một số kết quả về bài toán cực trị

Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều .... Việc tìm hiểu và ứng dụng điểm tới hạn là một vấn đề quan trọng của bài toán cực trị.. Trong luận văn này tài liệu tìm hiểu chủ y

Nguy ễn Thanh Phong

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Nguy ễn Thanh Phong

Chuyên ngành : Toán Gi ải Tích

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình

chỉ dạy và hướng dẫn em hoàn thành luận văn này

Em cũng chân thành cám ơn các thầy cô trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong quá trình học tập của em Các thầy cô trong văn phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong quá trình làm luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014

Học viên thực hiện

Nguyễn Thanh Phong

Lời cảm ơn

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 3

1.1 Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Định lý nhân tử Lagrange 4

1.1.3 Cực đại - cực tiểu 5

1.2 Cực trị có điều kiện trong không gian Banach 6

1.2.1 Đa tạp tuyến tính 6

1.2.2 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 8

Chương 2 ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT 10

2.1 Kiến thức chuẩn bị 10

2.2 Bổ đề biến đổi số lượng 14

2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland 18

2.4 Nguyên lý minimax tổng quát 20

2.5 Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính 24

2.6 Định lý định vị 33

2.7 Kỳ dị phi tuyến 34

Chương 3 ĐA TẠP NEHARI 42

3.1 Định nghĩa đa tạp Nehari 42

3.2 Những điều kiện cơ sở 42

3.3 Những tính chất của giá trị tới hạn 47

3.4 Nghiệm nút 49

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

L ỜI MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình:

0

Au= (1) Trong đó :A X → là ánh xạ giữa hai không gian Banach Y

Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số : Xϕ →  sao cho A= ( Đạo hàm ϕ′Gateaux của ϕ) nghĩa là:

0

( ) ( ), lim

Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X ′ của X và phương trình

(1) tương đương với ( ) 0ϕ′ u = nghĩa là:

Một dãy như vậy được gọi là dãy Palais-Smale tại mức c Phiếm hàm ϕ được gọi

là thỏa điều kiện ( )PS c nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức cchứa một dãy con hội

tụ Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( )PS c tại mức : inf

nối 0 và ethì:

sao cho:

(ϕ u n)→c,ϕ′(u n)→ 0

Nhưng c tổng quát không là giá trị tới hạn của ϕ

Việc tìm hiểu và ứng dụng điểm tới hạn là một vấn đề quan trọng của bài toán cực

trị

Trong luận văn này tài liệu tìm hiểu chủ yếu của tôi là Michel Willem, Minimax Theorems, Birkhauser, 1996 và PGS.TS Lê Hoàn Hóa, Phép tính vi tích phân trên không gian Banach, TP Hồ Chí Minh, 2000

Chương 1 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Trong phần này ta nhắc lại (không chứng minh) cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều và trong không gian Banach Mục đích nhắc lại chương này cho

ta thấy rõ việc tìm hiểu bài toán cực trị trong không gian hữu hạn chiều và không

gian Banach cũng là tìm hiểu điểm dừng trong toán tử Larange

1.1 Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều

1.1.1 Định nghĩa

Cho D là tập mở trong  , mỗi phần tử của D có dạng ( , )n p+ x y với

1 2, ( , , , )

Với mọi (x0,y0)∈E, ( , )x y −(x0,y0)2 < r

Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương với ràng buộc (3) tại (x0,y0) ta nói

f đạt cực trị địa phương có điều kiện (hoặc với ràng buộc (3)) tại (x0,y0)

1.1.2 Định lý nhân tử Lagrange

Cho D là tập mở trong  , :n p+ f D →  và : p

D

ϕ →  có đạo hàm liên tục trên D

Nếu f đạt cực trị địa phương với ràng buộc (3) tại (x0,y0) thì tồn tại duy nhất các

số thực λ λ1, 2, ,λp sao cho x0,y và 0 λ λ1, 2, ,λp là nghiệm của hệ (n+2 )p

j p

i i i

ϕλϕ

Điều kiện đủ cho cực trị có điều kiện:

Cho D là tập mở trong  và n p+ f,ϕ ϕ1, 2, ,ϕp : D →  Giả sử

1) Nếu ( )A u là d ạng toàn phương xác định dương thì f đạt cực tiểu địa

phương với ràng buộc (3) tại (x0,y0)

