Một số kết quả đánh giá ổn định và phương pháp lặp cho phương trình burgers

2 Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian.. Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian.. Trong luận văn này, chúng tôi

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian 4

1.1 Hàm lồi logarithm 4

1.2 Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian 6

Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers 14

2.1 Bài toán cực tiểu hóa trong L2(QT) 14

2.2 Bài toán cực tiểu hóa trong W 24

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

Phương trình Burgers ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong ứngdụng khi nghiên cứu về các quá trình sóng phi tuyến, trong lý thuyết về âmhọc phi tuyến hay lý thuyết nổ, (xem [6]) Bài toán ngược kể trên đặt khôngchỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]) Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu

nó thỏa mãn ba điều kiện: a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệmphụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán Nếunhư ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bàitoán đặt không chỉnh Đối với các bài toán đặt không chỉnh, vấn đề đánh giá

ổn định cũng như việc đề xuất các phương pháp lặp để giải bài toán đượcrất nhiều nhà toán học quan tâm Bởi tính ứng dụng cao của phương trìnhBurgers trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học nên nó đã được nghiêncứu từ những thập niên 70 của thế kỷ trước (xem [3]) Tuy nhiên, đây làphương trình có độ phi tuyến cao nên rất khó xử lý Cho đến nay vẫn chỉ córất ít kết quả dành cho bài toán này Trong luận văn này, chúng tôi nghiêncứu về đánh giá ổn định và các phương pháp lặp cho phương trình Burgersngược thời gian Trên cơ sở các tài liệu [1], [3], [4], [5] và [6], chúng tôi lựachọn đề tài cho luận văn của mình là : "Một số kết quả đánh giá ổnđịnh và phương pháp lặp cho phương trình Burgers"

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm cóhai chương

Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngượcthời gian

Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức về hàm lồi logarithm

2

và các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian.Trong chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh chi tiết các kết quả trongtài liệu [5] và được chia làm 2 mục.

2.1 Bài toán cực tiểu hóa trong L2(QT)

Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm của phương pháp tối

ưu liên hợp (adjoint optimization) trong L2(QT) với QT = (0, 1) × (0, T ).2.2 Bài toán cực tiểu hóa trong W

Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm dựa trên phương phápcực tiểu theo chuẩn L2 của gradient (L2- minimization of the gradient) trong

W Trong đó W là không gian các hàm u(x, t) sao cho ux(x, t) ∈ L2(QT)

và u(0, t) = u(1, t) = 0 Chuẩn trong không gian này được định nghĩa làkukW = kuxkL2 (Q T )

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫnnhiệt tình, tận tâm của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ củacác thầy cô, gia đình, bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạmToán học, các thầy cô trong tổ Giải tích - khoa Sư phạm Toán học - TrườngĐại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn, xincảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 - Giải tích Toán học đã tạo điềukiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình

Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luậnvăn chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận được sựgóp ý của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn học viên cao học

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Phạm Văn Sơn

CÁC KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH

BURGERS NGƯỢC THỜI GIAN

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các kết quả đánh giá

ổn định cho phương trình Burgers ngược thời gian, sau đó chúng tôi đề xuấtmột cải tiến nhỏ cho một trong số các kết quả đã có Để tiện theo dõi, trướchết chúng tôi trình bày về khái niệm hàm lồi logarithm

Kiến thức trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [2] Như

ta đã biết, với hàm số f (t) khả vi liên tục hai lần trên [t1; t2] thì điều kiện đểhàm f (t) là một hàm lồi theo t trên đoạn [t1; t2] là

f ”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t1; t2] (1.1)Nếu f ”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t1; t2] thì f0 là hàm đơn điệu tăng nên ta có

dt2 ln F (t) ≥ 0, ∀t ∈ [t1; t2] (1.2)Với chú ý F (t) > 0, ∀t ∈ [t1; t2], điều kiện (1.2) được viết lại thành

F F ” − (F0)2 ≥ 0, ∀t ∈ [t1; t2] (1.3)Vậy nếu F (t) thỏa mãn (1.3) thì ta có



[F (t2)]



t−t1 t2−t1



.Bây giờ giả sử F (t) thỏa mãn

F F ” − (F0)2 ≥ −kF2 (1.4)hoặc

F F ” − (F0)2 ≥ −k1F F0− k2F2 (1.5)trong đó k, k1, k2 là các hằng số và F (t) > 0 trên đoạn [t1, t2]

