  f g,  f g, ta viết  

(f g x)( )  max( ( ), ( )),f x g x (f g x)( )  min( ( ), ( ))f x g x  với x  domf   domg 

(a) Một không gian Riesz U  là Ác-si-mét nếu với bất kỳ  uU u,  0(nghĩa là, u   0

và u  ), 0 vU,có một  n  sao cho  nu’ v.  

(b) Một không gian Riesz U  là Dedekind  -đủ (hay  -thứ tự-đủ, hay  đủ) nếu với mọi tập khác rỗng đếm được AU bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong  U   

(c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác rỗng AU  bị chặn trên trong U  đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong 

.

L  Viết A như là {f n:n }  trong đó ( )f n n  là một dãy trong L0,  và  w  như là  h trong đó  0

g x  q q xF  chấp nhận  là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và  là sup  . Khi đó  

*

h k n

g  h Đặt { : ( ) }

q

{ : ( ) };

E x f x q  bây giờ f h k n . h, vì vậy E‚ G q{ : ( )x f x h x( )} là bỏ qua được. 

Vì F q  là một cận trên đúng cốt yếu của Eq, nên F q‚ G q là bỏ qua được với mỗi 

•

ug w  với  u    và  w  là một cận trên của  A A.  

Điều này có nghĩa là g  là cận trên nhỏ nhất của A trong L. Do A là bất kỳ, nên 

h  trong đó  :h X   là đo được, và đặt Fx h x:     0   Khi đó 

F là một cận trên đúng cốt yếu của E trong . Thật vậy,  

      Do E tùy ý nên (X, , )    là địa phương hóa.  

2.1.7 Cấu trúc nhân của

      Giả sử (X, , )     là một không gian đo bất kỳ,  0 0 0 0

( ), ( )

(a)  Nếu f f g g L1, 2, 1, 2 0 và  f1h k n . f g2, 1h k n . g2  thì  f1g1h k n.. f2g2.Tương tự, ta định nghĩa phép nhân trong  0

2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên

        Giả sử (X, , )    là một không gian đo và  :h   là một hàm Borel đo được. 

bỏ qua được EX  thỏa mãn  f E   là đo được; nghĩa là, Im f và Re f  cùng thuộc 

0

( )

L  Tiếp theo, L0 L0( )  sẽ là không gian gồm các lớp tương đương trong L0 dưới quan hệ tương đương “h k n .  “. 

(b) Tương tự 2.1.4, dễ dàng mô tả phép cộng và phép nhân vô hướng trong L0  Cùng với hai phép toán đó,  0

L  là một không gian tuyến tính trên   Chúng không 

có cấu trúc thứ tự, nhưng chúng ta có thể xác định một `phần thực', là  

{f :f L  là thực hầu khắp nơi}, hiển nhiên xác định được  không gian tuyến tính thực  0

L , và các ánh xạ tương ứng ( )

uRe u , uIm u( ) :L0 L0  sao cho uRe u( ) iIm u( ) với mỗi u, Re(u)là phần  thực của u, Im(u) là phần ảo của u. 

     Hơn nữa, chúng ta có một ký hiệu của `trị tuyệt đối', viết là  

| f | | f |  với mỗi  f  L0, thỏa mãn |cu| | ||  c u|,|uv| |  u|  | |v  với u v, L0  và  c   

        Hiển nhiên, ta vẫn còn một phép nhân trong  0

L thỏa mãn tất cả các công thức trong 2.1.7.  

(c) Với bất kỳ  0

uL ,  u là cận trên đúng trong  0

L  của {Re(u) :  ,| | 1}.  Thật vậy, nếu | | 1  , thì Re(u)  |u| |  u| vì |u| là một cận trên của 

{Re(u) :| | 1}  Hơn nữa, nếu  0

vL  và Re(u)v với | | 1 , ta biểu diễn u,

v là  f g  trong đó •, • f :X   và g X :  là đo được. Với mỗi q ,xX đặt  f x q( )Re e f x( iqx ( )).  Khi đó  f qa e. g. Tương tự H{ :x f x q( )g x( ) với mỗi }

q   là  có phần bù bỏ qua được. Dĩ nhiên H  { :|x f x( ) | g x( )}, do đó 

.

| f |h k n g và |u| v.  Vì v bất kỳ, |u|là cận trên nhỏ nhất của {Re(u) :|| 1}   

2.2 Không gian

         L là các lớp tương đương của các hàm khả tích. Không gian này mô tả rất nhiều các định lý về các hàm khả tích . Nó cũng có thể xuất hiện như là một không gian tự nhiên mà trong đó có thể tìm ra nhiều lời giải cho một lớp rất lớn các 

phương trình tích phân, và như là phần bổ sung cho không gian các hàm liên tục.  2.2.1 Không gian

L  Nếu  f g L, 1 và  f h k n . g thì  f g. Tương tự chúng ta có thể xác định một hàm  f  trên L1 bằng cách viết  •

        Chú ý rằng nếu  1

,

u vL và uv thì uv, bởi vì nếu  f g, là các hàm khả tích và  f h k n . g thì f g.  