2) Nếu ( )A u là d ạng toàn phương xác định âm thì f đạt cực đại địa phương

với ràng buộc (3) tại (x0,y0)

3) Nếu ( )A u là d ạng toàn phương không xác định thì f không đạt cực trị địa

phương với ràng buộc (3) tại (x0,y0)

4) Nếu ( )A u là dạng toàn phương nửa xác định dương hoặc nửa xác định âm

thì chưa thể kết luận gì về cực trị địa phương của f với ràng buộc (3) tại

Cho f :D = D∪ ∂ →  liên tục Khi đó, do D D đóng và bị chặn nên f đạt cực

đại và cực tiểu trên D

Gỉa sử f đạt cực trị địa phương tại (x0,y0)∈ D

Nếu (x0,y0)∈ thì f đạt cực trị địa phương tại D (x0,y0)

Nếu (x0,y0)∈ ∂ thì f đạt cực trị địa phương có điều kiện trên biên D ∂D

Giả sử Ω là tập mở trong  sao cho n p+ D ⊂ Ω và f,ϕ ϕ1, 2, ,ϕp ∈C2( )D Giả sử

Nếu (x0,y0)∈ ∂ thì D (x0,y0) là điểm dừng của f trong bài toán cực trị địa

phương có điều kiện trên biên ∂D nghĩa là (x0,y0)là nghiệm của hệ thống

(n+2 )p hệ phương trình (4)

Như vậy để xác định cực trị của f trên D ta tìm các điểm dừng của f trong D và

trên biên ∂D Giá trị lớn nhất và bé nhất của f tại các điểm dừng sẽ là cực đại và

cực tiểu của f trên D

1.2 Cực trị có điều kiện trong không gian Banach

1.2.1 Đa tạp tuyến tính

Định nghĩa 1.3

Cho M là không gian Banach th0 ực, tập M ⊂ E được gọi là một đa tạp tuyến tính

nếu với mọi ,x y∈M thì λx+ −(1 λ)y∈M với mọi λ∈ 

Tập {λx+ −(1 λ) :y λ∈  là đường thẳng đi qua hai điểm ,} x y (n ếu x y≠ )

M ệnh đề 1.4

Cho E là không gian Banach th ực, tập M ⊂ E

i) Nếu M là đa tạp tuyến tính và 0E ∈M thì M là không gian véctơ của E

ii) Nếu M là đa tạp tuyến tính nếu và chỉ nếu:

}

{

M = x +M = x +u u∈M

Trong đó M 0 là không gian véc tơ con của E và x0 ∈M

Hơn nữa không gian con M không ph0 ụ thuộc x0 ∈M M 0 được gọi là không gian con song song với đa tạp M

Với x∈M tồn tại duy nhất u∈M0 sao cho x= +u x0 Đặt f0 :M0 →  định

bởi: với u∈M0, f u0( ) = f x( ) = f u( +x0) Ta nói:

i) f khả vi tại x∈M nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ M vào 0  , ghi

là f′( )x ∈L M( 0, và gọi là đạo hàm của f tại ) x, sao cho với h∈M0

ii) f đạt cực tiểu địa phương (cực đại địa phương) tại x∈M nếu tồn tại δ >0

sao cho với 0,

E

h∈M h < thì (δ f x +h) ≥ f x( ) ( (f x+h) ≤ f x( ))

Định lý 1.6

Cho E là không gian Banach th ực, M là đa tạp tuyến tính đóng và : f M → 

Điều kiện cần để f đạt cực trị địa phương tại a∈M :

Thì f đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại a∈M

1.2.2 Bài toán c ực trị có điều kiện tổng quát

Cho ,E F là không gian Banach, D là t ập mở trong E Cho : f M →  và :

H D → F khả vi liên tục Xét cực trị địa phương của phiếm hàm f với điều

f x = với mọi x∈KerT thì tồn tại * *

Vậy x0 là điềm dừng của phiếm hàm *

z ∈F trong định lý 1.10 được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán

cực trị phương của f với ràng buộc ( ) 0 H x = F

Chương 2 ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT

Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về điểm tới hạn, đưa ra các nguyên lý Ekeland, nguyên lý minimax tổng quát và các định lý quan trọng như định lý nối kết, định

lý qua đèo trong việc chứng minh sự tồn tại của điểm tới hạn, định lý định vị cho

ta biết trong một vài trường hợp giới hạn có thể xác định giá trị tới hạn và ứng dụng của điểm tới hạn trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet nửa tuyến tính Trước hết ta trình bày các kiến thức chuẩn bị sau:

2.1 Kiến thức chuẩn bị

Ta nhắc lại vài khái niệm về sự khả vi của phiếm hàm

Định nghĩa đạo hàm Gateaux

Cho U là t ập mở trong không gian Banach X Phiếm hàm :Uϕ → có đạo

hàm Gateaux f ∈X ′ tại u U ∈ nếu với mọi h X∈ :

0

1lim [ ( ) ( ) , ] 0

Cho N ≥3 và 2 :* 2

2

N N

Định lý 2.3 ( Định lý nhúng Rellich) Nếu Ω < ∞ các phép nhúng sau là

1( )012

u

u H u

Là một phần tử cực tiểu của 1,2

*

2 2 ( ) 1

: inf 0

N

u D u

lim( n p p n p p) p p

Định nghĩa liên tục Lipschitz

Giả sử X là không gian Banach, : f X → 

Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz địa phương tại x , hay Lipschitz 0 ở gần x 0

nếu tồn tại lân cận U của x và s0 ố K >0 sao cho:

( ∀ x x , ′ ∈ U ) f x( )− f x( )′ ≤ K x−x′

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên Y ⊂ X nếu f Lipschitz địa

phương tại mọi x∈Y

Sự hội tụ yếu [4] Cho Ω ⊂  là một tập mở và giả thiết 1 p N ≤ < ∞ Khi đó không gian đối ngẫu của X =L p( )Ω là *

∫ ∫ khi k → ∞ với mọi g∈L q( )Ω (*)

Do định lý compact yếu nên từ một dãy bị chặn trong ( )p

L Ω ta có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu thỏa mãn (*)

Nếu u k  thì u lim inf k

k

→∞

≤ và dãy hội tụ yếu thì bị chặn

Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue Giả sử ( )f n là dãy các hàm đo được trên X

2.2 B ổ đề biến đổi số lượng

Định nghĩa 2.7 Cho M là không gian mê tric, X là không gian định chuẩn và

B ổ đề 2.8 Cho các giả thiết định nghĩa 2.7, khi đó tồn tại một trường véc tơ tựa

gradient của h trên M

Họ ℵ =: {N v :v∈M} là một phủ mở của M M là không gian mê tríc do đó là

paracompact khi đó tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương M :={M i :i∈I}

của M mịn hơn ℵ Với mỗi i∈I tồn tại v∈M sao cho: M i ⊂ N v Như vậy

tồn tại y = y i sao cho (2.1) được thỏa mãn với mọi u∈M i Xác định trên M :

( ) : ( , \ )

i u dist u X M

( )( ) :

∈

∈

= ∑

∑

∈

∑

Do đó g là một trường véc tơ tựa gradient của h trên M

Bổ đề 2.9 Cho X là không gian Banach 1

Khi đó tồn tại η∈C([0,1]×X X, ) sao cho:

(i) η( , )t u = nếu u t = 0 hoặc nếu 1

Do bổ đề 2.8 tồn tại một trường véc tơ tựa gradient g của ϕ′ trên

( , \ ) ( , )

dist u X A u

( ( , )), ( ( , )) ( ( , ))2

( ( , ))( ( , ))

Nếu ( )ϕ u − −c 2ε > Từ ϕ liên tục tại 0 u nên:

Với ( )ϕ u − −c 2ε > tồn tại 0 δ′ < sao cho : δ B u( ,δ′ ∩) S2δ = ∅

và η( , )t u −u < thì dδ′ ẫn đến ( ( , ))ϕ η t u −ϕ( )u <ϕ( )u − −c 2ε

Từ đây suy ra : c+2ε ϕ η< ( ( , ))t u <2 ( )ϕ u − −c 2ε

Dẫn đến ( , )η t u ∉ Từ (2.3) ta cũng có ( , )A η t u = Vậy ta có (i) u

_ Ta kiểm tra (ii):