[F (t2)]



t−t1 t2−t1

1 ≤

"

F (δ1).δ

−k2 k2 1

1

#δ2−δ δ2−δ1 "

F (δ1).δ

−k2 k2 1

1

#δ−δ1 δ2−δ1

, (1.9)

trong đó δ ∈ [δ1, δ2] và δ1 = e−k1 t, δ2 = e−k1 t

Burgers ngược thời gian

Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt khôngchỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định Các đánh giá này cho ta biết bài toán

"xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu.Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sựhội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặtkhông chỉnh Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho phương trình parabolicngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương trình tuyến tính, rất ít kếtquả nhận được cho các phương trình phi tuyến Một trong những phươngtrình phi tuyến có nhiều ứng dụng nhất là phương trình Burgers ngược thời

gian Cho đến nay, các kết quả đánh giá ổn định cho loại phương trình nàyvẫn còn hạn chế Chúng tôi chỉ tìm thấy một số kết quả của Carasso ([3]),Ponomarev ([6]), Đinh Nho Hào và cộng sự ([4]).

Vào năm 1977, Carasso ([3]) đã xem xét phương trình Burgers ngược thờigian dạng







ut = νuxx− uux+ f (x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )u(0, t) = p(t), u(1, t) = q(t), 0 6 t6 T

u(x, T ) = ϕ(x), x ∈ (0, 1),

(1.10)

trong đó ν là số thực dương, p, q, ϕ, f là các hàm đã cho với p, q, f là các hàmtrơn Kí hiệu k · k là chuẩn L2(0, 1) và D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T }.Carasso đạt được đánh giá ổn định dạng H¨older cho nghiệm của phương trìnhBurgers ngược thời gian như sau

1.2.1 Định lý ([3]) Nếu ui(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) vớihàm ϕ(x) được thay bởi ϕ1(x) và ϕ2(x) tương ứng, trong đó ϕ1, ϕ2 ∈ L2(0, 1)sao cho kϕ1 − ϕ2k 6 δ (δ > 0) và

và chứng minh định lý sau đây

1.2.2 Định lý ([1]) Nếu ui(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) vớihàm ϕ(x) được thay bởi ϕ1(x) và ϕ2(x) tương ứng, trong đó ϕ1, ϕ2 ∈ L2(0, 1)sao cho kϕ1 − ϕ2k 6 δ (δ > 0) và

max {|ui|

(x,t)∈D

, |uit| , |uix| , |uitt| , |uixt| } ≤ N

thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá

ku(x, t)kC2 (D) 6 E, trong đó E là số thực dương (1.14)

Dễ nhận thấy rằng các điều kiện (1.11) và (1.14) có đặc điểm chung là đòihỏi đạo hàm cấp hai của nghiệm bị chặn Năm 2014, Đinh Nho Hào, NguyễnVăn Đức và Nguyễn Văn Thắng ([4]) đã đề xuất và chứng minh một số kếtquả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian Cáctác giả này đã đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older chỉ với đòi hỏi đạo hàmbậc nhất của nghiệm bị chặn Cụ thể, họ đã đề xuất và chứng minh các kếtquả sau

1.2.3 Định lý ([4]) Giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là các nghiệm trơn của phươngtrình



ut = (a(x, t)ux)x− d(x, t)uux+ f (x, t), (x, t) ∈ D,

u(0, t) = g0(t), u(1, t) = g1(t), 0 6 t 6 T, (1.15)trong đó a(x, t), d(x, t), g0(t), g1(t), f (x, t) là các hàm trơn, a(x, t) > a >

0, (x, t) ∈ D, at(x, t), d(x, t) và dx(x, t) bị chặn trên tập D Đặt

m = max

(x,t)∈D

at(x, t) + 2(dE)2a(x, t)

Theo kỹ thuật chứng minh trong tài liệu [4], trong luận văn này chúng tôiđưa ra một cải tiến nhỏ về hệ số k1(t) trong đánh giá ở Định lý 1.2.4 Cụ thể,chúng tôi đề xuất và chứng minh định lý sau.