(a) Với f L L ( ), Ta viết || f ||1| | [0, )f    Với uL L( ) , đặt || ||u 1| |u , 

||u v |||u v || | | |u  v | |u | | || ||v  u || || v  (ii) Nếu  1

uL   và  c   thì  

||cu|||cu|| || | | | | | | ||| || c u  c  u  c u  (iii) Nếu  1

uL  và || ||u 1 0, biểu diễn  u   là  •

f , trong đó  1

f L ; thì | |f | | 0u   Bởi vì | f | là không âm, nó phải bằng 0 hầu khắp nơi, vì vậy f  h k n . 0 và u   0trong  1

|| ||u | |u | | || || v  v   Đặc biệt || || ||| |||u 1 u 1với mỗi  1

.

uL  (d) L1 là không gian Riesz định chuẩn  thỏa mãn:  

       Để có kết quả tiếp theo, chúng ta cần một biến thể của Định lý Levi.  

Bổ đề 2.3 Giả sử (X, , )    là một không gian đo và ( )f n n  là một dãy của các hàm nhận giá trị thực    khả tích thỏa mãn 

     Giả sử ( )u n n    là một dãy Cauchy trong L   sao cho ||u n1u n||14  với mỗi 

2.2.4 là một không gian Riesz

   Ta xét không gian tuyến tính có thứ tự L1 theo cách đã sử dụng trong 2.1.5 – 2.1.7 cho L  0

Định lý 2.5  Giả sử (X, , )    là một không gian đo bất kỳ. Khi đó L1L1( )  là Dedekind đủ.  

 Chú ý rằng thứ tự-đủ của  1

L   không giống như của  0

L , nó không phụ thuộc vào bất kỳ tính chất đặc biệt của không gian đo (X, , )    .  

2.2.4.2 Định lý Radon- Nikodým  

Định lý 2.6 (Radon-Nikodým) Giả sử (X, , )   là một không gian đo bất kỳ. Khi 

đó có một song ánh chuẩn tắc giữa L1L1( )  và tập các hàm cộng tính thực sự liên tục  :    , được cho bởi công thức 

F

   với F,uL1.  

Nhận xét: Cần nhắc lại rằng nếu  là  - hữu hạn, thì các phiếm hàm cộng tính thực sự liên tục là các phiếm hàm liên tục tuyệt đối cộng tính đếm được; và nếu   

là hoàn toàn hữu hạn, thì tất cả các hàm liên tục tuyệt đối (hữu hạn) cộng tính là thực sự liên tục.  

hai phần tử phân biệt của L, có một F   sao cho 

F

F u v

  , vì vậy u v ; bởi vậy uu  là đơn ánh cũng như là toàn ánh.  

2.2.5 Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện

(a) Giả sử (X, , )    là một không gian đo, và T  là một  - đại số con của    Khi 

E x xFG f x g x T  thì  

T

L  S L    là thực sự thuộc  [ (1 )]

T

S L   .  Thật vậy, lấy  1( ) [ (0 )]

(c) Bây giờ giả sử rằng X  1, do vậy (X, , )   là một không gian xác suất. Nhắc 

lại rằng g là một kỳ vọng có điều kiện của  f  trên T  nếu g là T  -  khả tích và 

F g F f

    với mỗi FT ; và mọi hàm   - khả tích đều có một kỳ vọng có điều 

kiện như vậy. Nếu g là một kỳ vọng có điều kiện của  f  và  f1 f  - hầu khắp nơi 

thì g là một kỳ vọng có điều kiện của  f1 , bởi vì F f1F f  với mỗi F; và dễ thấy 

rằng nếu g g, 1 là các kỳ vọng có điều kiện của  f  trên T  thì  gg1,

T

 - hầu khắp nơi.  