Cho u∈ϕc+ε ∩ Ta chứng minh ( (1, ))S ϕ η u < − hay ( (8 , ))c ε ϕ σ ε u < − c ε

Nếu tồn tại t∈[0, 8 ]ε sao cho ( ( , ))ϕ σ t u < − thì do (v) ta có c ε

2.3 Nguyên lý biến phân Ekeland

Định lý 2.10 ( Ekeland, 1974) Cho X là không gian Banach, X,ϕ∈C1(X, )

bị chặn dưới, v∈ X, ,ε δ > N0 ếu ( ) inf

X

v

ϕ ≤ ϕ ε+ Thì khi đó tồn tại u∈ X sao cho:

8( ) inf 2 , ( ) , 2

c = ϕ thì khi đó mỗi dãy cực tiểu hóa của ϕ chứa một dãy con hội tụ Đặc biệt

tồn tại một phần tử cực tiểu của ϕ

Chứng minh Giả sử ngược lại Ta áp dụng bổ đề 2.9 với :S = X \ B(0, )R Từ định nghĩa của c nên ϕc+ε ∩ là không bị chặn và S ϕc−ε ⊂ B(0, )r với r đủ lớn Do

2.4 Nguyên lý minimax tổng quát

Định lý 2.13 Cho X là không Banach, M là k0 hông gian con đóng của không gian

Tồn tại u∈X sao cho:

Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp của định lý 2.13

Định lý 2.14 Cho giả thiết (2.5) khi đó tồn tại một dãy ( )u n ⊂ X thỏa mãn: (u n) c, (u n) 0

Đặc biệt nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )PS c thì c là giá trị tới hạn của ϕ

Bây giờ ta đưa ra ba ví dụ mà nó thỏa mãn điều kiện (2.5)

Định lý 2.15 (Định lý qua đèo, Ambrosetti-Rabinowitz, 1973) Cho X là không gian Banach, ϕ∈C1( , ),X  e∈Xvà r >0 sao cho e > và: r

Định nghĩa 2.16 Một phép co rút từ một không gian tô pô X đến không gian con

Y là một ánh xạ liên tục r X: →Y sao cho ( )r y = với mọi y Y y ∈

B Xét đồng luân :

( , ) : (1 ) ( ), [0,1],

h t u = −t u +t r u t∈ u∈ U

Do ( , )h t u ≠ trên 0 1

[0,1]×S N− nên theo tính chất bất biến đồng luân thì:

deg( ,r U) =deg( ,id U) = ≠ với id là ánh xạ đồng nhất 1 0

Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )PS c với:

2.5 Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính

Trong phần này định lý nối kết được ứng dụng với bài toán:

0

( ) ( , )( )

Cho λ1 < λ2 ≤ ≤ λn ≤ <0 λn+1 ≤ là dãy các giá tr ị riêng của:

f x u ≤c + u Khi đó với mọi u∈L p( )Ω , (., )f u ∈L r( )Ω và toán tử: : p( ) r( )

Sự tồn tại của khả vi Gateaux

Cho u h, ∈H10 Lấy x∈ Ω và 0< < tt 1, ừ định lý giá trị trung bình, tồn tại [0,1]

=

− ta có ( ,f x u n) → f x u( , ) trong ( 1)

p p

L −

Từ bất đẳng thức Holder, ta có:

2 z n y n u n c

α α

1) Xét trường hợp N ≥ Ta kiểm tra các giả thiết của định lý nối kết Điều 3

kiện ( )PS c được suy ra từ bổ đề 2.25 Ta chọn chuẩn u := ∇ u2

re z e

+ +

= Từ (2.8) dẫn đến:

*

2 2

Do vậy áp dụng định lý qua đèo ta có điều phải chứng minh

Hệ quả sau được suy từ định lý 2.26

2.6 Định lý định vị

Dưới một vài giả thiết giới hạn ta có thể xác định được giá trị tới hạn

Định lý 2.28 Cho N là một tập con đóng của không gian Banach X Cho M là 0

một tập con đóng của không gian mê tríc M và Γ ⊂0 C M( 0,X) Ta xác định: : { ( , ) : 0 0}

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Áp dụng bổ đề 2.9 với :S =N,ϕ

thay bằng  :ϕ = − và ϕ c thay bằng :c = −c Lấy γ ∈ Γ sao cho:

Có một dãy con hội tụ

Định lý 2.30 Cho các giả thiết của định lý 2.28, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện (PS)N c, ,

khi đó tồn tại u N∈ sao cho ( ) 0ϕ′ u = và ( )ϕ u = c

Chứng minh Từ định lý 2.28 suy ra sự tồn tại dãy ( )u n ⊂ X thỏa mãn:

.( )

Trên H01( )Ω ta chọn chuẩn u := ∇ Cho: u2

0<λ λ1< 2 ≤ ≤ λn ≤ − <λ λn+1<

Là dãy các giá trị riêng của −∆ trên 1

0( )

H Ω và e e e1, , , 2 3 là các véc tơ riêng trực chuẩn tương ứng trong 2

∈ Ω

2) Ta có thể xem ( Nếu không ta xét dãy con):

_ Nếu b= 0 ta có điều phải chứng minh

c< khi đó ta có điều phải chứng minh c

Từ bổ đề tiếp theo, tồn tại z∈Z \ {0} sao cho:

2 2

* 2

1( )

2 2 2

u u

Bổ đề 2.33 Cho các giả thiết của định lý 2.32, khi đó tồn tại z∈Z \ {0} sao cho:

2

N N

S = Uε − ⇒S = Uε Khi ε → ta có: 0+

(2 )

N

N x

N N

r x

N N

N N N

x

r x

[ ( 2) ]

0(2 )

N

N B

N N

ρ

εε

0( ), 5

N

N B

n

k k k

N N

≤ + + + < khi ε > đủ nhỏ 0

Tương tự ta cũng có kết quả trên cho trường hợp N = 4

Chương 3 ĐA TẠP NEHARI

Trong chương này ta tìm hiểu về Đa tạp Nehari, trình bày các tính chất của điểm tới hạn, ứng dụng để tìm các nút nghiệm tỏa tròn

3 1 Định nghĩa đa tạp Nehari

Giả sử 1

( , )

C X

ϕ∈  sao cho (0) 0ϕ′ = Một điều kiện cần thiết để u X∈ là điểm

tới hạn của ϕ là ϕ′( ),u u = Điều kiện này xác định đa tạp Nehari: 0

ta sử dụng đa tạp Nehari để chứng minh sự tồn tại nghiệm của những nút nghiệm

3.2 Nh ững điều kiện cơ sở

Trong phần này ta xét bài toán:

0

( , )( )

B ổ đề 3.1 Cho các giả thiết ( )f ,1 (f ,2) ( )f ,3 (f ,4) (f , cho b5) ất kỳ u∈X \ {0}khi đó

tồn tại duy nhất ( ) 0t u > sao cho ( ).t u u∈ Giá trị lớn nhất của ( )N ϕ tu với t ≥ 0đạt tại t =t u( ) Hàm:

t u t f x u udx

p p

c t

Để chứng minh ( )t u liên tục ta xét u n → trong \{0}u X Từ (3.1) suy ra ( ( ))t u n bị

chặn Nếu một dãy con của ( ( ))t u n hội tụ đến t thì t0 ừ (3.1) cũng suy ra t0 =t u( ) và khi đó ( )t u n →t u( )

Cuối cùng ta có ánh xạ liên tục từ quả cầu đơn vị của X vào , N ut u( ) là ánh xạ ngược của phép co rút u u

2

1

1 1( )

2 α u n

≥ −

Do đó ( )u b n ị chặn

2) T ừ bước trên ta có thể giả sử u n → trong X ( N u ếu không ta xét dãy con)

Do phép nhúng H10(N)(N)⊂L p( là compact nên N) u n → trong u p

Đa tạp Nehari chia X thành hai phần Do ( )f và 1 ( )f ph3 ần chứa gốc cũng chứa

quả cầu nhỏ chứa gốc Tuy nhiên ( ) 0ϕ u ≥ với u thuộc phần này bởi vì

Kết quả sau đây không phụ thuộc vào điều kiện Palais-Smale

Định lý 3.4 Cho các giả thiết ( ) (f1 − f5),nếu v N∈ và ( )ϕ v = khi đó v là điểm c

tới hạn của ϕ

Chứng minh

Giả sử v∈N, ( )ϕ v = và ( ) 0c ϕ′ v ≠ Khi đó tồn tại δ >0,λ> sao cho: 0

u− ≤v 3δ ⇒ ϕ′( )u ≥ λ