1.2.5 Định lý Giả sử ui(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán



ut = νuxx − αuux+ f (x, t), (x, t) ∈ D,u(0, t) = g0(t), u(1, t) = g1(t), 0 6 t 6 T, (1.22)trong đó ν > 0, α ∈ R, và g0, g1, f là các hàm trơn Nếu

1

2αax.

Ta có |Q| ≤ E1, ∀(x, t) ∈ D và ψt = νψxx − Qψ Đặt G(t) = R1

0 ψ2dx, ta có

Gt = 2

Z 1 0

ψψtdx = −2

Z 1 0

νψx2dx − 2

Z 1 0

 Z t 0

H(s)ds +



1 − tT

 Z t 0

Z T t

H(s)ds − t

T

Z T t

 Z t 0

H(s)ds

− tT

Z T t



ln G(0) + t

T ln G(T ) +

Z t 0

H(s)ds

− tT

Z T 0

H(s)ds + 4E1t(T − t)

Đặt ϕ = −Qψ, ta có

12ν

Z 1 0

ψ2dx

2

Ht = −

Z 1 0

ψ2dx

2

ddt

ψ2dx

Z 1 0

ψxψxtdx + 2

Z 1 0

ψx2dx

Z 1 0

ψψtdx

= 2

Z 1 0

ψ2dx

Z 1 0

ψxxψtdx − 2

Z 1 0

ψψxxdx

Z 1 0

ψψtdx

ψxx(νψxx + ϕ)dx − 2

Z 1 0

ψψxxdx

Z 1 0

ψxx(νψxx + ϕ)dx

− 2

Z 1 0

ψψxxdx

Z 1 0

νψψxxdx +

Z 1 0

ψ2dx

Z 1 0

ϕ2dx

− 2

Z 1 0

Z 1 0

ψ2dx

Z 1 0

ϕ2dx ≥ −

Z 1 0

Q2ψ2dx ≥ −E12

Z 1 0

ψ2dx (1.29)

Từ (1.29), ta có hàm R0tH(s)ds + 12E12t2 là hàm lồi theo biến t Do đó

Z t 0

kz(T )k = ku1(T ) − u2(T )k 6 δ, (1.32)

CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH BURGERS

Bài toán đặt ra trong chương này là như sau: giả sử ta đã biết uδ và muốntìm hàm u là nghiệm của phương trình Burgers



ut = µuxx − uux, (x, t) ∈ QT,

u (0, t) = u (1, t) = 0, 06 t6 T, (2.1)trong đó QT = (0, 1) × (0, T ), µ là số thực dương sao cho u gần với uδ Vềmặt toán học, ta nên cực tiểu hóa độ lệch u − uδ theo một chuẩn thích hợptrên tập nghiệm của phương trình Burgers Các phương pháp lặp được sửdụng cho mục đích cực tiểu hóa độ lệch u − uδ là phương pháp tối ưu liên hợp(adjoint optimization) và phương pháp cực tiểu theo chuẩn L2 của gradient(L2- minimization of the gradient) Các kết quả trong chương này được chúngtôi tham khảo trong tài liệu [5]

2.1 Bài toán cực tiểu hóa trong L2(QT)

Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hàm

trong đó u thỏa mãn (2.1), u|t=0 = v và δu là nghiệm của bài toán

(2.3)

Ta sẽ sử dụng kỹ thuật liên hợp để có được công thức cụ thể hơn cho δI (v)

Ký hiệu ψ (x, t) là nghiệm của bài toán

ψ (x, 0) δv dx (2.5)

Do đó gradient của I được đưa ra bởi (2.5)

Bây giờ ta có thể áp dụng phương pháp gradient cho hàm I Điều này dẫnđến phương pháp lặp sau Với v0 cho trước, ta định nghĩa

vk+1 = vk + αψk(x, 0) , k = 0, 1, , (2.6)trong đó α > 0 là tham số và ψk là nghiệm của (2.4) với u = uk

được gọi là không gian C(0, T ; L2(0, 1))

(ii) Không gian các hàm u(x, t) sao cho ux ∈ L2(QT) và u(0, t) = u(1, t) = 0được gọi là không gian W Chuẩn trong không gian này được định nghĩa làkukW = kuxkL2 (Q )

luôn có nghiệm u ∈ C(0, T ; L2(0, 1)) ∩ W

Chứng minh Bổ đề 2.1.2 có thể xem trong [8]