L    với  1( ) 0( )

T

L  L  , trong khi (g) trở thành P2 P.  Định lý 2.7.   Giả sử (X, , )    là một không gian xác suất và T là một  - đại số con của    Giả sử  :   là một hàm lồi và  0 0

:L( ) L( )

      là toán tử tương ứng được xác định bởi (f•)(f)•. Nếu P L: ( )1  L1(T) là toán tử kỳ vọng có điều kiện, thì (Pu)P(u)  với uL1( )  thỏa mãn ( )u L1( )   

Mệnh đề 2.8  Giả sử (X, , )    là một không gian xác suất, và T là  - đại số con của    Giả sử  : ( )1 1( )

T

P L  L    là toán tử kỳ vọng có điều kiện tương ứng. Nếu 

       L1 xuất hiện trong giải tích hàm như là một bổ sung của một số không gian hàm quan trọng nhưng  1

(b) Bởi vì    là không gian con tuyến tính của  nằm trong  , S là không 

gian con tuyến tính của   . Nếu    và  0 tồn tại    sao cho   và một    sao cho  f h  ; mà   và 

uv  f h     

Vì u và   tùy ý nên S là trù mật trong    

Độ đo Lesbegue trên   và các tập con của nó cho đến nay luôn luôn là ví dụ quan trọng nhất; và trong trường hợp này, chúng ta có thêm các không gian con trù mật của L1.   

Định nghĩa 2.6  Nếu f  là một hàm nhận giá trị thực hay giá trị phức xác định trên 

một tập con của  , ta gọi giá của hàm  f  là tập    

Định lý 2.10  Giả sử X  là một tập con bất kỳ của   trong đó  , và giả sử   là 

độ đo Lesbegue trên  , nghĩa là, độ đo trên không gian con   được suy từ độ đo Lesbegue trên    

 là không gian các hàm liên tục bị chặn    và có giá bị chặn, và   là không gian gồm các tổ hợp tuyến tính của các hàm có dạng   trong đó   là một nửa khoảng mở bị chặn. Khi đó  

mỗi   Giả sử   thỏa mãn  

 Với mỗi   đặt  

 nếu   

        nếu 

          nếu    

2

j

j n X

n j j



2( 1)

j j X

(iii) Nếu f  là một hàm đơn giản, biểu diễn  f  bởi    trong đó mỗi   có độ 

đo hữu hạn trên X. Mỗi   có thể biểu diễn bởi    trong đó   

là Lesbegue đo được. Tiếp theo,  g là bị chặn và tập    là bị chặn trong   và do vậy hữu hạn đối với độ đo ngoài  , và hữu hạn với độ đo   Bởi vậy có một   sao cho  ,  suy ra  g   là   - khả tích. Tương tự g 

Do đó, với  ,  

 (b) Nhận xét rằng nếu    là một dãy trong   sao cho  , thì cả

của   Trong 2.2.7, chúng ta phải thay thế  bởi  , không gian các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị phức và có giá bị chặn, và   là không gian tuyến tính căng trên    của   là khoảng nửa mở bị chặn}. 

     Không gian Banach cổ điển thứ hai của lý thuyết độ đo mà ta quan tâm là không gian   Như sẽ xuất hiện bên dưới,   là đồng cực của   Ngược lại, liên quan đến các không gian đo bình thường, nó thực sự là đối ngẫu của    

Định nghĩa 2.7  Giả sử    là một không gian đo bất kỳ. Giả sử    

là tập các hàm   và bị chặn cốt yếu, tức là, tồn tại một số   sao cho: x x: domf f x, ( ) Mlà không bỏ qua được, và viết :        

 Chú ý rằng nếu  ,   và  f h k n . g, thì  ; bởi vậy 

. Định lý 2.11.  Giả sử  là một không gian đo bất kỳ. Khi đó: 

a)    là không gian con tuyến tính của   

 thuộc vào   với mọi   .  c) Viết  , lớp tương đương của các hàm hằng số trong    nhận giá trị 1, 

khi đó một phần tử u của   thuộc vào   nếu và chỉ nếu có một số   

 thuộc vào  với tất cả    

thành một không gian tuyến tính có thứ tự từng phần. Bởi vì  nếu 

(2.3.2b),   và    thuộc vào  nếu  , và  là một không gian Riesz (so sánh 2.3.3d).  

          thực chất là một không gian Riesz có một đơn vị   với tính chất  với mỗi  tồn tại một số   sao cho    

u 

0

uL vL |u| | |  v | | || ||u  v e uL

|| ||u || ||v 

 với mọi   .  

Do vậy   là một đại số Banach giao hoán.  

(e) Hơn nữa,  

 với    và  , bởi vì  

(f) Nhận xét rằng nếu u, v là các phần tử không âm của    thì  

 điều này là do với mỗi  , ta có: 

  Định lý 2.12  Với mỗi không gian đo  bất kỳ,  là một dàn Banach đối với chuẩn

 là một dãy Cauchy, có giới hạn thuộc   Do đó    được xác định hầu khắp nơi. Ngoài ra, với ít nhất một  ,  

 Suy ra