2.1.3 Mệnh đề (i) Giả sử v ∈ L2(0, 1) Nếu u ∈ C(0, T ; L2(0, 1)) ∩ W lànghiệm của bài toán (2.7) thì ta có đánh giá

ku (·, t)kL2 (0,1) ≤ e−µπ2tkvkL2 (0,1) và kuxkL2 (QT) ≤ √1

2µ kvkL2 (0,1) (2.8)(ii) Giả sử v0 ∈ L2(0, 1) và ρ là một số dương Nếu v, ˜v ∈ B(v0, ρ) và

u, ˜u ∈ C(0, T ; L2(0, 1)) ∩ W là nghiệm của bài toán (2.7) với dữ kiện ban đầu

ddt

Z 1 0

u2dx = −2µ

Z 1 0

u2xdx (2.11)

(U, Ut) = −µ (Ux, Ux) + 1

2(Ux, U (u + ˜u)) (2.15)Mặt khác, ta có



U2, (u + ˜u)2



, ∀ε > 0 (2.16)Vì

(u + ˜u)2 = d

dx

Z x 0

2.1.4 Nhận xét Mệnh đề 2.1.3 cho phép ta đưa vào toán tử F : L2(0, 1) →

L2(QT) xác định như sau: với v ∈ L2(0, 1) thì F (v) = u là nghiệm của bàitoán (2.7) Từ (2.9) dẫn đến F là toán tử liên tục Lipschitz địa phương

Sử dụng toán tử F , bài toán cực tiểu hóa (2.2) được chuyển thành bài toán

(2.22)

trong đó u = F (v) và F0(v) là đạo hàm Fréchet của F tại điểm v Bài toán(2.22) có một nghiệm duy nhất y ∈ C(0, T ; L2(0, 1)) với yx ∈ L2(QT) khi

ϕ ∈ L2(0, 1)

Chứng minh Định lý 2.1.5 có thể xem trong [8]

Mệnh đề sau cho thấy toán tử tuyến tính F0(v) : L2(0, 1) → C(0, T ; L2(0, 1))

bị chặn

2.1.6 Mệnh đề ([5]) Giả sử v0 ∈ L2(0, 1) và ρ là một số dương Nếu v ∈B(v0, ρ), ϕ ∈ L2(0, 1) thì

với m = m(δ) phụ thuộc vào u và δ

Chứng minh Ta chọn một cơ sở trực chuẩn {ψn}∞n=1 ⊂ L2(0, 1) sao cho

ψn ∈ C([0, 1]) Khi đó ta có thể viết u như sau

dn(t) ψn(x) Thật vậy, nếu điều này không xảy

ra Khi đó với mỗi N ∈N∗, tồn tại tN ∈ [0, T ] sao cho

∞

P

n=N +1

d2n(tN) > δ Vì[0, T ] là tập compact nên ta có thể trích từ dãy (tN) một dãy con hội tụ Đểđơn giản, ta vẫn ký hiệu dãy con đó là (tN) Khi đó ta có tN → t∗ Do u làhàm liên tục trên [0, T ] và nhận giá trị trong L2(0, 1) nên với mỗi số ε > 0,tồn tại σ > 0 sao cho

|t1 − t2| ≤ σ ⇒ ku (·, t1) − u (·, t2)kL2 (0,1) ≤ ε (2.26)

rõ ràng bị chặn vì nó là tổng hữu hạn của các hàm liên tục.

2.1.8 Định lý Giả sử v0 ∈ L2(0, 1) và ρ là một số cho trước thỏa mãn

trong đó Γ = Γ(T, µ, v0) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T, µ và v0, xem(2.42).

Chứng minh Đặt w = F (v) − F (˜v) − F0(v) (v − ˜v) Khi đó w là nghiệmcủa bài toán

K φ =

Z 1 0

|Kxφ| ≤ kφkL2 (0,1) Nhân vào hai

vế phương trình (2.30) với Kwe−γt, γ > 0 và lấy tích phân trên QT ta đạtđược

Z T

0

(wt, Kw) e−γtdt − µ

Z T 0

(w, Kw) e−γtdt

≥ γ2

Z T 0

vì K xác định dương Với hạng tử thứ hai trong (2.34) ta có đánh giá

− µ

Z T 0

(wxx, Kw) e−γtdt = −µ

Z T 0

(w, Kxxw) e−γtdt

= µ

Z T 0

(w, w) e−γtdt (2.36)

Để đánh giá hạng tử thứ ba trong (2.34) ta viết u = (u − u0) + u0, ở đây

u0 = F (v0) Phân tích u0 thành hai hàm u1 và u2 như trong Bổ đề 2.1.7 tanhận được

≤

Z T 0

|((u − u0 + u1) w, Kxw)| e−γtdt

+

Z T 0

≤

Z T 0

m

Z 1 0



14ε (Kxw)

≤

Z T 0

m4ε (w, Kw) e

kwk2

L2(0,1)e−γtdt (2.39)

(w, Kw) dt

+

Z T 0

Z T 0



(u − ˜u)2, Kxw



e−γtdt (2.40)

Từ giả thiết (2.27) và Mệnh đề 2.1.3 (ii) ta có suptku − u0k ≤ µ/4 Khi đó

ta chọn δ = µ/4, và xác định m sao cho điều kiện (2.38) thỏa mãn Ta lấy εsao cho εm = µ/4 Với m và ε đã có ta lấy γ đủ lớn để γ/2 − m/4ε ≥ 0, ta

có thể lấy γ = 2m2/µ Vế phải của (2.40) được đánh giá

|Kxw|2

Z 1 0

2.2 Bài toán cực tiểu hóa trong W

Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hóa

min

v∈L 2 (0,1)

n

J (v) = F (v) − uδ 2Wo, (2.44)

với F (v) = u thỏa mãn (2.7) Một trong những kết quả chính của phần này

là việc chứng minh bài toán (2.44) luôn có nghiệm

2.2.1 Bổ đề Giả sử v0 ∈ L2(0, 1) và ρ là một số dương Nếu v, ˜v ∈ B(v0, ρ)thì

(U, Ut) dt + µ kU k2W =

Z T 0



Ux, ˜U Udt

Sử dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá vế phải ta được

µ kU k2W ≤

Z T 0

˜

U2



ddx

Z x 0

kUxkL2 (0,1)kU kL2 (0,1)

r

˜U

L 2 (0,1)

˜

Ux

L 2 (0,1)dt,tiếp tục sử dụng bất đẳng thức H¨older ta được

Chứng minh Giả sử Qτ,t = (0, 1) × (τ, t) Ta lấy tích phân công thức (2.11)

từ τ đến t và đạt được

2µ kuxk2L2 (Q τ,t )+ ku (·, t)k2L2 (0,1) = ku (., τ )k2L2 (0,1),khi đó

Như vậy Bổ đề 2.2.2 được chứng minh

Bây giờ ta sử dụng Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.2 để chứng minh định lý sau:2.2.3 Định lý (i) Tập Im(F ) = F (L2(0, 1)) đóng trong W

(ii) Toán tử ngược F−1 : Im(F ) → L2(0, 1) là liên tục Lipschitz địaphương

Chứng minh (ii) Trước hết ta chứng tỏ F−1 là toán tử liên tục Lipschitzđịa phương Giả sử U = u − ˜u, ở đây u = F (v), ˜u = F (˜v) Khi đó U thỏamãn (2.12) - (2.14) Tích phân (2.15) từ 0 đến t ta được

kU (·, 0)k2L2 (0,1) = kU (·, t)k2L2 (0,1)+ 2µ kUxk2L2 (Q t )

−

Z t 0

Z 1 0

UxU (u + ˜u) dx dt (2.50)

Hạng tử cuối cùng trong (2.50) được đánh giá bởi

sup

τ ≤t

k(u + ˜u) (., τ )kL2 (0,1)

Z t 0

(i) Giả sử {un}∞n=1 ⊂ W là một dãy Cauchy và vn = F−1(un) Vì F−1 liêntục nên kéo theo {vn}∞n=1 là dãy Cauchy trong L2(0, 1) Do đó {vn}∞n=1 hội tụ,giả sử vn → v trong L2(0, 1) và biểu thị F (v) bởi u∗ Hơn nữa {uk}∞k=1 hội tụtrong W , giả sử ˜u = limk→∞uk Bởi tính liên tục của F−1 nên ta có